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# 17.2: Ecuaciones lineales no homogéneas

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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##### Objetivos de aprendizaje
• Escribir la solución general a una ecuación diferencial no homogénea.
• Resolver una ecuación diferencial no homogénea por el método de coeficientes indeterminados.
• Resolver una ecuación diferencial no homogénea por el método de variación de parámetros.

En esta sección, examinamos cómo resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. La terminología y los métodos son diferentes a los que usamos para ecuaciones homogéneas, así que comencemos definiendo algunos términos nuevos.

## Solución general a una ecuación lineal no homogénea

Considerar la ecuación diferencial lineal no homogénea

$a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x). \nonumber$

$a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=0 \nonumber$

se llama la ecuación complementaria. Veremos que resolver la ecuación complementaria es un paso importante para resolver una ecuación diferencial no homogénea.

##### Definición: Solución particular

Una solución$$y_p(x)$$ de una ecuación diferencial que no contiene constantes arbitrarias se denomina solución particular a la ecuación.

##### Solución general a una ecuación no homogénea

$$y_p(x)$$Sea cualquier solución particular a la ecuación diferencial lineal no homogénea

$a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x). \nonumber$

También,$$c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$$ denotemos la solución general a la ecuación complementaria. Entonces, la solución general a la ecuación no homogénea viene dada por

$y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+y_p(x). \nonumber$

##### Prueba

Para probar$$y(x)$$ es la solución general, primero debemos demostrar que resuelve la ecuación diferencial y, segundo, que cualquier solución a la ecuación diferencial puede escribirse en esa forma. Sustituyendo$$y(x)$$ en la ecuación diferencial, tenemos

\begin{align*}a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y &=a_2(x)(c_1y_1+c_2y_2+y_p)″+a_1(x)(c_1y_1+c_2y_2+y_p)′ \\ &\;\;\;\; +a_0(x)(c_1y_1+c_2y_2+y_p) \\[4pt] &=[a_2(x)(c_1y_1+c_2y_2)″+a_1(x)(c_1y_1+c_2y_2)′+a_0(x)(c_1y_1+c_2y_2)] \\ &\;\;\;\; +a_2(x)y_p″+a_1(x)y_p′+a_0(x)y_p \\[4pt] &=0+r(x) \\[4pt] &=r(x). \end{align*}

Entonces$$y(x)$$ es una solución.

Ahora, dejemos$$z(x)$$ ser cualquier solución a$$a_2(x)y''+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x).$$ Entonces

\begin{align*}a_2(x)(z−y_p)″+a_1(x)(z−y_p)′+a_0(x)(z−y_p) &=(a_2(x)z″+a_1(x)z′+a_0(x)z) \\ &\;\;\;\;−(a_2(x)y_p″+a_1(x)y_p′+a_0(x)y_p) \\[4pt] &=r(x)−r(x) \\[4pt] &=0, \end{align*}

así$$z(x)−y_p(x)$$ es una solución a la ecuación complementaria. Pero,$$c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$$ es la solución general a la ecuación complementaria, entonces hay constantes$$c_1$$ y$$c_2$$ tales que

$z(x)−y_p(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x). \nonumber$

De ahí que veamos que

$z(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+y_p(x). \nonumber$

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: Verifying the General Solution

Dado que$$y_p(x)=x$$ es una solución particular a la ecuación diferencial$$y″+y=x,$$ escribir la solución general y verificar verificando que la solución satisface la ecuación.

Solución

La ecuación complementaria es la$$y″+y=0,$$ que tiene la solución general$$c_1 \cos x+c_2 \sin x.$$ Entonces, la solución general a la ecuación no homogénea es

$y(x)=c_1 \cos x+c_2 \sin x+x. \nonumber$

Para verificar que esto es una solución, sumételo en la ecuación diferencial. Tenemos

$y′(x)=−c_1 \sin x+c_2 \cos x+1 \nonumber$

y

$y″(x)=−c_1 \cos x−c_2 \sin x. \nonumber$

Entonces

\begin{align*} y″(x)+y(x) &=−c_1 \cos x−c_2 \sin x+c_1 \cos x+c_2 \sin x+x \\[4pt] &=x.\end{align*} \nonumber

Entonces,$$y(x)$$ es una solución para$$y″+y=x$$.

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Dado que$$y_p(x)=−2$$ es una solución particular para$$y″−3y′−4y=8,$$ escribir la solución general y verificar que la solución general satisface la ecuación.

Pista

Encontrar la solución general a la ecuación complementaria.

Responder

$$y(x)=c_1e^{−x}+c_2e^{4x}−2$$

En la sección anterior, aprendimos a resolver ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes. Por lo tanto, para las ecuaciones no homogéneas de la forma$$ay″+by′+cy=r(x)$$, ya sabemos resolver la ecuación complementaria, y el problema se reduce a encontrar una solución particular para la ecuación no homogénea. Ahora examinamos dos técnicas para esto: el método de coeficientes indeterminados y el método de variación de parámetros.

