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14.8: Multiplicadores Lagrange

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    116232
    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    Objetivos de aprendizaje
    • Utilice el método de los multiplicadores Lagrange para resolver problemas de optimización con una restricción.
    • Utilice el método de multiplicadores Lagrange para resolver problemas de optimización con dos restricciones.

    Resolver problemas de optimización para funciones de dos o más variables puede ser similar a resolver tales problemas en el cálculo de una sola variable. Sin embargo, las técnicas para tratar múltiples variables nos permiten resolver problemas de optimización más variados para los que necesitamos lidiar con condiciones o restricciones adicionales. En esta sección, examinamos uno de los métodos más comunes y útiles para resolver problemas de optimización con restricciones.

    Multiplicadores Lagrange

    En el apartado anterior se exploró una situación aplicada que implicaba maximizar una función de ganancia, sujeta a ciertas limitaciones. En ese ejemplo, las limitaciones implicaban un número máximo de pelotas de golf que podían producirse y venderse en un\(1\) mes\((x),\) y un número máximo de horas publicitarias que podían comprarse al mes\((y)\). Supongamos que estos se combinaron en una sola restricción presupuestal\(20x+4y≤216\), como, que tomara en cuenta tanto el costo de producción de las pelotas de golf como el número de horas publicitarias compradas al mes. El objetivo sigue siendo maximizar las ganancias, pero ahora hay un tipo diferente de restricción sobre los valores de\(x\) y\(y\). Esta restricción y la función de beneficio correspondiente

    \[f(x,y)=48x+96y−x^2−2xy−9y^2 \nonumber \]

    es un ejemplo de un problema de optimización, y la función\(f(x,y)\) se llama la función objetiva. A\(f(x,y)\) continuación se muestra una gráfica de varias curvas de nivel de la función.

    Una serie de elipses giradas que se vuelven cada vez más grandes. El más pequeño está marcado f (x, y) = 400, y el más grande está marcado con f (x, y) = 150.
    Figura\(\PageIndex{1}\): Gráfica que muestra curvas de nivel de la función\(f(x,y)=48x+96y−x^2−2xy−9y^2\) correspondiente a\(c=150,250,350,\) y\(400.\)

    En la Figura\(\PageIndex{1}\), el valor\(c\) representa diferentes niveles de ganancia (es decir, valores de la función\(f\)). A medida que\(c\) aumenta el valor de, la curva se desplaza hacia la derecha. Dado que nuestro objetivo es maximizar las ganancias, queremos elegir una curva lo más hacia la derecha como sea posible. Si no hubiera restricciones sobre el número de pelotas de golf que la compañía podría producir o el número de unidades de publicidad disponibles, entonces podríamos producir tantas pelotas de golf como queramos, y publicitar tanto como queramos, y no habría un beneficio máximo para la compañía. Desafortunadamente, tenemos una restricción presupuestal que se modela por la desigualdad\(20x+4y≤216.\) Para ver cómo esta restricción interactúa con la función de ganancia, la Figura\(\PageIndex{2}\) muestra la gráfica de la línea\(20x+4y=216\) superpuesta a la gráfica anterior.

    Una serie de elipses giradas que se vuelven cada vez más grandes. En la elipse más pequeña, que es roja, hay una línea tangente marcada con la ecuación 20x + 4y = 216 que parece tocar la elipse cerca (10, 4).
    Figura\(\PageIndex{2}\): Gráfica de curvas de nivel de la función\(f(x,y)=48x+96y−x^2−2xy−9y^2\) correspondiente a\(c=150,250,350,\) y\(395\). El gráfico rojo es la función de restricción.

    Como se mencionó anteriormente, la ganancia máxima se produce cuando la curva de nivel está lo más a la derecha posible. No obstante, el nivel de producción correspondiente a esta ganancia máxima también debe satisfacer la restricción presupuestal, por lo que el punto en el que se produce esta ganancia también debe estar sobre (o a la izquierda de) la línea roja de la Figura\(\PageIndex{2}\). La inspección de esta gráfica revela que este punto existe donde la línea es tangente a la curva de nivel de\(f\). Prueba y error revela que este nivel de ganancias parece estar alrededor\(395\), cuando\(x\) y ambos\(y\) son apenas menores que\(5\). Volvemos a la solución de este problema más adelante en esta sección. Desde un punto de vista teórico, en el punto donde la curva de beneficio es tangente a la línea de restricción, el gradiente de ambas funciones evaluadas en ese punto debe apuntar en la misma dirección (u opuesta). Recordemos que el gradiente de una función de más de una variable es un vector. Si dos vectores apuntan en la misma dirección (u opuesta), entonces uno debe ser un múltiplo constante del otro. Esta idea es la base del método de los multiplicadores Lagrange.

