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# 15.2E: Ejercicios para la Sección 15.2

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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1) La región$$D$$ delimitada por$$y = x^3, \space y = x^3 + 1, \space x = 0,$$ y$$x = 1$$ como se da en la siguiente figura.

a. Clasificar esta región como vertical simple (Tipo I) u horizontalmente simple (Tipo II).

Tipo:
Tipo I pero no Tipo II

b. Encontrar el área de la región$$D$$.

c. Find the average value of the function $$f(x,y) = 3xy$$ on the region graphed in the previous exercise.

$$\frac{27}{20}$$

2) The region $$D$$ bounded by $$y = \sin x, \space y = 1 + \sin x, \space x = 0$$, and $$x = \frac{\pi}{2}$$ as given in the following figure.

a. Clasificar esta región como vertical simple (Tipo I) u horizontalmente simple (Tipo II).

Tipo:
Tipo I pero no Tipo II

b. Encontrar la zona de la región$$D$$.

Contestar
$$\frac{\pi}{2}\, \text{units}^2$$

c. Encuentra el valor promedio de la función$$f(x,y) = \cos x$$ en la región$$D$$.

3) La región$$D$$ delimitada por$$x = y^2 - 1$$ y$$x = \sqrt{1 - y^2}$$ como se da en la siguiente figura.

a. Clasificar esta región como vertical simple (Tipo I) u horizontalmente simple (Tipo II).

Tipo:
Tipo II pero no Tipo I

b. Encuentra el volumen del sólido bajo la gráfica de la función$$f(x,y) = xy + 1$$ and above the region $$D$$.

$$\frac{1}{6}(8 + 3\pi)\, \text{units}^3$$

4) The region $$D$$ bounded by $$y = 0, \space x = -10 + y,$$ and $$x = 10 - y$$ as given in the following figure.

a. Clasificar esta región como vertical simple (Tipo I) u horizontalmente simple (Tipo II).

Tipo:
Tipo II pero no Tipo I

b. encontrar el volumen del sólido bajo la gráfica de la función$$f(x,y) = x + y$$ y por encima de la región en la figura del ejercicio anterior.

Contestar
$$\frac{1000}{3}\, \text{units}^3$$

5) La región$$D$$ delimitada por$$y = 0, \space x = y - 1, \space x = \frac{\pi}{2}$$ como se indica en la siguiente figura.

Clasificar esta región como vertical simple (Tipo I) u horizontalmente simple (Tipo II).

Tipo:
Tipo I y Tipo II

6) La región$$D$$ bounded by $$y = 0$$ and $$y = x^2 - 1$$ as given in the following figure.

Clasificar esta región como vertical simple (Tipo I) u horizontalmente simple (Tipo II).

Tipo:
Tipo I y Tipo II

7) Dejar$$D$$ ser la región delimitada por las curvas de ecuaciones$$y = \cos x$$ y$$y = 4 - x^2$$ y el$$x$$ eje -eje. Explique por qué no$$D$$ es ni de Tipo I ni de II.

Contestar
La región no$$D$$ es de Tipo I: no se encuentra entre dos líneas verticales y las gráficas de dos funciones continuas$$g_1(x)$$ y$$g_2(x)$$. La región no es de Tipo II: no se encuentra entre dos líneas horizontales y las gráficas de dos funciones continuas$$h_1(y)$$ y$$h_2(y)$$.

8) Dejar$$D$$ ser la región delimitada por las curvas de ecuaciones$$y = x, \space y = -x$$ y$$y = 2 - x^2$$. Explique por qué no$$D$$ es ni de Tipo I ni de II.

En los ejercicios 9 - 14, evaluar la doble integral$$\displaystyle \iint_D f(x,y) \,dA$$ sobre la región$$D$$.