El método de coeficientes indeterminados implica hacer conjeturas educadas sobre la forma de la solución particular basada en la forma de$$r(x)$$. Cuando tomamos derivados de polinomios, funciones exponenciales, senos y cosenos, obtenemos polinomios, funciones exponenciales, senos y cosenos. Entonces, cuando$$r(x)$$ tiene una de estas formas, es posible que la solución a la ecuación diferencial no homogénea pueda tomar esa misma forma. Veamos algunos ejemplos para ver cómo funciona esto.

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$: Undetermined Coefficients When $$r(x)$$ Is a Polynomial

Encuentre la solución general para$$y″+4y′+3y=3x$$.

Solución

La ecuación complementaria es$$y″+4y′+3y=0$$, con solución general$$c_1e^{−x}+c_2e^{−3x}$$. Ya que$$r(x)=3x$$, la solución particular podría tener la forma$$y_p(x)=Ax+B$$. Si este es el caso, entonces tenemos$$y_p′(x)=A$$ y$$y_p″(x)=0$$. $$y_p$$Para ser una solución a la ecuación diferencial, debemos encontrar valores para$$A$$ y$$B$$ tal que

\begin{align*} y″+4y′+3y &=3x \\[4pt] 0+4(A)+3(Ax+B) &=3x \\[4pt] 3Ax+(4A+3B) &=3x. \nonumber \end{align*} \nonumber

Estableciendo coeficientes de términos similares iguales, tenemos

\begin{align*} 3A &=3 \\ 4A+3B &=0. \end{align*} \nonumber

Entonces,$$A=1$$ y$$B=−\frac{4}{3}$$, así$$y_p(x)=x−\frac{4}{3}$$ y la solución general es

$y(x)=c_1e^{−x}+c_2e^{−3x}+x−\frac{4}{3}. \nonumber$

En Ejemplo$$\PageIndex{2}$$, observe que aunque$$r(x)$$ no incluyera un término constante, era necesario que incluyéramos el término constante en nuestra conjetura. Si hubiéramos asumido una solución de la forma$$y_p=Ax$$ (sin término constante), no hubiéramos podido encontrar una solución. (¡Verifica esto!) Si la función$$r(x)$$ es un polinomio, nuestra suposición para la solución particular debe ser un polinomio del mismo grado, y debe incluir todos los términos de orden inferior, independientemente de que estén presentes en$$r(x)$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$: Undetermined Coefficients When $$r(x)$$ Is an Exponential

Encuentre la solución general para$$y″−y′−2y=2e^{3x}$$.

Solución

La ecuación complementaria es$$y″−y′−2y=0$$, con la solución general$$c_1e^{−x}+c_2e^{2x}$$. Ya que$$r(x)=2e^{3x}$$, la solución particular podría tener la forma$$y_p(x)=Ae^{3x}.$$ Entonces, tenemos$$yp′(x)=3Ae^{3x}$$ y$$y_p″(x)=9Ae^{3x}$$. $$y_p$$Para ser una solución a la ecuación diferencial, debemos encontrar un valor para$$A$$ tal que

\begin{align*} y″−y′−2y &=2e^{3x} \\[4pt] 9Ae^{3x}−3Ae^{3x}−2Ae^{3x} &=2e^{3x} \\[4pt] 4Ae^{3x} &=2e^{3x}. \end{align*} \nonumber

Entonces,$$4A=2$$ y$$A=1/2$$. Entonces,$$y_p(x)=(\frac{1}{2})e^{3x}$$, y la solución general es

$y(x)=c_1e^{−x}+c_2e^{2x}+\dfrac{1}{2}e^{3x}. \nonumber$

##### Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Encuentre la solución general para$$y″−4y′+4y=7 \sin t− \cos t.$$

Pista

$$y_p(t)=A \sin t+B \cos t$$Úselo como suposición para la solución particular.

Responder

$$y(t)=c_1e^{2t}+c_2te^{2t}+ \sin t+ \cos t$$

En el punto de control anterior,$$r(x)$$ se incluyeron términos tanto sinusoidales como coseno. Sin embargo, incluso si$$r(x)$$ se incluye un término sinusoidal solamente o un término coseno solamente, ambos términos deben estar presentes en la conjetura. El método de coeficientes indeterminados también trabaja con productos de polinomios, exponenciales, senos y cosenos. Algunas de las formas clave de$$r(x)$$ y las conjeturas asociadas para$$y_p(x)$$ se resumen en Tabla$$\PageIndex{1}$$.