    Método de Multiplicadores Lagrange: Una Restricción

    Teorema\(\PageIndex{1}\): Dejar\(f\) y\(g\) ser funciones de dos variables con derivadas parciales continuas en cada punto de algún conjunto abierto que contenga la curva suave\(g(x,y)=0.\) Supongamos que\(f\), cuando se restringe a puntos en la curva\(g(x,y)=0\), tiene un extremo local en el punto\((x_0,y_0)\) y eso\(\vecs ∇g(x_0,y_0)≠0\). Luego hay un número\(λ\) llamado multiplicador Lagrange, para el cual

    \[\vecs ∇f(x_0,y_0)=λ\vecs ∇g(x_0,y_0). \nonumber \]

    Prueba

    Supongamos que se produce un extremo restringido en el punto\((x_0,y_0).\) Además, asumimos que la ecuación se\(g(x,y)=0\) puede parametrizar suavemente como

    \(x=x(s) \; \text{and}\; y=y(s)\)

    donde\(s\) es un parámetro de longitud de arco con punto de referencia\((x_0,y_0)\) en\(s=0\). Por lo tanto, la cantidad\(z=f(x(s),y(s))\) tiene un máximo relativo o mínimo relativo en\(s=0\), y esto implica que\(\dfrac{dz}{ds}=0\) en ese punto. De la regla de la cadena,

    \[\begin{align*} \dfrac{dz}{ds} &=\dfrac{∂f}{∂x}⋅\dfrac{∂x}{∂s}+\dfrac{∂f}{∂y}⋅\dfrac{∂y}{∂s} \\[4pt] &=\left(\dfrac{∂f}{∂x}\hat{\mathbf i}+\dfrac{∂f}{∂y}\hat{\mathbf j}\right)⋅\left(\dfrac{∂x}{∂s}\hat{\mathbf i}+\dfrac{∂y}{∂s}\hat{\mathbf j}\right)\\[4pt] &=0, \end{align*}\]

    donde se evalúan todos los derivados\(s=0\). Sin embargo, el primer factor en el producto de punto es el gradiente de\(f\), y el segundo factor es el vector tangente unitario\(\vec{\mathbf T}(0)\) a la curva de restricción. Dado que el punto\((x_0,y_0)\) corresponde a\(s=0\), de esta ecuación se deduce que

    \[\vecs ∇f(x_0,y_0)⋅\vecs{\mathbf T}(0)=0, \nonumber \]

    lo que implica que el gradiente es el vector cero\(\vecs 0\) o es normal a la curva de restricción en un extremo relativo restringido. Sin embargo, la curva de restricción\(g(x,y)=0\) es una curva de nivel para la función de\(g(x,y)\) modo que si\(\vecs ∇g(x_0,y_0)≠0\) entonces\(\vecs ∇g(x_0,y_0)\) es normal a esta curva en\((x_0,y_0)\) Se deduce, entonces, que hay algún escalar\(λ\) tal que

    \[\vecs ∇f(x_0,y_0)=λ\vecs ∇g(x_0,y_0) \nonumber \]

    \(\square\)

    Para aplicar el Teorema\(\PageIndex{1}\) a un problema de optimización similar al del fabricante de pelotas de golf, necesitamos una estrategia de resolución de problemas.

    Estrategia de resolución de problemas: pasos para usar multiplicadores Lagrange
    1. Determinar la función objetiva\(f(x,y)\) y la función de restricción\(g(x,y).\) ¿El problema de optimización implica maximizar o minimizar la función objetiva?
    2. Configura un sistema de ecuaciones usando la siguiente plantilla:\[\begin{align} \vecs ∇f(x_0,y_0) &=λ\vecs ∇g(x_0,y_0) \\[4pt] g(x_0,y_0) &=0 \end{align}. \nonumber \]
    3. Resolver para\(x_0\) y\(y_0\).
    4. El mayor de los valores de\(f\) a las soluciones encontradas en paso\(3\) maximiza\(f\); el más pequeño de esos valores minimiza\(f\).
    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Using Lagrange Multipliers

