16.7E: Ejercicios para la Sección 16.7

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 116727

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

En los ejercicios 1 - 6, sin utilizar el teorema de Stokes, se calcula directamente tanto el flujo de$curl \, \vecs F \cdot \vecs N$ sobre la superficie dada como la integral de circulación alrededor de su límite, asumiendo que todos están orientados en sentido horario.

1. $\vecs F(x,y,z) = y^2\,\mathbf{\hat i} + z^2\,\mathbf{\hat j} + x^2\,\mathbf{\hat k}$;$S$ es la porción de primer octante del plano$x + y + z = 1$.

2. $\vecs F(x,y,z) = z\,\mathbf{\hat i} + x\,\mathbf{\hat j} + y\,\mathbf{\hat k}$;$S$ es hemisferio$z = (a^2 - x^2 - y^2)^{1/2}$.

Responder: $\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) \, dS = \pi a^2$

3. $\vecs F(x,y,z) = y^2\,\mathbf{\hat i} + 2x\,\mathbf{\hat j} + 5\,\mathbf{\hat k}$;$S$ es hemisferio$z = (4 - x^2 - y^2)^{1/2}$.

4. $\vecs F(x,y,z) = z\,\mathbf{\hat i} + 2x\,\mathbf{\hat j} + 3y\,\mathbf{\hat k}$;$S$ es el hemisferio superior$z = \sqrt{9 - x^2 - y^2}$.

Responder: $\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) \, dS = 18 \pi$

5. $\vecs F(x,y,z) = (x + 2z)\,\mathbf{\hat i} + (y - x)\,\mathbf{\hat j} + (z - y)\,\mathbf{\hat k}$;$S$ es una región triangular con vértices$(3, 0, 0), \, (0, 3/2, 0),$ y$(0, 0, 3).$

6. $\vecs F(x,y,z) = 2y\,\mathbf{\hat i} + 6z\,\mathbf{\hat j} + 3x\,\mathbf{\hat k}$;$S$ es una porción de paraboloide$z = 4 - x^2 - y^2$ y está por encima del$xy$ plano.

Responder: $\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) \, dS = -8 \pi$

En los ejercicios 7 - 9, utilice el teorema de Stokes$\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) \, dS$ para evaluar los campos vectoriales y la superficie.

7. $\vecs F(x,y,z) = xy\,\mathbf{\hat i} - z\,\mathbf{\hat j}$y$S$ es la superficie del cubo$0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1, \, 0 \leq z \leq 1$, a excepción de la cara donde$z = 0$ y usando el vector normal de la unidad exterior.

8. $\vecs F(x,y,z) = xy\,\mathbf{\hat i} + x^2 \,\mathbf{\hat j} + z^2 \,\mathbf{\hat k}$; y$C$ es la intersección de paraboloide$z = x^2 + y^2$ y plano$z = y$, y utilizando el vector normal exterior.

Responder: $\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) \, dS = 0$

9. $\vecs F(x,y,z) = 4y\,\mathbf{\hat i} + z \,\mathbf{\hat j} + 2y \,\mathbf{\hat k}$; y$C$ es la intersección de la esfera$x^2 + y^2 + z^2 = 4$ con el plano$z = 0$, y utilizando el vector normal exterior.

10. Utilice el teorema de Stokes para evaluar$\displaystyle \int_C \big[2xy^2z \, dx + 2x^2yz \, dy + (x^2y^2 - 2z) \, dz\big],$ dónde$C$ está la curva dada por$x = \cos t, \, y = \sin t, \, 0 \leq t \leq 2\pi$, atravesada en la dirección de aumento$t.$

$Un campo vectorial en el espacio tridimensional. Las flechas son más grandes cuanto más alejadas están del plano x, y. Las flechas se curvan hacia arriba desde abajo del plano x, y y ligeramente por encima de él. El resto tiende a curvarse hacia abajo y horizontalmente. Se dibuja una curva ovalada a través de la mitad del espacio.$

Responder: $\displaystyle \int_C \vecs F \cdot dS = 0$

11. [T] Use a computer algebraic system (CAS) and Stokes’ theorem to approximate line integral $\displaystyle \int_C (y \, dx + z \, dy + x \, dz),$ where $C$ is the intersection of plane $x + y = 2$ and surface $x^2 + y^2 + z^2 = 2(x + y)$, traversed counterclockwise viewed from the origin.

