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1.4: La Función Derivada

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Preguntas Motivadoras
    • ¿Cómo la definición límite de la derivada de una función\(f\) conduce a una función completamente nueva (pero relacionada)?\(f'\text{?}\)
    • ¿Cuál es la diferencia entre escribir\(f'(a)\) y\(f'(x)\text{?}\)
    • ¿Cómo se\(f'(x)\) relaciona la gráfica de la función derivada con la gráfica de\(f(x)\text{?}\)
    • ¿Cuáles son algunos ejemplos de funciones\(f\) para las que no\(f'\) se define en uno o más puntos?

    Ahora sabemos que la tasa instantánea de cambio de una función\(f(x)\) en\(x = a\text{,}\) o equivalentemente la pendiente de la línea tangente a la gráfica de\(y = f(x)\) at\(x = a\text{,}\) viene dada por el valor\(f'(a)\text{.}\) En todos nuestros ejemplos hasta ahora, hemos identificado un valor particular de\(a\) como nuestro punto de interés:\(a = 1\text{,}\)\(a = 3\text{,}\) etc. pero no es difícil imaginar que a menudo nos interesará el valor derivado por más de un solo\(a\) valor, y posiblemente para muchos de ellos. En esta sección, exploramos cómo podemos pasar de computar la derivada en un solo punto a computar una fórmula para\(f'(a)\) en cualquier punto\(a\text{.}\) De hecho, el proceso de “tomar la derivada” genera una nueva función, denotada por\(f'(x)\text{,}\) derivada de la función original\(f(x)\text{.}\)

    Vista previa de la actividad 1.4.1

    Considera la función\(f(x) = 4x - x^2\text{.}\)

    1. Utilice la definición de límite para calcular los valores derivados:\(f'(0)\text{,}\)\(f'(1)\text{,}\)\(f'(2)\text{,}\) y\(f'(3)\text{.}\)
    2. Observe que el trabajo a encontrar\(f'(a)\) es el mismo, independientemente del valor de\(a\text{.}\) Basado en su trabajo en (a), lo que conjeturas es el valor de\(f'(4)\text{?}\) How about\(f'(5)\text{?}\) (Nota: no debe usar la definición límite de la derivada para encontrar ninguno de los dos valores.)
    3. Conjetura una fórmula para\(f'(a)\) eso depende solo del valor Es\(a\text{.}\) decir, de la misma manera que tenemos una fórmula para\(f(x)\) (recordar\(f(x) = 4x - x^2\)), mira si puedes usar tu trabajo anterior para adivinar una fórmula para\(f'(a)\) en términos de\(a\text{.}\)

    1.4.1 Cómo la derivada es en sí misma una función

    En tu trabajo en Vista previa de la Actividad 1.4.1 con\(f(x) = 4x - x^2\text{,}\) usted puede haber encontrado varios patrones. Uno viene de observar eso\(f'(0) = 4\text{,}\)\(f'(1) = 2\text{,}\)\(f'(2) = 0\text{,}\) y\(f'(3) = -2\text{.}\) Esa secuencia de valores nos lleva naturalmente a conjeturar eso\(f'(4) = -4\) y también\(f'(5) = -6\text{.}\) observamos que el valor particular de\(a\) tiene muy poco efecto en el proceso de computar el valor de la derivada a través de la definición de límite. Para ver esto con mayor claridad, calculamos\(f'(a)\text{,}\) dónde\(a\) representa un número que se nombrará más adelante. Siguiendo el proceso ahora estándar de usar la definición límite de la derivada,

    \ begin {alinear*} f' (a) =\ mathstrut &\ lim_ {h\ a 0}\ frac {f (a + h) - f (a)} {h} =\ lim_ {h\ a 0}\ frac {4 (a + h) - (a + h) ^2 - (4a-a^2)} {h}\\ [4pt] =\ mathstrut &\ lim_ {h\ a 0}\ frac {4a + 4h - a^2 - 2ha - h^2 - 4a+a^2} {h} =\ lim_ {h\ a 0}\ frac {4h - 2ha - h^2} {h}\\ [4pt] =\ mathstrut &\ lim_ {h\ a 0}\ frac {h ( 4 - 2a - h)} {h} =\ lim_ {h\ a 0} (4 - 2a - h)\ texto {.} \ end {alinear*}

