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16.3E: Ejercicios para la Sección 16.3

  • Page ID
    116711
    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    1. ¿Verdadero o Falso? Si el campo vectorial\(\vecs F\) es conservador en la región abierta y conectada\(D\), entonces las integrales de línea de\(\vecs F\) son independientes de la ruta\(D\), independientemente de la forma de\(D\).

    Contestar
    Cierto

    2. ¿Verdadero o Falso? Función\(\vecs r(t)=\vecs a+t(\vecs b−\vecs a)\), donde\(0≤t≤1\), parametriza el segmento de línea recta de\(\vecs a\) a\(\vecs b\).

    Contestar
    Cierto

    3. ¿Verdadero o Falso? El campo vectorial\(\vecs F(x,y,z)=(y\sin z)\,\mathbf{\hat i}+(x\sin z)\,\mathbf{\hat j}+(xy\cos z)\,\mathbf{\hat k}\) es conservador.

    Contestar
    Cierto

    4. ¿Verdadero o Falso? El campo vectorial\(\vecs F(x,y,z)=y\,\mathbf{\hat i}+(x+z)\,\mathbf{\hat j}−y\,\mathbf{\hat k}\) es conservador.

    5. Justificar el Teorema Fundamental de Integrales de Línea para\(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r\) en el caso cuando\(\vecs{F}(x,y)=(2x+2y)\,\mathbf{\hat i}+(2x+2y)\,\mathbf{\hat j}\) y\(C\) es una porción del círculo orientado positivamente\(x^2+y^2=25\) de\((5, 0)\) a\((3, 4).\)

    Contestar
    \(\displaystyle \int _C \vecs F·d\vecs r=24\)unidades de trabajo

    6. [T] Encuentra\(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r,\) dónde\(\vecs{F}(x,y)=(ye^{xy}+\cos x)\,\mathbf{\hat i}+\left(xe^{xy}+\frac{1}{y^2+1}\right)\,\mathbf{\hat j}\) y\(C\) es una porción de curva\(y=\sin x\) de\(x=0\) a\(x=\frac{π}{2}\).

    7. [T] Evaluar la línea integral\(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r\), donde\(\vecs{F}(x,y)=(e^x\sin y−y)\,\mathbf{\hat i}+(e^x\cos y−x−2)\,\mathbf{\hat j}\), y\(C\) es el camino dado por\(\vecs r(t)=(t^3\sin\frac{πt}{2})\,\mathbf{\hat i}−(\frac{π}{2}\cos(\frac{πt}{2}+\frac{π}{2}))\,\mathbf{\hat j}\) for\(0≤t≤1\).

    CNX_Calc_Figure_16_03_201.jpg

    Contestar
    \(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r=\left(e−\frac{3π}{2}\right)\)unidades de trabajo

    Para los siguientes ejercicios, determinar si el campo vectorial es conservador y, en su caso, encontrar la función potencial.

    8. \(\vecs{F}(x,y)=2xy^3\,\mathbf{\hat i}+3y^2x^2\,\mathbf{\hat j}\)

    9. \(\vecs{F}(x,y)=(−y+e^x\sin y)\,\mathbf{\hat i}+((x+2)e^x\cos y)\,\mathbf{\hat j}\)

    Contestar
    No conservador

    10. \(\vecs{F}(x,y)=(e^{2x}\sin y)\,\mathbf{\hat i}+(e^{2x}\cos y)\,\mathbf{\hat j}\)

    11. \(\vecs{F}(x,y)=(6x+5y)\,\mathbf{\hat i}+(5x+4y)\,\mathbf{\hat j}\)

    Contestar
    Conservador,\(f(x,y)=3x^2+5xy+2y^2+k\)

    12. \(\vecs{F}(x,y)=(2x\cos(y)−y\cos(x))\,\mathbf{\hat i}+(−x^2\sin(y)−\sin(x))\,\mathbf{\hat j}\)

    13. \(\vecs{F}(x,y)=(ye^x+\sin(y))\,\mathbf{\hat i}+(e^x+x\cos(y))\,\mathbf{\hat j}\)

    Contestar
    Conservador,\(f(x,y)=ye^x+x\sin(y)+k\)

    Para los siguientes ejercicios, evalúe las integrales de línea utilizando el Teorema Fundamental de Integrales de Línea.

