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14.9: Capítulo 14 Ejercicios de revisión

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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Para los siguientes ejercicios, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1. El dominio de$$f(x,y)=x^3\arcsin(y)$$ es$$\big\{ (x,y) \, | \, x \in \mathbb R\text{ and }−\pi≤y≤\pi \big\}.$$

2. Si la función$$f(x,y)$$ es continua en todas partes, entonces$$f_{xy}(x,y) =f_{yx}(x,y).$$

Responder
Cierto, según el teorema de Clairaut

3. La aproximación lineal a la función de$$f(x,y)=5x^2+x\tan y$$ en el punto$$(2,π)$$ viene dada por$$L(x,y)=22+21(x−2)+(y−π).$$

4. $$(34,916)$$es un punto crítico de$$g(x,y)=4x^3−2x^2y+y^2−2.$$

Responder
Falso

Para los siguientes ejercicios, esboce la función en una gráfica y, en una segunda, esboce varias curvas de nivel.

5. $$f(x,y)=e^{−\left(x^2+2y^2\right)}$$

6. $$f(x,y)=x+4y^2$$

Responder

Para los siguientes ejercicios, evalúe los siguientes límites, si existen. Si no existen, probarlo.

7. $$\displaystyle \lim_{(x,y)→(1,1)}\frac{4xy}{x−2y^2}$$

8. $$\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{4xy}{x−2y^2}$$

Responder
No existe.

Para los siguientes ejercicios, encuentra el mayor intervalo de continuidad para la función.

9. $$f(x,y)=x^3\arcsin y$$

10. $$g(x,y)=\ln(4−x^2−y^2)$$

Responder
Continuo en todos los puntos del$$xy$$ plano, excepto donde$$x^2 + y^2 > 4.$$

Para los siguientes ejercicios, encuentra todas las primeras derivadas parciales.

11. $$f(x,y)=x^2−y^2$$

12. $$u(x,y)=x^4−3xy+1,$$con$$x=2t$$ y$$y=t^3$$

Responder
$$\dfrac{∂u}{∂x}=4x^3−3y,$$

$$\dfrac{∂u}{∂y}=−3x,$$

$$\dfrac{dx}{dt} = 2$$y$$\dfrac{dy}{dt} = 3t^2$$

\ (\ comenzar {alinear*}\ dfrac {du} {dt} &=\ dfrac {u} {x}\ cdot\ dfrac {dx} {dt} +\ dfrac {u} {y}\ cdot\ dfrac {dy} {dt}\\ [4pt]
&= 8x^3-6y -9xt^2\\ [4pt]
&= 8\ grande (2t\ grande) ^3 - 6 (t^3) - 9 (2t) t^2\\ [4pt]
&= 64t^3 - 6t^3 - 18t^3\\ [4pt]
&= 40t^3\ final {align*}\)

Para los siguientes ejercicios, encuentra todas las segundas derivadas parciales.

13. $$g(t,x)=3t^2−\sin(x+t)$$

14. $$h(x,y,z)=\dfrac{x^3e^{2y}}{z}$$

Responder
$$h_{xx}(x,y,z) = \dfrac{6xe^{2y}}{z},$$
$$h_{xy}(x,y,z) = \dfrac{6x^2e^{2y}}{z},$$
$$h_{xz}(x,y,z) = −\dfrac{3x^2e^{2y}}{z^2},$$
$$h_{yx}(x,y,z) = \dfrac{6x^2e^{2y}}{z},$$
$$h_{yy}(x,y,z) = \dfrac{4x^3e^{2y}}{z},$$
$$h_{yz}(x,y,z) = −\dfrac{2x^3e^{2y}}{z^2},$$
$$h_{zx}(x,y,z) = −\dfrac{3x^2e^{2y}}{z^2},$$
$$h_{zy}(x,y,z) = −\dfrac{2x^3e^{2y}}{z^2},$$
$$h_{zz}(x,y,z) = \dfrac{2x^3e^{2y}}{z^3}$$

Para los siguientes ejercicios, busque la ecuación del plano tangente a la superficie especificada en el punto dado.

15. $$z=x^3−2y^2+y−1$$en punto$$(1,1,−1)$$

16. $$z=e^x+\dfrac{2}{y}$$en punto$$(0,1,3)$$

Contestar
$$z = x - 2y + 5$$

17. Aproximado$$f(x,y)=e^{x^2}+\sqrt{y}$$ en$$(0.1,9.1).$$ Anota tu función de aproximación lineal$$L(x,y).$$ ¿Qué tan precisa es la aproximación a la respuesta exacta, redondeada a cuatro dígitos?

18. Encuentra el diferencial$$dz$$ de$$h(x,y)=4x^2+2xy−3y$$ y aproximado$$Δz$$ en el punto$$(1,−2).$$ Let$$Δx=0.1$$ y$$Δy=0.01.$$

Contestar
$$dz=4\,dx−dy, \; dz(0.1,0.01)=0.39, \; Δz = 0.432$$

19. Encuentra la derivada direccional de$$f(x,y)=x^2+6xy−y^2$$ en la dirección$$\vecs v=\mathbf{\hat i}+4\,\mathbf{\hat j}.$$

20. Encuentre la magnitud y dirección de la derivada direccional máxima para la función$$f(x,y)=x^3+2xy−\cos(πy)$$ en el punto$$(3,0).$$

Contestar
$$3\sqrt{85}\langle 27, 6\rangle$$

Para los siguientes ejercicios, encuentra el gradiente.

21. $$c(x,t)=e(t−x)^2+3\cos t$$

22. $$f(x,y)=\dfrac{\sqrt{x}+y^2}{xy}$$

Contestar
$$\vecs \nabla f(x, y) = -\dfrac{\sqrt{x}+2y^2}{2x^2y}\,\mathbf{\hat i} + \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}y^2} \right) \,\mathbf{\hat j}$$

Para el siguiente ejercicio, encontrar y clasificar los puntos críticos.

23. $$z=x^3−xy+y^2−1$$

Para los siguientes ejercicios, use multiplicadores Lagrange para encontrar los valores máximo y mínimo para las funciones con las restricciones dadas.

24. $$f(x,y)=x^2y,$$sujeto a la restricción:$$x^2+y^2=4$$

Contestar
máximo:$$\dfrac{16}{3\sqrt{3}},$$ mínimo:$$-\dfrac{16}{3\sqrt{3}},$$

25. $$f(x,y)=x^2−y^2,$$sujeto a la restricción:$$x+6y=4$$

26. Un maquinista está construyendo un cono circular derecho a partir de un bloque de aluminio. La máquina da un error$$5\%$$ de altura y$$2\%$$ radio. Encuentra el error máximo en el volumen del cono si el maquinista crea un cono de altura$$6$$ cm y radio$$2$$ cm.

Contestar
$$2.3228$$cm 3

27. Un compactador de basura tiene la forma de un cuboide. Supongamos que el compactador de basura está lleno de líquido incompresible. La longitud y el ancho están disminuyendo a velocidades de$$2$$ pies/seg y$$3$$ pies/seg, respectivamente. Encuentre la velocidad a la que aumenta el nivel de líquido cuando la longitud es$$14$$ ft, el ancho es$$10$$ ft y la altura es$$4$$ ft.

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