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# 17.4: Soluciones en Serie de Ecuaciones Diferenciales

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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##### Objetivos de aprendizaje
• Utilice series de potencia para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y segundo orden.

Anteriormente, estudiamos cómo las funciones se pueden representar como series de potencia,$$\displaystyle y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$$. También vimos que podemos encontrar representaciones en serie de las derivadas de tales funciones diferenciando el término de la serie de potencia por término. Esto da

$y′(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n−1} \nonumber$

y

$y″(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n−1)a_nx^{n−2}. \nonumber$

En algunos casos, estas representaciones de series de potencia pueden ser utilizadas para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales.

Se eligieron los ejemplos y ejercicios de esta sección para los cuales existen soluciones de poder. Sin embargo, no siempre ocurre que existan soluciones de energía. Aquellos de ustedes interesados en un tratamiento más riguroso de este tema deben revisar la sección de ecuaciones diferenciales de los LibreTexts.

##### Estrategia de resolución de problemas: Encontrar soluciones de series de potencia para ecuaciones diferenciales
1. Supongamos que la ecuación diferencial tiene una solución de la forma$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n. \nonumber$
2. Diferenciar el término de la serie de potencia por término para obtener$y′(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n−1} \nonumber$ y$y″(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n−1)a_nx^{n−2}. \nonumber$
3. Sustituir las expresiones de la serie de potencia en la ecuación diferencial.
4. Vuelva a indexar las sumas según sea necesario para combinar términos y simplificar la expresión.
5. Equiparar coeficientes de potencias similares de$$x$$ para determinar valores para los coeficientes$$a_n$$ en la serie de potencias.
6. Sustituya los coeficientes de nuevo en la serie de potencia y escriba la solución.
##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: Series Solutions to Differential Equations

Encuentre una solución de series de potencia para las siguientes ecuaciones diferenciales.

1. $$y''−y=0$$
2. $$(x^2−1)y″+6xy′+4y=−4$$

Solución

Parte A

Asumir

$y(x)=\sum_{n=0}^{∞}a_nx^n \tag{step 1}$

Entonces,

$y′(x)=\sum_{n=1}^{∞}na_nx^{n−1} \tag{step 2A}$

y

$y″(x)=\sum_{n=2}^{∞}n(n−1)a_nx^{n−2} \tag{step 2B}$

Queremos encontrar valores para los coeficientes de$$a_n$$ tal manera que

\begin{align*} &y″−y =0 \\[4pt] &\sum_{n=2}^{∞}n(n−1)a_nx^{n−2}−\sum_{n=0}^{∞}a_nx^n =0 \tag{step 3}. \end{align*}

Queremos que los índices de nuestras sumas coincidan para que podamos expresarlos usando una sola suma. Es decir, queremos reescribir la primera suma para que comience con$$n=0$$.

Para reindexar el primer término, reemplazar$$n$$ con$$n+2$$ dentro de la suma, y cambiar el límite de suma inferior a$$n=0.$$ Obtenemos

$\sum_{n=2}^{∞}n(n−1)a_nx^{n−2}=\sum_{n=0}^∞ (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n. \nonumber$

Esto da

\begin{align*}\sum_{n=0}^{∞}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n−\sum_{n=0}^{∞}a_nx_n &=0 \\[4pt] \sum_{n=0}^{∞}[(n+2)(n+1)a_{n+2}−a_n]x^n &=0 \tag{step 4}.\end{align*}

Debido a que las expansiones de las funciones de series de potencia son únicas, esta ecuación puede ser cierta solo si los coeficientes de cada potencia de$$x$$ son cero. Así que tenemos

$(n+2)(n+1)a_{n+2}−a_n=0 \text{ for }n=0,1,2,…. \nonumber$

Esta relación de recurrencia nos permite expresar cada coeficiente$$a_n$$ en términos del coeficiente dos términos antes. Esto produce una expresión para los valores pares de$$n$$ y otra expresión para los valores impares de$$n$$. Mirando primero las ecuaciones que involucran valores pares de$$n$$, vemos que

\begin{align*}a_2 &= \dfrac{a_0}{2} \\[5pt] a_4 &= \dfrac{a_2}{4⋅3} = \dfrac{a_0}{4!}\\[5pt] a_6 &= \dfrac{a_4}{6⋅5} =\dfrac{a_0}{6!} \\ &\qquad ⋮ \end{align*}