    Utilice el método de multiplicadores Lagrange para encontrar el valor mínimo de\(f(x,y)=x^2+4y^2−2x+8y\) sujeto a la restricción\(x+2y=7.\)

    Solución

    Sigamos la estrategia de resolución de problemas:

    1. La función objetiva es\(f(x,y)=x^2+4y^2−2x+8y.\) Para determinar la función de restricción, primero debemos restar\(7\) de ambos lados de la restricción. Esto da\(x+2y−7=0.\) La función de restricción es igual al lado izquierdo, entonces\(g(x,y)=x+2y−7\). El problema nos pide resolver por el valor mínimo de\(f\), sujeto a la restricción (Figura\(\PageIndex{3}\)).

    Dos elipses giradas, una dentro de la otra. En la elipse más grande, que está marcada f (x, y) = 26, hay una línea tangente marcada con la ecuación x + 2y = 7 que parece tocar la elipse cerca (5, 1).
    Figura\(\PageIndex{3}\): Gráfica de curvas de nivel de la función\(f(x,y)=x^2+4y^2−2x+8y\) correspondiente a\(c=10\) y\(26\). El gráfico rojo es la función de restricción.

    2. Luego debemos calcular los gradientes de ambos\(f\) y\(g\):

    \[\begin{align*} \vecs \nabla f \left( x, y \right) &= \left( 2x - 2 \right) \hat{\mathbf{i}} + \left( 8y + 8 \right) \hat{\mathbf{j}} \\ \vecs \nabla g \left( x, y \right) &= \hat{\mathbf{i}} + 2 \hat{\mathbf{j}}. \end{align*}\]

    La ecuación\(\vecs \nabla f \left( x_0, y_0 \right) = \lambda \vecs \nabla g \left( x_0, y_0 \right)\) se convierte en

    \[\left( 2 x_0 - 2 \right) \hat{\mathbf{i}} + \left( 8 y_0 + 8 \right) \hat{\mathbf{j}} = \lambda \left( \hat{\mathbf{i}} + 2 \hat{\mathbf{j}} \right), \nonumber \]

    que se puede reescribir como

    \[\left( 2 x_0 - 2 \right) \hat{\mathbf{i}} + \left( 8 y_0 + 8 \right) \hat{\mathbf{j}} = \lambda \hat{\mathbf{i}} + 2 \lambda \hat{\mathbf{j}}. \nonumber \]

    A continuación, establecemos los coeficientes de\(\hat{\mathbf{i}}\) e\(\hat{\mathbf{j}}\) iguales entre sí:

    \[\begin{align*} 2 x_0 - 2 &= \lambda \\ 8 y_0 + 8 &= 2 \lambda. \end{align*}\]

    La ecuación\(g \left( x_0, y_0 \right) = 0\) se convierte\(x_0 + 2 y_0 - 7 = 0\). Por lo tanto, el sistema de ecuaciones que hay que resolver es

    \[\begin{align*} 2 x_0 - 2 &= \lambda \\ 8 y_0 + 8 &= 2 \lambda \\ x_0 + 2 y_0 - 7 &= 0. \end{align*}\]

    3. Se trata de un sistema lineal de tres ecuaciones en tres variables. Comenzamos resolviendo la segunda ecuación\(λ\) y sustituyéndola por la primera ecuación. Esto da\(λ=4y_0+4\), por lo que sustituyendo esto en la primera ecuación da\[2x_0−2=4y_0+4.\nonumber \] Resolver esta ecuación para\(x_0\) da\(x_0=2y_0+3\). Luego sustituimos esto en la tercera ecuación:

    \[\begin{align*} (2y_0+3)+2y_0−7 =0 \\[4pt]4y_0−4 =0 \\[4pt]y_0 =1. \end{align*}\]

    Ya que\(x_0=2y_0+3,\) esto da\(x_0=5.\)

    4. A continuación, evaluamos\(f(x,y)=x^2+4y^2−2x+8y\) en el punto\((5,1)\),\[f(5,1)=5^2+4(1)^2−2(5)+8(1)=27. \nonumber \] Para asegurar que esto corresponda a un valor mínimo en la función de restricción, probemos algunos otros puntos en la restricción desde cualquier lado del punto\((5,1)\), como las intercepciones de\(g(x,y)=0\), Que son\((7,0)\) y\((0,3.5)\).

    Obtenemos\(f(7,0)=35 \gt 27\) y\(f(0,3.5)=77 \gt 27\).