9)$$f(x,y) = 1$$ y

$$D = \big\{(x,y)| \, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \space \sin x \leq y \leq 1 + \sin x \big\}$$

Contestar
$$\frac{\pi}{2}$$

10)$$f(x,y) = 2$$ y

$$D = \big\{(x,y)| \, 0 \leq y \leq 1, \space y - 1 \leq x \leq \arccos y \big\}$$

11)$$f(x,y) = xy$$ y

$$D = \big\{(x,y)| \, -1 \leq y \leq 1, \space y^2 - 1 \leq x \leq \sqrt{1 - y^2} \big\}$$

Contestar
$$0$$

12)$$f(x,y) = \sin y$$ y$$D$$ es la región triangular con vértices$$(0,0), \space (0,3)$$, y$$(3,0)$$

13)$$f(x,y) = -x + 1$$ y$$D$$ es la región triangular con vértices$$(0,0), \space (0,2)$$, y$$(2,2)$$

Contestar
$$\frac{2}{3}$$

14)$$f(x,y) = 2x + 4y$$ y

$$D = \big\{(x,y)|\, 0 \leq x \leq 1, \space x^3 \leq y \leq x^3 + 1 \big\}$$

En los ejercicios 15 - 20, evaluar las integrales iteradas.

15)$$\displaystyle \int_0^1 \int_{2\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}+1} (xy + 1) \,dy \space dx$$

Contestar
$$\frac{41}{20}$$

16)$$\displaystyle \int_0^3 \int_{2x}^{3x} (x + y^2) \,dy \space dx$$

17)$$\displaystyle \int_1^2 \int_{-u^2-1}^{-u} (8 uv) \,dv \space du$$

Contestar
$$-63$$

18)$$\displaystyle \int_e^{e^2} \int_{\ln u}^2 (v + \ln u) \,dv \space du$$

19)$$\displaystyle \int_0^{1/2} \int_{-\sqrt{1-4y^2}}^{\sqrt{1-4y^2}} 4 \,dx \space dy$$

Contestar
$$\pi$$

20)$$\displaystyle \int_0^1 \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} (2x + 4y^3) \,dx \space dy$$

21) Dejemos$$D$$ ser la región delimitada por$$y = 1 - x^2, \space y = 4 - x^2$$, y los ejes$$x$$ - y$$y$$ -ejes.

a. Demostrar que$$\displaystyle \iint_D x\,dA = \int_0^1 \int_{1-x^2}^{4-x^2} x \space dy \space dx + \int_1^2 \int_0^{4-x^2} x \space dy \space dx$$ dividiendo la región$$D$$ en dos regiones de Tipo I.

b. Evaluar la integral$$\displaystyle \iint_D x \,dA.$$

22) Dejar$$D$$ ser la región delimitada por$$y = 1, \space y = x, \space y = \ln x$$, y el$$x$$ -eje.

a. mostrar que$$\displaystyle \iint_D y^2 \,dA = \int_{-1}^0 \int_{-x}^{2-x^2} y^2 dy \space dx + \int_0^1 \int_x^{2-x^2} y^2 dy \space dx$$ dividiendo la región$$D$$ en dos regiones de Tipo I, donde$$D = \big\{(x,y)\,|\,y \geq x, y \geq -x, \space y \leq 2-x^2\big\}$$.

b. Evaluar la integral$$\displaystyle \iint_D y^2 \,dA.$$

23)$$D$$ Sea la región delimitada por$$y = x^2$$,$$y = x + 2$$, y$$y = -x$$.

a. Demostrar que$$\displaystyle \iint_D x \, dA = \int_0^1 \int_{-y}^{\sqrt{y}} x \space dx \space dy + \int_1^4 \int_{y-2}^{\sqrt{y}} x \space dx \space dy$$ dividiendo la región$$D$$ en dos regiones de Tipo II, donde$$D = \big\{(x,y)\,|\,y \geq x^2, \space y \geq -x, \space y \leq x + 2\big\}$$.

b. Evaluar la integral$$\displaystyle \iint_D x \,dA.$$

Contestar
a. Las respuestas pueden variar;
b.$$\frac{8}{12}$$

24) La región$$D$$ delimitada por$$x = 0, y = x^5 + 1$$, y$$y = 3 - x^2$$ se muestra en la siguiente figura. Encuentra la zona$$A(D)$$ de la región$$D$$.

25) La región$$D$$ bounded by $$y = \cos x, \space y = 4 + \cos x$$, and $$x = \pm \frac{\pi}{3}$$ is shown in the following figure. Find the area $$A(D)$$ of the region $$D$$.