12. [T] Use a CAS and Stokes’ theorem to approximate line integral $\displaystyle \int_C (3y\, dx + 2z \, dy - 5x \, dz),$ where $C$ is the intersection of the $xy$-plane and hemisphere $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$, traversed counterclockwise viewed from the top—that is, from the positive $z$-axis toward the $xy$-plane.

Answer: $\displaystyle \int_C \vecs F \cdot dS = - 9.4248$

13. [T] Use a CAS and Stokes’ theorem to approximate line integral $\displaystyle \int_C [(1 + y) \, z \, dx + (1 + z) x \, dy + (1 + x) y \, dz],$ where $C$ is a triangle with vertices $(1,0,0), \, (0,1,0)$, and $(0,0,1)$ oriented counterclockwise.

14. Use Stokes’ theorem to evaluate $\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS,$ where $\vecs F(x,y,z) = e^{xy} cos \, z\,\mathbf{\hat i} + x^2 z\,\mathbf{\hat j} + xy\,\mathbf{\hat k}$, and $S$ is half of sphere $x = \sqrt{1 - y^2 - z^2}$, oriented out toward the positive $x$-axis.

Answer: $\displaystyle \iint_S \vecs F \cdot dS = 0$

15. [T] Use a CAS and Stokes’ theorem to evaluate $\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) \, dS,$ where $\vecs F(x,y,z) = x^2 y\,\mathbf{\hat i} + xy^2 \,\mathbf{\hat j} + z^3 \,\mathbf{\hat k}$ and $C$ is the curve of the intersection of plane $3x + 2y + z = 6$ and cylinder $x^2 + y^2 = 4$, oriented clockwise when viewed from above.

16. [T] Use a CAS and Stokes’ theorem to evaluate $\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS,$ where $\vecs F(x,y,z) = \left( \sin(y + z) - yx^2 - \dfrac{y^3}{3}\right)\,\mathbf{\hat i} + x \, \cos (y + z) \,\mathbf{\hat j} + \cos (2y) \,\mathbf{\hat k}$ and $S$ consists of the top and the four sides but not the bottom of the cube with vertices $(\pm 1, \, \pm1, \, \pm1)$, oriented outward.

Answer: $\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS = 2.6667$

17. [T] Use a CAS and Stokes’ theorem to evaluate $\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS,$ where $\vecs F(x,y,z) = z^2\,\mathbf{\hat i} + 3xy\,\mathbf{\hat j} + x^3y^3\,\mathbf{\hat k}$ and $S$ is the top part of $z = 5 - x^2 - y^2$ above plane $z = 1$ and $S$ is oriented upward.

18. Use Stokes’ theorem to evaluate $\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) dS,$ where $\vecs F(x,y,z) = z^2\,\mathbf{\hat i} + y^2\,\mathbf{\hat j} + x\,\mathbf{\hat k}$ and $S$ is a triangle with vertices $(1, 0, 0), \, (0, 1, 0)$ and $(0, 0, 1)$ with counterclockwise orientation.

Answer: $\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N)dS = -\dfrac{1}{6}$

19. Use Stokes’ theorem to evaluate line integral $\displaystyle \int_C (z \, dx + x \, dy + y \, dz),$ where $C$ is a triangle with vertices $(3, 0, 0), \, (0, 0, 2),$ and $(0, 6, 0)$ traversed in the given order.

