1.1: ¿Cómo medimos la velocidad?

Preguntas Motivadoras

• ¿Cómo se conecta la velocidad promedio de un objeto en movimiento a los valores de su función de posición?
• ¿Cómo interpretamos la velocidad promedio de un objeto geométricamente en la gráfica de su función de posición?
• ¿Cómo se conecta la noción de velocidad instantánea a la velocidad media?

El cálculo puede verse ampliamente como el estudio del cambio. Una pregunta natural e importante para hacer sobre cualquier cantidad cambiante es “¿qué tan rápido cambia la cantidad?”

Comenzamos con un problema simple: una pelota se arroja hacia arriba en el aire. ¿Cómo se mueve la pelota? Preguntas como esta son fundamentales para nuestro estudio del cálculo diferencial.

Vista previa de la actividad

Supongamos que la altura\(s\) de una pelota en el tiempo\(t\) (en segundos) viene dada en pies por la fórmula\(s(t) = 64 - 16(t-1)^2\text{.}\)

1. Construir una gráfica de\(y = s(t)\) en el intervalo de tiempo\(0 \le t \le 3\text{.}\) Etiqueta al menos seis puntos distintos en la gráfica, incluyendo los tres puntos que muestran cuándo se soltó la pelota, cuándo la pelota alcanza su punto más alto y cuándo la pelota aterriza.
2. Describir el comportamiento de la pelota en el intervalo de tiempo\(0 \lt t \lt 1\) y en el intervalo de tiempo\(1 \lt t \lt 3\text{.}\) Lo que ocurre al instante\(t = 1\text{?}\)
3. Considera la expresión

   \[ AV_{[0.5,1]} = \frac{s(1) - s(0.5)}{1-0.5}\text{.} \nonumber \]

   Calcular el valor de\(AV_{[0.5,1]}\text{.}\) ¿Qué mide este valor en la gráfica? ¿Qué nos dice este valor sobre el movimiento de la pelota? En particular, ¿cuáles son las unidades en\(AV_{[0.5,1]}\text{?}\)

1.1.1 Posición y velocidad media

Cualquier objeto en movimiento tiene una posición que puede considerarse una función del tiempo. Cuando el movimiento es a lo largo de una línea recta, la posición viene dada por una sola variable, que denotamos por\(s(t)\text{.}\) Por ejemplo,\(s(t)\) podría dar el marcador de milla de un automóvil que viaja por una carretera recta a tiempo\(t\) en horas. De igual manera, la función\(s\) descrita en la Actividad de Vista Previa 1.1.1 es una función de posición, donde la posición se mide verticalmente con relación al suelo.

En cualquier intervalo de tiempo, un objeto en movimiento también tiene una velocidad promedio. Por ejemplo, para calcular la velocidad promedio de un automóvil dividimos el número de millas recorridas por el tiempo transcurrido, lo que da la velocidad en millas por hora. De igual manera, el valor de\(AV_{[0.5,1]}\) en Actividad Previa 1.1.1 dio la velocidad promedio de la pelota en el intervalo de tiempo\([0.5,1]\text{,}\) medido en pies por segundo.

En general, hacemos la siguiente definición:

Velocidad Media

Para un objeto que se mueve en línea recta con función de posición,\(s(t)\text{,}\) la velocidad promedio del objeto en el intervalo de\(t = a\) a\(t = b\), denotada\(AV_{[a,b]}\text{,}\) viene dada por la fórmula

\[ AV_{[a,b]} = \frac{s(b)-s(a)}{b-a}\text{.} \nonumber \]

Nota bien: las unidades\(AV_{[a,b]}\) encendidas son “unidades de\(s\) por unidad de\(t\text{,}\)” como “millas por hora” o “pies por segundo”.

Actividad 1.1.2.

Las siguientes preguntas se refieren a la función de posición dada por\(s(t) = 64 - 16(t-1)^2\text{,}\) considerada en Vista previa Actividad 1.1.1.

1. Calcule la velocidad promedio de la pelota en cada uno de los siguientes intervalos de tiempo:\([0.4,0.8]\text{,}\)\([0.7,0.8]\text{,}\)\([0.79, 0.8]\text{,}\)\([0.799,0.8]\text{,}\)\([0.8,1.2]\text{,}\)\([0.8,0.9]\text{,}\)\([0.8,0.81]\text{,}\)\([0.8,0.801]\text{.}\) Incluya unidades para cada valor.
2. En la gráfica proporcionada en la Figura 1.1.1, esbozar la línea que pasa por los puntos\(A=(0.4, s(0.4))\) y\(B=(0.8, s(0.8))\text{.}\) ¿Cuál es el significado de la pendiente de esta línea? A la luz de este significado, ¿qué es una forma geométrica de interpretar cada uno de los valores calculados en la pregunta anterior?
3. Usa una utilidad gráfica para trazar la gráfica de\(s(t) = 64 - 16(t-1)^2\) en un intervalo que contiene el valor\(t = 0.8\text{.}\) Luego, haz zoom repetidamente sobre el punto\((0.8, s(0.8))\text{.}\) ¿Qué observas de cómo aparece la gráfica a medida que la ves cada vez más de cerca?
4. Lo que conjeturas es la velocidad de la pelota al instante\(t = 0.8\text{?}\) ¿Por qué?

