Saltar al contenido principal

# 15.7E: Ejercicios para la Sección 15.7

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

En los ejercicios 1 - 6, se da la función$$T : S \rightarrow R, \space T (u,v) = (x,y)$$ sobre la región$$S = \big\{(u,v) \,|\, 0 \leq u \leq 1, \space 0 \leq v \leq 1\big\}$$ delimitada por la unidad cuadrada, donde$$R \in R^2$$ está la imagen de$$S$$ debajo$$T$$.

a. Justificar que la función$$T$$ es una$$C^1$$ transformación.

b. Encuentra las imágenes de los vértices de la unidad cuadrada$$S$$ a través de la función$$T$$.

c. Determinar la imagen$$R$$ de la unidad cuadrada$$S$$ y graficarla.

1. $$x = 2u, \space y = 3v$$

2. $$x = \frac{u}{2}, \space y = \frac{v}{3}$$

Contestar

a.$$T(u,v) = (g(u,v), \space h(u,v), \space x = g(u,v) = \frac{u}{2}$$ y$$y = h(u,v) = \frac{v}{3}$$. Las funciones$$g$$ y$$h$$ son continuas y diferenciables, y las derivadas parciales$$g_u (u,v) = \frac{1}{2}, \space g_v (u,v) = 0, \space h_u (u,v) = 0$$ y$$h_v (u,v) = \frac{1}{3}$$ son continuas$$S$$;

b.$$T(0,0) = (0,0), \space T(1,0) = \left(\frac{1}{2},0\right), \space T(0,1) = \left(0,\frac{1}{3}\right)$$, y$$T(1,1) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \right)$$;

c.$$R$$ es el rectángulo de vértices$$(0,0), \space \left(0,\frac{1}{3}\right), \space \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \right)$$, y$$\left(0,\frac{1}{3}\right)$$ en el$$xy$$ plano -plano; la siguiente figura.

3. $$x = u - v, \space y = u + v$$

4. $$x = 2u - v, \space y = u + 2v$$

Answer

a. $$T(u,v) = (g(u,v), \space h(u,v), \space x = g(u,v) = 2u - v$$ and $$y = h(u,v) = u + 2v$$. The functions $$g$$ and $$h$$ are continuous and differentiable, and the partial derivatives $$g_u (u,v) = 2, \space g_v (u,v) = -1, \space h_u (u,v) = 1$$ and $$h_v (u,v) = 2$$ are continuous on $$S$$;

b. $$T(0,0) = (0,0), \space T(1,0) = (2,1), \space T(0,1) = (-1,2)$$, and $$T(1,1) = (1,3)$$;

c. $$R$$ is the parallelogram of vertices $$(0,0), \space (2,1) \space (1,3)$$, and $$(-1,2)$$ in the $$xy$$-plane; the following figure.

5. $$x = u^2, \space y = v^2$$

6. $$x = u^3, \space y = v^3$$

Contestar

a.$$T(u,v) = (g(u,v), \space h(u,v), \space x = g(u,v) = u^3$$ y$$y = h(u,v) = v^3$$. Las funciones$$g$$ y$$h$$ son continuas y diferenciables, y las derivadas parciales$$g_u (u,v) = 3u^2, \space g_v (u,v) = 0, \space h_u (u,v) = 0$$ y$$h_v (u,v) = 3v^2$$ son continuas$$S$$;

b.$$T(0,0) = (0,0), \space T(1,0) = (1,0), \space T(0,1) = (0,1)$$, y$$T(1,1) = (1,1)$$;

c.$$R$$ es la unidad cuadrada en el$$xy$$ plano -ver la figura en la respuesta al ejercicio anterior.

En los ejercicios 7 - 12, determinar si las transformaciones$$T : S \rightarrow R$$ son uno a uno o no.

7. $$x = u^2, \space y = v^2$$, donde$$S$$ está el rectángulo de vértices$$(-1,0), \space (1,0), \space (1,1)$$, y$$(-1,1)$$.

8. $$x = u^4, \space y = u^2 + v$$, donde$$S$$ está el triángulo de vértices$$(-2,0), \space (2,0)$$, y$$(0,2)$$.