Así, en general, cuando$$n$$ es parejo,

$a_n=\dfrac{a_0}{n!}. \tag{step 5}$

Para las ecuaciones que involucran valores impares de$$n,$$ vemos que

\begin{align*}a_3 &=\dfrac{a_1}{3⋅2}=\dfrac{a_1}{3!} \\[5pt] a_5 &= \dfrac{a_3}{5⋅4}=\dfrac{a_1}{5!} \\[5pt] a_7 &= \dfrac{a_5}{7⋅6}=\dfrac{a_1}{7!} \\ &\qquad ⋮ \end{align*}

Por lo tanto, en general, cuando$$n$$ es impar,

$a_n=\dfrac{a_1}{n!}. \tag{step 5}$

Armando esto, tenemos

\begin{align*}y(x) &= \sum_{n=0}^{∞}a_nx^n \\[4pt] &=a_0+a_1x+\dfrac{a_0}{2}x^2+\dfrac{a_1}{3!}x^3+\dfrac{a_0}{4!}x^4+\dfrac{a_1}{5!}x^5+⋯. \end{align*}

Reindexando las sumas para contabilizar los valores pares e impares de$$n$$ por separado, obtenemos

$y(x)=a_0 \sum_{k=0}^{∞} \dfrac{1}{(2k)!}x^{2k}+a_1 \sum_{k=0}^{∞}\dfrac{1}{(2k+1)!}x^{2k+1}. \tag{step 6}$

Análisis para la parte a.

Como se esperaba para una ecuación diferencial de segundo orden, esta solución depende de dos constantes arbitrarias. Sin embargo, tenga en cuenta que nuestra ecuación diferencial es una ecuación diferencial de coeficiente constante, sin embargo, la solución de series de potencia no parece tener la forma familiar (que contiene funciones exponenciales) que estamos acostumbrados a ver. Además, como$$y(x)=c_1e^x+c_2e^{−x}$$ es la solución general a esta ecuación, debemos poder escribir cualquier solución en esta forma, y no está claro si la solución de series de potencia que acabamos de encontrar puede, de hecho, escribirse en esa forma.

Afortunadamente, después de escribir las representaciones de la serie de poder$$e^x$$$$e^{−x},$$ y hacer algo de álgebra, encontramos que si elegimos

$c_0=\dfrac{(a_0+a_1)}{2}, c_1=\dfrac{(a_0−a_1)}{2}, \nonumber$

entonces tenemos$$a_0=c_0+c_1$$ y$$a_1=c_0−c_1,$$ y

\begin{align*}y(x) &= a_0+a_1x+\dfrac{a_0}{2}x^2+\dfrac{a_1}{3!}x^3+\dfrac{a_0}{4!}x^4+\dfrac{a_1}{5!}x^5+⋯ \\[4pt] &=(c_0+c_1)+(c_0−c_1)x+\dfrac{(c_0+c_1)}{2}x^2+\dfrac{(c_0−c_1)}{3!}x^3+\dfrac{(c_0+c_1)}{4!}x^4+\dfrac{(c_0−c_1)}{5!}x^5+⋯\\[4pt] &=c_0 \sum_{n=0}^{∞} \dfrac{x^n}{n!}+c_1 \sum_{n=0}^{∞}\dfrac{(−x)^n}{n!} \\[4pt] &=c_0e^x+c_1e^{−x}.\end{align*}

Entonces, de hecho, hemos encontrado la misma solución general. Tenga en cuenta que esta elección de$$c_1$$ y no$$c_2$$ es obvia. Este es un caso en el que sabemos cuál debe ser la respuesta, y tenemos esencialmente “ingeniería inversa” nuestra elección de coeficientes.

Parte b

Asumir

$y(x)=\sum_{n=0}^{∞}a_nx^n \tag{step 1}$

Entonces,

$y′(x)=\sum_{n=1}^{∞}na_nx^{n−1} \tag{step 2}$

y

$y″(x)=\sum_{n=2}^{∞}n(n−1)a_nx^{n−2} \tag{step 2}$

Queremos encontrar valores para los coeficientes de$$a_n$$ tal manera que

\begin{align*}(x^2−1)y″+6xy′+4y &=−4 \\ (x^2−1) \sum_{n=2}^{∞}n(n−1)a_nx^{n−2}+6x \sum_{n=1}^{∞}na_nx^{n−1}+4 \sum_{n=0}^{∞}a_nx^n &=−4 \\[4pt] x^2 \sum_{n=2}^{∞} n(n−1)a_nx^{n−2}−\sum_{n=2}^{∞}n(n−1)a_nx^{n−2}+6x \sum_{n=1}^{∞}na_nx^{n−1}+4 \sum_{n=0}^{∞}a_nx^n &=−4. \end{align*}

Tomando los factores externos dentro de las sumas, obtenemos

$\sum_{n=2}^{∞}n(n−1)a_nx^n−\sum_{n=2}^{∞}n(n−1)a_nx^{n−2}+\sum_{n=1}^∞ 6na_nx^n+ \sum_{n=0}^∞ 4a_nx^n=−4 \tag{step 3}.$