    Aquí observamos que ni\(4\) ni\(2a\) dependemos del valor de\(h\text{,}\) así como\(h \to 0\text{,}\)\((4 - 2a - h) \to (4 - 2a)\text{.}\) Así,\(f'(a) = 4 - 2a\text{.}\)

    Este resultado es consistente con los valores específicos que encontramos anteriormente: e.g.,\(f'(3) = 4 - 2(3) = -2\text{.}\) Y de hecho, nuestro trabajo confirma que el valor de casi no\(a\) tiene relación con el proceso de cálculo de la derivada. Observamos además que la letra que se está utilizando es inmaterial: ya sea que la llamemos\(a\text{,}\)\(x\text{,}\) o cualquier otra cosa, la derivada a un valor dado simplemente viene dada por “4 menos 2 veces el valor”. Elegimos usar\(x\) para consistencia con la función original dada por así\(y = f(x)\text{,}\) como para el propósito de graficar la función derivada. Para la función\(f(x) = 4x - x^2\text{,}\) se deduce que\(f'(x) = 4 - 2x\text{.}\)

    Debido a que el valor de la función derivada está vinculado a la gráfica de la función original, tiene sentido mirar ambas funciones trazadas en el mismo dominio.

    Figura 1.4.1. Las gráficas de\(f(x) = 4x - x^2\) (a la izquierda) y\(f'(x) = 4 - 2x\) (a la derecha). Las pendientes en la gráfica de\(f\) corresponden a alturas en la gráfica de\(f'\text{.}\)

    En la Figura 1.4.1, a la izquierda mostramos una gráfica de\(f(x) = 4x - x^2\) junto con una selección de líneas tangentes en los puntos que hemos considerado anteriormente. A la derecha, mostramos una gráfica de\(f'(x) = 4 - 2x\) con énfasis en las alturas de la gráfica derivada en la misma selección de puntos. Observe la conexión entre colores en las gráficas izquierda y derecha: la línea tangente verde en la gráfica original está ligada al punto verde de la gráfica derecha de la siguiente manera: la pendiente de la línea tangente en un punto de la gráfica izquierda es la misma que la altura en el punto correspondiente en la gráfica de la derecha. Es decir, en cada valor respectivo de\(x\text{,}\) la pendiente de la línea tangente a la función original es la misma que la altura de la función derivada. Tenga en cuenta, sin embargo, que las unidades en los ejes verticales son diferentes: en la gráfica izquierda, las unidades verticales son simplemente las unidades de salida de\(f\text{.}\) En la gráfica derecha de\(y = f'(x)\text{,}\) las unidades en el eje vertical son unidades de\(f\) por unidad de\(x\text{.}\)

    Una excelente manera de explorar cómo la gráfica de\(f(x)\) genera la gráfica de\(f'(x)\) es a través de un applet java. Véase, por ejemplo, los applets en http://gvsu.edu/s/5C o http://gvsu.edu/s/5D, a través de los sitios de Austin y Renault 1.

    David Austin, http://gvsu.edu/s/5r; Marc Renault, http://gvsu.edu/s/5p.

    En la Sección 1.3 cuando definimos por primera vez la derivada, escribimos la definición en términos de un valor\(a\) para encontrar\(f'(a)\text{.}\) Como hemos visto anteriormente, la letra\(a\) es meramente un marcador de posición, y a menudo tiene más sentido usarla\(x\) en su lugar. Para que conste, aquí reafirmamos la definición de la derivada.

    Definición 1.4.2

    Dejar\(f\) ser una función y\(x\) un valor en el dominio de la función. Definimos la derivada de\(f\), una nueva función llamada\(f'\text{,}\) por la fórmula\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{,}\) siempre que exista este límite.

    Ahora tenemos dos formas diferentes de pensar sobre la función derivada:

    1. dada una gráfica de\(y = f(x)\text{,}\) cómo lleva esta gráfica a la gráfica de la función derivada\(y = f'(x)\text{?}\) y
    2. dada una fórmula de\(y = f(x)\text{,}\) cómo la definición límite de derivado genera una fórmula para\(y = f'(x)\text{?}\)

    Ambos temas se exploran en las siguientes actividades.

