16.3E: Ejercicios para la Sección 16.3

1. ¿Verdadero o Falso? Si el campo vectorial\(\vecs F\) es conservador en la región abierta y conectada\(D\), entonces las integrales de línea de\(\vecs F\) son independientes de la ruta\(D\), independientemente de la forma de\(D\).

Contestar

Cierto

2. ¿Verdadero o Falso? Función\(\vecs r(t)=\vecs a+t(\vecs b−\vecs a)\), donde\(0≤t≤1\), parametriza el segmento de línea recta de\(\vecs a\) a\(\vecs b\).

Contestar

Cierto

3. ¿Verdadero o Falso? El campo vectorial\(\vecs F(x,y,z)=(y\sin z)\,\mathbf{\hat i}+(x\sin z)\,\mathbf{\hat j}+(xy\cos z)\,\mathbf{\hat k}\) es conservador.

Contestar

Cierto

4. ¿Verdadero o Falso? El campo vectorial\(\vecs F(x,y,z)=y\,\mathbf{\hat i}+(x+z)\,\mathbf{\hat j}−y\,\mathbf{\hat k}\) es conservador.

5. Justificar el Teorema Fundamental de Integrales de Línea para\(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r\) en el caso cuando\(\vecs{F}(x,y)=(2x+2y)\,\mathbf{\hat i}+(2x+2y)\,\mathbf{\hat j}\) y\(C\) es una porción del círculo orientado positivamente\(x^2+y^2=25\) de\((5, 0)\) a\((3, 4).\)

Contestar

\(\displaystyle \int _C \vecs F·d\vecs r=24\)unidades de trabajo

6. [T] Encuentra\(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r,\) dónde\(\vecs{F}(x,y)=(ye^{xy}+\cos x)\,\mathbf{\hat i}+\left(xe^{xy}+\frac{1}{y^2+1}\right)\,\mathbf{\hat j}\) y\(C\) es una porción de curva\(y=\sin x\) de\(x=0\) a\(x=\frac{π}{2}\).

7. [T] Evaluar la línea integral\(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r\), donde\(\vecs{F}(x,y)=(e^x\sin y−y)\,\mathbf{\hat i}+(e^x\cos y−x−2)\,\mathbf{\hat j}\), y\(C\) es el camino dado por\(\vecs r(t)=(t^3\sin\frac{πt}{2})\,\mathbf{\hat i}−(\frac{π}{2}\cos(\frac{πt}{2}+\frac{π}{2}))\,\mathbf{\hat j}\) for\(0≤t≤1\).

Contestar

\(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r=\left(e−\frac{3π}{2}\right)\)unidades de trabajo

Para los siguientes ejercicios, determinar si el campo vectorial es conservador y, en su caso, encontrar la función potencial.

8. \(\vecs{F}(x,y)=2xy^3\,\mathbf{\hat i}+3y^2x^2\,\mathbf{\hat j}\)

9. \(\vecs{F}(x,y)=(−y+e^x\sin y)\,\mathbf{\hat i}+((x+2)e^x\cos y)\,\mathbf{\hat j}\)

Contestar

No conservador

10. \(\vecs{F}(x,y)=(e^{2x}\sin y)\,\mathbf{\hat i}+(e^{2x}\cos y)\,\mathbf{\hat j}\)

11. \(\vecs{F}(x,y)=(6x+5y)\,\mathbf{\hat i}+(5x+4y)\,\mathbf{\hat j}\)

Contestar

Conservador,\(f(x,y)=3x^2+5xy+2y^2+k\)

12. \(\vecs{F}(x,y)=(2x\cos(y)−y\cos(x))\,\mathbf{\hat i}+(−x^2\sin(y)−\sin(x))\,\mathbf{\hat j}\)

13. \(\vecs{F}(x,y)=(ye^x+\sin(y))\,\mathbf{\hat i}+(e^x+x\cos(y))\,\mathbf{\hat j}\)

Contestar

Conservador,\(f(x,y)=ye^x+x\sin(y)+k\)

Para los siguientes ejercicios, evalúe las integrales de línea utilizando el Teorema Fundamental de Integrales de Línea.

14. \(\displaystyle ∮_C(y\,\mathbf{\hat i}+x\,\mathbf{\hat j})·d\vecs r,\)donde\(C\) hay algún camino de\((0, 0)\) a\((2, 4)\)

15. \(\displaystyle ∮_C(2y\,dx+2x\,dy),\)donde\(C\) es el segmento de línea de\((0, 0)\) a\((4, 4)\)

Contestar

\(\displaystyle ∮_C(2y\,dx+2x\,dy)=32\)unidades de trabajo

16. [T]\(\displaystyle ∮_C\left[\arctan\dfrac{y}{x}−\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right]\,dx+\left[\dfrac{x^2}{x^2+y^2}+e^{−y}(1−y)\right]\,dy\), donde\(C\) hay cualquier curva suave de\((1, 1)\) a\((−1,2).\)

17. Encuentra el campo vectorial conservador para la función potencial\(f(x,y)=5x^2+3xy+10y^2.\)

Contestar

\(\vecs{F}(x,y)=(10x+3y)\,\mathbf{\hat i}+(3x+20y)\,\mathbf{\hat j}\)

Para los siguientes ejercicios, determinar si el campo vectorial es conservador y, de ser así, encontrar una función potencial.