Figura 1.1.1. Una parcela parcial de\(s(t) = 64 - 16(t-1)^2\text{.}\)

1.1.2 Velocidad instantánea

Ya sea que estemos conduciendo un automóvil, montando una bicicleta o lanzando una pelota, tenemos la sensación intuitiva de que un objeto en movimiento tiene una velocidad en un momento dado, un número que mide qué tan rápido se mueve el objeto en este momento. Por ejemplo, el velocímetro de un automóvil le dice al conductor la velocidad del automóvil en un instante dado. De hecho, la velocidad en un velocímetro es realmente una velocidad promedio que se calcula en un intervalo de tiempo muy pequeño. Si dejamos que el intervalo de tiempo sobre el cual se calcula la velocidad promedio se haga cada vez más corto, podemos progresar de la velocidad promedio a la velocidad instantánea.

Informalmente, definimos la velocidad instantánea de un objeto en movimiento en el momento como el valor que la velocidad promedio se acerca\(t = a\) a medida que tomamos intervalos de tiempo cada vez más pequeños que contienen\(t = a\text{.}\) Desarrollaremos una definición más formal de velocidad instantánea pronto, y esto definición será la base de gran parte de nuestro trabajo en el cálculo. Por ahora, está bien pensar en la velocidad instantánea de la siguiente manera: tomar velocidades promedio en intervalos de tiempo cada vez más pequeños alrededor de un punto específico. Si esas velocidades promedio se acercan a un solo número, entonces ese número será la velocidad instantánea en ese punto.

Actividad 1.1.3

Cada una de las siguientes preguntas se refiere\(s(t) = 64 - 16(t-1)^2\text{,}\) a la función de posición de Vista previa Actividad 1.1.1.

1. Calcular la velocidad promedio de la pelota en el intervalo de tiempo\([1.5,2]\text{.}\) Lo que es diferente entre este valor y la velocidad promedio en el intervalo\([0,0.5]\text{?}\)
2. Utilice la tecnología informática apropiada para estimar la velocidad instantánea de la pelota en\(t = 1.5\text{.}\) Así mismo, estimar la velocidad instantánea de la pelota a ¿\(t = 2\text{.}\)Qué valor es mayor?
3. ¿Cómo se relaciona el signo de la velocidad instantánea de la pelota con su comportamiento en un momento dado? Es decir, ¿qué te dice la velocidad instantánea positiva que está haciendo la pelota? ¿Velocidad instantánea negativa?
4. Sin hacer ningún cálculo, ¿cuál esperas que sea la velocidad instantánea de la pelota en\(t = 1\text{?}\) Why?

En este punto hemos comenzado a ver una estrecha conexión entre la velocidad media y la velocidad instantánea. Cada uno está conectado no sólo al comportamiento físico del objeto en movimiento sino también al comportamiento geométrico de la gráfica de la función de posición. Estamos interesados en calcular velocidades promedio en el intervalo\([a,b]\) para intervalos cada vez más pequeños. Para que el vínculo entre la velocidad media e instantánea sea más formal, piense en el valor\(b\) como\(b = a + h\text{,}\) donde\(h\) está un número pequeño (distinto de cero) que se permite variar. Entonces la velocidad promedio del objeto en el intervalo\([a,a+h]\) es

\[ AV_{[a,a+h]} = \frac{s(a+h)-s(a)}{h}\text{,} \nonumber \]

siendo el denominador simplemente\(h\) porque\((a+h) - a = h\text{.}\) Tenga en cuenta que cuando\(h \lt 0\text{,}\)\(AV_{[a,a+h]}\) mide la velocidad promedio en el intervalo\([a+h,a]\text{.}\)

Para encontrar la velocidad instantánea a\(t = a\text{,}\) investigamos lo que sucede a medida que el valor de\(h\) se acerca a cero.

Ejemplo 1.1.2. Computación de la velocidad instantánea para una bola que cae

La función de posición para una bola que cae viene dada por\(s(t) = 16 - 16t^2\) (donde\(s\) se mide en pies y\(t\) en segundos).

1. Encuentre una expresión para la velocidad promedio de la pelota en un intervalo de tiempo de la forma\([0.5, 0.5+h]\) donde\(-0.5 \lt h \lt 0.5\) y\(h \ne 0\text{.}\)
2. Utilice esta expresión para calcular la velocidad promedio en\([0.5,0.75]\) y\([0.4,0.5]\text{.}\)
3. Haz una conjetura sobre la velocidad instantánea a\(t = 0.5\text{.}\)

Responder

a. hacemos las suposiciones de que\(-0.5 \lt h \lt 0.5\) y\(h \ne 0\) porque\(h\) no puede ser cero (de lo contrario no hay intervalo en el que calcular la velocidad promedio) y porque la función sólo tiene sentido en el intervalo de tiempo\(0 \le t \le 1\text{,}\) ya que esta es la duración del tiempo durante el cual la pelota está cayendo. Queremos computar y simplificar

\[ AV_{[0.5, 0.5+h]} = \frac{s(0.5+h) - s(0.5)}{(0.5+h) - 0.5}\text{.} \nonumber \]

