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16.7E: Ejercicios para la Sección 16.7

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

En los ejercicios 1 - 6, sin utilizar el teorema de Stokes, se calcula directamente tanto el flujo de$$curl \, \vecs F \cdot \vecs N$$ sobre la superficie dada como la integral de circulación alrededor de su límite, asumiendo que todos están orientados en sentido horario.

1. $$\vecs F(x,y,z) = y^2\,\mathbf{\hat i} + z^2\,\mathbf{\hat j} + x^2\,\mathbf{\hat k}$$;$$S$$ es la porción de primer octante del plano$$x + y + z = 1$$.

2. $$\vecs F(x,y,z) = z\,\mathbf{\hat i} + x\,\mathbf{\hat j} + y\,\mathbf{\hat k}$$;$$S$$ es hemisferio$$z = (a^2 - x^2 - y^2)^{1/2}$$.

Responder
$$\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) \, dS = \pi a^2$$

3. $$\vecs F(x,y,z) = y^2\,\mathbf{\hat i} + 2x\,\mathbf{\hat j} + 5\,\mathbf{\hat k}$$;$$S$$ es hemisferio$$z = (4 - x^2 - y^2)^{1/2}$$.

4. $$\vecs F(x,y,z) = z\,\mathbf{\hat i} + 2x\,\mathbf{\hat j} + 3y\,\mathbf{\hat k}$$;$$S$$ es el hemisferio superior$$z = \sqrt{9 - x^2 - y^2}$$.

Responder
$$\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) \, dS = 18 \pi$$

5. $$\vecs F(x,y,z) = (x + 2z)\,\mathbf{\hat i} + (y - x)\,\mathbf{\hat j} + (z - y)\,\mathbf{\hat k}$$;$$S$$ es una región triangular con vértices$$(3, 0, 0), \, (0, 3/2, 0),$$ y$$(0, 0, 3).$$

6. $$\vecs F(x,y,z) = 2y\,\mathbf{\hat i} + 6z\,\mathbf{\hat j} + 3x\,\mathbf{\hat k}$$;$$S$$ es una porción de paraboloide$$z = 4 - x^2 - y^2$$ y está por encima del$$xy$$ plano.

Responder
$$\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) \, dS = -8 \pi$$

En los ejercicios 7 - 9, utilice el teorema de Stokes$$\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) \, dS$$ para evaluar los campos vectoriales y la superficie.

7. $$\vecs F(x,y,z) = xy\,\mathbf{\hat i} - z\,\mathbf{\hat j}$$y$$S$$ es la superficie del cubo$$0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1, \, 0 \leq z \leq 1$$, a excepción de la cara donde$$z = 0$$ y usando el vector normal de la unidad exterior.

8. $$\vecs F(x,y,z) = xy\,\mathbf{\hat i} + x^2 \,\mathbf{\hat j} + z^2 \,\mathbf{\hat k}$$; y$$C$$ es la intersección de paraboloide$$z = x^2 + y^2$$ y plano$$z = y$$, y utilizando el vector normal exterior.

Responder
$$\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) \, dS = 0$$

9. $$\vecs F(x,y,z) = 4y\,\mathbf{\hat i} + z \,\mathbf{\hat j} + 2y \,\mathbf{\hat k}$$; y$$C$$ es la intersección de la esfera$$x^2 + y^2 + z^2 = 4$$ con el plano$$z = 0$$, y utilizando el vector normal exterior.

10. Utilice el teorema de Stokes para evaluar$$\displaystyle \int_C \big[2xy^2z \, dx + 2x^2yz \, dy + (x^2y^2 - 2z) \, dz\big],$$ dónde$$C$$ está la curva dada por$$x = \cos t, \, y = \sin t, \, 0 \leq t \leq 2\pi$$, atravesada en la dirección de aumento$$t.$$

Responder
$$\displaystyle \int_C \vecs F \cdot dS = 0$$

11. [T] Use a computer algebraic system (CAS) and Stokes’ theorem to approximate line integral $$\displaystyle \int_C (y \, dx + z \, dy + x \, dz),$$ where $$C$$ is the intersection of plane $$x + y = 2$$ and surface $$x^2 + y^2 + z^2 = 2(x + y)$$, traversed counterclockwise viewed from the origin.

12. [T] Use a CAS and Stokes’ theorem to approximate line integral $$\displaystyle \int_C (3y\, dx + 2z \, dy - 5x \, dz),$$ where $$C$$ is the intersection of the $$xy$$-plane and hemisphere $$z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$$, traversed counterclockwise viewed from the top—that is, from the positive $$z$$-axis toward the $$xy$$-plane.

$$\displaystyle \int_C \vecs F \cdot dS = - 9.4248$$

13. [T] Use a CAS and Stokes’ theorem to approximate line integral $$\displaystyle \int_C [(1 + y) \, z \, dx + (1 + z) x \, dy + (1 + x) y \, dz],$$ where $$C$$ is a triangle with vertices $$(1,0,0), \, (0,1,0)$$, and $$(0,0,1)$$ oriented counterclockwise.