Tabla$$\PageIndex{1}$$: Formas clave para el método de coeficientes indeterminados
$$r(x)$$ Adivinación inicial para$$y_p(x)$$
\ (r (x)\)” style="vertical-align:middle; ">$$k$$ (una constante) \ (y_p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">$$A$$ (una constante)
\ (r (x)\)” style="vertical-align:middle; ">$$ax+b$$ \ (y_p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">$$Ax+B$$ (Nota: La suposición debe incluir ambos términos aunque$$b=0$$.)
\ (r (x)\)” style="vertical-align:middle; ">$$ax^2+bx+c$$ \ (y_p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">$$Ax^2+Bx+C$$ (Nota: La suposición debe incluir los tres términos incluso si$$b$$ o$$c$$ son cero.)
\ (r (x)\)” style="vertical-align:middle; ">Polinomios de orden superior \ (y_p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">Polinomio del mismo orden que$$r(x)$$
\ (r (x)\)” style="vertical-align:middle; ">$$ae^{λx}$$ \ (y_p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">$$Ae^{λx}$$
\ (r (x)\)” style="vertical-align:middle; ">$$a \cos βx+b \sin βx$$ \ (y_p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">$$A \cos βx+B \sin βx$$ (Nota: La suposición debe incluir ambos términos aunque sea$$a=0$$ o$$b=0.$$)
\ (r (x)\)” style="vertical-align:middle; ">$$ae^{αx} \cos βx+be^{αx} \sin βx$$ \ (y_p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">$$Ae^{αx} \cos βx+Be^{αx} \sin βx$$
\ (r (x)\)” style="vertical-align:middle; ">$$(ax^2+bx+c)e^{λx}$$ \ (y_p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">$$(Ax^2+Bx+C)e^{λx}$$
\ (r (x)\)” style="vertical-align:middle; ">$$(a_2x^2+a_1x+a0) \cos βx \\ +(b_2x^2+b_1x+b_0) \sin βx$$ \ (y_p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">$$(A_2x^2+A_1x+A_0) \cos βx \\ +(B_2x^2+B_1x+B_0) \sin βx$$
\ (r (x)\)” style="vertical-align:middle; ">$$(a_2x^2+a_1x+a_0)e^{αx} \cos βx \\ +(b_2x^2+b_1x+b_0)e^{αx} \sin βx$$ \ (y_p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">$$(A_2x^2+A_1x+A_0)e^{αx} \cos βx \\ +(B_2x^2+B_1x+B_0)e^{αx} \sin βx$$

Tenga en cuenta que hay un escollo clave en este método. Considera la ecuación diferencial$$y″+5y′+6y=3e^{−2x}$$. Con base en la forma de$$r(x)$$, adivinamos una solución particular de la forma$$y_p(x)=Ae^{−2x}$$. Pero cuando sustituimos esta expresión en la ecuación diferencial para encontrar un valor para$$A$$, nos encontramos con un problema. Tenemos

$y_p′(x)=−2Ae^{−2x} \nonumber$

y

$y_p''=4Ae^{−2x}, \nonumber$

por lo que queremos

\begin{align*} y″+5y′+6y &=3e^{−2x} \\[4pt] 4Ae^{−2x}+5(−2Ae^{−2x})+6Ae^{−2x} &=3e^{−2x} \\[4pt] 4Ae^{−2x}−10Ae^{−2x}+6Ae^{−2x} &=3e^{−2x} \\[4pt] 0 &=3e^{−2x}, \end{align*}

lo cual no es posible.

Mirando de cerca, vemos que, en este caso, la solución general a la ecuación complementaria es$$c_1e^{−2x}+c_2e^{−3x}.$$ La función exponencial in$$r(x)$$ es en realidad una solución a la ecuación complementaria, por lo que, como acabamos de ver, se anulan todos los términos del lado izquierdo de la ecuación. Todavía podemos usar el método de coeficientes indeterminados en este caso, pero tenemos que alterar nuestra conjetura multiplicándola por$$x$$. Usando la nueva conjetura$$y_p(x)=Axe^{−2x}$$,, tenemos

$y_p′(x)=A(e^{−2x}−2xe^{−2x} \nonumber$

y

$y_p''(x)=−4Ae^{−2x}+4Axe^{−2x}. \nonumber$

La sustitución da

\begin{align*}y″+5y′+6y &=3e^{−2x} \\[4pt] (−4Ae^{−2x}+4Axe^{−2x})+5(Ae^{−2x}−2Axe^{−2x})+6Axe^{−2x} &=3e^{−2x} \\[4pt]−4Ae^{−2x}+4Axe^{−2x}+5Ae^{−2x}−10Axe^{−2x}+6Axe^{−2x} &=3e^{−2x} \\[4pt] Ae^{−2x} &=3e^{−2x}.\end{align*}

Entonces,$$A=3$$ y$$y_p(x)=3xe^{−2x}$$. Esto nos da la siguiente solución general

$y(x)=c_1e^{−2x}+c_2e^{−3x}+3xe^{−2x}. \nonumber$

Obsérvese que si también$$xe^{−2x}$$ fuera una solución a la ecuación complementaria, tendríamos que multiplicar por$$x$$ otra vez, y lo intentaríamos$$y_p(x)=Ax^2e^{−2x}$$.