    14. \(\displaystyle ∮_C(y\,\mathbf{\hat i}+x\,\mathbf{\hat j})·d\vecs r,\)donde\(C\) hay algún camino de\((0, 0)\) a\((2, 4)\)

    15. \(\displaystyle ∮_C(2y\,dx+2x\,dy),\)donde\(C\) es el segmento de línea de\((0, 0)\) a\((4, 4)\)

    Contestar
    \(\displaystyle ∮_C(2y\,dx+2x\,dy)=32\)unidades de trabajo

    16. [T]\(\displaystyle ∮_C\left[\arctan\dfrac{y}{x}−\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right]\,dx+\left[\dfrac{x^2}{x^2+y^2}+e^{−y}(1−y)\right]\,dy\), donde\(C\) hay cualquier curva suave de\((1, 1)\) a\((−1,2).\)

    17. Encuentra el campo vectorial conservador para la función potencial\(f(x,y)=5x^2+3xy+10y^2.\)

    Contestar
    \(\vecs{F}(x,y)=(10x+3y)\,\mathbf{\hat i}+(3x+20y)\,\mathbf{\hat j}\)

    Para los siguientes ejercicios, determinar si el campo vectorial es conservador y, de ser así, encontrar una función potencial.

    18. \(\vecs{F}(x,y)=(12xy)\,\mathbf{\hat i}+6(x^2+y^2)\,\mathbf{\hat j}\)

    19. \(\vecs{F}(x,y)=(e^x\cos y)\,\mathbf{\hat i}+6(e^x\sin y)\,\mathbf{\hat j}\)

    Contestar
    \(\vecs F\)no es conservadora.

    20. \(\vecs{F}(x,y)=(2xye^{x^2y})\,\mathbf{\hat i}+6(x^2e^{x^2y})\,\mathbf{\hat j}\)

    21. \(\vecs F(x,y,z)=(ye^z)\,\mathbf{\hat i}+(xe^z)\,\mathbf{\hat j}+(xye^z)\,\mathbf{\hat k}\)

    Contestar
    \(\vecs F\)es conservadora y una función potencial es\(f(x,y,z)=xye^z+k\).

    22. \(\vecs F(x,y,z)=(\sin y)\,\mathbf{\hat i}−(x\cos y)\,\mathbf{\hat j}+\,\mathbf{\hat k}\)

    23. \(\vecs F(x,y,z)=\dfrac{1}{y}\,\mathbf{\hat i}-\dfrac{x}{y^2}\,\mathbf{\hat j}+(2z−1)\,\mathbf{\hat k}\)

    Contestar
    \(\vecs F\)es conservadora y una función potencial es\(f(x,y,z)=\dfrac{x}{y}+z^2-z+k.\)

    24. \(\vecs F(x,y,z)=3z^2\,\mathbf{\hat i}−\cos y\,\mathbf{\hat j}+2xz\,\mathbf{\hat k}\)

    25. \(\vecs F(x,y,z)=(2xy)\,\mathbf{\hat i}+(x^2+2yz)\,\mathbf{\hat j}+y^2\,\mathbf{\hat k}\)

    Contestar
    \(\vecs F\)es conservadora y una función potencial es\(f(x,y,z)=x^2y+y^2z+k.\)

    Para los siguientes ejercicios, determinar si el campo vectorial dado es conservador y encontrar una función potencial.

