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# 16.3E: Ejercicios para la Sección 16.3

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

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$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

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$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

1. ¿Verdadero o Falso? Si el campo vectorial$$\vecs F$$ es conservador en la región abierta y conectada$$D$$, entonces las integrales de línea de$$\vecs F$$ son independientes de la ruta$$D$$, independientemente de la forma de$$D$$.

Contestar
Cierto

2. ¿Verdadero o Falso? Función$$\vecs r(t)=\vecs a+t(\vecs b−\vecs a)$$, donde$$0≤t≤1$$, parametriza el segmento de línea recta de$$\vecs a$$ a$$\vecs b$$.

Contestar
Cierto

3. ¿Verdadero o Falso? El campo vectorial$$\vecs F(x,y,z)=(y\sin z)\,\mathbf{\hat i}+(x\sin z)\,\mathbf{\hat j}+(xy\cos z)\,\mathbf{\hat k}$$ es conservador.

Contestar
Cierto

4. ¿Verdadero o Falso? El campo vectorial$$\vecs F(x,y,z)=y\,\mathbf{\hat i}+(x+z)\,\mathbf{\hat j}−y\,\mathbf{\hat k}$$ es conservador.

5. Justificar el Teorema Fundamental de Integrales de Línea para$$\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r$$ en el caso cuando$$\vecs{F}(x,y)=(2x+2y)\,\mathbf{\hat i}+(2x+2y)\,\mathbf{\hat j}$$ y$$C$$ es una porción del círculo orientado positivamente$$x^2+y^2=25$$ de$$(5, 0)$$ a$$(3, 4).$$

Contestar
$$\displaystyle \int _C \vecs F·d\vecs r=24$$unidades de trabajo

6. [T] Encuentra$$\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r,$$ dónde$$\vecs{F}(x,y)=(ye^{xy}+\cos x)\,\mathbf{\hat i}+\left(xe^{xy}+\frac{1}{y^2+1}\right)\,\mathbf{\hat j}$$ y$$C$$ es una porción de curva$$y=\sin x$$ de$$x=0$$ a$$x=\frac{π}{2}$$.

7. [T] Evaluar la línea integral$$\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r$$, donde$$\vecs{F}(x,y)=(e^x\sin y−y)\,\mathbf{\hat i}+(e^x\cos y−x−2)\,\mathbf{\hat j}$$, y$$C$$ es el camino dado por$$\vecs r(t)=(t^3\sin\frac{πt}{2})\,\mathbf{\hat i}−(\frac{π}{2}\cos(\frac{πt}{2}+\frac{π}{2}))\,\mathbf{\hat j}$$ for$$0≤t≤1$$.

Contestar
$$\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r=\left(e−\frac{3π}{2}\right)$$unidades de trabajo

Para los siguientes ejercicios, determinar si el campo vectorial es conservador y, en su caso, encontrar la función potencial.

8. $$\vecs{F}(x,y)=2xy^3\,\mathbf{\hat i}+3y^2x^2\,\mathbf{\hat j}$$

9. $$\vecs{F}(x,y)=(−y+e^x\sin y)\,\mathbf{\hat i}+((x+2)e^x\cos y)\,\mathbf{\hat j}$$

Contestar

10. $$\vecs{F}(x,y)=(e^{2x}\sin y)\,\mathbf{\hat i}+(e^{2x}\cos y)\,\mathbf{\hat j}$$

11. $$\vecs{F}(x,y)=(6x+5y)\,\mathbf{\hat i}+(5x+4y)\,\mathbf{\hat j}$$

Contestar
Conservador,$$f(x,y)=3x^2+5xy+2y^2+k$$

12. $$\vecs{F}(x,y)=(2x\cos(y)−y\cos(x))\,\mathbf{\hat i}+(−x^2\sin(y)−\sin(x))\,\mathbf{\hat j}$$

13. $$\vecs{F}(x,y)=(ye^x+\sin(y))\,\mathbf{\hat i}+(e^x+x\cos(y))\,\mathbf{\hat j}$$

Contestar
Conservador,$$f(x,y)=ye^x+x\sin(y)+k$$

Para los siguientes ejercicios, evalúe las integrales de línea utilizando el Teorema Fundamental de Integrales de Línea.