##### Estrategia de resolución de problemas: método de coeficientes indeterminados
1. Resolver la ecuación complementaria y anotar la solución general.
2. Basado en la forma de$$r(x)$$, hacer una suposición inicial para$$y_p(x)$$.
3. Comprobar si algún término en la conjetura para$$y_p(x)$$ es una solución a la ecuación complementaria. Si es así, multiplica la conjetura por$$x.$$ Repita este paso hasta que no haya términos en$$y_p(x)$$ que resuelvan la ecuación complementaria.
4. Sustituir$$y_p(x)$$ en la ecuación diferencial e igualar términos similares para encontrar valores para los coeficientes desconocidos en$$y_p(x)$$.
5. Agregue la solución general a la ecuación complementaria y la solución particular que acaba de encontrar para obtener la solución general a la ecuación no homogénea.
##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$: Solving Nonhomogeneous Equations

Encuentre las soluciones generales a las siguientes ecuaciones diferenciales.

1. $$y''−9y=−6 \cos 3x$$
2. $$x″+2x′+x=4e^{−t}$$
3. $$y″−2y′+5y=10x^2−3x−3$$
4. $$y''−3y′=−12t$$

Solución

1. La ecuación complementaria es$$y″−9y=0$$, que tiene la solución general$$c_1e^{3x}+c_2e^{−3x}$$ (paso 1). Basado en la forma de$$r(x)=−6 \cos 3x,$$ nuestra suposición inicial para la solución particular es$$y_p(x)=A \cos 3x+B \sin 3x$$ (paso 2). Ninguno de los términos en$$y_p(x)$$ resolver la ecuación complementaria, por lo que esta es una suposición válida (paso 3).
Ahora queremos encontrar valores para$$A$$ y$$B,$$ así sustituirlos$$y_p$$ en la ecuación diferencial. Tenemos

$y_p′(x)=−3A \sin 3x+3B \cos 3x \text{ and } y_p″(x)=−9A \cos 3x−9B \sin 3x, \nonumber$

por lo que queremos encontrar valores de$$A$$ y$$B$$ tal que

\begin{align*}y″−9y &=−6 \cos 3x \\[4pt] −9A \cos 3x−9B \sin 3x−9(A \cos 3x+B \sin 3x) &=−6 \cos 3x \\[4pt] −18A \cos 3x−18B \sin 3x &=−6 \cos 3x. \end{align*}

Por lo tanto,

\begin{align*}−18A &=−6 \\[4pt] −18B &=0. \end{align*}

Esto da$$A=\frac{1}{3}$$ y$$B=0,$$ así$$y_p(x)=(\frac{1}{3}) \cos 3x$$ (paso 4).
Armando todo, tenemos la solución general

$y(x)=c_1e^{3x}+c_2e^{−3x}+\dfrac{1}{3} \cos 3x.\nonumber$

2. La ecuación complementaria es la$$x''+2x′+x=0,$$ que tiene la solución general$$c_1e^{−t}+c_2te^{−t}$$ (paso 1). Con base en el formulario$$r(t)=4e^{−t}$$, nuestra suposición inicial para la solución particular es$$x_p(t)=Ae^{−t}$$ (paso 2). No obstante, vemos que esta conjetura resuelve la ecuación complementaria, por lo que debemos multiplicar por$$t,$$ lo que da una nueva suposición:$$x_p(t)=Ate^{−t}$$ (paso 3). Comprobando esta nueva conjetura, vemos que también resuelve la ecuación complementaria, por lo que debemos multiplicar por t otra vez, lo que da$$x_p(t)=At^2e^{−t}$$ (paso 3 nuevamente). Ahora bien, comprobando esta suposición, vemos que$$x_p(t)$$ no resuelve la ecuación complementaria, por lo que esta es una conjetura válida (paso 3 una vez más).
Ahora queremos encontrar un valor para$$A$$, así que sustituimos$$x_p$$ en la ecuación diferencial. Tenemos

\begin{align*}x_p(t) &=At^2e^{−t}, \text{ so} \\[4pt] x_p′(t) &=2Ate^{−t}−At^2e^{−t} \end{align*}

y$x_p″(t)=2Ae^{−t}−2Ate^{−t}−(2Ate^{−t}−At^2e^{−t})=2Ae^{−t}−4Ate^{−t}+At^2e^{−t}. \nonumber$
Sustituyendo en la ecuación diferencial, queremos encontrar un valor de$$A$$ para que

\begin{align*} x″+2x′+x &=4e^{−t} \\[4pt] 2Ae^{−t}−4Ate^{−t}+At^2e^{−t}+2(2Ate^{−t}−At^2e^{−t})+At^2e^{−t} &=4e^{−t} \\[4pt] 2Ae^{−t}&=4e^{−t}. \end{align*} \nonumber

