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1.7: Límites, Continuidad y Diferenciabilidad

  • Page ID
    120130
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    Preguntas Motivadoras
    • Qué significa gráficamente decir que\(f\) tiene límite\(L\) como\(x \to a\text{?}\) ¿Cómo se conecta esto a tener un límite de la izquierda en\(x = a\) y tener un límite de la derecha en\(x = a\text{?}\)
    • ¿Qué significa decir que una función\(f\) es continua en\(x = a\text{?}\) ¿Qué papel juegan los límites para determinar si una función es continua o no en un punto?
    • ¿Qué significa gráficamente decir que una función\(f\) es diferenciable en\(x = a\text{?}\) ¿Cómo se conecta esto con que la función sea localmente lineal?
    • ¿Cómo se relacionan entre sí las características de una función teniendo un límite, siendo continuas y diferenciables en un punto dado?

    En la Sección 1.2 aprendimos cómo se pueden usar los límites para estudiar la tendencia de una función cerca de un valor de entrada fijo. En esta sección, se pretende cuantificar cómo actúa la función y cómo cambian sus valores cerca de un punto en particular. Si la función tiene un límite\(L\) en\(x = a\text{,}\) consideraremos cómo\(f(a)\) se relaciona el valor de la función\(\lim_{x \to a} f(x)\text{,}\) y si la función tiene o no una derivada\(f'(a)\) en\(x = a\text{.}\)

    Vista previa de la actividad 1.7.1

    Una función\(f\) definida en\(-4 \lt x \lt 4\) viene dada por la gráfica de la Figura 1.7.1. Utilice la gráfica para responder a cada una de las siguientes preguntas. Nota: a la derecha de\(x = 2\text{,}\) la gráfica de\(f\) está exhibiendo un comportamiento oscilatorio infinito similar a la función\(\sin(\frac{\pi}{x})\) que encontramos en el ejemplo clave temprano en la Sección 1.2.

    1. Para cada uno de los valores\(a = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\text{,}\) determinar si\(\lim_{x \to a} f(x)\) existe o no. Si la función tiene un límite\(L\) en un punto dado, indique el valor del límite usando la notación\(\lim_{x \to a} f(x) = L\text{.}\) Si la función no tiene un límite en un punto dado, escriba una oración para explicar por qué.
    2. Para cada uno de los valores\(a\) de la parte (a) donde\(f\) tiene un límite, determinar el valor de\(f(a)\) en cada uno de esos puntos. Además, para cada uno de esos\(a\) valores,\(f(a)\) tiene el mismo valor que\(\lim_{x \to a} f(x)\text{?}\)
    3. Para cada uno de los valores\(a = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\text{,}\) determinar si\(f'(a)\) existe o no. En particular, con base en la gráfica dada, pregúntese si es razonable decir que\(f\) tiene una línea tangente at\((a,f(a))\) para cada uno de los\(a\) -valores dados. Si es así, estime visualmente la pendiente de la línea tangente para encontrar el valor de\(f'(a)\text{.}\)

    Figura 1.7.1. La gráfica de\(y = f(x)\text{.}\)

    1.7.1 Tener un límite en un punto

    En la Sección 1.2, aprendimos que\(f\) tiene límite\(L\) como\(x\) enfoques\(a\) siempre que podamos hacer que el valor de\(f(x)\) lo más cerca que nos guste tomando\(x\) suficientemente cerca (pero no igual a)\(a\text{.}\) Si es así, escribimos\(L\)\(\lim_{x \to a} f(x) = L\text{.}\)

    Esencialmente hay dos comportamientos que una función puede exhibir cerca de un punto en el que no logra tener un límite. En la Figura 1.7.3, a la izquierda vemos una función\(f\) cuya gráfica muestra un salto en\(a = 1\text{.}\) Si dejamos\(x\) acercarse a 1 desde el lado izquierdo, el valor de\(f\) se acerca a 2, pero si dejamos\(x\) acercarse\(1\) desde la derecha, el valor de\(f\) tiende a 3. Debido a que el valor de\(f\) no\(x\) se acerca a un solo número ya que se acerca arbitrariamente a 1 de ambos lados, sabemos que\(f\) no tiene límite en\(a = 1\text{.}\)

    Para tales casos, se introduce la noción de límites izquierdos y derechos (o unilaterales).