14. $$\displaystyle ∮_C(y\,\mathbf{\hat i}+x\,\mathbf{\hat j})·d\vecs r,$$donde$$C$$ hay algún camino de$$(0, 0)$$ a$$(2, 4)$$

15. $$\displaystyle ∮_C(2y\,dx+2x\,dy),$$donde$$C$$ es el segmento de línea de$$(0, 0)$$ a$$(4, 4)$$

Contestar
$$\displaystyle ∮_C(2y\,dx+2x\,dy)=32$$unidades de trabajo

16. [T]$$\displaystyle ∮_C\left[\arctan\dfrac{y}{x}−\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right]\,dx+\left[\dfrac{x^2}{x^2+y^2}+e^{−y}(1−y)\right]\,dy$$, donde$$C$$ hay cualquier curva suave de$$(1, 1)$$ a$$(−1,2).$$

17. Encuentra el campo vectorial conservador para la función potencial$$f(x,y)=5x^2+3xy+10y^2.$$

Contestar
$$\vecs{F}(x,y)=(10x+3y)\,\mathbf{\hat i}+(3x+20y)\,\mathbf{\hat j}$$

Para los siguientes ejercicios, determinar si el campo vectorial es conservador y, de ser así, encontrar una función potencial.

18. $$\vecs{F}(x,y)=(12xy)\,\mathbf{\hat i}+6(x^2+y^2)\,\mathbf{\hat j}$$

19. $$\vecs{F}(x,y)=(e^x\cos y)\,\mathbf{\hat i}+6(e^x\sin y)\,\mathbf{\hat j}$$

Contestar
$$\vecs F$$no es conservadora.

20. $$\vecs{F}(x,y)=(2xye^{x^2y})\,\mathbf{\hat i}+6(x^2e^{x^2y})\,\mathbf{\hat j}$$

21. $$\vecs F(x,y,z)=(ye^z)\,\mathbf{\hat i}+(xe^z)\,\mathbf{\hat j}+(xye^z)\,\mathbf{\hat k}$$

Contestar
$$\vecs F$$es conservadora y una función potencial es$$f(x,y,z)=xye^z+k$$.

22. $$\vecs F(x,y,z)=(\sin y)\,\mathbf{\hat i}−(x\cos y)\,\mathbf{\hat j}+\,\mathbf{\hat k}$$

23. $$\vecs F(x,y,z)=\dfrac{1}{y}\,\mathbf{\hat i}-\dfrac{x}{y^2}\,\mathbf{\hat j}+(2z−1)\,\mathbf{\hat k}$$

Contestar
$$\vecs F$$es conservadora y una función potencial es$$f(x,y,z)=\dfrac{x}{y}+z^2-z+k.$$

24. $$\vecs F(x,y,z)=3z^2\,\mathbf{\hat i}−\cos y\,\mathbf{\hat j}+2xz\,\mathbf{\hat k}$$

25. $$\vecs F(x,y,z)=(2xy)\,\mathbf{\hat i}+(x^2+2yz)\,\mathbf{\hat j}+y^2\,\mathbf{\hat k}$$

Contestar
$$\vecs F$$es conservadora y una función potencial es$$f(x,y,z)=x^2y+y^2z+k.$$

Para los siguientes ejercicios, determinar si el campo vectorial dado es conservador y encontrar una función potencial.