Ahora bien, en la primera suma, vemos que cuando$$n=0$$ o$$n=1$$, el término evalúa a cero, así podemos volver a sumar estos términos a nuestra suma para obtener

$\sum_{n=2}^{∞}n(n−1)a_nx^n=\sum_{n=0}^∞ n(n−1)a_nx^n. \nonumber$

De igual manera, en el tercer término, vemos que cuando$$n=0$$, la expresión evalúa a cero, así podemos volver a agregar ese término también. Tenemos

$\sum_{n=1}^∞ 6na_nx^n=\sum_{n=0}^∞6na_nx^n. \nonumber$

Entonces, solo necesitamos cambiar los índices en nuestro segundo término. Obtenemos

$\sum_{n=2}^∞n(n−1)a_nx^{n−2}=\sum_{n=0}^∞(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n. \nonumber$

Por lo tanto, tenemos

\begin{align*} \sum_{n=0}^∞n(n−1)a_nx^n−\sum_{n=0}^∞(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n+\sum_{n=0}^∞6na_nx^n+\sum_{n=0}^∞4a_nx^n &=−4 \tag{step 4} \\[4pt] \sum_{n=0}^∞[n(n−1)a_n−(n+2)(n+1)a_{n+2}+6na_n+4a_n]x^n &=−4 \\[4pt] \sum_{n=0}^∞[(n^2−n)a_n+6na_n+4a_n−(n+2)(n+1)a_{n+2}]x^n &=−4 \\[4pt] \sum_{n=0}^∞[n^2a_n+5na_n+4a_n−(n+2)(n+1)a_{n+2}]x^n &=−4 \\[4pt] \sum_{n=0}^∞ [(n^2+5n+4)a_n−(n+2)(n+1)a_{n+2}]x^n &=−4 \\[4pt] \sum_{n=0}^∞[(n+4)(n+1)a_n−(n+2)(n+1)a_{n+2}]x^n &=−4 \end{align*}

Mirando los coeficientes de cada potencia de$$x$$, vemos que el término constante debe ser igual a$$−4$$, y los coeficientes de todas las demás potencias de$$x$$ deben ser cero. Entonces, mirando primero el término constante,

\begin{aligned}4a_0−2a_2 &=−4 \\ a_2 &=2a_0+2 \end{aligned} \tag{step 3}

Para$$n≥1$$, tenemos

\begin{align*}(n+4)(n+1)a_n−(n+2)(n+1)a_{n+2} &= 0 \\[4pt] (n+1)[(n+4)a_n−(n+2)a_{n+2}] &=0. \end{align*}

Ya$$n≥1, \; n+1≠0,$$ que vemos que

$(n+4)a_n−(n+2)a_{n+2}=0 \nonumber$

y por lo tanto

$a_{n+2}=\dfrac{n+4}{n+2}a_n. \nonumber$

Para incluso los valores de$$n$$, tenemos

\begin{align*} a_4 &=\dfrac{6}{4}(2a_0+2)=3a_0+3 \\ a_6 &= \dfrac{8}{6}(3a_0+3)=4a_0+4 \\[4pt] &\qquad ⋮ \end{align*}

En general,

$a_{2k}=(k+1)(a_0+1). \tag{step 5}$

Para los valores impares de$$n,$$ tenemos

\begin{align*}a_3 &=\dfrac{5}{3}a_1 \\[4pt] a_5 &= \dfrac{7}{5}a_3=\dfrac{7}{3}a_1 \\[4pt] a_7 &=\dfrac{9}{7}a_5=\dfrac{9}{3} a_1=3a_1 \\[4pt] &\qquad ⋮ \end{align*}

En general,

$a_{2k+1}=\dfrac{2k+3}{3}a_1. \tag{step 5 continued}$

Armando esto, tenemos

$y(x)=\sum_{k=0}^∞ (k+1)(a_0+1)x^{2k}+\sum_{k=0}^∞ (\dfrac{2k+3}{3})a_1x^{2k+1}. \tag{step 6}$

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Encuentre una solución de series de potencia para las siguientes ecuaciones diferenciales.

1. $$y′+2xy=0$$
2. $$(x+1)y′=3y$$
Insinuación

Siga la estrategia de resolución de problemas.

