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14.1: Funciones de Varias Variables

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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Objetivos de aprendizaje
• Reconocer una función de dos variables e identificar su dominio y rango.
• Esbozar una gráfica de una función de dos variables.
• Esbozar varias trazas o curvas de nivel de una función de dos variables.
• Reconocer una función de tres o más variables e identificar sus superficies niveladas.

Nuestro primer paso es explicar qué es una función de más de una variable, comenzando con funciones de dos variables independientes. Este paso incluye identificar el dominio y rango de tales funciones y aprender a graficarlas. También examinamos formas de relacionar las gráficas de funciones en tres dimensiones con gráficas de funciones planas más familiares.

Funciones de dos variables

La definición de una función de dos variables es muy similar a la definición de una función de una variable. La principal diferencia es que, en lugar de mapear valores de una variable a valores de otra variable, mapeamos pares ordenados de variables a otra variable.

Definición: función de dos variables

Una función de dos variables$$z=f(x,y)$$ mapea cada par ordenado$$(x,y)$$ en un subconjunto$$D$$ del plano real$$R^2$$ a un número real único z. El conjunto$$D$$ se llama el dominio de la función. El rango de$$f$$ es el conjunto de todos los números reales z que tiene al menos un par ordenado$$(x,y)∈D$$ tal que$$f(x,y)=z$$ como se muestra en la Figura$$\PageIndex{1}$$.

Determinar el dominio de una función de dos variables implica tomar en cuenta las restricciones de dominio que puedan existir. Echemos un vistazo.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: Domains and Ranges for Functions of Two Variables

Encuentra el dominio y rango de cada una de las siguientes funciones:

1. $$f(x,y)=3x+5y+2$$
2. $$g(x,y)=\sqrt{9−x^2−y^2}$$

Solución

a. Este es un ejemplo de una función lineal en dos variables. No hay valores ni combinaciones de$$x$$ y$$y$$ que$$f(x,y)$$ provoquen ser indefinidos, por lo que el dominio de$$f$$ es$$R^2$$. Para determinar el rango, primero elija un valor para z. Necesitamos encontrar una solución a la ecuación$$f(x,y)=z,$$ o$$3x−5y+2=z.$$ Una de esas soluciones se puede obtener por primera configuración$$y=0$$, lo que arroja la ecuación$$3x+2=z$$. La solución a esta ecuación es$$x=\dfrac{z−2}{3}$$, que da el par ordenado$$\left(\dfrac{z−2}{3},0\right)$$ como solución a la ecuación$$f(x,y)=z$$ para cualquier valor de$$z$$. Por lo tanto, el rango de la función es todo números reales, o$$R$$.

b. Para que la función$$g(x,y)$$ tenga un valor real, la cantidad bajo la raíz cuadrada debe ser no negativa:

$9−x^2−y^2≥0. \nonumber$

Esta desigualdad se puede escribir en la forma

$x^2+y^2≤9. \nonumber$

Por lo tanto, el dominio de$$g(x,y)$$ es$$\{(x,y)∈R^2∣x^2+y^2≤9\}$$. La gráfica de este conjunto de puntos puede describirse como un disco de radio 3 centrado en el origen. El dominio incluye el círculo límite como se muestra en la siguiente gráfica.

Para determinar el rango de$$g(x,y)=\sqrt{9−x^2−y^2}$$ partimos con un punto$$(x_0,y_0)$$ en el límite del dominio, el cual se define por la relación$$x^2+y^2=9$$. De ello se deduce que$$x^2_0+y^2_0=9$$ y

\begin{align*} g(x_0,y_0) =\sqrt{9−x^2_0−y^2_0} \\[4pt] =\sqrt{9−(x^2_0+y^2_0)}\\[4pt] =\sqrt{9−9}\\[4pt] =0. \end{align*}

Si$$x^2_0+y^2_0=0$$ (en otras palabras,$$x_0=y_0=0)$$, entonces

\begin{align*} g(x_0,y_0) =\sqrt{9−x^2_0−y^2_0}\\[4pt] =\sqrt{9−(x^2_0+y^2_0)}\\[4pt] =\sqrt{9−0}=3. \end{align*}