    Definición 1.7.2

    Decimos que \(f\)tiene límite\(L_1\) como se\(x\) acerca\(a\) desde la izquierda y escribimos

    \[ \lim_{x \to a^-} f(x) = L_1 \nonumber \]

    siempre que podamos hacer que el valor de\(f(x)\) lo más cerca que\(L_1\) nos guste tomando\(x\) suficientemente cerca de\(a\) mientras siempre\(x \lt a\text{.}\) tenemos Llamamos al límite de\(L_1\) la izquierda de\(f\) como se\(x\) acerca\(a\text{.}\) Del mismo modo, decimos que \(L_2\)es el límite de la mano derecha de\(f\) como se\(x\) acerca\(a\) y escribir

    \[ \lim_{x \to a^+} f(x) = L_2 \nonumber \]

    siempre que podamos hacer el valor de\(f(x)\) lo más cercano a\(L_2\) lo que queramos tomando\(x\) suficientemente cerca\(a\) mientras siempre tenemos\(x \gt a\text{.}\)

    En la gráfica de la función\(f\) en la Figura 1.7.3, vemos que

    \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \ \ \text{and} \ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 3\text{.} \nonumber \]

    Precisamente porque los límites izquierdo y derecho no son iguales, el límite general de\(f\)\(x \to 1\) como no existe.

    Figura 1.7.3. Funciones\(f\) y\(g\) que cada uno no logra tener un límite en\(a = 1\text{.}\)

    Para la función que\(g\) se muestra a la derecha en la Figura 1.7.3, la función no logra tener un límite en\(a = 1\) por una razón diferente. Si bien la función no tiene un salto en su gráfica en todavía no\(a = 1\text{,}\) es el caso que se\(g\) acerca a un solo valor como se\(x\) acerca a 1. En particular, debido al comportamiento infinitamente oscilante de\(g\) a la derecha de\(a = 1\text{,}\) decimos que el límite de la mano derecha de\(g\) como\(x \to 1^+\) no existe, y así\(\lim_{x \to 1} g(x) \ \text{does not exist} \text{.}\)

    Para resumir, si no existe un límite izquierdo o derecho o si los límites izquierdo y derecho no son iguales entre sí, el límite general no existe.

    Nota

    Una función\(f\) tiene límite\(L\) como\(x \to a\) si y solo si

    \[ \lim_{x \to a^-} f(x) = L = \lim_{x \to a^+} f(x)\text{.} \nonumber \]

    Es decir, una función tiene un límite en\(x = a\) si y solo si\(x = a\) existen los límites tanto de la izquierda como de la derecha y tienen el mismo valor.

    En Preview Activity 1.7.1, la función\(f\) dada en la Figura 1.7.1 no logra tener un límite en solo dos valores: at\(a = -2\) (donde los límites izquierdo y derecho son 2 y\(-1\text{,}\) respectivamente) y en\(x = 2\text{,}\) donde\(\lim_{x \to 2^+} f(x)\) no existe). Obsérvese bien que incluso en valores como\(a = -1\) y\(a = 0\) donde haya agujeros en la gráfica, el límite aún existe.

    Actividad 1.7.2

    Considere una función que se define por partes de acuerdo con la fórmula

    \[ f(x) = \begin{cases}3(x+2)+2 & \text{ for \(-3 \lt x \lt -2\) } \\[4pt] \frac{2}{3}(x+2)+1 & \text{ for \(-2 \le x \lt -1\) } \\[4pt] \frac{2}{3}(x+2)+1 & \text{ for \(-1 \lt x \lt 1\) } \\[4pt] 2 & \text{ for \(x = 1\) } \\[4pt] 4-x & \text{ for \(x \gt 1\) } \end{cases} \nonumber \]

    Utilice la fórmula dada para responder a las siguientes preguntas.