Esto da$$A=2$$, así$$x_p(t)=2t^2e^{−t}$$ (paso 4). Armando todo, tenemos la solución general

$x(t)=c_1e^{−t}+c_2te^{−t}+2t^2e^{−t}.\nonumber$

3. La ecuación complementaria es$$y″−2y′+5y=0$$, que tiene la solución general$$c_1e^x \cos 2x+c_2 e^x \sin 2x$$ (paso 1). Con base en el formulario$$r(x)=10x^2−3x−3$$, nuestra suposición inicial para la solución particular es$$y_p(x)=Ax^2+Bx+C$$ (paso 2). Ninguno de los términos en$$y_p(x)$$ resolver la ecuación complementaria, por lo que esta es una suposición válida (paso 3). Ahora queremos encontrar valores para$$A$$,, y$$B$$$$C$$, así sustituimos$$y_p$$ en la ecuación diferencial. Tenemos$$y_p′(x)=2Ax+B$$ y$$y_p″(x)=2A$$, entonces queremos encontrar valores de$$A$$,$$B$$, y$$C$$ tal que

\begin{align*}y″−2y′+5y &=10x^2−3x−3 \\[4pt] 2A−2(2Ax+B)+5(Ax^2+Bx+C) &=10x^2−3x−3 \\[4pt] 5Ax^2+(5B−4A)x+(5C−2B+2A) &=10x^2−3x−3. \end{align*}

Por lo tanto,

\begin{align*} 5A &=10 \\[4pt] 5B−4A &=−3 \\[4pt] 5C−2B+2A &=−3. \end{align*}

Esto da$$A=2$$,$$B=1$$, y$$C=−1$$, así$$y_p(x)=2x^2+x−1$$ (paso 4). Armando todo, tenemos la solución general

$y(x)=c_1e^x \cos 2x+c_2e^x \sin 2x+2x^2+x−1.\nonumber$

4. La ecuación complementaria es$$y″−3y′=0$$, que tiene la solución general$$c_1e^{3t}+c_2$$ (paso 1). Basado en la forma r (t) =−12t, r (t) =−12t, nuestra suposición inicial para la solución en particular es$$y_p(t)=At+B$$ (paso 2). No obstante, vemos que el término constante en esta conjetura resuelve la ecuación complementaria, por lo que debemos multiplicar por$$t$$, lo que da una nueva suposición:$$y_p(t)=At^2+Bt$$ (paso 3). Comprobando esta nueva conjetura, vemos que ninguno de los términos en$$y_p(t)$$ resolver la ecuación complementaria, por lo que esta es una conjetura válida (paso 3 nuevamente). Ahora queremos encontrar valores para$$A$$ y$$B,$$ así sustituimos$$y_p$$ en la ecuación diferencial. Tenemos$$y_p′(t)=2At+B$$ y$$y_p″(t)=2A$$, entonces queremos encontrar valores de AA y BB tales que

\begin{align*}y″−3y′ &=−12t \\[4pt] 2A−3(2At+B) &=−12t \\[4pt] −6At+(2A−3B) &=−12t. \end{align*}

Por lo tanto,

\begin{align*}−6A &=−12 \\[4pt] 2A−3B &=0. \end{align*}

Esto da$$A=2$$ y$$B=4/3$$, así$$y_p(t)=2t^2+(4/3)t$$ (paso 4). Armando todo, tenemos la solución general

$y(t)=c_1e^{3t}+c_2+2t^2+\dfrac{4}{3}t.\nonumber$

##### Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Encuentre la solución general a las siguientes ecuaciones diferenciales.

1. $$y″−5y′+4y=3e^x$$
2. $$y″+y′−6y=52 \cos 2t$$
Pista

Utilice la estrategia de resolución de problemas.

Contestar a

$$y(x)=c_1e^{4x}+c_2e^x−xe^x$$

Respuesta b

$$y(t)=c_1e^{−3t}+c_2e^{2t}−5 \cos 2t+ \sin 2t$$

## Variación de parámetros

A veces, no$$r(x)$$ es una combinación de polinomios, exponenciales, o senos y cosenos. Cuando este es el caso, el método de coeficientes indeterminados no funciona, y tenemos que usar otro enfoque para encontrar una solución particular a la ecuación diferencial. Se utiliza un enfoque llamado método de variación de parámetros.

Para simplificar un poco nuestros cálculos, vamos a dividir la ecuación diferencial por$$a,$$ lo que tenemos un coeficiente principal de 1. Entonces la ecuación diferencial tiene la forma

$y″+py′+qy=r(x), \nonumber$

donde$$p$$ y$$q$$ son constantes.