Contestar
$$T$$no es uno a uno: dos puntos de$$S$$ tienen la misma imagen. Efectivamente,$$T(-2,0) = T(2,0) = (16,4)$$.

9. $$x = 2u, \space y = 3v$$, donde$$S$$ está el cuadrado de vértices$$(-1,1), \space (-1,-1), \space (1,-1)$$, y$$(1,1)$$.

10. $$T(u, v) = (2u - v, u),$$donde$$S$$ está el triángulo con vértices$$(-1,1), \, (-1,-1)$$, y$$(1,-1)$$.

Contestar
$$T$$es uno a uno: Argumentamos por contradicción. $$T(u_1,v_1) = T(u_2,v_2)$$implica$$2u_1 - v_1 = 2u_2 - v_2$$ y$$u_1 = u_2$$. Así,$$u_1 = u+2$$ y$$v_1 = v_2$$.

11. $$x = u + v + w, \space y = u + v, \space z = w$$, donde$$S = R = R^3$$.

12. $$x = u^2 + v + w, \space y = u^2 + v, \space z = w$$, donde$$S = R = R^3$$.

Contestar
$$T$$no es uno a uno:$$T(1,v,w) = (-1,v,w)$$

En los ejercicios 13 - 18, las transformaciones$$T : R \rightarrow S$$ son uno a uno. Encuentra sus transformaciones inversas relacionadas$$T^{-1} : R \rightarrow S$$.

13. $$x = 4u, \space y = 5v$$, donde$$S = R = R^2$$.

14. $$x = u + 2v, \space y = -u + v$$, donde$$S = R = R^2$$.

Contestar
$$u = \frac{x-2y}{3}, \space v= \frac{x+y}{3}$$

15. $$x = e^{2u+v}, \space y = e^{u-v}$$, donde$$S = R^2$$ y$$R = \big\{(x,y) \,|\, x > 0, \space y > 0\big\}$$

16. $$x = \ln u, \space y = \ln(uv)$$, donde$$S = \big\{(u,v) \,|\, u > 0, \space v > 0\big\}$$ y$$R = R^2$$.

Contestar
$$u = e^x, \space v = e^{-x+y}$$

17. $$x = u + v + w, \space y = 3v, \space z = 2w$$, donde$$S = R = R^3$$.

18. $$x = u + v, \space y = v + w, \space z = u + w$$, donde$$S = R = R^3$$.

Contestar
$$u = \frac{x-y+z}{2}, \space v = \frac{x+y-z}{2}, \space w = \frac{-x+y+z}{2}$$

En los ejercicios 19 - 22 se da la transformación$$T : S \rightarrow R, \space T (u,v) = (x,y)$$ y la región$$R \subset R^2$$. Encuentra la región$$S \subset R^2$$.

19. $$x = au, \space y = bv, \space R = \big\{(x,y) \,|\, x^2 + y^2 \leq a^2 b^2\big\}$$donde$$a,b > 0$$

20. $$x = au, \space y = bc, \space R = \big\{(x,y) \,|\, \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1\big\}$$, donde$$a,b > 0$$

Contestar
$$S = \big\{(u,v) \,|\, u^2 + v^2 \leq 1\big\}$$

21. $$x = \frac{u}{a}, \space y = \frac{v}{b}, \space z = \frac{w}{c}, \space R = \big\{(x,y)\,|\,x^2 + y^2 + z^2 \leq 1\big\}$$, donde$$a,b,c > 0$$

22. $$x = au, \space y = bv, \space z = cw, \space R = \big\{(x,y)\,|\,\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} \leq 1, \space z > 0\big\}$$, donde$$a,b,c > 0$$

Contestar
$$R = \big\{(u,v,w)\,|\,u^2 - v^2 - w^2 \leq 1, \space w > 0\big\}$$

En los ejercicios 23 - 32, encuentra al jacobiano$$J$$ de la transformación.