Empezamos por encontrar\(s(0.5+h)\text{.}\) Para ello, seguimos la regla que define la función\(s\text{.}\)

\ begin {align*} s (0.5+h) & = 16 - 16 (0.5 + h) ^2\\ [4pt] & = 16 - 16 (0.25 + h + h^2)\\ [4pt] & = 16 - 4 - 16h - 16h^2\\ [4pt] & = 12 - 16h - 16h^2\ text {.} \ end {align*}

Ahora, volviendo a nuestro cálculo de la velocidad promedio, encontramos que

\ begin {alinear*} AV_ {[0.5, 0.5+h]} & =\ frac {s (0.5+h) - s (0.5)} {(0.5+h) - 0.5}\\ [4pt] & =\ frac {(12 - 16h - 16h^2) - (16 - 16 (0.5) ^2)} {0.5 + h - 0.5}\\ [4pt] & =\ frac {12 - 16h - 16h^2 - 12} {h}\\ [4pt] & =\ frac {-16h - 16h^2} {h}\ text {.} \ end {align*}

En este punto, observamos dos cosas: primero, la expresión de velocidad promedio depende claramente de\(h\text{,}\) cuál debe, ya que a medida que\(h\) cambia la velocidad promedio cambiará. Además, observamos que dado que nunca\(h\) puede ser igual a cero, podemos eliminar el factor común\(h\) del numerador y denominador. De ello se deduce que

\[ AV_{[0.5, 0.5+h]} = -16 - 16h\text{.} \nonumber \]

b. a partir de esta expresión podemos calcular el promedio para cualquier pequeño valor positivo o negativo de\(h\text{.}\) Por ejemplo, para obtener la velocidad promedio en\([0.5,0.75]\text{,}\) que dejamos\(h = 0.25\text{,}\) y la velocidad promedio es\(-16 - 16(0.25) = -20\) pies/seg. Para obtener la velocidad promedio en\([0.4, 0.5]\text{,}\) dejamos\(h = -0.1\text{,}\) y calculamos la velocidad promedio como

\[ -16 - 16(-0.1) = -14.4\ \text{ft/sec}\text{.} \nonumber \]

c. Incluso podemos explorar lo que sucede a\(AV_{[0.5, 0.5+h]}\) medida que\(h\) se acerca cada vez más a cero. Al\(h\) acercarse a cero, también\(-16h\) se acercará a cero, por lo que parece que la velocidad instantánea de la pelota a\(t = 0.5\) debe ser\(-16\) pies/seg.

Actividad 1.1.4

Para la función dada por\(s(t) = 64 - 16(t-1)^2\) de Preview Activity 1.1.1, encuentra la expresión más simplificada que puedas para la velocidad promedio de la pelota en el intervalo\([2, 2+h]\text{.}\) Usa tu resultado para calcular la velocidad promedio en\([1.5,2]\) y estimar la velocidad instantánea en\(t = 2\text{.}\) Finalmente, compara su trabajo anterior en la Actividad 1.1.3.

1.1.3 Resumen

• Para un objeto que se mueve en línea recta con función de posición,\(s(t)\text{,}\) la velocidad promedio del objeto en el intervalo de\(t = a\) a\(t = b\), denotada\(AV_{[a,b]}\text{,}\) viene dada por la fórmula

  \[ AV_{[a,b]} = \frac{s(b)-s(a)}{b-a}\text{.} \nonumber \]

• La velocidad promedio on se\([a,b]\) puede ver geométricamente como la pendiente de la línea entre los puntos\((a,s(a))\) y\((b,s(b))\) en la gráfica de\(y = s(t)\text{,}\) como se muestra en la Figura 1.1.3.

Figura 1.1.3. La gráfica de la función de posición\(s\) junto con la línea a través\((a,s(a))\) y\((b,s(b))\) cuya pendiente es\(m = \frac{s(b)-s(a)}{b-a}\text{.}\) La pendiente de la línea es la tasa promedio de cambio de\(s\) en el intervalo\([a,b]\text{.}\)

• Dado un objeto en movimiento cuya posición en el tiempo\(t\) viene dada por una función,\(s\text{,}\) la velocidad promedio del objeto en el intervalo de tiempo\([a,b]\) viene dada por\(AV_{[a,b]} = \frac{s(b) - s(a)}{b-a}\text{.}\) Viendo el intervalo\([a,b]\) como teniendo la forma\([a,a+h]\text{,}\) calculamos equivalentemente la velocidad promedio por la fórmula \(AV_{[a,a+h]} = \frac{s(a+h) - s(a)}{h}\text{.}\)
• La velocidad instantánea de un objeto en movimiento en un tiempo fijo se estima considerando velocidades promedio en intervalos de tiempo cada vez más cortos que contienen el instante de interés.