Si la solución general a la ecuación complementaria viene dada por$$c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$$, vamos a buscar una solución particular de la forma

$y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x). \nonumber$

En este caso, utilizamos las dos soluciones linealmente independientes a la ecuación complementaria para formar nuestra solución particular. Sin embargo, estamos asumiendo que los coeficientes son funciones de$$x$$, más que constantes. Queremos encontrar funciones$$u(x)$$ y$$v(x)$$ tal que$$y_p(x)$$ satisfaga la ecuación diferencial. Tenemos

\begin{align*}y_p &=uy_1+vy_2 \\[4pt] y_p′ &=u′y_1+uy_1′+v′y_2+vy_2′ \\[4pt] y_p″ &=(u′y_1+v′y_2)′+u′y_1′+uy_1″+v′y_2′+vy_2″. \end{align*}

Sustituyendo en la ecuación diferencial, obtenemos

\begin{align*}y_p″+py_p′+qy_p &=[(u′y_1+v′y_2)′+u′y_1′+uy_1″+v′y_2′+vy_2″] \\ &\;\;\;\;+p[u′y_1+uy_1′+v′y_2+vy_2′]+q[uy_1+vy_2] \\[4pt] &=u[y_1″+p_y1′+qy_1]+v[y_2″+py_2′+qy_2] \\ &\;\;\;\; +(u′y_1+v′y_2)′+p(u′y_1+v′y_2)+(u′y_1′+v′y_2′). \end{align*}

Obsérvese que$$y_1$$ y$$y_2$$ son soluciones a la ecuación complementaria, por lo que los dos primeros términos son cero. Así, tenemos

$(u′y_1+v′y_2)′+p(u′y_1+v′y_2)+(u′y_1′+v′y_2′)=r(x). \nonumber$

Si simplificamos esta ecuación imponiendo la condición adicional$$u′y_1+v′y_2=0$$, los dos primeros términos son cero, y esto se reduce a$$u′y_1′+v′y_2′=r(x)$$. Entonces, con esta condición adicional, tenemos un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas:

\begin{align*} u′y_1+v′y_2 &= 0 \\[4pt] u′y_1′+v′y_2′ &=r(x). \end{align*}

Resolver este sistema nos da$$u′$$ y$$v′$$, que podemos integrar para encontrar$$u$$ y$$v$$.

Entonces,$$y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x)$$ es una solución particular a la ecuación diferencial. Resolver este sistema de ecuaciones a veces es desafiante, así que aprovechemos esta oportunidad para revisar la regla de Cramer, que nos permite resolver el sistema de ecuaciones utilizando determinantes.

##### REGLA: REGLA DE CRAMER

El sistema de ecuaciones

\begin{align*} a_1z_1+b_1z_2 &=r_1 \\[4pt] a_2z_1+b_2z_2 &=r_2 \end{align*}

tiene una solución única si y sólo si el determinante de los coeficientes no es cero. En este caso, la solución viene dada por

$z_1=\dfrac{\begin{array}{|ll|}r_1 b_1 \\ r_2 b_2 \end{array}}{\begin{array}{|ll|}a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \end{array}} \; \; \; \; \; \text{and} \; \; \; \; \; z_2= \dfrac{\begin{array}{|ll|}a_1 r_1 \\ a_2 r_2 \end{array}}{\begin{array}{|ll|}a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \end{array}}. \label{cramer}$

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$: Using Cramer’s Rule

Usa la regla de Cramer para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

\begin{align*}x^2z_1+2xz_2 &=0 \\[4pt] z_1−3x^2z_2 &=2x \end{align*}

Solución

Tenemos

\begin{align*} a_1(x) &=x^2 \\[4pt] a_2(x) &=1 \\[4pt] b_1(x) &=2x \\[4pt] b_2(x) &=−3x^2 \\[4pt] r_1(x) &=0 \\[4pt] r_2(x) &=2x. \end{align*}

Entonces,$\begin{array}{|ll|}a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \end{array}=\begin{array}{|ll|}x^2 2x \\ 1 −3x^2 \end{array}=−3x^4−2x \nonumber$

y

$\begin{array}{|ll|}r_1 b_1 \\ r_2 b_2 \end{array}=\begin{array}{|ll|}0 2x \\ 2x -3x^2 \end{array}=0−4x^2=−4x^2. \nonumber$

Por lo tanto,

$z1=\dfrac{\begin{array}{|ll|}r_1 b_1 \\ r_2 b_2 \end{array}}{\begin{array}{|ll|}a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \end{array}}=\dfrac{−4x^2}{−3x^4−2x}=\dfrac{4x}{3x^3+2}. \nonumber$