    Entonces parece que\(f\) tiene un mínimo relativo de\(27\) at\((5,1)\), sujeto a la restricción dada.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Utilice el método de multiplicadores Lagrange para encontrar el valor máximo de

    \[f(x,y)=9x^2+36xy−4y^2−18x−8y \nonumber \]

    sujeto a la restricción\(3x+4y=32.\)

    Pista

    Utilizar la estrategia de resolución de problemas para el método de multiplicadores Lagrange.

    Contestar

    Sujeto a la restricción dada,\(f\) tiene un valor máximo de\(976\) en el punto\((8,2)\).

    Volvamos ahora al problema planteado al inicio de la sección.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Golf Balls and Lagrange Multipliers

    El fabricante de pelotas de golf, Pro-T, ha desarrollado un modelo de ganancias que depende\(x\) del número de pelotas de golf vendidas al mes (medido en miles), y del número de horas al mes de publicidad y, según la función

    \[z=f(x,y)=48x+96y−x^2−2xy−9y^2, \nonumber \]

    donde\(z\) se mide en miles de dólares. La función de restricción presupuestal que relaciona el costo de la producción de miles de pelotas de golf y unidades publicitarias viene dada por\(20x+4y=216.\) Encuentra los valores de\(x\) y\(y\) que maximizan el beneficio, y encuentra el beneficio máximo.

    Solución:

    Nuevamente, seguimos la estrategia de resolución de problemas:

    1. La función objetiva es\(f(x,y)=48x+96y−x^2−2xy−9y^2.\) Para determinar la función de restricción, primero restamos\(216\) de ambos lados de la restricción, luego dividimos ambos lados por\(4\), lo que da\(5x+y−54=0.\) La función de restricción es igual al lado izquierdo, entonces\(g(x,y)=5x+y−54.\) El problema nos pide resolver para el valor máximo de\(f\), sujeto a esta restricción.
    2. Entonces, calculamos los gradientes de ambos\(f\) y\(g\):\[\begin{align*} \vecs ∇f(x,y) &=(48−2x−2y)\hat{\mathbf i}+(96−2x−18y)\hat{\mathbf j}\\[4pt]\vecs ∇g(x,y) &=5\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}. \end{align*}\] La ecuación\(\vecs ∇f(x_0,y_0)=λ\vecs ∇g(x_0,y_0)\) se convierte en la\[(48−2x_0−2y_0)\hat{\mathbf i}+(96−2x_0−18y_0)\hat{\mathbf j}=λ(5\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}),\nonumber \] cual se puede reescribir a medida que luego\[(48−2x_0−2y_0)\hat{\mathbf i}+(96−2x_0−18y_0)\hat{\mathbf j}=λ5\hat{\mathbf i}+λ\hat{\mathbf j}.\nonumber \] establecemos los coeficientes de\(\hat{\mathbf i}\) e\(\hat{\mathbf j}\) iguales entre sí:\[\begin{align*} 48−2x_0−2y_0 =5λ \\[4pt] 96−2x_0−18y_0 =λ. \end{align*}\] La ecuación\(g(x_0,y_0)=0\) se vuelve\(5x_0+y_0−54=0\). Por lo tanto, el sistema de ecuaciones que hay que resolver es\[\begin{align*} 48−2x_0−2y_0 =5λ \\[4pt] 96−2x_0−18y_0 =λ \\[4pt]5x_0+y_0−54 =0. \end{align*}\]
    3. Usamos el lado izquierdo de la segunda ecuación para reemplazar\(λ\) en la primera ecuación:\[\begin{align*} 48−2x_0−2y_0 &=5(96−2x_0−18y_0) \\[4pt]48−2x_0−2y_0 &=480−10x_0−90y_0 \\[4pt] 8x_0 &=432−88y_0 \\[4pt] x_0 &=54−11y_0. \end{align*}\] Luego sustituimos esto en la tercera ecuación:\[\begin{align*} 5(54−11y_0)+y_0−54 &=0\\[4pt] 270−55y_0+y_0-54 &=0\\[4pt]216−54y_0 &=0 \\[4pt]y_0 &=4. \end{align*}\] Ya que\(x_0=54−11y_0,\) esto da\(x_0=10.\)
    4. Luego sustituimos\((10,4)\) en\(f(x,y)=48x+96y−x^2−2xy−9y^2,\) qué da\[\begin{align*} f(10,4) &=48(10)+96(4)−(10)^2−2(10)(4)−9(4)^2 \\[4pt] &=480+384−100−80−144 \\[4pt] &=540.\end{align*}\] Por lo tanto el beneficio máximo que se puede lograr, sujeto a limitaciones presupuestales, es\($540,000\) con un nivel de producción de pelotas de\(10,000\) golf y\(4\) horas de publicidad compradas al mes. Vamos a verificar para asegurarnos de que esto realmente es un máximo. Los puntos finales de la línea que define la restricción son\((10.8,0)\) y\((0,54)\) Vamos\(f\) a evaluar en ambos puntos:\[\begin{align*} f(10.8,0) &=48(10.8)+96(0)−10.8^2−2(10.8)(0)−9(0^2) \\[4pt] &=401.76 \\[4pt] f(0,54) &=48(0)+96(54)−0^2−2(0)(54)−9(54^2) \\[4pt] &=−21,060. \end{align*}\] El segundo valor representa una pérdida, ya que no se producen pelotas de golf. Ninguno de estos valores supera\(540\), por lo que parece que nuestro extremo es un valor máximo de\(f\), sujeto a la restricción dada.
    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Optimizing the Cobb-Douglas function