    Figura 1.7.4. Ejes para trazar la función\(y = f(x)\) en Actividad 1.7.2.
    1. Para cada uno de los valores\(a = -2, -1, 0, 1, 2\text{,}\) computar\(f(a)\text{.}\)
    2. Para cada uno de los valores\(a = -2, -1, 0, 1, 2\text{,}\) determinar\(\lim_{x \to a^-} f(x)\) y\(\lim_{x \to a^+} f(x)\text{.}\)
    3. Para cada uno de los valores\(a = -2, -1, 0, 1, 2\text{,}\) determinar\(\lim_{x \to a} f(x)\text{.}\) Si el límite no existe, explique por qué discutiendo los límites izquierdo y derecho en el\(a\) -valor relevante.
    4. ¿Para qué valores de\(a\) es verdadera la siguiente afirmación?
      \[ \lim_{x \to a} f(x) \ne f(a) \nonumber \]
    5. En los ejes proporcionados en la Figura 1.7.4, dibuje una gráfica precisa y etiquetada de\(y = f(x)\text{.}\) Asegúrese de usar cuidadosamente círculos abiertos (\(\circ\)) y círculos rellenos (\(\bullet\)) para representar puntos clave en la gráfica, según lo dicta la fórmula por partes.

    1.7.2 Ser continuo en un punto

    Intuitivamente, una función es continua si podemos dibujar su gráfica sin levantar nunca nuestro lápiz de la página. Alternativamente, podríamos decir que la gráfica de una función continua no tiene saltos ni agujeros en ella. En la Figura 1.7.5 consideramos tres funciones que tienen un límite en\(a = 1\text{,}\) y las utilizamos para hacer más precisa la idea de continuidad.

    Figura 1.7.5. Funciones\(f\text{,}\)\(g\text{,}\) y\(h\) que demuestran comportamientos sutilmente diferentes en\(a = 1\text{.}\)

    Primero considere la función en la gráfica más a la izquierda. Tenga en cuenta que no\(f(1)\) está definido, lo que lleva al agujero resultante en la gráfica de\(f\) al\(a = 1\text{.}\) Diremos naturalmente que no\(f\) es continuo en\(a = 1\). Para la función\(g\text{,}\) observamos que mientras\(\lim_{x \to 1} g(x) = 3\text{,}\) el valor de\(g(1) = 2\text{,}\) y por lo tanto el límite no es igual al valor de la función. Aquí, también, diremos que no\(g\) es continuo, a pesar de que la función se define en\(a = 1\text{.}\) Finalmente, la función\(h\) parece ser la más bien comportada de las tres, ya que en\(a = 1\) su límite y su valor de función coinciden. Es decir,

    \[ \lim_{x \to 1} h(x) = 3 = h(1)\text{.} \nonumber \]

    Sin agujero ni salto en la gráfica de\(h\) al\(a = 1\text{,}\) decimos que ahí\(h\) es continuo. De manera más formal, hacemos la siguiente definición.

    Definición 1.7.6

    Una función\(f\) es continua a\(x = a\) condición de que

    a.\(f\) tiene un límite como\(x \to a\text{,}\)

    b.\(f\) se define en\(x = a\text{,}\) y

    c.\(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\text{.}\)

    Las condiciones (a) y (b) están técnicamente contenidas implícitamente en (c), pero las declaramos explícitamente para enfatizar su importancia individual. La definición dice que una función es continua a\(x = a\) condición de que su límite como\(x \to a\) existe y es igual a su valor de función en\(x = a\text{.}\) Si una función es continua en cada punto de un intervalo\([a,b]\text{,}\) decimos que la función es “continua en\([a,b]\text{.}\)” Si una función es continua en cada punto en su dominio, simplemente decimos que la función es “continua”. Así, las funciones continuas son particularmente agradables: para evaluar el límite de una función continua en un punto, todo lo que necesitamos hacer es evaluar la función.

