17.1E: Ejercicios para la Sección 17.1

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 116335

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$ \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} $

$ \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} $

$ \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} $

$ \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} $

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$ $\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$ $\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$ $\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$ $\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$ $\newcommand{\evec}{\mathbf e}$ $\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$ $\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$ $\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$ $\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$ $\newcommand{\svec}{\mathbf s}$ $\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$ $\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$ $\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$ $\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$ $\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$ $\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$ $\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$ $\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$ $\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$ $\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$ $\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$ $\newcommand{\real}{\mathbb R}$ $\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$ $\newcommand{\bcal}{\cal B}$ $\newcommand{\ccal}{\cal C}$ $\newcommand{\scal}{\cal S}$ $\newcommand{\wcal}{\cal W}$ $\newcommand{\ecal}{\cal E}$ $\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$ $\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$ $\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$ $\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$ $\newcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\col}{\text{Col}}$ $\renewcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$ $\newcommand{\var}{\text{Var}}$ $\newcommand{\corr}{\text{corr}}$ $\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$ $\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$ $\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$ $\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$ $\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$ $\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$ $\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$ $\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$ $\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$ $\newcommand{\lt}{<}$ $\newcommand{\gt}{>}$ $\newcommand{\amp}{&}$ $\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

En los ejercicios 1 - 6, clasifique cada una de las siguientes ecuaciones como lineales o no lineales. Si la ecuación es lineal, determine si es homogénea o no homogénea.

1. $x^3y''+(x-1)y'-8y=0$

Contestar: lineal, homogéneo

2. $(1+y^2)y''+xy'-3y= \cos x$

3. $xy''+e^yy'=x$

Contestar: no lineal

4. $y''+ \dfrac{4}{x}y'-8xy=5x^2+1 $

5. $y''+( \sin x)y'-xy=4y $

Contestar: lineal, homogéneo

6. $y''+\left(\dfrac{x+3}{y}\right)y'=0$

En los ejercicios 7 - 10, verificar que la función dada sea una solución a la ecuación diferencial. Utilice una utilidad gráfica para graficar las soluciones particulares para varios valores de$c_1$ y$c_2.$ ¿Qué tienen en común las soluciones?

7. [T]$y''+2y'-3y=0; \quad y(x)=c_1e^x+c_2e^{-3x}$

8. [T]$x^2y''-2y-3x^2+1=0; \quad y(x)=c_1x^2+c_2x^{-1}+x^2 \ln(x)+ \frac{1}{2} $

9. [T]$y''+14y+49y=0; \quad y(x)=c_1e^{−7x}+c_2xe^{−7x}$

10. [T]$6y''−49y′+8y=0; \quad y(x)=c_1e^{x/6}+c_2e^{8x}$

En los ejercicios 11 - 30, encuentra la solución general a la ecuación diferencial lineal.

11. $y''−3y′−10y=0$

Contestar: $y = c_1e^{5x} + c_2e^{-2x}$

12. $y''−7y′+12y=0$

13. $y''+4y′+4y=0$

Contestar: $y = c_1e^{-2x} + c_2xe^{-2x}$

14. $4y''−12y′+9y=0$

15. $2y''−3y′−5y=0$

Contestar: $y = c_1e^{5x/2} + c_2e^{-x}$

16. $3y''−14y′+8y=0$

17. $y''+y′+y=0$

Contestar: $y = e^{-x/2}\left(c_1\cos\frac{\sqrt{3}x}{2} + c_2\sin\frac{\sqrt{3}x}{2}\right)$

18. $5y''+2y′+4y=0$

19. $y''−121y=0$

Contestar: $y = c_1e^{-11x} + c_2e^{11x}$

20. $8y''+14y′−15y=0$

21. $y''+81y=0$

Contestar: $y = c_1\cos 9x + c_2\sin 9x$

22. $y''−y′+11y=0$

23. $2y''=0$

Contestar: $y = c_1 + c_2x$

24. $y''−6y′+9y=0$

25. $3y''−2y′−7y=0$

Contestar: $y = c_1e^{\left( (1+\sqrt{22})/3 \right)x} + c_2e^{\left( (1-\sqrt{22})/3 \right)x}$

26. $4y''−10y′=0$

27. $36\dfrac{d^2y}{dx^2}+12\dfrac{dy}{dx}+y=0$

Contestar: $y = c_1e^{-x/6} + c_2xe^{-x/6}$

28. $25\dfrac{d^2y}{dx^2}−80\dfrac{dy}{dx}+64y=0$

29. $\dfrac{d^2y}{dx^2}−9\dfrac{dy}{dx}=0$

Contestar: $y = c_1 + c_2e^{9x}$

30. $4\dfrac{d^2y}{dx^2}+8y=0$

En los ejercicios 31 - 38, resolver el problema del valor inicial.