    Una empresa ha determinado que su nivel de producción viene dado por la función Cobb-Douglas\(f(x,y)=2.5x^{0.45}y^{0.55}\) donde\(x\) representa el número total de horas de trabajo en el\(1\) año y\(y\) representa el insumo de capital total para la compañía. Supongamos\(1\) unidad de costos de mano de obra\($40\) y\(1\) unidad de costos de capital\($50\). Utilizar el método de multiplicadores Lagrange para encontrar el valor máximo de\(f(x,y)=2.5x^{0.45}y^{0.55}\) sujeto a una restricción\($500,000\) presupuestal de por año.

    Pista

    Utilizar la estrategia de resolución de problemas para el método de multiplicadores Lagrange.

    Contestar

    Sujeto a la restricción dada,\(13890\) se produce un nivel máximo de producción con horas de\(5625\) trabajo y\($5500\) de insumo total de capital.

    En el caso de una función objetiva con tres variables y una sola función de restricción, también es posible utilizar el método de multiplicadores Lagrange para resolver un problema de optimización. Un ejemplo de una función objetiva con tres variables podría ser la función Cobb-Douglas en Ejercicio\(\PageIndex{2}\):\(f(x,y,z)=x^{0.2}y^{0.4}z^{0.4},\) donde\(x\) representa el costo de la mano de obra,\(y\) representa el insumo de capital y\(z\) representa el costo de la publicidad. El método es el mismo que para el método con una función de dos variables; las ecuaciones a resolver son

    \[\begin{align*} \vecs ∇f(x,y,z) &=λ\vecs ∇g(x,y,z) \\[4pt] g(x,y,z) &=0. \end{align*}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Lagrange Multipliers with a Three-Variable objective function

    Maximizar la función\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\) sujeta a la restricción\(x+y+z=1.\)

    Solución

    1. La función objetiva es\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2.\) Para determinar la función de restricción, restamos\(1\) de cada lado de la restricción:\(x+y+z−1=0\) que da la función de restricción como\(g(x,y,z)=x+y+z−1.\)

    2. A continuación, calculamos\(\vecs ∇f(x,y,z)\) y\(\vecs ∇g(x,y,z):\)\[\begin{align*} \vecs ∇f(x,y,z) &=⟨2x,2y,2z⟩ \\[4pt] \vecs ∇g(x,y,z) &=⟨1,1,1⟩. \end{align*}\] Esto lleva a las ecuaciones\[\begin{align*} ⟨2x_0,2y_0,2z_0⟩ &=λ⟨1,1,1⟩ \\[4pt] x_0+y_0+z_0−1 &=0 \end{align*}\] que se pueden reescribir en la siguiente forma:\[\begin{align*} 2x_0 &=λ\\[4pt] 2y_0 &=λ \\[4pt] 2z_0 &=λ \\[4pt] x_0+y_0+z_0−1 &=0. \end{align*}\]

    3. Dado que cada una de las tres primeras ecuaciones tiene\(λ\) en el lado derecho, lo sabemos\(2x_0=2y_0=2z_0\) y las tres variables son iguales entre sí. Sustituyendo\(y_0=x_0\) y\(z_0=x_0\) en la última ecuación rinde\(3x_0−1=0,\) así\(x_0=\frac{1}{3}\) y\(y_0=\frac{1}{3}\) y\(z_0=\frac{1}{3}\) que corresponde a un punto crítico en la curva de restricción.