    26. \(\vecs{F}(x,y)=(e^x\cos y)\,\mathbf{\hat i}+6(e^x\sin y)\,\mathbf{\hat j}\)

    27. \(\vecs{F}(x,y)=(2xye^{x^2y})\,\mathbf{\hat i}+(x^2e^{x^2y})\,\mathbf{\hat j}\)

    Contestar
    \(\vecs F\)es conservadora y una función potencial es\(f(x,y)=e^{x^2y}+k\)

    Para los siguientes ejercicios, evaluar la integral utilizando el Teorema Fundamental de Integrales de Línea.

    28. Evaluar\(\displaystyle \int _C\vecs ∇f·d\vecs r\), dónde\(f(x,y,z)=\cos(πx)+\sin(πy)−xyz\) y\(C\) es cualquier camino que comience\((1,12,2)\) y termine en\((2,1,−1)\).

    29. [T] Evaluar\(\displaystyle \int _C\vecs ∇f·d\vecs r\), dónde\(f(x,y)=xy+e^x\) y\(C\) es una línea recta de\((0,0)\) a\((2,1)\).

    Contestar
    \(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r=\left(e^2+1\right)\)unidades de trabajo

    30. [T] Evaluar\(\displaystyle \int _C\vecs ∇f·d\vecs r,\) dónde\(f(x,y)=x^2y−x\) y\(C\) es cualquier camino en un plano de (1, 2) a (3, 2).

    31. Evaluar\(\displaystyle \int _C\vecs ∇f·d\vecs r,\) dónde\(f(x,y,z)=xyz^2−yz\) y\(C\) tiene punto inicial\((1, 2, 3)\) y punto terminal\((3, 5, 2).\)

    Contestar
    \(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r=38\)unidades de trabajo

    Para los siguientes ejercicios, let\(\vecs{F}(x,y)=2xy^2\,\mathbf{\hat i}+(2yx^2+2y)\,\mathbf{\hat j}\) y\(G(x,y)=(y+x)\,\mathbf{\hat i}+(y−x)\,\mathbf{\hat j}\), y let\(C_1\) ser la curva que consiste en el círculo de radio 2, centrada en el origen y orientada en sentido antihorario, y\(C_2\) ser la curva que consiste en un segmento de línea de\((0, 0)\) a\((1, 1)\) seguido de un segmento de línea de\((1, 1)\) a\((3, 1).\)

    CNX_Calc_Figure_16_03_203.jpg

    32. Calcular la integral de línea de\(\vecs F\) más\(C_1\).

    33. Calcular la integral de línea de\(\vecs G\) más\(C_1\).

    Contestar
    \(\displaystyle ∮_{C_1}\vecs G·d\vecs r=−8π\)unidades de trabajo

    34. Calcular la integral de línea de\(\vecs F\) más\(C_2\).

    35. Calcular la integral de línea de\(\vecs G\) más\(C_2\).

    Contestar
    \(\displaystyle ∮_{C_2}\vecs F·d\vecs r=7\)unidades de trabajo

    36. [T] Vamos\(\vecs F(x,y,z)=x^2\,\mathbf{\hat i}+z\sin(yz)\,\mathbf{\hat j}+y\sin(yz)\,\mathbf{\hat k}\). Calcular\(\displaystyle ∮_C\vecs F·d\vecs{r}\), donde\(C\) es un camino de\(A=(0,0,1)\) a\(B=(3,1,2)\).

    37. [T] Encuentra la integral\(\displaystyle ∮_C\vecs F·dr\) de línea del campo vectorial\(\vecs F(x,y,z)=3x^2z\,\mathbf{\hat i}+z^2\,\mathbf{\hat j}+(x^3+2yz)\,\mathbf{\hat k}\) a lo largo de la curva\(C\) parametrizada por\(\vecs r(t)=(\frac{\ln t}{\ln 2})\,\mathbf{\hat i}+t^{3/2}\,\mathbf{\hat j}+t\cos(πt),1≤t≤4.\)

    Contestar
    \(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r=150\)unidades de trabajo

    Para los ejercicios 38 - 40, mostrar que los siguientes campos vectoriales son conservadores. Después calcula\(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r\) para la curva dada.