23. $$x = u + 2v, \space y = -u + v$$

24. $$x = \frac{u^3}{2}, \space y = \frac{v}{u^2}$$

Contestar
$$\frac{3}{2}$$

25. $$x = e^{2u-v}, \space y = e^{u+v}$$

26. $$x = ue^v, \space y = e^{-v}$$

Contestar
$$-1$$

27. $$x = u \space \cos (e^v), \space y = u \space \sin(e^v)$$

28. $$x = v \space \sin (u^2), \space y = v \space \cos(u^2)$$

Contestar
$$2uv$$

29. $$x = u \space \cosh v, \space y = u \space \sinh v, \space z = w$$

30. $$x = v \space \cosh \left(\frac{1}{u}\right), \space y = v \space \sinh \left(\frac{1}{u}\right), \space z = u + w^2$$

Contestar
$$\frac{v}{u^2}$$

31. $$x = u + v, \space y = v + w, \space z = u$$

32. $$x = u - v, \space y = u + v, \space z = u + v + w$$

Contestar
$$2$$

33. La región triangular$$R$$ con los vértices$$(0,0), \space (1,1)$$, y$$(1,2)$$ se muestra en la siguiente figura.

a. Encontrar una transformación$$T : S \rightarrow R, \space T(u,v) = (x,y) = (au + bv + dv)$$, where $$a,b,c$$, and $$d$$ are real numbers with $$ad - bc \neq 0$$ such that $$T^{-1} (0,0) = (0,0), \space T^{-1} (1,1) = (1,0)$$, and $$T^{-1}(1,2) = (0,1)$$.

b. Use the transformation $$T$$ to find the area $$A(R)$$ of the region $$R$$.

34. The triangular region $$R$$ with the vertices $$(0,0), \space (2,0)$$, and $$(1,3)$$ is shown in the following figure.

a. encontrar una transformación$$T : S \rightarrow R, \space T(u,v) = (x,y) = (au + bv + dv)$$, donde$$a,b,c$$, y$$d$$ son números reales con$$ad - bc \neq 0$$ tal que$$T^{-1} (0,0) = (0,0), \space T^{-1} (2,0) = (1,0)$$, y$$T^{-1}(1,3) = (0,1)$$.

b. Utilizar la transformación$$T$$ para encontrar el área$$A(R)$$ de la región$$R$$.

Contestar

a.$$T (u,v) = (2u + v, \space 3v)$$
b. El área de$$R$$ es$$\displaystyle A(R) = \int_0^3 \int_{y/3}^{(6-y)/3} \, dx \, dy = \int_0^1 \int_0^{1-u} \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right| \, dv \space du = \int_0^1 \int_0^{1-u} 6 \, dv \, du = 3.$$

En los ejercicios 35 - 36, utilice la transformación$$u = y - x, \space v = y$$, para evaluar las integrales en el paralelogramo$$R$$ de vértices$$(0,0), \space (1,0), \space (2,1)$$, y$$(1,1)$$ se muestra en la siguiente figura.

35. $$\displaystyle \iint_R (y - x) \, dA$$

36. $$\displaystyle \iint_R (y^2 - xy) \, dA$$

Answer
$$-\frac{1}{4}$$

In exercises 37 - 38, use the transformation $$y = x = u, \space x + y = v$$ to evaluate the integrals on the square $$R$$ determined by the lines $$y = x, \space y = -x + 2, \space y = x + 2$$, and $$y = -x$$ shown in the following figure.

37. $$\displaystyle \iint_R e^{x+y} \, dA$$

38. $$\displaystyle \iint_R \sin (x - y) \, dA$$

Contestar
$$-1 + \cos 2$$

En los ejercicios 39 - 40, utilice la transformación$$x = u, \space 5y = v$$ para evaluar las integrales en la región$$R$$ delimitada por la elipse$$x^2 + 25y^2 = 1$$ mostrada en la siguiente figura.

39. $$\displaystyle \iint_R \sqrt{x^2 + 25y^2} \, dA$$

40. $$\displaystyle \iint_R (x^2 + 25y^2)^2 \, dA$$

Answer
$$\frac{\pi}{15}$$

In exercises 41 - 42, use the transformation $$u = x + y, \space v = x - y$$ to evaluate the integrals on the trapezoidal region $$R$$ determined by the points $$(1,0), \space (2,0), \space (0,2)$$, and $$(0,1)$$ shown in the following figure.