14. Use Stokes’ theorem to evaluate $$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS,$$ where $$\vecs F(x,y,z) = e^{xy} cos \, z\,\mathbf{\hat i} + x^2 z\,\mathbf{\hat j} + xy\,\mathbf{\hat k}$$, and $$S$$ is half of sphere $$x = \sqrt{1 - y^2 - z^2}$$, oriented out toward the positive $$x$$-axis.

$$\displaystyle \iint_S \vecs F \cdot dS = 0$$

15. [T] Use a CAS and Stokes’ theorem to evaluate $$\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) \, dS,$$ where $$\vecs F(x,y,z) = x^2 y\,\mathbf{\hat i} + xy^2 \,\mathbf{\hat j} + z^3 \,\mathbf{\hat k}$$ and $$C$$ is the curve of the intersection of plane $$3x + 2y + z = 6$$ and cylinder $$x^2 + y^2 = 4$$, oriented clockwise when viewed from above.

16. [T] Use a CAS and Stokes’ theorem to evaluate $$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS,$$ where $$\vecs F(x,y,z) = \left( \sin(y + z) - yx^2 - \dfrac{y^3}{3}\right)\,\mathbf{\hat i} + x \, \cos (y + z) \,\mathbf{\hat j} + \cos (2y) \,\mathbf{\hat k}$$ and $$S$$ consists of the top and the four sides but not the bottom of the cube with vertices $$(\pm 1, \, \pm1, \, \pm1)$$, oriented outward.

$$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS = 2.6667$$

17. [T] Use a CAS and Stokes’ theorem to evaluate $$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS,$$ where $$\vecs F(x,y,z) = z^2\,\mathbf{\hat i} + 3xy\,\mathbf{\hat j} + x^3y^3\,\mathbf{\hat k}$$ and $$S$$ is the top part of $$z = 5 - x^2 - y^2$$ above plane $$z = 1$$ and $$S$$ is oriented upward.

18. Use Stokes’ theorem to evaluate $$\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) dS,$$ where $$\vecs F(x,y,z) = z^2\,\mathbf{\hat i} + y^2\,\mathbf{\hat j} + x\,\mathbf{\hat k}$$ and $$S$$ is a triangle with vertices $$(1, 0, 0), \, (0, 1, 0)$$ and $$(0, 0, 1)$$ with counterclockwise orientation.

$$\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N)dS = -\dfrac{1}{6}$$

19. Use Stokes’ theorem to evaluate line integral $$\displaystyle \int_C (z \, dx + x \, dy + y \, dz),$$ where $$C$$ is a triangle with vertices $$(3, 0, 0), \, (0, 0, 2),$$ and $$(0, 6, 0)$$ traversed in the given order.

20. Use Stokes’ theorem to evaluate $$\displaystyle \int_C \left(\dfrac{1}{2} y^2 \, dx + z \, dy + x \, dz \right),$$ where $$C$$ is the curve of intersection of plane $$x + z = 1$$ and ellipsoid $$x^2 + 2y^2 + z^2 = 1$$, oriented clockwise from the origin.

Responder
$$\displaystyle \int_C \left(\dfrac{1}{2} y^2 \, dx + z \, dy + x \, dz \right) = - \dfrac{\pi}{4}$$

21. Utilice el teorema de Stokes para evaluar$$\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) dS,$$ dónde$$\vecs F(x,y,z) = x\,\mathbf{\hat i} + y^2\,\mathbf{\hat j} + ze^{xy}\,\mathbf{\hat k}$$ y$$S$$ es la parte de la superficie$$z = 1 - x^2 - 2y^2$$ con$$z \geq 0$$, orientada en sentido antihorario.

22. Utilice el teorema de Stokes para el campo vectorial$$\vecs F(x,y,z) = z\,\mathbf{\hat i} + 3x\,\mathbf{\hat j} + 2z\,\mathbf{\hat k}$$ donde$$S$$$$C$$ es superficie$$z = 1 - x^2 - 2y^2, \, z \geq 0$$$$x^2 + y^2 = 1$$, es círculo límite y$$S$$ está orientado en la$$z$$ dirección positiva.

Responder
$$\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N)dS = -3\pi$$

23. Usa el teorema de Stokes para el campo vectorial$$\vecs F(x,y,z) = - \dfrac{3}{2} y^2\,\mathbf{\hat i} - 2 xy\,\mathbf{\hat j} + yz\,\mathbf{\hat k}$$, donde$$S$$ está esa parte de la superficie del plano$$x + y + z = 1$$ contenida dentro del triángulo$$C$$ con vértices$$(1, 0, 0), \, (0, 1, 0),$$ y$$(0, 0, 1),$$ atravesada en sentido antihorario según se ve desde arriba.