20. Use Stokes’ theorem to evaluate $\displaystyle \int_C \left(\dfrac{1}{2} y^2 \, dx + z \, dy + x \, dz \right),$ where $C$ is the curve of intersection of plane $x + z = 1$ and ellipsoid $x^2 + 2y^2 + z^2 = 1$, oriented clockwise from the origin.

$A diagram of an intersecting plane and ellipsoid in three dimensional space. There is an orange curve drawn to show the intersection.$

Responder: $\displaystyle \int_C \left(\dfrac{1}{2} y^2 \, dx + z \, dy + x \, dz \right) = - \dfrac{\pi}{4}$

21. Utilice el teorema de Stokes para evaluar$\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) dS,$ dónde$\vecs F(x,y,z) = x\,\mathbf{\hat i} + y^2\,\mathbf{\hat j} + ze^{xy}\,\mathbf{\hat k}$ y$S$ es la parte de la superficie$z = 1 - x^2 - 2y^2$ con$z \geq 0$, orientada en sentido antihorario.

22. Utilice el teorema de Stokes para el campo vectorial$\vecs F(x,y,z) = z\,\mathbf{\hat i} + 3x\,\mathbf{\hat j} + 2z\,\mathbf{\hat k}$ donde$S$$C$ es superficie$z = 1 - x^2 - 2y^2, \, z \geq 0$$x^2 + y^2 = 1$, es círculo límite y$S$ está orientado en la$z$ dirección positiva.

Responder: $\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N)dS = -3\pi$

23. Usa el teorema de Stokes para el campo vectorial$\vecs F(x,y,z) = - \dfrac{3}{2} y^2\,\mathbf{\hat i} - 2 xy\,\mathbf{\hat j} + yz\,\mathbf{\hat k}$, donde$S$ está esa parte de la superficie del plano$x + y + z = 1$ contenida dentro del triángulo$C$ con vértices$(1, 0, 0), \, (0, 1, 0),$ y$(0, 0, 1),$ atravesada en sentido antihorario según se ve desde arriba.

24. Se sabe que una cierta trayectoria cerrada$C$ en el plano$2x + 2y + z = 1$ se proyecta sobre el círculo unitario$x^2 + y^2 = 1$ en el$xy$ plano. Dejar$C$ ser una constante y dejar$\vecs R(x,y,z) = x\,\mathbf{\hat i} + y\,\mathbf{\hat j} + z\,\mathbf{\hat k}$. Usar el teorema de Stokes para evaluar$\displaystyle \int_C(c \,\mathbf{\hat k} \times \vecs R) \cdot dS.$

Responder: $\displaystyle \int_C (c \,\mathbf{\hat k} \times \vecs R) \cdot dS = 2\pi c$

25. Usa el teorema de Stokes y deja$C$ ser el límite de superficie$z = x^2 + y^2$ con$0 \leq x \leq 2$ y$0 \leq y \leq 1$ orientado con normal orientado hacia arriba. Definir$\vecs F(x,y,z) = \big(\sin (x^3) + xz\big) \,\mathbf{\hat i} + (x - yz)\,\mathbf{\hat j} + \cos (z^4) \,\mathbf{\hat k}$ y evaluar$\int_C \vecs F \cdot dS$.

26. Dejar$S$ ser hemisferio$x^2 + y^2 + z^2 = 4$ con$z \geq 0$, orientado hacia arriba. Let$\vecs F(x,y,z) = x^2 e^{yz}\,\mathbf{\hat i} + y^2 e^{xz} \,\mathbf{\hat j} + z^2 e^{xy}\,\mathbf{\hat k}$ Ser un campo vectorial. Usar el teorema de Stokes para evaluar$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS.$

Responder: $\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS = 0$

27. Let$\vecs F(x,y,z) = xy\,\mathbf{\hat i} + (e^{z^2} + y)\,\mathbf{\hat j} + (x + y)\,\mathbf{\hat k}$ y let$S$ ser la gráfica de función$y = \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{z^2}{9} - 1$ con$z \leq 0$ orientada para que el vector normal$S$ tenga un componente y positivo. Usar el teorema de Stokes para calcular la integral$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS.$