$\begin{array}{|ll|}a_1 r_1 \\ a_2 r_2 \end{array}=\begin{array}{|ll|} x^2 0 \\ 1 2x \end{array}=2x^3−0=2x^3. \nonumber$

Por lo tanto,

$z2=\dfrac{\begin{array}{|ll|}a_1 r_1 \\ a_2 r_2 \end{array}}{\begin{array}{|ll|}a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \end{array}}=\dfrac{2x^3}{−3x^4−2x}=\dfrac{−2x^2}{3x^3+2}.\nonumber$

##### Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Usa la regla de Cramer para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

\begin{align*} 2xz_1−3z_2 &=0 \\[4pt] x^2z_1+4xz_2 &=x+1 \end{align*}

Pista

Utilice el proceso del ejemplo anterior.

Responder

$$z_1=\frac{3x+3}{11x^2}$$,$$z_2=\frac{2x+2}{11x}$$

##### Estrategia de resolución de problemas: método de variación de parámetros
1. Resuelve la ecuación complementaria y escribe la solución general$c_1y_1(x)+c_2y_2(x). \nonumber$
2. Utilice la regla de Cramer u otra técnica adecuada para encontrar funciones$$u′(x)$$ y$$v′(x)$$ satisfactorias\begin{align*} u′y_1+v′y_2 &=0 \\[4pt] u′y_1′+v′y_2′ &=r(x). \end{align*}
3. $$v′$$Integrar$$u′$$ y encontrar$$u(x)$$ y$$v(x)$$. Entonces,$$y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x)$$ es una solución particular a la ecuación.
4. Agregar la solución general a la ecuación complementaria y la solución particular que se encuentra en el paso 3 para obtener la solución general a la ecuación no homogénea.
##### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$: Using the Method of Variation of Parameters

Encuentre la solución general a las siguientes ecuaciones diferenciales.

1. $$y″−2y′+y=\dfrac{e^t}{t^2}$$
2. $$y″+y=3 \sin ^2 x$$

Solución

1. La ecuación complementaria es$$y″−2y′+y=0$$ con la solución general asociada$$c_1e^t+c_2te^t$$. Por lo tanto,$$y_1(t)=e^t$$ y$$y_2(t)=te^t$$. Calculando las derivadas, obtenemos$$y_1′(t)=e^t$$ y$$y_2′(t)=e^t+te^t$$ (paso 1). Entonces, queremos encontrar funciones$$u′(t)$$ y$$v′(t)$$ para que

\begin{align*} u′e^t+v′te^t &=0 \\[4pt] u′e^t+v′(e^t+te^t) &= \dfrac{e^t}{t^2}. \end{align*}

Aplicando la regla de Cramer (Ecuación\ ref {cramer}), tenemos

$u′=\dfrac{\begin{array}{|lc|}0 te^t \\ \frac{e^t}{t^2} e^t+te^t \end{array}}{ \begin{array}{|lc|}e^t te^t \\ e^t e^t+te^t \end{array}} =\dfrac{0−te^t(\frac{e^t}{t^2})}{e^t(e^t+te^t)−e^tte^t}=\dfrac{−\frac{e^{2t}}{t}}{e^{2t}}=−\dfrac{1}{t} \nonumber$

y

$v′= \dfrac{\begin{array}{|ll|}e^t 0 \\ e^t \frac{e^t}{t^2} \end{array} }{\begin{array}{|lc|}e^t te^t \\ e^t e^t+te^t \end{array} } =\dfrac{e^t(\frac{e^t}{t^2})}{e^{2t}}=\dfrac{1}{t^2}\quad(\text{step 2}). \nonumber$

Integrando, obtenemos

\begin{align*} u &=−\int \dfrac{1}{t}dt=− \ln|t| \\[4pt] v &=\int \dfrac{1}{t^2}dt=−\dfrac{1}{t} \tag{step 3} \end{align*}

Entonces tenemos

\begin{align*}y_p &=−e^t \ln|t|−\frac{1}{t}te^t \\[4pt] &=−e^t \ln |t|−e^t \tag{step 4}.\end{align*}

El$$e^t$$ término es una solución a la ecuación complementaria, por lo que no necesitamos llevar ese término a nuestra solución general explícitamente. La solución general es

$y(t)=c_1e^t+c_2te^t−e^t \ln |t| \tag{step 5}$

2. La ecuación complementaria es$$y″+y=0$$ con la solución general asociada$$c_1 \cos x+c_2 \sin x$$. Entonces,$$y_1(x)= \cos x$$ y$$y_2(x)= \sin x$$ (paso 1). Entonces, queremos encontrar funciones$$u′(x)$$ y$$v′(x)$$ tal que

\begin{align*} u′ \cos x+v′ \sin x &=0 \\[4pt] −u′ \sin x+v′ \cos x &=3 \sin _2 x \end{align*}. \nonumber