24. Se sabe que una cierta trayectoria cerrada$$C$$ en el plano$$2x + 2y + z = 1$$ se proyecta sobre el círculo unitario$$x^2 + y^2 = 1$$ en el$$xy$$ plano. Dejar$$C$$ ser una constante y dejar$$\vecs R(x,y,z) = x\,\mathbf{\hat i} + y\,\mathbf{\hat j} + z\,\mathbf{\hat k}$$. Usar el teorema de Stokes para evaluar$$\displaystyle \int_C(c \,\mathbf{\hat k} \times \vecs R) \cdot dS.$$

Responder
$$\displaystyle \int_C (c \,\mathbf{\hat k} \times \vecs R) \cdot dS = 2\pi c$$

25. Usa el teorema de Stokes y deja$$C$$ ser el límite de superficie$$z = x^2 + y^2$$ con$$0 \leq x \leq 2$$ y$$0 \leq y \leq 1$$ orientado con normal orientado hacia arriba. Definir$$\vecs F(x,y,z) = \big(\sin (x^3) + xz\big) \,\mathbf{\hat i} + (x - yz)\,\mathbf{\hat j} + \cos (z^4) \,\mathbf{\hat k}$$ y evaluar$$\int_C \vecs F \cdot dS$$.

26. Dejar$$S$$ ser hemisferio$$x^2 + y^2 + z^2 = 4$$ con$$z \geq 0$$, orientado hacia arriba. Let$$\vecs F(x,y,z) = x^2 e^{yz}\,\mathbf{\hat i} + y^2 e^{xz} \,\mathbf{\hat j} + z^2 e^{xy}\,\mathbf{\hat k}$$ Ser un campo vectorial. Usar el teorema de Stokes para evaluar$$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS.$$

Responder
$$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS = 0$$

27. Let$$\vecs F(x,y,z) = xy\,\mathbf{\hat i} + (e^{z^2} + y)\,\mathbf{\hat j} + (x + y)\,\mathbf{\hat k}$$ y let$$S$$ ser la gráfica de función$$y = \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{z^2}{9} - 1$$ con$$z \leq 0$$ orientada para que el vector normal$$S$$ tenga un componente y positivo. Usar el teorema de Stokes para calcular la integral$$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS.$$

28. Usa el teorema de Stokes para evaluar$$\displaystyle \oint \vecs F \cdot dS,$$ dónde$$\vecs F(x,y,z) = y\,\mathbf{\hat i} + z\,\mathbf{\hat j} + x\,\mathbf{\hat k}$$ y$$C$$ es un triángulo con vértices$$(0, 0, 0), \, (2, 0, 0)$$ y$$0,-2,2)$$ orientado en sentido antihorario cuando se ve desde arriba.

Responder
$$\displaystyle \oint \vecs F \cdot dS = -4$$

29. Utilice la integral de superficie en el teorema de Stokes para calcular la circulación de campo$$\vecs F,$$$$\vecs F(x,y,z) = x^2y^3 \,\mathbf{\hat i} + \,\mathbf{\hat j} + z\,\mathbf{\hat k}$$ alrededor de la$$C,$$ cual se encuentra la intersección de cilindro$$x^2 + y^2 = 4$$ y hemisferio$$x^2 + y^2 + z^2 = 16, \, z \geq 0$$, orientada en sentido antihorario cuando se ve desde arriba.

30. Usar el teorema de Stokes para calcular$$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS.$$ where $$\vecs F(x,y,z) = \,\mathbf{\hat i} + xy^2\,\mathbf{\hat j} + xy^2 \,\mathbf{\hat k}$$ and $$S$$ is a part of plane $$y + z = 2$$ inside cylinder $$x^2 + y^2 = 1$$ and oriented counterclockwise.

Responder
$$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS = 0$$

31. Utilice el teorema de Stokes para evaluar$$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS,$$ dónde$$\vecs F(x,y,z) = -y^2 \,\mathbf{\hat i} + x\,\mathbf{\hat j} + z^2\,\mathbf{\hat k}$$ y$$S$$ es la parte del plano$$x + y + z = 1$$ en el octante positivo y orientada en sentido antihorario$$x \geq 0, \, y \geq 0, \, z \geq 0$$.

32. Dejar$$\vecs F(x,y,z) = xy\,\mathbf{\hat i} + 2z\,\mathbf{\hat j} - 2y\,\mathbf{\hat k}$$ y dejar$$C$$ ser la intersección de plano$$x + z = 5$$ y cilindro$$x^2 + y^2 = 9$$, que se orienta en sentido antihorario cuando se ve desde la parte superior. Calcular la integral de línea de$$\vecs F$$ sobre$$C$$ usando el teorema de Stokes.