    38. \(\vecs{F}(x,y)=(xy^2+3x^2y)\,\mathbf{\hat i}+(x+y)x^2\,\mathbf{\hat j}\);\(C\) es la curva que consiste en segmentos de línea de\((1,1)\) a\((0,2)\) a\((3,0).\)

    39. \(\vecs{F}(x,y)=\dfrac{2x}{y^2+1}\,\mathbf{\hat i}−\dfrac{2y(x^2+1)}{(y^2+1)^2}\,\mathbf{\hat j}\);\(C\) está parametrizado por\(x=t^3−1,\;y=t^6−t\), para\(0≤t≤1.\)

    Contestar
    \(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r=−1\)unidades de trabajo

    40. [T]\(\vecs{F}(x,y)=[\cos(xy^2)−xy^2\sin(xy^2)]\,\mathbf{\hat i}−2x^2y\sin(xy^2)\,\mathbf{\hat j}\);\(C\) es la curva\(\langle e^t,e^{t+1}\rangle,\) para\(−1≤t≤0\).

    41. La masa de la Tierra es aproximadamente\(6×10^{27}g\) y la del Sol es 330.000 veces más. La constante gravitacional es\(6.7×10^{−8}cm^3/s^2·g\). La distancia de la Tierra al Sol es de aproximadamente\(1.5×10^{12}cm\). Calcular, aproximadamente, el trabajo necesario para aumentar la distancia de la Tierra al Sol en\(1\;cm\).

    Contestar
    \(4×10^{31}\)erg

    42. [T] Vamos\(\vecs{F}(x,y,z)=(e^x\sin y)\,\mathbf{\hat i}+(e^x\cos y)\,\mathbf{\hat j}+z^2\,\mathbf{\hat k}\). Evaluar la integral\(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r\), donde\(\vecs r(t)=\langle\sqrt{t},t^3,e^{\sqrt{t}}\rangle,\) para\(0≤t≤1.\)

    43. [T]\(C:[1,2]→ℝ^2\) Déjese dar por\(x=e^{t−1},y=\sin\left(\frac{π}{t}\right)\). Usa una computadora para computar la integral\(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs r=\int _C 2x\cos y\,dx−x^2\sin y\,dy\), donde\(\vecs{F}(x,y)=(2x\cos y)\,\mathbf{\hat i}−(x^2\sin y)\,\mathbf{\hat j}.\)

    Contestar
    \(\displaystyle \int _C\vecs F·d\vecs s=0.4687\)unidades de trabajo

    44. [T] Utilice un sistema de álgebra computacional para encontrar la masa de un cable que se encuentra a lo largo de la curva\(\vecs r(t)=(t^2−1)\,\mathbf{\hat j}+2t\,\mathbf{\hat k},\) donde\(0≤t≤1\), si la densidad viene dada por\(d(t) = \dfrac{3}{2}t\).

    45. Encuentra la circulación y flujo de campo\(\vecs{F}(x,y)=−y\,\mathbf{\hat i}+x\,\mathbf{\hat j}\) alrededor y a través del camino semicircular cerrado que consiste en arco semicircular\(\vecs r_1(t)=(a\cos t)\,\mathbf{\hat i}+(a\sin t)\,\mathbf{\hat j},\quad 0≤t≤π\), seguido de segmento de línea\(\vecs r_2(t)=t\,\mathbf{\hat i},\quad −a≤t≤a.\)

    CNX_Calc_Figure_16_03_204.jpg

    Contestar
    \(\text{circulation}=πa^2\)y\(\text{flux}=0\)

    46. Compute\(\displaystyle \int _C\cos x\cos y\,dx−\sin x\sin y\,dy,\) dónde\(\vecs r(t)=\langle t,t^2 \rangle, \quad 0≤t≤1.\)

    47. Completar la prueba del teorema titulado LA PRUEBA DE INDEPENDENCIA DEL CAMPO CONSERVADOR\(f_y=Q(x,y).\)


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