Contestar
$$\frac{8\pi}{3}$$

26) Encontrar la zona$$A(D)$$ de la región$$D = \big\{(x,y)| \, y \geq 1 - x^2, y \leq 4 - x^2, \space y \geq 0, \space x \geq 0 \big\}$$.

27) Dejar$$D$$ ser la región delimitada por$$y = 1, \space y = x, \space y = \ln x$$, y el$$x$$ -eje. Encuentra la zona$$A(D)$$ de la región$$D$$.

Contestar
$$\left(e - \frac{3}{2}\right)\, \text{units}^2$$

28) Encontrar el valor promedio de la función$$f(x,y) = \sin y$$ en la región triangular con vértices$$(0,0), \space (0,3)$$, y$$(3,0)$$.

29) Encontrar el valor promedio de la función$$f(x,y) = -x + 1$$ en la región triangular con vértices$$(0,0), \space (0,2)$$, y$$(2,2)$$.

Contestar
El valor promedio de$$f$$ en esta región triangular es$$\frac{1}{3}.$$

En los ejercicios 30 - 33, cambiar el orden de integración y evaluar la integral.

30)$$\displaystyle \int_{-1}^{\pi/2} \int_0^{x+1} \sin x \, dy \, dx$$

31)$$\displaystyle \int_0^1 \int_{x-1}^{1-x} x \, dy \, dx$$

Contestar
$$\displaystyle \int_0^1 \int_{x-1}^{1-x} x \space dy \space dx = \int_{-1}^0 \int_0^{y+1} x \space dx \space dy + \int_0^1 \int_0^{1-y} x \space dx \space dy = \frac{1}{3}$$

32)$$\displaystyle \int_{-1}^0 \int_{-\sqrt{y+1}}^{\sqrt{y+1}} y^2 dx \space dy$$

33)$$\displaystyle \int_{-1/2}^{1/2} \int_{-\sqrt{y^2+1}}^{\sqrt{y^2+1}} y \space dx \space dy$$

Contestar
$$\displaystyle \int_{-1/2}^{1/2} \int_{-\sqrt{y^2+1}}^{\sqrt{y^2+1}} y \space dx \space dy = \int_1^2 \int_{-\sqrt{x^2-1}}^{\sqrt{x^2-1}} y \space dy \space dx = 0$$

34) La región$$D$$ se muestra en la siguiente figura. Evaluar la doble integral$$\displaystyle \iint_D (x^2 + y) \,dA$$ utilizando el orden de integración más fácil.

35) La región$$D$$ is shown in the following figure. Evaluate the double integral $$\displaystyle \iint_D (x^2 - y^2) \,dA$$ by using the easier order of integration.

Contestar
$$\displaystyle \iint_D (x^2 - y^2) dA = \int_{-1}^1 \int_{y^4-1}^{1-y^4} (x^2 - y^2)dx \space dy = \frac{464}{4095}$$

36) Encuentra el volumen del sólido bajo la superficie$$z = 2x + y^2$$ y por encima de la región delimitada por$$y = x^5$$ y$$y = x$$.

37) Encontrar el volumen del sólido bajo el plano$$z = 3x + y$$ y por encima de la región determinada por$$y = x^7$$ y$$y = x$$.

Contestar
$$\frac{4}{5}\, \text{units}^3$$

38) Encontrar el volumen del sólido bajo el plano$$z = 3x + y$$ y por encima de la región delimitada por$$x = \tan y, \space x = -\tan y$$, y$$x = 1$$.

39) Encuentra el volumen del sólido debajo de la superficie$$z = x^3$$ y por encima de la región plana delimitada por$$x = \sin y, \space x = -\sin y$$, y$$x = 1$$.

Contestar
$$\frac{5\pi}{32}\, \text{units}^3$$

40) Dejar$$g$$ ser una función positiva, creciente y diferenciable en el intervalo$$[a,b]$$. Mostrar que el volumen del sólido bajo la superficie$$z = g'(x)$$ y por encima de la región delimitada por$$y = 0, \space y = g(x), \space x = a$$, y$$x = b$$ está dada por$$\frac{1}{2}(g^2 (b) - g^2 (a))$$.