Aplicando la regla de Cramer, tenemos

$u′= \dfrac{\begin{array}{|cc|}0 \sin x \\ 3 \sin ^2 x \cos x \end{array}}{ \begin{array}{|cc|} \cos x \sin x \\ − \sin x \cos x \end{array}}=\dfrac{0−3 \sin^3 x}{ \cos ^2 x+ \sin ^2 x}=−3 \sin^3 x \nonumber$

y

$v′=\dfrac{\begin{array}{|cc|} \cos x 0 \\ - \sin x 3 \sin^2 x \end{array}}{ \begin{array}{|cc|} \cos x \sin x \\ − \sin x \cos x \end{array}}=\dfrac{ 3 \sin^2x \cos x}{ 1}=3 \sin^2 x \cos x( \text{step 2}). \nonumber$

Integrando primero para encontrar$$u,$$ que obtenemos

$u=\int −3 \sin^3 x dx=−3 \bigg[ −\dfrac{1}{3} \sin ^2 x \cos x+\dfrac{2}{3} \int \sin x dx \bigg]= \sin^2 x \cos x+2 \cos x. \nonumber$

Ahora, nos integramos para encontrar$$v.$$ Usando la sustitución (con$$w= \sin x$$), obtenemos

$v= \int 3 \sin ^2 x \cos x dx=\int 3w^2dw=w^3=sin^3x.\nonumber$

Entonces,

\begin{align*}y_p &=(\sin^2 x \cos x+2 \cos x) \cos x+(\sin^3 x)\sin x \\[4pt] &=\sin_2 x \cos _2 x+2 \cos _2 x+ \sin _4x \\[4pt] &=2 \cos_2 x+ \sin_2 x(\cos^2 x+\sin ^2 x) & & (\text{step 4}). \\[4pt] &=2 \cos _2 x+\sin_2x \\[4pt] &= \cos _2 x+1 \end{align*}

La solución general es

$y(x)=c_1 \cos x+c_2 \sin x+1+ \cos^2 x(\text{step 5}).\nonumber$

##### Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Encuentre la solución general a las siguientes ecuaciones diferenciales.

1. $$y″+y= \sec x$$
2. $$x″−2x′+x=\dfrac{e^t}{t}$$
Pista

Siga la estrategia de resolución de problemas.

Contestar a

$$y(x)=c_1 \cos x+c_2 \sin x+ \cos x \ln| \cos x|+x \sin x$$

Respuesta b

$$x(t)=c_1e^t+c_2te^t+te^t \ln|t|$$

## Conceptos clave

• Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden, primero encuentre la solución general a la ecuación complementaria, luego encuentre una solución particular a la ecuación no homogénea.
• $$y_p(x)$$Sea cualquier solución particular a la ecuación diferencial lineal no homogénea$a_2(x)y''+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x), \nonumber$ y deje$$c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$$ denotar la solución general a la ecuación complementaria. Entonces, la solución general a la ecuación no homogénea viene dada por$y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+y_p(x). \nonumber$
• Cuando$$r(x)$$ es una combinación de polinomios, funciones exponenciales, senos y cosenos, usa el método de coeficientes indeterminados para encontrar la solución particular. Para utilizar este método, se asume una solución en la misma forma que$$r(x)$$, multiplicándose por x según sea necesario hasta que la solución asumida sea linealmente independiente de la solución general a la ecuación complementaria. Luego, sustituya la solución asumida en la ecuación diferencial para encontrar valores para los coeficientes.
• Cuando no$$r(x)$$ es una combinación de polinomios, funciones exponenciales, o senos y cosenos, utilizar el método de variación de parámetros para encontrar la solución particular. Este método implica utilizar la regla de Cramer u otra técnica adecuada para encontrar funciones y$$v′(x)$$ satisfactorias\begin{align*}u′y_1+v′y_2 &=0 \\[4pt] u′y_1′+v′y_2′ &=r(x). \end{align*} Entonces,$$y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x)$$ es una solución particular a la ecuación diferencial.

#### Ecuaciones Clave

• Ecuación complementaria
$$a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=0$$
• Solución general a una ecuación diferencial lineal no homogénea
$$y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+y_p(x)$$

## Glosario

ecuación complementaria
para la ecuación diferencial lineal no homogénea$$a+2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x),$$ la ecuación homogénea asociada, llamada ecuación complementaria, es$$a_2(x)y''+a_1(x)y′+a_0(x)y=0$$
un método que implica buscar soluciones particulares en la forma$$y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x)$$, donde$$y_1$$ y$$y_2$$ son soluciones linealmente independientes a las ecuaciones complementarias, y luego resolver un sistema de ecuaciones para encontrar$$u(x)$$ y$$v(x)$$
una solución$$y_p(x)$$ de una ecuación diferencial que no contiene constantes arbitrarias