Este es el valor máximo de la función. Dado cualquier valor$$c$$ entre$$0$$ y$$3$$, podemos encontrar un conjunto completo de puntos dentro del dominio de$$g$$ tal que$$g(x,y)=c:$$

\begin{align*} \sqrt{9−x^2−y^2} =c \\[4pt] 9−x^2−y^2 =c^2 \\[4pt] x^2+y^2 =9−c^2. \end{align*}

Ya que$$9−c^2>0$$, esto describe un círculo de radio$$\sqrt{9−c^2}$$ centrado en el origen. Cualquier punto de este círculo satisface la ecuación$$g(x,y)=c$$. Por lo tanto, el rango de esta función se puede escribir en notación de intervalo como$$[0,3].$$

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Encuentra el dominio y el rango de la función$$f(x,y)=\sqrt{36−9x^2−9y^2}$$.

Pista

Determinar el conjunto de pares ordenados que no hacen que el radicando sea negativo.

Solución

El dominio es$$\{(x, y) | x^2+y^2≤4 \}$$ el círculo sombreado definido por la desigualdad$$x^2+y^2≤4$$, que tiene$$2$$ como límite un círculo de radio. La gama es$$[0,6].$$

Graficar funciones de dos variables

Supongamos que deseamos graficar la función$$z=f(x,y).$$ Esta función tiene dos variables independientes ($$x$$y$$y$$) y una variable dependiente$$(z)$$. Al graficar una función$$y=f(x)$$ de una variable, utilizamos el plano cartesiano. Podemos graficar cualquier par ordenado$$(x,y)$$ en el plano, y cada punto del plano tiene un par ordenado$$(x,y)$$ asociado a él. Con una función de dos variables, cada par ordenado$$(x,y)$$ en el dominio de la función se mapea a un número real$$z$$. Por lo tanto, la gráfica de la función$$f$$ consiste en triples ordenados$$(x,y,z)$$. La gráfica de una función$$z=f(x,y)$$ de dos variables se denomina superficie.

Para comprender más completamente el concepto de trazar un conjunto de triples ordenados para obtener una superficie en el espacio tridimensional, imagine el sistema de$$(x,y)$$ coordenadas tendido plano. Entonces, cada punto en el dominio de la función f tiene un$$z$$ valor único asociado a ella. Si$$z$$ es positivo, entonces el punto graficado se ubica por encima del$$xy$$ plano, si$$z$$ es negativo, entonces el punto graficado se ubica debajo del$$xy$$ plano. El conjunto de todos los puntos graficados se convierte en la superficie bidimensional que es la gráfica de la función$$f$$.

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$: Graphing Functions of Two Variables

Crea una gráfica de cada una de las siguientes funciones:

1. $$g(x,y)=\sqrt{9−x^2−y^2}$$
2. $$f(x,y)=x^2+y^2$$

Solución

a. en Ejemplo$$\PageIndex{2}$$, determinamos que el dominio de$$g(x,y)=\sqrt{9−x^2−y^2}$$ es$$\{(x,y)∈R^2∣x^2+y^2≤9\}$$ y el rango es$$\{z∈R^2∣0≤z≤3\}$$. Cuando$$x^2+y^2=9$$ tenemos$$g(x,y)=0$$. Por lo tanto, cualquier punto del círculo de radio$$3$$ centrado en el origen en el$$xy$$ plano -plano se mapea a$$z=0$$ in$$R^3$$. Si$$x^2+y^2=8$$,$$g(x,y)=1,$$ entonces cualquier punto en el círculo de radio$$2\sqrt{2}$$ centrado en el origen en el$$xy$$ plano -plano se mapea a$$z=1$$ in$$R^3$$. A medida que$$x^2+y^2$$ se acerca a cero, el valor de$$z$$ los enfoques$$3$$. Cuando$$x^2+y^2=0$$, entonces$$g(x,y)=3$$. Este es el origen en el$$xy$$ -plano If$$x^2+y^2$$ es igual a cualquier otro valor entre$$0$$ y$$9$$, entonces$$g(x,y)$$ es igual a alguna otra constante entre$$0$$ y$$3$$. La superficie descrita por esta función es un hemisferio centrado en el origen con radio$$3$$ como se muestra en la siguiente gráfica.