    Actividad 1.4.2

    Para cada gráfica dada de\(y = f(x)\text{,}\) boceto una gráfica aproximada de su función derivada,\(y = f'(x)\text{,}\) en los ejes inmediatamente debajo. La escala de la cuadrícula para la gráfica de\(f\) es\(1 \times 1\text{;}\) asumir que la escala horizontal de la cuadrícula para la gráfica de\(f'\) es idéntica a la de\(f\text{.}\) Si es necesario, ajuste y etiquete la escala vertical en los ejes para\(f'\text{.}\)

    Cuando haya terminado con las 8 gráficas, escriba varias oraciones que describan su proceso general para bosquejar la gráfica de la función derivada, dada la gráfica la función original. ¿Cuáles son los valores de la función derivada que tiendes a identificar primero? ¿Qué haces a partir de entonces? ¿Cómo los rasgos clave de la gráfica de la función derivada ejemplifican las propiedades de la gráfica de la función original?

    Para una investigación dinámica que permita experimentar con graficar\(f'\) cuando se le da la gráfica de\(f\text{,}\) ver http://gvsu.edu/s/8y. 2

    Marc Renault, Applets de Cálculo Usando Geogebra.

    Ahora, recordemos el ejemplo inicial de esta sección: comenzamos con la función\(y = f(x) = 4x - x^2\) y usamos la definición límite de la derivada para mostrar eso\(f'(a) = 4 - 2a\text{,}\) o equivalentemente que posteriormente\(f'(x) = 4 - 2x\text{.}\) graficamos las funciones\(f\) y\(f'\) como se muestra en la Figura 1.4.1. Siguiendo la Actividad 1.4.2, ahora entendemos que podríamos haber construido una gráfica bastante precisa de\(f'(x)\) sin conocer una fórmula para cualquiera\(f\) o\(f'\text{.}\) Al mismo tiempo, es útil conocer una fórmula para la función derivada siempre que sea posible encontrar una.

    En la siguiente actividad, exploramos más a fondo el enfoque más algebraico para encontrar\(f'(x)\text{:}\) dada una fórmula para\(y = f(x)\text{,}\) la definición límite de la derivada que se utilizará para desarrollar una fórmula para\(f'(x)\text{.}\)

    Actividad 1.4.3

    Para cada una de las funciones enumeradas, determine una fórmula para la función derivada. Para los dos primeros, determinar la fórmula para la derivada pensando en la naturaleza de la función dada y su pendiente en diversos puntos; no utilice la definición límite. Para estos últimos cuatro, use la definición límite. Preste mucha atención a los nombres de las funciones y variables independientes. Es importante estar cómodo con el uso de letras distintas a\(f\) y\(x\text{.}\) Por ejemplo, dada una función\(p(z)\text{,}\) que llamamos su derivada\(p'(z)\text{.}\)

    1. \(\displaystyle f(x) = 1\)
    2. \(\displaystyle g(t) = t\)
    3. \(\displaystyle p(z) = z^2\)
    4. \(\displaystyle q(s) = s^3\)
    5. \(\displaystyle F(t) = \frac{1}{t}\)
    6. \(\displaystyle G(y) = \sqrt{y}\)

    1.4.2 Resumen

    • La definición límite de la derivada,\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{,}\) produce un valor para cada uno\(x\) en el que se define la derivada, y esto lleva a una nueva función\(y = f'(x)\text{.}\) Es especialmente importante señalar que tomar la derivada es un proceso que inicia con una función dada (\(f\)) y produce una nueva, función relacionada (\(f'\)).
    • Esencialmente no hay diferencia entre escribir\(f'(a)\) (como lo hicimos regularmente en la Sección 1.3) y escribir\(f'(x)\text{.}\) En cualquier caso, la variable es solo un marcador de posición que se usa para definir la regla para la función derivada.
    • Dada la gráfica de una función\(y = f(x)\text{,}\) podemos esbozar una gráfica aproximada de su derivada\(y = f'(x)\) observando que las alturas en la gráfica de la derivada corresponden a pendientes en la gráfica de la función original.
    • En la Actividad 1.4.2, encontramos algunas funciones que tenían esquinas afiladas en sus gráficas, como la función de valor absoluto desplazado. En tales puntos, la derivada no existe, y decimos que ahí no\(f\) es diferenciable. Por ahora, basta con entender esto como consecuencia del salto que debe ocurrir en la función derivada en una esquina afilada en la gráfica de la función original.

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