26. $$\vecs{F}(x,y)=(e^x\cos y)\,\mathbf{\hat i}+6(e^x\sin y)\,\mathbf{\hat j}$$

27. $$\vecs{F}(x,y)=(2xye^{x^2y})\,\mathbf{\hat i}+(x^2e^{x^2y})\,\mathbf{\hat j}$$

Contestar
$$\vecs F$$es conservadora y una función potencial es$$f(x,y)=e^{x^2y}+k$$

Para los siguientes ejercicios, evaluar la integral utilizando el Teorema Fundamental de Integrales de Línea.

28. Evaluar$$\displaystyle \int _C\vecs ∇f·d\vecs r$$, dónde$$f(x,y,z)=\cos(πx)+\sin(πy)−xyz$$ y$$C$$ es cualquier camino que comience$$(1,12,2)$$ y termine en$$(2,1,−1)$$.

29. [T] Evaluar$$\displaystyle \int _C\vecs ∇f·d\vecs r$$, dónde$$f(x,y)=xy+e^x$$ y$$C$$ es una línea recta de$$(0,0)$$ a$$(2,1)$$.

Contestar
$$\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r=\left(e^2+1\right)$$unidades de trabajo

30. [T] Evaluar$$\displaystyle \int _C\vecs ∇f·d\vecs r,$$ dónde$$f(x,y)=x^2y−x$$ y$$C$$ es cualquier camino en un plano de (1, 2) a (3, 2).

31. Evaluar$$\displaystyle \int _C\vecs ∇f·d\vecs r,$$ dónde$$f(x,y,z)=xyz^2−yz$$ y$$C$$ tiene punto inicial$$(1, 2, 3)$$ y punto terminal$$(3, 5, 2).$$

Contestar
$$\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r=38$$unidades de trabajo

Para los siguientes ejercicios, let$$\vecs{F}(x,y)=2xy^2\,\mathbf{\hat i}+(2yx^2+2y)\,\mathbf{\hat j}$$ y$$G(x,y)=(y+x)\,\mathbf{\hat i}+(y−x)\,\mathbf{\hat j}$$, y let$$C_1$$ ser la curva que consiste en el círculo de radio 2, centrada en el origen y orientada en sentido antihorario, y$$C_2$$ ser la curva que consiste en un segmento de línea de$$(0, 0)$$ a$$(1, 1)$$ seguido de un segmento de línea de$$(1, 1)$$ a$$(3, 1).$$

32. Calcular la integral de línea de$$\vecs F$$ más$$C_1$$.

33. Calcular la integral de línea de$$\vecs G$$ más$$C_1$$.

Contestar
$$\displaystyle ∮_{C_1}\vecs G·d\vecs r=−8π$$unidades de trabajo

34. Calcular la integral de línea de$$\vecs F$$ más$$C_2$$.

35. Calcular la integral de línea de$$\vecs G$$ más$$C_2$$.

Contestar
$$\displaystyle ∮_{C_2}\vecs F·d\vecs r=7$$unidades de trabajo

36. [T] Vamos$$\vecs F(x,y,z)=x^2\,\mathbf{\hat i}+z\sin(yz)\,\mathbf{\hat j}+y\sin(yz)\,\mathbf{\hat k}$$. Calcular$$\displaystyle ∮_C\vecs F·d\vecs{r}$$, donde$$C$$ es un camino de$$A=(0,0,1)$$ a$$B=(3,1,2)$$.

37. [T] Encuentra la integral$$\displaystyle ∮_C\vecs F·dr$$ de línea del campo vectorial$$\vecs F(x,y,z)=3x^2z\,\mathbf{\hat i}+z^2\,\mathbf{\hat j}+(x^3+2yz)\,\mathbf{\hat k}$$ a lo largo de la curva$$C$$ parametrizada por$$\vecs r(t)=(\frac{\ln t}{\ln 2})\,\mathbf{\hat i}+t^{3/2}\,\mathbf{\hat j}+t\cos(πt),1≤t≤4.$$

Contestar
$$\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r=150$$unidades de trabajo

Para los ejercicios 38 - 40, mostrar que los siguientes campos vectoriales son conservadores. Después calcula$$\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r$$ para la curva dada.