b. Esta función también contiene la expresión$$x^2+y^2$$. Al establecer esta expresión igual a varios valores comenzando en cero, obtenemos círculos de radio creciente. El valor mínimo de$$f(x,y)=x^2+y^2$$ es cero (alcanzado cuando$$x=y=0.$$. Cuando$$x=0$$, la función se convierte$$z=y^2$$, y cuando$$y=0$$, entonces la función se vuelve$$z=x^2$$. Estas son secciones transversales de la gráfica, y son parábolas. Recordemos de Introducción a los Vectores en el Espacio que el nombre de la gráfica de$$f(x,y)=x^2+y^2$$ es un paraboloide. La gráfica de$$f$$ aparece en la siguiente gráfica.

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$: Nuts and Bolts

Una función de beneficio para un fabricante de hardware es dada por

$f(x,y)=16−(x−3)^2−(y−2)^2, \nonumber$

donde$$x$$ es el número de tuercas vendidas por mes (medido en miles) y$$y$$ representa el número de pernos vendidos por mes (medido en miles). El beneficio se mide en miles de dólares. Esboce una gráfica de esta función.

Solución

Esta función es una función polinómica en dos variables. El dominio de$$f$$ consiste en pares de$$(x,y)$$ coordenadas que producen un beneficio no negativo:

\begin{align*} 16−(x−3)^2−(y−2)^2 ≥ 0 \\[4pt] (x−3)^2+(y−2)^2 ≤ 16. \end{align*}

Este es un disco de radio$$4$$ centrado en$$(3,2)$$. Otra restricción es que ambos$$x$$ y$$y$$ deben ser no negativos. Cuándo$$x=3$$ y$$y=2, f(x,y)=16.$$ Tenga en cuenta que es posible que cualquiera de los valores sea un no entero; por ejemplo, es posible vender$$2.5$$ mil nueces en un mes. El dominio, por lo tanto, contiene miles de puntos, por lo que podemos considerar todos los puntos dentro del disco. Para cualquiera$$z<16$$, podemos resolver la ecuación$$f(x,y)=16:$$

\begin{align*} 16−(x−3)^2−(y−2)^2 =z \\[4pt] (x−3)^2+(y−2)^2 =16−z. \end{align*}

Ya que$$z<16,$$ sabemos que$$16−z>0,$$ así la ecuación anterior describe un círculo con radio$$\sqrt{16−z}$$ centrado en el punto$$(3,2)$$. Por lo tanto, el rango de$$f(x,y)$$ es$$\{z∈\mathbb{R}|z≤16\}.$$ La gráfica de también$$f(x,y)$$ es un paraboloide, y este paraboloide apunta hacia abajo como se muestra.

Curvas de Nivel

Si los excursionistas caminan por senderos escarpados, podrían usar un mapa topográfico que muestre cuán empinado cambian los senderos. Un mapa topográfico contiene líneas curvas llamadas curvas de nivel. Cada curva de nivel corresponde a los puntos del mapa que tienen igual elevación (Figura$$\PageIndex{6}$$). Una curva de nivel de una función de dos variables$$f(x,y)$$ es completamente análoga a una línea de contorno en un mapa topográfico.

Definición: curvas de nivel

Dada una función$$f(x,y)$$ y un número$$c$$ en el rango de$$f$$, una curva de nivel de una función de dos variables para el valor$$c$$ se define como el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación$$f(x,y)=c.$$

Volviendo a la función$$g(x,y)=\sqrt{9−x^2−y^2}$$, podemos determinar las curvas de nivel de esta función. El rango de$$g$$ es el intervalo cerrado$$[0,3]$$. Primero, elegimos cualquier número en este intervalo cerrado, digamos,$$c=2$$. La curva de nivel correspondiente a$$c=2$$ es descrita por la ecuación

$\sqrt{9−x^2−y^2}=2. \nonumber$

$9−x^2−y^2=4. \nonumber$

Ahora, multiplica ambos lados de la ecuación por$$−1$$ y suma$$9$$ a cada lado:

$x^2+y^2=5. \nonumber$

Esta ecuación describe un círculo centrado en el origen con radio$$\sqrt{5}$$. Usando valores de$$c$$ entre$$0$$ y$$3$$ produce otros círculos también centrados en el origen. Si$$c=3$$, entonces el círculo tiene radio$$0$$, por lo que consiste únicamente en el origen. La figura$$\PageIndex{7}$$ es una gráfica de las curvas de nivel de esta función correspondientes a$$c=0,1,2,$$ y$$3$$. Tenga en cuenta que en la derivación anterior puede ser posible que introdujamos soluciones adicionales al cuadrar ambos lados. Este no es el caso aquí porque el rango de la función de raíz cuadrada no es negativo.

Una gráfica de las diversas curvas de nivel de una función se denomina mapa de contorno.

Ejemplo$$\PageIndex{4}$$: Making a Contour Map

Dada la función$$f(x,y)=\sqrt{8+8x−4y−4x^2−y^2}$$, encuentra la curva de nivel correspondiente a$$c=0$$. A continuación, crea un mapa de contorno para esta función. ¿Cuáles son el dominio y el rango de$$f$$?

Solución

Para encontrar la curva de nivel para$$c=0,$$ establecemos$$f(x,y)=0$$ y resolvemos. Esto da

$$0=\sqrt{8+8x−4y−4x^2−y^2}$$.

Luego cuadramos ambos lados y multiplicamos ambos lados de la ecuación por$$−1$$:

$$4x^2+y^2−8x+4y−8=0.$$

Ahora, reorganizamos los términos, juntando los$$x$$ términos y los$$y$$ términos juntos, y agregamos$$8$$ a cada lado:

$$4x^2−8x+y^2+4y=8.$$

A continuación, agrupamos los pares de términos que contienen la misma variable entre paréntesis, y factorizamos$$4$$ del primer par:

$$4(x^2−2x)+(y^2+4y)=8.$$

$$4(x^2−2x+1)+(y^2+4y+4)=8+4(1)+4.$$

$$4(x−1)^2+(y+2)^2=16.$$

Por último, dividimos ambos lados por$$16:$$

$$\dfrac{(x−1)^2}{4}+\dfrac{(y+2)^2}{16}=1.\label{conteq0}$$

Esta ecuación describe una elipse centrada en$$(1,−2).$$ La gráfica de esta elipse aparece en la siguiente gráfica.

Podemos repetir la misma derivación para valores$$c$$ menores que$$4.$$ Entonces, la ecuación\ ref {conteq0} se convierte

$$\dfrac{4(x−1)^2}{16−c^2}+\dfrac{(y+2)^2}{16−c^2}=1$$

por un valor arbitrario de$$c$$. La figura$$\PageIndex{9}$$ muestra un mapa de contorno para$$f(x,y)$$ usar los valores$$c=0,1,2,$$ y$$3$$. Cuando$$c=4,$$ la curva de nivel es el punto$$(−1,2)$$.

Encontrar el dominio y el rango

$8+8x−4y−4x^2−y^2\ge 0 \nonumber$

Reconociendo que el límite del dominio es una elipse, repetimos los pasos que mostramos anteriormente para obtener

$\dfrac{(x−1)^2}{4}+\dfrac{(y+2)^2}{16}\le 1 \nonumber$

Entonces el dominio de se$$f$$ puede escribir:$$\big\{ (x,y) \,|\, \frac{(x−1)^2}{4}+\frac{(y+2)^2}{16}\le 1 \big\}.$$

Para encontrar el rango de$$f,$$ necesitamos considerar las posibles salidas de esta función de raíz cuadrada. Sabemos que la salida no puede ser negativa, así que necesitamos verificar a continuación si su salida es alguna vez$$0.$$ Del trabajo que completamos anteriormente para encontrar la curva de nivel porque$$c = 0,$$ sabemos que el valor de$$f$$ es$$0$$ para cualquier punto en esa curva de nivel (en la elipse,$$\frac{(x−1)^2}{4}+\frac{(y+2)^2}{16}=1$$). Entonces sabemos que el límite inferior del rango de esta función es$$0.$$

Para determinar el límite superior para el rango de la función en este problema, es más fácil si primero completamos el cuadrado debajo del radical.