18. \(\vecs{F}(x,y)=(12xy)\,\mathbf{\hat i}+6(x^2+y^2)\,\mathbf{\hat j}\)

19. \(\vecs{F}(x,y)=(e^x\cos y)\,\mathbf{\hat i}+6(e^x\sin y)\,\mathbf{\hat j}\)

Contestar

\(\vecs F\)no es conservadora.

20. \(\vecs{F}(x,y)=(2xye^{x^2y})\,\mathbf{\hat i}+6(x^2e^{x^2y})\,\mathbf{\hat j}\)

21. \(\vecs F(x,y,z)=(ye^z)\,\mathbf{\hat i}+(xe^z)\,\mathbf{\hat j}+(xye^z)\,\mathbf{\hat k}\)

Contestar

\(\vecs F\)es conservadora y una función potencial es\(f(x,y,z)=xye^z+k\).

22. \(\vecs F(x,y,z)=(\sin y)\,\mathbf{\hat i}−(x\cos y)\,\mathbf{\hat j}+\,\mathbf{\hat k}\)

23. \(\vecs F(x,y,z)=\dfrac{1}{y}\,\mathbf{\hat i}-\dfrac{x}{y^2}\,\mathbf{\hat j}+(2z−1)\,\mathbf{\hat k}\)

Contestar

\(\vecs F\)es conservadora y una función potencial es\(f(x,y,z)=\dfrac{x}{y}+z^2-z+k.\)

24. \(\vecs F(x,y,z)=3z^2\,\mathbf{\hat i}−\cos y\,\mathbf{\hat j}+2xz\,\mathbf{\hat k}\)

25. \(\vecs F(x,y,z)=(2xy)\,\mathbf{\hat i}+(x^2+2yz)\,\mathbf{\hat j}+y^2\,\mathbf{\hat k}\)

Contestar

\(\vecs F\)es conservadora y una función potencial es\(f(x,y,z)=x^2y+y^2z+k.\)

Para los siguientes ejercicios, determinar si el campo vectorial dado es conservador y encontrar una función potencial.

26. \(\vecs{F}(x,y)=(e^x\cos y)\,\mathbf{\hat i}+6(e^x\sin y)\,\mathbf{\hat j}\)

27. \(\vecs{F}(x,y)=(2xye^{x^2y})\,\mathbf{\hat i}+(x^2e^{x^2y})\,\mathbf{\hat j}\)

Contestar

\(\vecs F\)es conservadora y una función potencial es\(f(x,y)=e^{x^2y}+k\)

Para los siguientes ejercicios, evaluar la integral utilizando el Teorema Fundamental de Integrales de Línea.

28. Evaluar\(\displaystyle \int _C\vecs ∇f·d\vecs r\), dónde\(f(x,y,z)=\cos(πx)+\sin(πy)−xyz\) y\(C\) es cualquier camino que comience\((1,12,2)\) y termine en\((2,1,−1)\).

29. [T] Evaluar\(\displaystyle \int _C\vecs ∇f·d\vecs r\), dónde\(f(x,y)=xy+e^x\) y\(C\) es una línea recta de\((0,0)\) a\((2,1)\).

Contestar

\(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r=\left(e^2+1\right)\)unidades de trabajo

30. [T] Evaluar\(\displaystyle \int _C\vecs ∇f·d\vecs r,\) dónde\(f(x,y)=x^2y−x\) y\(C\) es cualquier camino en un plano de (1, 2) a (3, 2).

31. Evaluar\(\displaystyle \int _C\vecs ∇f·d\vecs r,\) dónde\(f(x,y,z)=xyz^2−yz\) y\(C\) tiene punto inicial\((1, 2, 3)\) y punto terminal\((3, 5, 2).\)

Contestar

\(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r=38\)unidades de trabajo

Para los siguientes ejercicios, let\(\vecs{F}(x,y)=2xy^2\,\mathbf{\hat i}+(2yx^2+2y)\,\mathbf{\hat j}\) y\(G(x,y)=(y+x)\,\mathbf{\hat i}+(y−x)\,\mathbf{\hat j}\), y let\(C_1\) ser la curva que consiste en el círculo de radio 2, centrada en el origen y orientada en sentido antihorario, y\(C_2\) ser la curva que consiste en un segmento de línea de\((0, 0)\) a\((1, 1)\) seguido de un segmento de línea de\((1, 1)\) a\((3, 1).\)

32. Calcular la integral de línea de\(\vecs F\) más\(C_1\).

33. Calcular la integral de línea de\(\vecs G\) más\(C_1\).

Contestar

\(\displaystyle ∮_{C_1}\vecs G·d\vecs r=−8π\)unidades de trabajo

34. Calcular la integral de línea de\(\vecs F\) más\(C_2\).

35. Calcular la integral de línea de\(\vecs G\) más\(C_2\).

Contestar

\(\displaystyle ∮_{C_2}\vecs F·d\vecs r=7\)unidades de trabajo

36. [T] Vamos\(\vecs F(x,y,z)=x^2\,\mathbf{\hat i}+z\sin(yz)\,\mathbf{\hat j}+y\sin(yz)\,\mathbf{\hat k}\). Calcular\(\displaystyle ∮_C\vecs F·d\vecs{r}\), donde\(C\) es un camino de\(A=(0,0,1)\) a\(B=(3,1,2)\).