28. Usa el teorema de Stokes para evaluar$\displaystyle \oint \vecs F \cdot dS,$ dónde$\vecs F(x,y,z) = y\,\mathbf{\hat i} + z\,\mathbf{\hat j} + x\,\mathbf{\hat k}$ y$C$ es un triángulo con vértices$(0, 0, 0), \, (2, 0, 0)$ y$0,-2,2)$ orientado en sentido antihorario cuando se ve desde arriba.

Responder: $\displaystyle \oint \vecs F \cdot dS = -4$

29. Utilice la integral de superficie en el teorema de Stokes para calcular la circulación de campo$\vecs F,$$\vecs F(x,y,z) = x^2y^3 \,\mathbf{\hat i} + \,\mathbf{\hat j} + z\,\mathbf{\hat k}$ alrededor de la$C,$ cual se encuentra la intersección de cilindro$x^2 + y^2 = 4$ y hemisferio$x^2 + y^2 + z^2 = 16, \, z \geq 0$, orientada en sentido antihorario cuando se ve desde arriba.

$Diagrama en tres dimensiones de un campo vectorial y la intersección de un silinder y un hemisferio. Las flechas son horizontales y tienen componentes x negativos para componentes y negativos y tienen componentes x positivos para componentes y positivos. La curva de intersección entre el hemisferio y el cilindro se dibuja en azul.$

30. Usar el teorema de Stokes para calcular$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS.$ where $\vecs F(x,y,z) = \,\mathbf{\hat i} + xy^2\,\mathbf{\hat j} + xy^2 \,\mathbf{\hat k}$ and $S$ is a part of plane $y + z = 2$ inside cylinder $x^2 + y^2 = 1$ and oriented counterclockwise.

$A diagram of a vector field in three dimensional space showing the intersection of a plane and a cylinder. The curve where the plane and cylinder intersect is drawn in blue.$

Responder: $\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS = 0$

31. Utilice el teorema de Stokes para evaluar$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS,$ dónde$\vecs F(x,y,z) = -y^2 \,\mathbf{\hat i} + x\,\mathbf{\hat j} + z^2\,\mathbf{\hat k}$ y$S$ es la parte del plano$x + y + z = 1$ en el octante positivo y orientada en sentido antihorario$x \geq 0, \, y \geq 0, \, z \geq 0$.

32. Dejar$\vecs F(x,y,z) = xy\,\mathbf{\hat i} + 2z\,\mathbf{\hat j} - 2y\,\mathbf{\hat k}$ y dejar$C$ ser la intersección de plano$x + z = 5$ y cilindro$x^2 + y^2 = 9$, que se orienta en sentido antihorario cuando se ve desde la parte superior. Calcular la integral de línea de$\vecs F$ sobre$C$ usando el teorema de Stokes.

Responder: $\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS = -36 \pi$

33. [T] Usa un CAS y deja$\vecs F(x,y,z) = xy^2\,\mathbf{\hat i} + (yz - x)\,\mathbf{\hat j} + e^{yxz}\,\mathbf{\hat k}$. Usa el teorema de Stokes para calcular la integral de superficie de curl$\vecs F$ sobre superficie$S$ con orientación hacia adentro que consiste en un cubo$[0,1] \times [0,1] \times [0,1]$ con el lado derecho faltante.

34. Dejar$S$ ser elipsoide$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} + z^2 = 1$ orientado en sentido antihorario y dejar$\vecs F$ ser un campo vectorial con funciones componentes que tienen derivadas parciales continuas.

Responder: $\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot \vecs N = 0$

35. Dejar$S$ ser la parte de paraboloide$z = 9 - x^2 - y^2$ con$z \geq 0$. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial$\vecs F(x,y,z) = 3z\,\mathbf{\hat i} + 4x\,\mathbf{\hat j} + 2y\,\mathbf{\hat k}$.