    Por ejemplo, considere\(p(x) = x^2 - 2x + 3\text{.}\) Se puede probar que cada polinomio es una función continua en cada número real, y así si quisiéramos saber simplemente\(\lim_{x \to 2} p(x)\text{,}\) calculamos

    \[ \lim_{x \to 2} (x^2 - 2x + 3) = 2^2 - 2 \cdot 2 + 3 = 3\text{.} \nonumber \]

    Esta ruta de sustituir un valor de entrada para evaluar un límite funciona siempre que sabemos que la función que se está considerando es continua. Además de las funciones polinómicas, todas las funciones exponenciales y las funciones seno y coseno son continuas en cada punto, al igual que muchas otras funciones familiares y combinaciones de las mismas.

    Actividad 1.7.3

    Esta actividad se basa en tu trabajo en Preview Activity 1.7.1, usando la\(f\) misma función que la dada por la gráfica que se repite en la Figura 1.7.7.

    Figura 1.7.7. La gráfica de\(y = f(x)\) para la Actividad 1.7.3.
    1. ¿A qué valores de\(a\)\(\lim_{x \to a} f(x)\) no existen?
    2. ¿A qué valores de\(f(a)\) no\(a\) se define?
    3. En qué valores de\(a\)\(f\) tiene un límite, pero\(\lim_{x \to a} f(x) \ne f(a)\text{?}\)
    4. Estado todos los valores de\(a\) para los cuales no\(f\) es continuo en\(x = a\text{.}\)
    5. Qué condición es más fuerte, y por lo tanto implica la otra:\(f\) tiene un límite en\(x = a\) o\(f\) es continuo en\(x = a\text{?}\) Explicar, y de ahí completar la siguiente frase: “Si\(f\) en\(x = a\text{,}\) entonces\(f\) en\(x = a\text{,}\)” donde completas los espacios en blanco con tiene un límite y es continuo, usando cada frase una vez.

    1.7.3 Ser diferenciable en un punto

    Recordamos que\(f\) se dice que una función es diferenciable en\(x = a\) si\(f'(a)\) existe. Además,\(f'(a)\) para que exista, sabemos que la función\(y = f(x)\) debe tener una línea tangente en el punto\((a,f(a))\text{,}\) ya que\(f'(a)\) es precisamente la pendiente de esta línea. Para incluso preguntar si\(f\) tiene una línea tangente en es\((a,f(a))\text{,}\) necesario que\(f\) sea continua en\(x = a\text{:}\) si\(f\) no tiene un límite en\(x = a\text{,}\) si no\(f(a)\) está definido, o si\(f(a)\) no es igual al valor de\(\lim_{x \to a} f(x)\text{,}\) entonces no tiene sentido hablar sobre una línea tangente a la curva en este punto.

    En efecto, se puede probar formalmente que si una función\(f\) es diferenciable en\(x = a\text{,}\) entonces debe ser continua en\(x = a\text{.}\) Entonces, si no\(f\) es continua en\(x = a\text{,}\) entonces es automáticamente el caso que no\(f\) es diferenciable ahí. Por ejemplo, en la Figura 1.7.5, ambos\(f\) y\(g\) no logran ser diferenciables en\(x = 1\) porque ninguna de las funciones es continua en\(x = 1\text{.}\) Pero, ¿puede una función no ser diferenciable en un punto donde la función es continua?

    En la Figura 1.7.8, la función tiene una esquina afilada en un punto. Para la función de la foto\(f\text{,}\) observamos que\(f\) es claramente continua en\(a = 1\text{,}\) desde\(\lim_{x \to 1} f(x) = 1 = f(1)\text{.}\)

    Figura 1.7.8. Una función\(f\) que es continua\(a = 1\) pero no diferenciable\(a = 1\text{;}\) a la derecha, ampliamos el punto\((1,1)\) en una versión ampliada de la caja en la gráfica de la izquierda.