37. [T] Encuentra la integral\(\displaystyle ∮_C\vecs F·dr\) de línea del campo vectorial\(\vecs F(x,y,z)=3x^2z\,\mathbf{\hat i}+z^2\,\mathbf{\hat j}+(x^3+2yz)\,\mathbf{\hat k}\) a lo largo de la curva\(C\) parametrizada por\(\vecs r(t)=(\frac{\ln t}{\ln 2})\,\mathbf{\hat i}+t^{3/2}\,\mathbf{\hat j}+t\cos(πt),1≤t≤4.\)

Contestar

\(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r=150\)unidades de trabajo

Para los ejercicios 38 - 40, mostrar que los siguientes campos vectoriales son conservadores. Después calcula\(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r\) para la curva dada.

38. \(\vecs{F}(x,y)=(xy^2+3x^2y)\,\mathbf{\hat i}+(x+y)x^2\,\mathbf{\hat j}\);\(C\) es la curva que consiste en segmentos de línea de\((1,1)\) a\((0,2)\) a\((3,0).\)

39. \(\vecs{F}(x,y)=\dfrac{2x}{y^2+1}\,\mathbf{\hat i}−\dfrac{2y(x^2+1)}{(y^2+1)^2}\,\mathbf{\hat j}\);\(C\) está parametrizado por\(x=t^3−1,\;y=t^6−t\), para\(0≤t≤1.\)

Contestar

\(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r=−1\)unidades de trabajo

40. [T]\(\vecs{F}(x,y)=[\cos(xy^2)−xy^2\sin(xy^2)]\,\mathbf{\hat i}−2x^2y\sin(xy^2)\,\mathbf{\hat j}\);\(C\) es la curva\(\langle e^t,e^{t+1}\rangle,\) para\(−1≤t≤0\).

41. La masa de la Tierra es aproximadamente\(6×10^{27}g\) y la del Sol es 330.000 veces más. La constante gravitacional es\(6.7×10^{−8}cm^3/s^2·g\). La distancia de la Tierra al Sol es de aproximadamente\(1.5×10^{12}cm\). Calcular, aproximadamente, el trabajo necesario para aumentar la distancia de la Tierra al Sol en\(1\;cm\).

Contestar

\(4×10^{31}\)erg

42. [T] Vamos\(\vecs{F}(x,y,z)=(e^x\sin y)\,\mathbf{\hat i}+(e^x\cos y)\,\mathbf{\hat j}+z^2\,\mathbf{\hat k}\). Evaluar la integral\(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r\), donde\(\vecs r(t)=\langle\sqrt{t},t^3,e^{\sqrt{t}}\rangle,\) para\(0≤t≤1.\)

43. [T]\(C:[1,2]→ℝ^2\) Déjese dar por\(x=e^{t−1},y=\sin\left(\frac{π}{t}\right)\). Usa una computadora para computar la integral\(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r=\int _C 2x\cos y\,dx−x^2\sin y\,dy\), donde\(\vecs{F}(x,y)=(2x\cos y)\,\mathbf{\hat i}−(x^2\sin y)\,\mathbf{\hat j}.\)

Contestar

\(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs s=0.4687\)unidades de trabajo

44. [T] Utilice un sistema de álgebra computacional para encontrar la masa de un cable que se encuentra a lo largo de la curva\(\vecs r(t)=(t^2−1)\,\mathbf{\hat j}+2t\,\mathbf{\hat k},\) donde\(0≤t≤1\), si la densidad viene dada por\(d(t) = \dfrac{3}{2}t\).

45. Encuentra la circulación y flujo de campo\(\vecs{F}(x,y)=−y\,\mathbf{\hat i}+x\,\mathbf{\hat j}\) alrededor y a través del camino semicircular cerrado que consiste en arco semicircular\(\vecs r_1(t)=(a\cos t)\,\mathbf{\hat i}+(a\sin t)\,\mathbf{\hat j},\quad 0≤t≤π\), seguido de segmento de línea\(\vecs r_2(t)=t\,\mathbf{\hat i},\quad −a≤t≤a.\)

Contestar

\(\text{circulation}=πa^2\)y\(\text{flux}=0\)

46. Compute\(\displaystyle \int _C\cos x\cos y\,dx−\sin x\sin y\,dy,\) dónde\(\vecs r(t)=\langle t,t^2 \rangle, \quad 0≤t≤1.\)

47. Completar la prueba del teorema titulado LA PRUEBA DE INDEPENDENCIA DEL CAMPO CONSERVADOR\(f_y=Q(x,y).\)

Colaboradores

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