\ [\ begin {alinear*} f (x, y) &=\ sqrt {8+8x−4y−4x^2−y^2}\\ [5pt]
&=\ sqrt {8 - 4 (x^2 - 2x\ quad) - (y^2 + 4y\ quad)}\\ [5pt]
&=\ sqrt {8 - 4 (x^2 - +1 2x - 1) - (y^2 + 4y + 4 - 4)}\\ [5pt]
&=\ sqrt {8 - 4 (x^2 - 2x +1) + 4 - (y^2 + 4y + 4) +4}\\ [5pt]
&=\ sqrt {16 - 4 (x-1) ^2 - (y+2) ^2}\ final {alinear*}\]

Ahora que tenemos$$f$$ en esta forma, podemos ver cuán grande puede ser el radicando. Ya que estamos restando dos cuadrados perfectos de$$16,$$ sabemos que el valor del radicando no puede ser mayor que$$16.$$ En el punto$$(1, -2),$$ podemos ver que el radicando será 16 (ya que vamos a estar restando$$0$$ de$$16$$ en este punto. Esto nos da el valor máximo de$$f$$, es decir$$f(1, -2) = \sqrt{16} = 4.$$

Entonces el rango de esta función es$$[0, 4].$$

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Encuentra y grafica la curva de nivel de la función$$g(x,y)=x^2+y^2−6x+2y$$ correspondiente a$$c=15.$$

Pista

Primero, fije$$g(x,y)=15$$ y luego complete el cuadrado.

Solución

La ecuación de la curva de nivel se puede escribir como$$(x−3)^2+(y+1)^2=25,$$ que es un círculo con radio$$5$$ centrado en$$(3,−1).$$

Otra herramienta útil para entender la gráfica de una función de dos variables se denomina traza vertical. Las curvas de nivel siempre se grafican en el$$xy-plane$$, pero como su nombre lo indica, las trazas verticales se grafican en los planos$$xz$$ - o$$yz$$ -planos.

Definición: trazos verticales

Considera una función$$z=f(x,y)$$ con dominio$$D⊆\mathbb{R}^2$$. Una traza vertical de la función puede ser el conjunto de puntos que resuelve la ecuación$$f(a,y)=z$$ para una constante dada$$x=a$$ o$$f(x,b)=z$$ para una constante dada$$y=b.$$

Ejemplo$$\PageIndex{5}$$: Finding Vertical Traces

Encuentra trazas verticales para la función$$f(x,y)=\sin x \cos y$$ correspondiente a$$x=−\dfrac{π}{4},0,$$ y$$\dfrac{π}{4}$$, y$$y=−\dfrac{π}{4},0$$, y$$\dfrac{π}{4}$$.

Solución

Primer conjunto$$x=−\dfrac{π}{4}$$ en la ecuación$$z=\sin x \cos y:$$

$$z=\sin(−\dfrac{π}{4})\cos y=−\dfrac{\sqrt{2}\cos y}{2}≈−0.7071\cos y.$$

Esto describe una gráfica coseno en el plano$$x=−\dfrac{π}{4}$$. Los otros valores de z aparecen en la siguiente tabla.

Trazos verticales paralelos al$$xz-Plane$$ para la función$$f(x,y)=\sin x \cos y$$
$$c$$ Trazo vertical para$$x=c$$
\ (c\)” style="vertical-align:middle; ">$$−\dfrac{π}{4}$$ \ (x=c\)” style="vertical-align:middle; ">$$z=−\dfrac{\sqrt{2}\cos y}{2}$$
\ (c\)” style="vertical-align:middle; ">0 \ (x=c\)” style="vertical-align:middle; ">$$z=0$$
\ (c\)” style="vertical-align:middle; ">$$\dfrac{π}{4}$$ \ (x=c\)” style="vertical-align:middle; ">$$z=\dfrac{\sqrt{2}\cos y}{2}$$

De manera similar, podemos sustituir el$$y-values$$ en la ecuación$$f(x,y)$$ para obtener las trazas en el$$yz-plane,$$ como se enumera en la siguiente tabla.