Responder
$$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS = -36 \pi$$

33. [T] Usa un CAS y deja$$\vecs F(x,y,z) = xy^2\,\mathbf{\hat i} + (yz - x)\,\mathbf{\hat j} + e^{yxz}\,\mathbf{\hat k}$$. Usa el teorema de Stokes para calcular la integral de superficie de curl$$\vecs F$$ sobre superficie$$S$$ con orientación hacia adentro que consiste en un cubo$$[0,1] \times [0,1] \times [0,1]$$ con el lado derecho faltante.

34. Dejar$$S$$ ser elipsoide$$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} + z^2 = 1$$ orientado en sentido antihorario y dejar$$\vecs F$$ ser un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas.

Responder
$$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot \vecs N = 0$$

35. Dejar$$S$$ ser la parte de paraboloide$$z = 9 - x^2 - y^2$$ con$$z \geq 0$$. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial$$\vecs F(x,y,z) = 3z\,\mathbf{\hat i} + 4x\,\mathbf{\hat j} + 2y\,\mathbf{\hat k}$$.

36. [T] Utilice un CAS y el teorema de Stokes para evaluar$$\displaystyle \oint \vecs F \cdot dS,$$ si$$\vecs F(x,y,z) = (3z - \sin x) \,\mathbf{\hat i} + (x^2 + e^y) \,\mathbf{\hat j} + (y^3 - \cos z) \,\mathbf{\hat k}$$, donde$$C$$ esta la curva dada por$$x = \cos t, \, y = \sin t, \, z = 1; \, 0 \leq t \leq 2\pi$$.

Responder
$$\displaystyle \oint_C \vecs F \cdot d\vecs{r} = 0$$

37. [T] Utilice un teorema de CAS y Stokes para evaluar$$\vecs F(x,y,z) = 2y\,\mathbf{\hat i} + e^z\,\mathbf{\hat j} - \arctan x \,\mathbf{\hat k}$$ con$$S$$ como una porción de paraboloide$$z = 4 - x^2 - y^2$$ cortada por el$$xy$$ plano -orientado en sentido antihorario.

38. [T] Utilice un CAS para evaluar$$\displaystyle \iint_S curl (F) \cdot dS,$$ dónde$$\vecs F(x,y,z) = 2z\,\mathbf{\hat i} + 3x\,\mathbf{\hat j} + 5y\,\mathbf{\hat k}$$ y$$S$$ es la superficie paramétricamente por$$\vecs r(r,\theta) = r \, \cos \theta \,\mathbf{\hat i} + r \, \sin \theta \,\mathbf{\hat j} + (4 - r^2) \,\mathbf{\hat k} \, (0 \leq \theta \leq 2\pi, \, 0 \leq r \leq 3)$$.

Responder
$$\displaystyle \iint_S curl (F) \cdot dS = 84.8230$$

39. Dejar$$S$$ ser paraboloide$$z = a (1 - x^2 - y^2)$$, para$$z \geq 0$$, donde$$a > 0$$ es un numero real. Vamos$$\vecs F(x,y,z) = \langle x - y, \, y + z, \, z - x \rangle$$. ¿Para qué valor (s) de$$a$$ (si los hay)$$\displaystyle \iint_S (\vecs \nabla \times \vecs F) \cdot \vecs n \, dS$$ tiene su valor máximo?

Para los ejercicios de aplicación 40 - 41, el objetivo es evaluar$$\displaystyle A = \iint_S (\vecs \nabla \times \vecs F) \cdot \vecs n \, dS,$$ dónde$$\vecs F = \langle xz, \, -xz, \, xy \rangle$$ y$$S$$ es la mitad superior del elipsoide$$x^2 + y^2 + 8z^2 = 1$$, dónde$$z \geq 0$$.

40. Evalúe una integral de superficie sobre una superficie más conveniente para encontrar el valor de$$A.$$

Responder
$$\displaystyle A = \iint_S (\vecs \nabla \times \vecs F) \cdot \vecs n \, dS = 0$$

41. Evaluar$$A$$ usando una integral de línea.

42. Toma paraboloide$$z = x^2 + y^2$$, para$$0 \leq z \leq 4$$, y córtalo con avión$$y = 0$$. Dejar$$S$$ ser la superficie que queda para$$y \geq 0$$, incluyendo la superficie plana en el$$xz$$ plano. Dejar$$C$$ ser el semicírculo y segmento de línea que delimitó la tapa de$$S$$ en plano$$z = 4$$ con orientación en sentido antihorario. Vamos$$\vecs F = \langle 2z + y, \, 2x + z, \, 2y + x \rangle$$. Evaluar$$\displaystyle \iint_S (\vecs \nabla \times \vecs F) \cdot \vecs n \, dS.$$

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