31. $y''+5y′+6y=0, \quad y(0)=0,\; y′(0)=−2$

Contestar: $y = -2e^{-2x} + 2e^{-3x}$

32. $y''+2y′−8y=0, \quad y(0)=5,\; y′(0)=4$

33. $y''+4y=0, \quad y(0)=3, \; y′(0)=10$

Contestar: $y = 3\cos(2x) + 5\sin(2x)$

34. $y''−18y′+81y=0, \quad y(0)=1, \; y′(0)=5 $

35. $y''−y′−30y=0, \quad y(0)=1, \; y′(0)=−16$

Contestar: $y = -e^{6x} + 2e^{-5x}$

36. $4y''+4y′−8y=0, \quad y(0)=2, \; y′(0)=1$

37. $25y''+10y′+y=0, \quad y(0)=2, \; y′(0)=1$

Contestar: $y = 2e^{-x/5} + \frac{7}{5}xe^{-x/5}$

38. $y''+y=0, \quad y(π)=1, \; y′(π)=−5$

En los ejercicios 39 - 46, resolver el problema del valor límite, si es posible.

39. $y''+y′−42y=0, \quad y(0)=0, \; y(1)=2$

Contestar: $y = \left( \frac{2}{e^6 - e^{-7}} \right)e^{6x} - \left( \frac{2}{e^6 - e^{-7}} \right)e^{-7x}$

40. $9y''+y=0, \quad y(3π^2)=6, \; y(0)=−8$

41. $y''+10y′+34y=0, \quad y(0)=6, \; y(π)=2$

Contestar: No existen soluciones.

42. $y''+7y′−60y=0, \quad y(0)=4, \; y(2)=0$

43. $y''−4y′+4y=0, \quad y(0)=2, \; y(1)=−1$

Contestar: $y = 2e^{2x} - \left( \frac{2e^{2}+1}{e^2} \right)xe^{2x}$

44. $y''−5y′=0, \quad y(0)=3, \; y(−1)=2$

45. $y''+9y=0, \quad y(0)=4, \; y(π^3)=−4$

Contestar: $y = 4\cos 3x + c_2\sin 3x,$infinitamente muchas soluciones

46. $4y''+25y=0, \quad y(0)=2, \; y(2π)=−2$

47. Encuentre una ecuación diferencial con una solución general que sea$y=c_1e^{x/5}+c_2e^{−4x}.$

Contestar: $5y'' +19y' -4y = 0$

48. Encuentre una ecuación diferencial con una solución general que sea$y=c_1e^{x}+c_2e^{−4x/3}.$

Por cada ecuación diferencial en los ejercicios 49 - 51:

Resolver el problema de valor inicial.
[T] Utilice una utilidad gráfica para graficar la solución particular.

49. $y''+64y=0; \quad y(0)=3, \; y′(0)=16$

Contestar: a.$y = 3\cos 8x + 2\sin 8x$
b.
$Esta figura es una gráfica periódica. Tiene una amplitud de 3.5. Tanto los ejes x como y se escalan en incrementos de 1.$

50. $y''−2y′+10y=0; \quad y(0)=1, \; y′(0)=13$

51. $y''+5y′+15y=0; \quad y(0)=−2, \; y′(0)=7$

Contestar: a.$y = e^{-5/2}\left[-2\cos\left(\frac{\sqrt{35}}{2}x\right) + \frac{4\sqrt{35}}{35}\sin\left(\frac{\sqrt{35}}{2}x\right) \right]$
b.
$Esta figura es una gráfica de una función oscilante. Los ejes x e y se escalan en incrementos de números pares. La amplitud de la gráfica disminuye a medida que x aumenta.$

52. (Principio de superposición) Demostrar que si$y_1(x)$ y$y_2(x)$ son soluciones a una ecuación diferencial homogénea lineal,$y''+p(x)y′+q(x)y=0,$ entonces la función$y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x),$ donde$c_1$ y$c_2$ son constantes, también es una solución.

53. Demostrar que si$a, \, b$ y$c$ son constantes positivas, entonces todas las soluciones a la ecuación diferencial lineal de segundo orden se$ay''+by′+cy=0$ acercan a cero como$x→∞.$ (Pista: Considere tres casos: dos raíces distintas, raíces reales repetidas y raíces conjugadas complejas).

Search

Text Color

Text Size

Margin Size

Font Type