41. $$\displaystyle \iint_R (x^2 - 2xy + y^2) \space e^{x+y} \, dA$$

42. $$\displaystyle \iint_R (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) \, dA$$

Contestar
$$\frac{31}{5}$$

43. El sector anular circular$$R$$ delimitado por los círculos$$4x^2 + 4y^2 = 1$$ y$$9x^2 + 9y^2 = 64$$, la línea$$x = y \sqrt{3}$$, y el$$y$$ eje -se muestra en la siguiente figura. Encuentre una transformación$$T$$ de una región rectangular$$S$$ en el$$r\theta$$ plano -a la región$$R$$ en el$$xy$$ plano. Gráfica$$S$$.

44. El sólido$$R$$ bounded by the circular cylinder $$x^2 + y^2 = 9$$ and the planes $$z = 0, \space z = 1, \space x = 0$$, and $$y = 0$$ is shown in the following figure. Find a transformation $$T$$ from a cylindrical box $$S$$ in $$r\theta z$$-space to the solid $$R$$ in $$xyz$$-space.

Contestar
$$T (r,\theta,z) = (r \space \cos \theta, \space r \space \sin \theta, \space z); \space S = [0,3] \times [0,\frac{\pi}{2}] \times [0,1]$$en el$$r\theta z$$ -espacio

45. Mostrar que$\iint_R f \left(\sqrt{\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{3}}\right) dA = 2 \pi \sqrt{15} \int_0^1 f (\rho) \rho \space d\rho, \nonumber$ donde$$f$$ es una función continua$$[0,1]$$ y$$R$$ es la región delimitada por la elipse$$5x^2 + 3y^2 = 15$$.

46. Mostrar que$\iiint_R f \left(\sqrt{16x^2 + 4y^2 + z^2}\right) dV = \frac{\pi}{2} \int_0^1 f (\rho) \rho^2 d\rho, \nonumber$ donde$$f$$ es una función continua$$[0,1]$$ y$$R$$ es la región delimitada por el elipsoide$$16x^2 + 4y^2 + z^2 = 1$$.

47. [T] Encontrar el área de la región delimitada por las curvas$$xy = 1, \space xy = 3, \space y = 2x$$, y$$y = 3x$$ mediante el uso de la transformación$$u = xy$$ y$$v = \frac{y}{x}$$. Utilice un sistema de álgebra por computadora (CAS) para graficar las curvas de contorno de la región$$R$$.

48. [T] Encontrar el área de la región delimitada por las curvas$$x^2y = 2, \space x^2y = 3, \space y = x$$, y$$y = 2x$$ mediante el uso de la transformación$$u = x^2y$$ y$$v = \frac{y}{x}$$. Utilice un CAS para graficar las curvas de contorno de la región$$R$$.

Contestar

El área de$$R$$ es$$10 - 4\sqrt{6}$$; las curvas de límite de$$R$$ están graficadas en la siguiente figura.

49. Evaluar la triple integral$\int_0^1 \int_1^2 \int_z^{z+1} (y + 1) \space dx \space dy \space dz \nonumber$ by using the transformation $$u = x - z, \space v = 3y$$, and $$w = \frac{z}{2}$$.

50. Evaluate the triple integral $\int_0^2 \int_4^6 \int_{3z}^{3z+2} (5 - 4y) \space dx \space dy \space dz \nonumber$ by using the transformation $$u = x - 3z, \space v = 4y$$, and $$w = z$$.

Answer
$$8$$

51. A transformation $$T : R^2 \rightarrow R^2, \space T (u,v) = (x,y)$$ of the form $$x = au + bv, \space y = cu + dv$$, where $$a,b,c$$, and $$d$$ are real numbers, is called linear. Show that a linear transformation for which $$ad - bc \neq 0$$ maps parallelograms to parallelograms.

52. A transformation $$T_{\theta} : R^2 \rightarrow R^2, \space T_{\theta} (u,v) = (x,y)$$ of the form $$x = u \space \cos \theta - v \space \sin \theta, \space y = u \space \sin \theta + v \space \cos \theta$$, is called a rotation angle $$\theta$$. Show that the inverse transformation of $$T_{\theta}$$ satisfies $$T_{\theta}^{-1} = T_{-\theta}$$ where $$T_{-\theta}$$ is the rotation of angle $$-\theta$$.

