14.0: Preludio a la diferenciación de funciones de varias variables

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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En Introducción a las Aplicaciones de Derivados, se estudió cómo determinar el máximo y mínimo de una función de una variable en un intervalo cerrado. Esta función podría representar la temperatura en un intervalo de tiempo dado, la posición de un automóvil en función del tiempo o la altitud de un avión a reacción mientras viaja de Nueva York a San Francisco. En cada uno de estos ejemplos, la función tiene una variable independiente.

Una foto de muchas pelotas de golf. — Figura\(\PageIndex{1}\): Los estadounidenses usan (y pierden) millones de pelotas de golf al año, lo que mantiene los fabricantes de pelotas de golf en el negocio. En este capítulo, estudiamos un modelo de ganancias y aprendemos métodos para calcular los niveles de producción óptimos para una empresa típica de fabricación de pelotas de golf. (crédito: modificación de obra por oatsy40, Flickr)

Supongamos, sin embargo, que tenemos una cantidad que depende de más de una variable. Por ejemplo, la temperatura puede depender de la ubicación y la hora del día, o el modelo de ganancias de una empresa puede depender del número de unidades vendidas y la cantidad de dinero gastado en publicidad. En este capítulo, nos fijamos en una empresa que produce pelotas de golf. Desarrollamos un modelo de ganancias y, bajo diversas restricciones, encontramos que el nivel óptimo de producción y publicidad gastados determina el máximo beneficio posible. Dependiendo de la naturaleza de las restricciones, tanto el método de solución como la solución misma cambian.

Cuando se trata de una función de más de una variable independiente, surgen naturalmente varias preguntas. Por ejemplo, ¿cómo calculamos los límites de funciones de más de una variable? La definición de derivado que usamos antes implicaba un límite. ¿La nueva definición de derivado implica también límites? ¿Se aplican las reglas de diferenciación en este contexto? ¿Podemos encontrar extremos relativos de funciones usando derivadas? Todas estas preguntas son respondidas en este capítulo.