    4. Entonces, evaluamos\(f\) en el punto\(\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)\):\[f\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3} \nonumber \] Por lo tanto, un posible extremo de la función es\(\frac{1}{3}\). Para verificar que sea un mínimo, elija otros puntos que satisfagan la restricción desde cualquiera de los lados del punto que obtuvimos anteriormente y calcule\(f\) en esos puntos. Por ejemplo,\[\begin{align*} f(1,0,0) &=1^2+0^2+0^2=1 \\[4pt] f(0,−2,3) &=0^2++(−2)^2+3^2=13. \end{align*}\] Ambos de estos valores son mayores que\(\frac{1}{3}\), llevándonos a creer que el extremo es un mínimo, sujeto a la restricción dada.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Usa el método de los multiplicadores Lagrange para encontrar el valor mínimo de la función

    \[f(x,y,z)=x+y+z \nonumber \]

    sujeto a la restricción\(x^2+y^2+z^2=1.\)

    Pista

    Utilizar la estrategia de resolución de problemas para el método de multiplicadores Lagrange con una función objetiva de tres variables.

    Contestar

    Evaluando\(f\) en ambos puntos que obtuvimos, nos da,\[\begin{align*} f\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) =\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3} \\ f\left(−\dfrac{\sqrt{3}}{3},−\dfrac{\sqrt{3}}{3},−\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) =−\dfrac{\sqrt{3}}{3}−\dfrac{\sqrt{3}}{3}−\dfrac{\sqrt{3}}{3}=−\sqrt{3}\end{align*}\] Dado que la restricción es continua, comparamos estos valores y concluimos que\(f\) tiene un mínimo relativo de\(−\sqrt{3}\) en el punto\(\left(−\dfrac{\sqrt{3}}{3},−\dfrac{\sqrt{3}}{3},−\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\), sujeto a la restricción dada.

    Problemas con dos restricciones

    El método de los multiplicadores Lagrange se puede aplicar a problemas con más de una restricción. En este caso la función objetiva,\(w\) es una función de tres variables:

    \[w=f(x,y,z) \nonumber \]

    y está sujeto a dos limitaciones:

    \[g(x,y,z)=0 \; \text{and} \; h(x,y,z)=0. \nonumber \]

    Hay dos multiplicadores Lagrange,\(λ_1\) y\(λ_2\), y el sistema de ecuaciones se convierte

    \[\begin{align*} \vecs ∇f(x_0,y_0,z_0) &=λ_1\vecs ∇g(x_0,y_0,z_0)+λ_2\vecs ∇h(x_0,y_0,z_0) \\[4pt] g(x_0,y_0,z_0) &=0\\[4pt] h(x_0,y_0,z_0) &=0 \end{align*}\]

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Lagrange Multipliers with Two Constraints

    Encuentra los valores máximos y mínimos de la función

    \[f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 \nonumber \]

    sujeto a las limitaciones\(z^2=x^2+y^2\) y\(x+y−z+1=0.\)

    Solución

    Sigamos la estrategia de resolución de problemas:

    1. La función objetiva es\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2.\) Para determinar las funciones de restricción, primero restamos\(z^2\) de ambos lados de la primera restricción, que da\(x^2+y^2−z^2=0\), entonces\(g(x,y,z)=x^2+y^2−z^2\). La segunda función de restricción es\(h(x,y,z)=x+y−z+1.\)
    2. Luego calculamos los gradientes de\(f,g,\) y\(h\):\[\begin{align*} \vecs ∇f(x,y,z) &=2x\hat{\mathbf i}+2y\hat{\mathbf j}+2z\hat{\mathbf k} \\[4pt] \vecs ∇g(x,y,z) &=2x\hat{\mathbf i}+2y\hat{\mathbf j}−2z\hat{\mathbf k} \\[4pt] \vecs ∇h(x,y,z) &=\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}−\hat{\mathbf k}. \end{align*}\] La ecuación\(\vecs ∇f(x_0,y_0,z_0)=λ_1\vecs ∇g(x_0,y_0,z_0)+λ_2\vecs ∇h(x_0,y_0,z_0)\) se convierte en la\[2x_0\hat{\mathbf i}+2y_0\hat{\mathbf j}+2z_0\hat{\mathbf k}=λ_1(2x_0\hat{\mathbf i}+2y_0\hat{\mathbf j}−2z_0\hat{\mathbf k})+λ_2(\hat{\mathbf i}+\hat{\mathbf j}−\hat{\mathbf k}), \nonumber \] cual se puede reescribir como\[2x_0\hat{\mathbf i}+2y_0\hat{\mathbf j}+2z_0\hat{\mathbf k}=(2λ_1x_0+λ_2)\hat{\mathbf i}+(2λ_1y_0+λ_2)\hat{\mathbf j}−(2λ_1z_0+λ_2)\hat{\mathbf k}. \nonumber \] Siguiente, establecemos los coeficientes de\(\hat{\mathbf i}\) e\(\hat{\mathbf j}\) iguales entre sí:\[\begin{align*}2x_0 &=2λ_1x_0+λ_2 \\[4pt]2y_0 &=2λ_1y_0+λ_2 \\[4pt]2z_0 &=−2λ_1z_0−λ_2. \end{align*}\] Las dos ecuaciones que surgen de las restricciones son \(z_0^2=x_0^2+y_0^2\)y\(x_0+y_0−z_0+1=0\). Combinando estas ecuaciones con las tres ecuaciones anteriores da\[\begin{align*} 2x_0 &=2λ_1x_0+λ_2 \\[4pt]2y_0 &=2λ_1y_0+λ_2 \\[4pt]2z_0 &=−2λ_1z_0−λ_2 \\[4pt]z_0^2 &=x_0^2+y_0^2 \\[4pt]x_0+y_0−z_0+1 &=0. \end{align*}\]
    3. Las tres primeras ecuaciones contienen la variable\(λ_2\). Resolver la tercera ecuación para\(λ_2\) y reemplazarla en la primera y segunda ecuaciones reduce el número de ecuaciones a cuatro:\[\begin{align*}2x_0 &=2λ_1x_0−2λ_1z_0−2z_0 \\[4pt] 2y_0 &=2λ_1y_0−2λ_1z_0−2z_0\\[4pt] z_0^2 &=x_0^2+y_0^2\\[4pt] x_0+y_0−z_0+1 &=0. \end{align*}\] A continuación, resolvemos la primera y segunda ecuación para\(λ_1\). La primera ecuación da\(λ_1=\dfrac{x_0+z_0}{x_0−z_0}\), la segunda ecuación da\(λ_1=\dfrac{y_0+z_0}{y_0−z_0}\). Establecemos el lado derecho de cada ecuación igual entre sí y multiplicamos cruzadamente:\[\begin{align*} \dfrac{x_0+z_0}{x_0−z_0} &=\dfrac{y_0+z_0}{y_0−z_0} \\[4pt](x_0+z_0)(y_0−z_0) &=(x_0−z_0)(y_0+z_0) \\[4pt]x_0y_0−x_0z_0+y_0z_0−z_0^2 &=x_0y_0+x_0z_0−y_0z_0−z_0^2 \\[4pt]2y_0z_0−2x_0z_0 &=0 \\[4pt]2z_0(y_0−x_0) &=0. \end{align*}\] Por lo tanto, cualquiera\(z_0=0\) o\(y_0=x_0\). Si\(z_0=0\), entonces la primera restricción se convierte en\(0=x_0^2+y_0^2\). La única solución real a esta ecuación es\(x_0=0\) y\(y_0=0\), que da el triple ordenado\((0,0,0)\). Este punto no satisface la segunda restricción, por lo que no es una solución. A continuación, consideramos\(y_0=x_0\), lo que reduce el número de ecuaciones a tres:\[\begin{align*}y_0 &= x_0 \\[4pt] z_0^2 &= x_0^2 +y_0^2 \\[4pt] x_0 + y_0 -z_0+1 &=0. \end{align*} \nonumber \] Sustituimos la primera ecuación en la segunda y tercera ecuaciones:\[\begin{align*} z_0^2 &= x_0^2 +x_0^2 \\[4pt] &= x_0+x_0-z_0+1 &=0. \end{align*} \nonumber \] Entonces, resolvemos la segunda ecuación para\(z_0\), que da\(z_0=2x_0+1\). Luego sustituimos esto en la primera ecuación,\[\begin{align*} z_0^2 &= 2x_0^2 \\[4pt] (2x_0^2 +1)^2 &= 2x_0^2 \\[4pt] 4x_0^2 + 4x_0 +1 &= 2x_0^2 \\[4pt] 2x_0^2 +4x_0 +1 &=0, \end{align*}\] y usamos la fórmula cuadrática para resolver para\(x_0\):\[ x_0 = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 -4(2)(1)} }{2(2)} = \dfrac{-4\pm \sqrt{8}}{4} = \dfrac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = -1 \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}. \nonumber \] Recordemos\(y_0=x_0\), así que esto también resuelve para\(y_0\). Entonces,\(z_0=2x_0+1\), entonces\[z_0 = 2x_0 +1 =2 \left( -1 \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) +1 = -2 + 1 \pm \sqrt{2} = -1 \pm \sqrt{2} . \nonumber \] Por lo tanto, hay dos soluciones de triplete ordenadas:\[\left( -1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2} , -1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2} , -1 + \sqrt{2} \right) \; \text{and} \; \left( -1 -\dfrac{\sqrt{2}}{2} , -1 -\dfrac{\sqrt{2}}{2} , -1 -\sqrt{2} \right). \nonumber \]
    4. Nosotros sustituimos\(\left(−1+\dfrac{\sqrt{2}}{2},−1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}, −1+\sqrt{2}\right) \) en\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\), que da\[\begin{align*} f\left( -1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2} , -1 + \sqrt{2} \right) &= \left( -1+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( -1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + (-1+\sqrt{2})^2 \\[4pt] &= \left( 1-\sqrt{2}+\dfrac{1}{2} \right) + \left( 1-\sqrt{2}+\dfrac{1}{2} \right) + (1 -2\sqrt{2} +2) \\[4pt] &= 6-4\sqrt{2}. \end{align*}\] Entonces, sustituimos\(\left(−1−\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -1+\sqrt{2}\right)\) en\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\), que da\[\begin{align*} f\left(−1−\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -1+\sqrt{2} \right) &= \left( -1-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( -1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + (-1-\sqrt{2})^2 \\[4pt] &= \left( 1+\sqrt{2}+\dfrac{1}{2} \right) + \left( 1+\sqrt{2}+\dfrac{1}{2} \right) + (1 +2\sqrt{2} +2) \\[4pt] &= 6+4\sqrt{2}. \end{align*}\]\(6+4\sqrt{2}\) es el valor máximo y\(6−4\sqrt{2}\) es el valor mínimo de\(f(x,y,z)\), sujeto a las restricciones dadas.
    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Usa el método de los multiplicadores Lagrange para encontrar el valor mínimo de la función