53. [T] Find the region $$S$$ in the $$uv$$-plane whose image through a rotation of angle $$\frac{\pi}{4}$$ is the region $$R$$ enclosed by the ellipse $$x^2 + 4y^2 = 1$$. Use a CAS to answer the following questions.

a. Graph the region $$S$$.

b. Evaluate the integral $$\displaystyle \iint_S e^{-2uv} \, du \, dv.$$ Round your answer to two decimal places.

54. [T] The transformations $$T_i : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, \space i = 1, . . . , 4,$$ defined by $$T_1(u,v) = (u,-v), \space T_2 (u,v) = (-u,v), \space T_3 (u,v) = (-u, -v)$$, and $$T_4 (u,v) = (v,u)$$ are called reflections about the $$x$$-axis, $$y$$-axis origin, and the line $$y = x$$, respectively.

a. Find the image of the region $$S = \big\{(u,v)\,|\,u^2 + v^2 - 2u - 4v + 1 \leq 0\big\}$$ in the $$xy$$-plane through the transformation $$T_1 \circ T_2 \circ T_3 \circ T_4$$.

b. Use a CAS to graph $$R$$.

c. Evaluate the integral $$\displaystyle \iint_S \sin (u^2) \, du \, dv$$ by using a CAS. Round your answer to two decimal places.

Answer

a. $$R = \big\{(x,y)\,|\,y^2 + x^2 - 2y - 4x + 1 \leq 0\big\}$$;
b. $$R$$ is graphed in the following figure;

c.$$3.16$$

55. [T] Las transformaciones$$T_{k,1,1} : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3, \space T_{k,1,1}(u,v,w) = (x,y,z)$$ de la forma$$x = ku, \space y = v, \space z = w$$, donde$$k \neq 1$$ es un número real positivo, se llama estiramiento si$$k > 1$$ y compresión si$$0 < k < 1$$ en la$$x$$ dirección -dirección. Utilice un CAS para evaluar la integral$$\displaystyle \iiint_S e^{-(4x^2+9y^2+25z^2)} \, dx \, dy \, dz$$ en el sólido$$S = \big\{(x,y,z) \,|\, 4x^2 + 9y^2 + 25z^2 \leq 1\big\}$$ considerando la compresión$$T_{2,3,5}(u,v,w) = (x,y,z)$$ definida por$$x = \frac{u}{2}, \space y = \frac{v}{3}$$, y$$z = \frac{w}{5}$$. Redondee su respuesta a cuatro decimales.

56. [T] La transformación$$T_{a,0} : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, \space T_{a,0} (u,v) = (u + av, v)$$, donde$$a \neq 0$$ es un número real, se llama cizallamiento en la$$x$$ dirección -dirección. La transformación$$T_{b,0} : R^2 \rightarrow R^2, \space T_{o,b}(u,v) = (u,bu + v)$$, donde$$b \neq 0$$ es un número real, se llama cizallamiento en la$$y$$ dirección -dirección.

a. Encontrar transformaciones$$T_{0,2} \circ T_{3,0}$$.

b. Encontrar la imagen$$R$$ de la región trapezoidal$$S$$ delimitada por$$u = 0, \space v = 0, \space v = 1$$, y$$v = 2 - u$$ a través de la transformación$$T_{0,2} \circ T_{3,0}$$.

c. Utilice un CAS para graficar la imagen$$R$$ en el$$xy$$ plano.

d. Encontrar el área de la región$$R$$ utilizando el área de la región$$S$$.

Contestar

a.$$T_{0,2} \circ T_{3,0}(u,v) = (u + 3v, 2u + 7v)$$;

b. La imagen$$S$$ es el cuadrilátero de vértices$$(0,0), \space (3,7), \space (2,4)$$, y$$(4,9)$$;

c.$$S$$ se grafica en la siguiente figura;

d.

Template:ContribOpenStaxCalc

15.7E: Ejercicios para la Sección 15.7 is shared under a not declared license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.