36. [T] Utilice un CAS y el teorema de Stokes para evaluar$\displaystyle \oint \vecs F \cdot dS,$ si$\vecs F(x,y,z) = (3z - \sin x) \,\mathbf{\hat i} + (x^2 + e^y) \,\mathbf{\hat j} + (y^3 - \cos z) \,\mathbf{\hat k}$, donde$C$ esta la curva dada por$x = \cos t, \, y = \sin t, \, z = 1; \, 0 \leq t \leq 2\pi$.

Responder: $\displaystyle \oint_C \vecs F \cdot d\vecs{r} = 0$

37. [T] Utilice un teorema de CAS y Stokes para evaluar$\vecs F(x,y,z) = 2y\,\mathbf{\hat i} + e^z\,\mathbf{\hat j} - \arctan x \,\mathbf{\hat k}$ con$S$ como una porción de paraboloide$z = 4 - x^2 - y^2$ cortada por el$xy$ plano -orientado en sentido antihorario.

38. [T] Utilice un CAS para evaluar$\displaystyle \iint_S curl (F) \cdot dS,$ dónde$\vecs F(x,y,z) = 2z\,\mathbf{\hat i} + 3x\,\mathbf{\hat j} + 5y\,\mathbf{\hat k}$ y$S$ es la superficie paramétricamente por$\vecs r(r,\theta) = r \, \cos \theta \,\mathbf{\hat i} + r \, \sin \theta \,\mathbf{\hat j} + (4 - r^2) \,\mathbf{\hat k} \, (0 \leq \theta \leq 2\pi, \, 0 \leq r \leq 3)$.

Responder: $\displaystyle \iint_S curl (F) \cdot dS = 84.8230$

39. Dejar$S$ ser paraboloide$z = a (1 - x^2 - y^2)$, para$z \geq 0$, donde$a > 0$ es un numero real. Vamos$\vecs F(x,y,z) = \langle x - y, \, y + z, \, z - x \rangle$. ¿Para qué valor (s) de$a$ (si los hay)$\displaystyle \iint_S (\vecs \nabla \times \vecs F) \cdot \vecs n \, dS$ tiene su valor máximo?

Para los ejercicios de aplicación 40 - 41, el objetivo es evaluar$\displaystyle A = \iint_S (\vecs \nabla \times \vecs F) \cdot \vecs n \, dS,$ dónde$\vecs F = \langle xz, \, -xz, \, xy \rangle$ y$S$ es la mitad superior del elipsoide$x^2 + y^2 + 8z^2 = 1$, dónde$z \geq 0$.

40. Evalúe una integral de superficie sobre una superficie más conveniente para encontrar el valor de$A.$

Responder: $\displaystyle A = \iint_S (\vecs \nabla \times \vecs F) \cdot \vecs n \, dS = 0$

41. Evaluar$A$ usando una integral de línea.

42. Toma paraboloide$z = x^2 + y^2$, para$0 \leq z \leq 4$, y córtalo con avión$y = 0$. Dejar$S$ ser la superficie que queda para$y \geq 0$, incluyendo la superficie plana en el$xz$ plano. Dejar$C$ ser el semicírculo y segmento de línea que delimitó la tapa de$S$ en plano$z = 4$ con orientación en sentido antihorario. Vamos$\vecs F = \langle 2z + y, \, 2x + z, \, 2y + x \rangle$. Evaluar$\displaystyle \iint_S (\vecs \nabla \times \vecs F) \cdot \vecs n \, dS.$

$Diagrama de un campo vectorial en un espacio tridimensional donde se cruzan un paraboloide con vértice en el origen, plano en y=0 y plano en z=4. La superficie restante es la mitad de un paraboloide bajo z=4 y por encima de y=0.$

Responder: Template:ContribOpenStaxCalc