    \[f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 \nonumber \]

    sujeto a las limitaciones\(2x+y+2z=9\) y\(5x+5y+7z=29.\)

    Pista

    Utilice la estrategia de resolución de problemas para el método de multiplicadores Lagrange con dos restricciones.

    Contestar

    \(f(2,1,2)=9\)es un valor mínimo de\(f\), sujeto a las restricciones dadas.

    Conceptos clave

    • Una función objetiva combinada con una o más restricciones es un ejemplo de un problema de optimización.
    • Para resolver problemas de optimización, aplicamos el método de multiplicadores Lagrange utilizando una estrategia de resolución de problemas de cuatro pasos.

    Ecuaciones Clave

    • Método de multiplicadores Lagrange, una restricción

    \(\vecs ∇f(x_0,y_0)=λ\vecs ∇g(x_0,y_0)\)

    \(g(x_0,y_0)=0\)

    • Método de multiplicadores Lagrange, dos restricciones

    \(\vecs ∇f(x_0,y_0,z_0)=λ_1\vecs ∇g(x_0,y_0,z_0)+λ_2\vecs ∇h(x_0,y_0,z_0)\)

    \(g(x_0,y_0,z_0)=0\)

    \(h(x_0,y_0,z_0)=0\)

    Glosario

    restricción
    una desigualdad o ecuación que involucra una o más variables que se utilizan en un problema de optimización; la restricción impone un límite a las posibles soluciones para el problema
    Multiplicador Lagrange
    la constante (o constantes) utilizada en el método de los multiplicadores Lagrange; en el caso de una constante, se representa por la variable\(λ\)
    método de multiplicadores Lagrange
    un método para resolver un problema de optimización sujeto a una o más restricciones
    función objetiva
    la función que se va a maximizar o minimizar en un problema de optimización
    problema de optimización
    cálculo de un valor máximo o mínimo de una función de varias variables, a menudo usando multiplicadores Lagrange

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