Contestar a

$$\displaystyle y(x)=a_0 \sum_{n=0}^∞ \dfrac{(−1)^n}{n!}x^{2n}=a_0e^{−x^2}$$

Respuesta b

$$y(x)=a_0(x+1)^3$$

## Funciones de Bessel

Cerramos esta sección con una breve introducción a las funciones de Bessel. El tratamiento completo de las funciones de Bessel está mucho más allá del alcance de este curso, pero aquí tenemos una pequeña muestra del tema para que podamos ver cómo se utilizan soluciones en serie a ecuaciones diferenciales en aplicaciones del mundo real. La ecuación de orden de Bessel$$n$$ viene dada por

$x^2y″+xy′+(x^2−n^2)y=0. \nonumber$

Esta ecuación surge en muchas aplicaciones físicas, particularmente aquellas que involucran coordenadas cilíndricas, como la vibración de una cabeza de tambor circular y el calentamiento o enfriamiento transitorio de un cilindro. En el siguiente ejemplo, encontramos una solución de series de potencia a la ecuación de Bessel de orden 0.

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$: Power Series Solution to the Bessel Equation

Encuentre una solución de serie de potencia para la ecuación de Bessel de orden 0 y grafique la solución.

Solución

La ecuación de Bessel de orden 0 viene dada por

$x^2y″+xy′+x^2y=0. \nonumber$

Asumimos una solución de la forma$$\displaystyle y=\sum_{n=0}^∞ a_nx^n$$. Entonces$$\displaystyle y′(x)=\sum_{n=1}^∞ na_nx^{n−1}$$ y$$\displaystyle y''(x)=\sum_{n=2}^∞n(n−1)a_nx^{n−2}.$$ Sustituyendo esto en la ecuación diferencial, obtenemos

\begin{align*} x^2 \sum_{n=2}^∞ n(n−1)a_nx^{n−2}+x \sum_{n=1}^∞ na_nx^{n−1}+x^2 \sum_{n=0}^∞ a_nx^n&=0 & & \text{Substitution.} \\[5pt] \sum_{n=2}^∞ n(n−1)a_nx^n+\sum_{n=1}^∞ na_nx^n+ \sum_{n=0}^∞ a_nx^{n+2}&=0 & & \text{Bring external factors within sums.} \\[5pt] \sum_{n=2}^∞ n(n−1)a_nx^n+\sum_{n=1}^∞ na_nx^n+\sum_{n=2}^∞ a_{n−2}x^n &=0 & & \text{Re-index third sum.} \\[5pt] \sum_{n=2}^∞ n(n−1)a_nx^n+a_1x+\sum_{n=2}^∞ na_nx^n+\sum_{n=2}^∞ a_{n−2}x^n &=0 & & \text{Separate }n=1 \text{ term from second sum.} \\[5pt] a_1x+\sum_{n=2}^∞ [n(n−1)a_n+na_n+a_{n−2}]x^n&=0 & & \text{Collect summation terms.} \\[5pt] a_1x+\sum_{n=2}^∞ [(n^2−n)a_n+na_n+a_{n−2}]x^n &=0 & & \text{Multiply through in first term.} \\[5pt] a_1x+\sum_{n=2}^∞ [n^2a_n+a_{n−2}]x^n &=0. & & \text{Simplify.} \end{align*}

Entonces,$$a_1=0$$, y para$$n≥2,$$

\begin{align*} n^2a_n+a_{n−2} &= 0 \\[4pt] a_n&=−\dfrac{1}{n^2}a_{n−2}. \end{align*} \nonumber

Porque$$a_1=0$$, todos los términos impares son cero. Entonces, para incluso los valores de$$n,$$ tenemos

\begin{align*}a_2 &=−\dfrac{1}{2^2}a_0 \\[4pt] a_4 &= −\dfrac{1}{4^2}a_2=\dfrac{1}{4^2⋅2^2} a_0. \\[4pt] a_6 &=−\dfrac{1}{6^2}a_4 =−\dfrac{1}{6^2⋅4^2⋅2^2}a_0 \end{align*}

En general,

$a_{2k}=\dfrac{(−1)^k}{(2)^{2k}(k!)^2}a_0. \nonumber$

Por lo tanto, tenemos

$y(x)=a_0 \sum_{k=0}^∞ \dfrac{(−1)^k}{(2)^{2k}(k!)^2}x^{2k}. \nonumber$

La gráfica aparece a continuación.

##### Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Verificar que la expresión que se encuentra en Ejemplo$$\PageIndex{2}$$ sea una solución a la ecuación de Bessel de orden 0.

Insinuación

Diferenciar la serie de potencias término por término y sustituirla en la ecuación diferencial.

## Conceptos clave

• Las representaciones de funciones en series de potencia a veces se pueden usar para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales.
• Diferenciar el término de la serie de potencias por término y sustituirlo en la ecuación diferencial para encontrar relaciones entre los coeficientes de la serie de potencias.

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