41) Dejar$$g$$ ser una función positiva, creciente y diferenciable en el intervalo$$[a,b]$$ y dejar$$k$$ ser un número real positivo. Mostrar que el volumen del sólido bajo la superficie$$z = g'(x)$$ y por encima de la región delimitada por$$y = g(x), \space y = g(x) + k, \space x = a$$, y$$x = b$$ está dado por$$k(g(b) - g(a)).$$

42) Encontrar el volumen del sólido situado en el primer octante y determinado por los planos$$z = 2$$,$$z = 0, \space x + y = 1, \space x = 0$$, y$$y = 0$$.

43) Encontrar el volumen del sólido situado en el primer octante y delimitado por los planos$$x + 2y = 1$$,$$x = 0, \space z = 4$$, y$$z = 0$$.

Contestar
$$1\, \text{units}^3$$

44) Encontrar el volumen del sólido delimitado por los planos$$x + y = 1, \space x - y = 1, \space x = 0, \space z = 0$$, y$$z = 10$$.

45) Encontrar el volumen del sólido delimitado por los planos$$x + y = 1, \space x - y = 1, \space x + y = -1\space x - y = -1, \space z = 1$$, y$$z = 0$$

Contestar
$$2\, \text{units}^3$$

46) Dejar$$S_1$$ y$$S_2$$ ser los sólidos situados en el primer octante bajo los planos$$x + y + z = 1$$ y$$x + y + 2z = 1$$ respectivamente, y dejar que$$S$$ sea el sólido situado entre$$S_1, \space S_2, \space x = 0$$, y$$y = 0$$.

1. Encuentra el volumen del sólido$$S_1$$.
2. Encuentra el volumen del sólido$$S_2$$.
3. Encontrar el volumen del sólido$$S$$ restando los volúmenes de los sólidos$$S_1$$ y$$S_2$$.

47) Dejar$$S_1$$ y$$S_2$$ ser los sólidos situados en el primer octante bajo los planos$$2x + 2y + z = 2$$ y$$x + y + z = 1$$ respectivamente, y dejar que$$S$$ sea el sólido situado entre$$S_1, \space S_2, \space x = 0$$, y$$y = 0$$.

1. Encuentra el volumen del sólido$$S_1$$.
2. Encuentra el volumen del sólido$$S_2$$.
3. Encontrar el volumen del sólido$$S$$ restando los volúmenes de los sólidos$$S_1$$ y$$S_2$$.
Contestar
a.$$\frac{1}{3}\, \text{units}^3$$
b.$$\frac{1}{6}\, \text{units}^3$$
c.$$\frac{1}{6}\, \text{units}^3$$

48) Dejar$$S_1$$ y$$S_2$$ ser los sólidos situados en el primer octante bajo el plano$$x + y + z = 2$$ y debajo de la esfera$$x^2 + y^2 + z^2 = 4$$, respectivamente. Si el volumen del sólido$$S_2$$ es$$\frac{4\pi}{3}$$ determinar el volumen del sólido$$S$$ situado entre$$S_1$$ y$$S_2$$ restando los volúmenes de estos sólidos.

49) Dejar$$S_1$$ y$$S_2$$ ser los sólidos situados en el primer octante bajo el plano$$x + y + z = 2$$ y delimitados por el cilindro$$x^2 + y^2 = 4$$, respectivamente.

1. Encuentra el volumen del sólido$$S_1$$.
2. Encuentra el volumen del sólido$$S_2$$.
3. Encontrar el volumen del sólido$$S$$ situado entre$$S_1$$ y$$S_2$$ restando los volúmenes de los sólidos$$S_1$$ y$$S_2$$.
Contestar
a.$$\frac{4}{3}\, \text{units}^3$$
b.$$2\pi\, \text{units}^3$$
c.$$\frac{6\pi - 4}{3}\, \text{units}^3$$

50) [T] La siguiente figura muestra la región$$D$$ delimitada por las curvas$$y = \sin x, \space x = 0$$, y$$y = x^4$$. Utilice una calculadora gráfica o CAS para encontrar las$$x$$ coordenadas de los puntos de intersección de las curvas y determinar el área de la región$$D$$. Redondee sus respuestas a seis decimales.