Trazos verticales paralelos al$$yz-Plane$$ para la función$$f(x,y)=\sin x \cos y$$
$$d$$ Trazo vertical para$$y=d$$
\ (d\)” style="vertical-align:middle; ">$$\dfrac{π}{4}$$ \ (y=d\)” style="vertical-align:middle; ">$$z=\dfrac{\sqrt{2}\sin x}{2}$$
\ (d\)” style="vertical-align:middle; ">0 \ (y=d\)” style="vertical-align:middle; ">$$z=\sin x$$
\ (d\)” style="vertical-align:middle; ">$$−\dfrac{π}{4}$$ \ (y=d\)” style="vertical-align:middle; ">$$z=\dfrac{\sqrt{2}\sin x}{2}$$

Las tres trazas en las funciones$$xz-plane$$ son coseno; las tres trazas en las funciones$$yz-plane$$ son sinusoidales. Estas curvas aparecen en las intersecciones de la superficie con los planos$$x=−\dfrac{π}{4},x=0,x=\dfrac{π}{4}$$ y$$y=−\dfrac{π}{4},y=0,y=\dfrac{π}{4}$$ como se muestra en la siguiente figura.

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Determinar la ecuación de la traza vertical de la función$$g(x,y)=−x^2−y^2+2x+4y−1$$ correspondiente a$$y=3$$, y describir su gráfica.

Pista

Establecer$$y=3$$ en la ecuación$$z=−x^2−y^2+2x+4y−1$$ y completar el cuadrado.

Solución

$$z=3−(x−1)^2$$. Esta función describe una parábola que se abre hacia abajo en el plano$$y=3$$.

Las funciones de dos variables pueden producir algunas superficies de aspecto llamativo. La figura$$\PageIndex{11}$$ muestra dos ejemplos.

Funciones de más de dos variables

Hasta el momento, solo hemos examinado funciones de dos variables. Sin embargo, es útil echar un breve vistazo a las funciones de más de dos variables. Dos de esos ejemplos son

$\underbrace{f(x,y,z)=x^2−2xy+y^2+3yz−z^2+4x−2y+3x−6}_{\text{a polynomial in three variables}} \nonumber$

y

$g(x,y,t)=(x^2−4xy+y^2)\sin t−(3x+5y)\cos t. \nonumber$

En la primera función,$$(x,y,z)$$ representa un punto en el espacio, y la función$$f$$ mapea cada punto en el espacio a una cuarta cantidad, como temperatura o velocidad del viento. En la segunda función,$$(x,y)$$ puede representar un punto en el plano, y$$t$$ puede representar el tiempo. La función podría mapear un punto en el plano a una tercera cantidad (por ejemplo, presión) en un momento dado$$t$$. El método para encontrar el dominio de una función de más de dos variables es análogo al método para funciones de una o dos variables.

Ejemplo$$\PageIndex{6}$$: Domains for Functions of Three Variables

Encuentra el dominio de cada una de las siguientes funciones:

1. $$f(x,y,z)=\dfrac{3x−4y+2z}{\sqrt{9−x^2−y^2−z^2}}$$
2. $$g(x,y,t)=\dfrac{\sqrt{2t−4}}{x^2−y^2}$$

Solución:

a. Para$$f(x,y,z)=\dfrac{3x−4y+2z}{\sqrt{9−x^2−y^2−z^2}}$$ que la función sea definida (y sea un valor real), se deben mantener dos condiciones:

1. El denominador no puede ser cero.
2. El radicando no puede ser negativo.

Combinar estas condiciones conduce a la desigualdad

$9−x^2−y^2−z^2>0.\nonumber$

Mover las variables al otro lado e invertir la desigualdad le da al dominio como

$domain(f)=\{(x,y,z)∈R^3∣x^2+y^2+z^2<9\},\nonumber$

que describe una bola de radio$$3$$ centrada en el origen. (Nota: La superficie de la pelota no está incluida en este dominio.)