38. $$\vecs{F}(x,y)=(xy^2+3x^2y)\,\mathbf{\hat i}+(x+y)x^2\,\mathbf{\hat j}$$;$$C$$ es la curva que consiste en segmentos de línea de$$(1,1)$$ a$$(0,2)$$ a$$(3,0).$$

39. $$\vecs{F}(x,y)=\dfrac{2x}{y^2+1}\,\mathbf{\hat i}−\dfrac{2y(x^2+1)}{(y^2+1)^2}\,\mathbf{\hat j}$$;$$C$$ está parametrizado por$$x=t^3−1,\;y=t^6−t$$, para$$0≤t≤1.$$

Contestar
$$\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r=−1$$unidades de trabajo

40. [T]$$\vecs{F}(x,y)=[\cos(xy^2)−xy^2\sin(xy^2)]\,\mathbf{\hat i}−2x^2y\sin(xy^2)\,\mathbf{\hat j}$$;$$C$$ es la curva$$\langle e^t,e^{t+1}\rangle,$$ para$$−1≤t≤0$$.

41. La masa de la Tierra es aproximadamente$$6×10^{27}g$$ y la del Sol es 330.000 veces más. La constante gravitacional es$$6.7×10^{−8}cm^3/s^2·g$$. La distancia de la Tierra al Sol es de aproximadamente$$1.5×10^{12}cm$$. Calcular, aproximadamente, el trabajo necesario para aumentar la distancia de la Tierra al Sol en$$1\;cm$$.

Contestar
$$4×10^{31}$$erg

42. [T] Vamos$$\vecs{F}(x,y,z)=(e^x\sin y)\,\mathbf{\hat i}+(e^x\cos y)\,\mathbf{\hat j}+z^2\,\mathbf{\hat k}$$. Evaluar la integral$$\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r$$, donde$$\vecs r(t)=\langle\sqrt{t},t^3,e^{\sqrt{t}}\rangle,$$ para$$0≤t≤1.$$

43. [T]$$C:[1,2]→ℝ^2$$ Déjese dar por$$x=e^{t−1},y=\sin\left(\frac{π}{t}\right)$$. Usa una computadora para computar la integral$$\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r=\int _C 2x\cos y\,dx−x^2\sin y\,dy$$, donde$$\vecs{F}(x,y)=(2x\cos y)\,\mathbf{\hat i}−(x^2\sin y)\,\mathbf{\hat j}.$$

Contestar
$$\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs s=0.4687$$unidades de trabajo

44. [T] Utilice un sistema de álgebra computacional para encontrar la masa de un cable que se encuentra a lo largo de la curva$$\vecs r(t)=(t^2−1)\,\mathbf{\hat j}+2t\,\mathbf{\hat k},$$ donde$$0≤t≤1$$, si la densidad viene dada por$$d(t) = \dfrac{3}{2}t$$.

45. Encuentra la circulación y flujo de campo$$\vecs{F}(x,y)=−y\,\mathbf{\hat i}+x\,\mathbf{\hat j}$$ alrededor y a través del camino semicircular cerrado que consiste en arco semicircular$$\vecs r_1(t)=(a\cos t)\,\mathbf{\hat i}+(a\sin t)\,\mathbf{\hat j},\quad 0≤t≤π$$, seguido de segmento de línea$$\vecs r_2(t)=t\,\mathbf{\hat i},\quad −a≤t≤a.$$

Contestar
$$\text{circulation}=πa^2$$y$$\text{flux}=0$$

46. Compute$$\displaystyle \int _C\cos x\cos y\,dx−\sin x\sin y\,dy,$$ dónde$$\vecs r(t)=\langle t,t^2 \rangle, \quad 0≤t≤1.$$

47. Completar la prueba del teorema titulado LA PRUEBA DE INDEPENDENCIA DEL CAMPO CONSERVADOR$$f_y=Q(x,y).$$