51) [T] La región$$D$$ bounded by the curves $$y = \cos x, \space x = 0$$, and $$y = x^3$$ is shown in the following figure. Use a graphing calculator or CAS to find the $$x$$-coordinates of the intersection points of the curves and to determine the area of the region $$D$$. Round your answers to six decimal places.

Contestar
0 y 0.865474;$$A(D) = 0.621135\, \text{units}^3$$

52) Supongamos que ese$$(X,Y)$$ es el resultado de un experimento que debe ocurrir en una región determinada$$S$$ en el$$xy$$ plano. En este contexto, la región$$S$$ se denomina espacio muestral del experimento y$$X$$ y$$Y$$ son variables aleatorias. Si$$D$$ es una región incluida en$$S$$, entonces la probabilidad de$$(X,Y)$$ estar en$$D$$ se define como$$P[(X,Y) \in D] = \iint_D p(x,y)dx \space dy$$, donde$$p(x,y)$$ está la densidad de probabilidad conjunta del experimento. Aquí,$$p(x,y)$$ es una función no negativa para la cual$$\iint_S p(x,y) dx \space dy = 1$$. Supongamos que un punto$$(X,Y)$$ se elige arbitrariamente en el cuadrado$$[0,3] \times [0,3]$$ con la densidad de probabilidad

$p(x,y) = \frac{1}{9} (x,y) \in [0,3] \times [0,3],\nonumber$

$p(x,y) = 0 \space \text{otherwise}\nonumber$

Encuentra la probabilidad de que el punto$$(X,Y)$$ esté dentro del cuadrado unitario e interpreta el resultado.

53) Considerar$$X$$ y$$Y$$ dos variables aleatorias de densidades de probabilidad$$p_1(x)$$ y$$p_2(x)$$, respectivamente. Las variables aleatorias$$X$$ y$$Y$$ se dice que son independientes si su función de densidad conjunta viene dada por$$p_(x,y) = p_1(x)p_2(y)$$. En un restaurante drive-thru, los clientes pasan, en promedio, 3 minutos haciendo sus pedidos y 5 minutos adicionales pagando y recogiendo sus comidas. Supongamos que realizar el pedido y pagar/recoger la comida son dos eventos independientes$$X$$ y$$Y$$. Si los tiempos de espera son modelados por las densidades de probabilidad exponencial

$p_1(x) = \frac{1}{3}e^{-x/3} \space x\geq 0,\nonumber$

$p_1(x) = 0 \space \text{otherwise}\nonumber$

$p_2(y) = \frac{1}{5} e^{-y/5} \space y \geq 0\nonumber$

$p_2(y) = 0 \space \text{otherwise}\nonumber$

respectivamente, la probabilidad de que un cliente pase menos de 6 minutos en la línea drive-thru viene dada por$$P[X + Y \leq 6] = \iint_D p(x,y) dx \space dy$$, donde$$D = {(x,y)|x \geq 0, \space y \geq 0, \space x + y \leq 6}$$. Encuentra$$P[X + Y \leq 6]$$ e interpreta el resultado.

Contestar
$$P[X + Y \leq 6] = 1 + \frac{3}{2e^2} - \frac{5}{e^{6/5}} \approx 0.45$$; existe la$$45\%$$ posibilidad de que un cliente pase$$6$$ minutos en la línea drive-thru.

54) [T] El triángulo de Reuleaux consiste en un triángulo equilátero y tres regiones, cada una de ellas delimitada por un lado del triángulo y un arco de un círculo de radio s centrado en el vértice opuesto del triángulo. Mostrar que el área del triángulo de Reuleaux en la siguiente figura de longitud lateral$$s$$ es$$\frac{s^2}{2}(\pi - \sqrt{3})$$.

55) [T] Demostrar que la zona del lunes de Alhazen, los dos lunes azules en la siguiente figura, es la misma que la zona del triángulo rectángulo$$ABC.$$ The outer boundaries of the lunes are semicircles of diameters $$AB$$ and $$AC$$ respectively, and the inner boundaries are formed by the circumcircle of the triangle $$ABC$$.

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