b. Para$$g(x,y,t)=\dfrac{\sqrt{2t−4}}{x^2−y^2}$$ que la función se defina (y sea un valor real), se deben mantener dos condiciones:

1. El radicando no puede ser negativo.
2. El denominador no puede ser cero.

Dado que el radicando no puede ser negativo, esto implica$$2t−4≥0$$, y por lo tanto eso$$t≥2$$. Ya que el denominador no puede ser cero$$x^2−y^2≠0$$,$$x^2≠y^2$$, o, Que se puede reescribir como$$y=±x$$, que son las ecuaciones de dos líneas que pasan por el origen. Por lo tanto, el dominio de$$g$$ es

$domain(g)=\{(x,y,t)|y≠±x,t≥2\}. \nonumber$

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Encuentra el dominio de la función$$h(x,y,t)=(3t−6)\sqrt{y−4x^2+4}$$.

Pista

Verifique los valores que hagan que los radicandos sean negativos o denominadores iguales a cero.

Solución

$domain(h)=\{(x,y,t)\in \mathbb{R}^3∣y≥4x^2−4\} \nonumber$

Las funciones de dos variables tienen curvas de nivel, las cuales se muestran como curvas en el$$xy-plane.$$ Sin embargo, cuando la función tiene tres variables, las curvas se convierten en superficies, por lo que podemos definir superficies de nivel para funciones de tres variables.

Definición: superficie nivelada de una función de tres variables

Dada una función$$f(x,y,z)$$ y un número$$c$$ en el rango de$$f$$, una superficie de nivel de una función de tres variables se define como el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación$$f(x,y,z)=c.$$

Ejemplo$$\PageIndex{7}$$: Finding a Level Surface

Encuentra la superficie nivelada para la función$$f(x,y,z)=4x^2+9y^2−z^2$$ correspondiente a$$c=1$$.

Solución

La superficie nivelada se define por la ecuación$$4x^2+9y^2−z^2=1.$$ Esta ecuación describe un hiperboloide de una hoja como se muestra en la Figura$$\PageIndex{12}$$.

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Encuentra la ecuación de la superficie nivelada de la función

$g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2−2x+4y−6z \nonumber$

correspondientes$$c=2,$$ y describir la superficie, si es posible.

Pista

Establecer$$g(x,y,z)=c$$ y completar el cuadrado.

Solución

((x−1) ^2+ (y+2) ^2+ (z−3) ^2=16\) describe una esfera de radio$$4$$ centrada en el punto$$(1,−2,3).$$

Resumen

• La gráfica de una función de dos variables es una superficie en$$\mathbb{R}^3$$ y se puede estudiar utilizando curvas de nivel y trazas verticales.
• Un conjunto de curvas de nivel se denomina mapa de contorno.

Ecuaciones Clave

• Trazo vertical

$$f(a,y)=z$$para$$x=a$$ o$$f(x,b)=z$$ para$$y=b$$

• Superficie nivelada de una función de tres variables

$$f(x,y,z)=c$$

Glosario

mapa de contorno
una gráfica de las diversas curvas de nivel de una función dada$$f(x,y)$$
función de dos variables
una función$$z=f(x,y)$$ que mapea cada par ordenado$$(x,y)$$ en un subconjunto$$D$$ de$$R^2$$ a un número real único$$z$$
gráfico de una función de dos variables
un conjunto de triples ordenados$$(x,y,z)$$ que satisface la ecuación$$z=f(x,y)$$ trazada en el espacio cartesiano tridimensional
curva de nivel de una función de dos variables
el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación$$f(x,y)=c$$ para algún número real$$c$$ en el rango de$$f$$
superficie nivelada de una función de tres variables
el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación$$f(x,y,z)=c$$ para algún número real$$c$$ en el rango de$$f$$
superficie
la gráfica de una función de dos variables,$$z=f(x,y)$$
traza vertical
el conjunto de triples ordenados$$(c,y,z)$$ que resuelve la ecuación$$f(c,y)=z$$ para una constante dada$$x=c$$ o el conjunto de triples ordenados$$(x,d,z)$$ que resuelve la ecuación$$f(x,d)=z$$ para una constante dada$$y=d$$

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