17.0: Preludio a las ecuaciones diferenciales de segundo orden

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Ya hemos estudiado los fundamentos de las ecuaciones diferenciales, incluyendo las ecuaciones separables de primer orden. En este capítulo, vamos un poco más allá y miramos las ecuaciones de segundo orden, que son ecuaciones que contienen segundas derivadas de la variable dependiente. Los métodos de solución que examinamos son diferentes de los discutidos anteriormente, y las soluciones tienden a involucrar funciones trigonométricas así como funciones exponenciales. Aquí nos concentramos principalmente en ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes.

Esta es una foto de un amortiguador en una motocicleta. — Figura\(\PageIndex{1}\): Un sistema de suspensión de motocicleta es un ejemplo de un sistema de masa de resorte amortiguado. El resorte absorbe los golpes y mantiene la llanta en contacto con la carretera. El amortiguador amortigua el movimiento para que la motocicleta no continúe rebotando después de pasar por encima de cada bache. (crédito: NSeika, Flickr)

Tales ecuaciones tienen muchas aplicaciones prácticas. El funcionamiento de ciertos circuitos eléctricos, conocidos como circuitos de resistencia-inductor-condensador (RLC), se puede describir mediante ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes. Estos circuitos se encuentran en todo tipo de dispositivos electrónicos modernos, desde computadoras hasta teléfonos inteligentes y televisores. Dichos circuitos se pueden usar para seleccionar un rango de frecuencias de todo el espectro de ondas de radio, y se usan comúnmente para sintonizar radios AM/FM. Observamos estos circuitos más de cerca en Aplicaciones.

Los sistemas de masa de resorte, como los amortiguadores de motocicletas, son una segunda aplicación común de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Para los pilotos de motocross, los sistemas de suspensión en sus motocicletas son muy importantes. Los recorridos todoterreno en los que circulan suelen incluir saltos, y perder el control de la motocicleta al aterrizar podría costarles la carrera. El movimiento del amortiguador depende de la cantidad de amortiguación en el sistema. En este capítulo, modelamos sistemas de masa de resorte forzados y no forzados con diferentes cantidades de amortiguación.