    Pero la función\(f\) en la Figura 1.7.8 no es diferenciable en\(a = 1\)\(f'(1)\) porque no existe. Una forma de ver esto es observar que\(f'(x) = -1\) por cada valor de\(x\) eso es menor que 1, mientras que\(f'(x) = +1\) por cada valor de\(x\) eso es mayor que 1. Eso hace parecer que cualquiera\(+1\) o\(-1\) serían igualmente buenos candidatos para el valor de la derivada en\(x = 1\text{.}\) Como alternativa, podríamos usar la definición límite de la derivada para intentar computar\(f'(1)\text{,}\) y descubrir que la derivada no existe. Finalmente, podemos ver visualmente que la función\(f\) en la Figura 1.7.8 no tiene una línea tangente. Cuando acercamos el zoom\((1,1)\) en la gráfica de\(f\text{,}\) no importa cuán de cerca examinemos la función, siempre se verá como una “V”, y nunca como una sola línea, lo que nos dice que no hay posibilidad de una línea tangente ahí.

    Si una función tiene una línea tangente en un punto dado, cuando acercamos el punto de tangencia, la función y la línea tangente deben aparecer esencialmente indistinguibles 1. Por el contrario, si acercamos un punto y la función parece una sola línea recta, entonces la función debería tener una línea tangente allí, y así ser diferenciable. De ahí que una función que sea diferenciable a\(x = a\) voluntad, de cerca, se parezca cada vez más a su línea tangente en\((a,f(a))\text{.}\) Por lo tanto, decimos que una función que es diferenciable en\(x = a\) es localmente lineal.

    Véase, por ejemplo, http://gvsu.edu/s/6J para un applet (debido a David Austin, GVSU) donde hacer zoom muestra la creciente similitud entre la línea tangente y la curva.

    Para resumir la discusión anterior sobre diferenciabilidad y continuidad, hacemos varias observaciones importantes.

    Nota
    • Si\(f\) es diferenciable en\(x = a\text{,}\) entonces\(f\) es continuo en\(x = a\text{.}\) Equivalentemente, si\(f\) falla en ser continuo en\(x = a\text{,}\) entonces no\(f\) será diferenciable en\(x = a\text{.}\)
    • Una función puede ser continua en un punto, pero no diferenciable ahí. En particular, una función no\(f\) es diferenciable en\(x = a\) si la gráfica tiene una esquina afilada (o cúspide) en el punto\((a,f(a))\text{.}\)
    • Si\(f\) es diferenciable en\(x = a\text{,}\) entonces\(f\) es localmente lineal en Es\(x = a\text{.}\) decir, cuando una función es diferenciable, se ve lineal cuando se ve de cerca porque se asemeja a su línea tangente allí.
    Actividad 1.7.4

    En esta actividad, exploramos dos funciones diferentes y clasificamos los puntos en los que cada una no es diferenciable. Dejar\(g\) ser la función dada por la regla\(g(x) = |x|\text{,}\) y dejar\(f\) ser la función que hemos explorado previamente en Preview Activity 1.7.1, cuya gráfica se da de nuevo en la Figura 1.7.9.

    Figura 1.7.9. La gráfica de\(y = f(x)\) para la Actividad 1.7.4.

    a. Razonando visualmente, explicar por qué\(g\) es diferenciable en cada punto\(x\) tal que\(x \ne 0\text{.}\)

    b. Utilizar la definición límite de la derivada para demostrar que\(g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}\text{.}\)

    c. Explique por\(g'(0)\) qué no existe mediante el uso de pequeños valores positivos y negativos de\(h\text{.}\)

    d. declarar todos los valores de\(a\) para los cuales no\(f\) es diferenciable en\(x = a\text{.}\) Para cada uno, proporcione una razón para su conclusión.

    e. Verdadero o falso: si una función\(p\) es diferenciable en\(x = b\text{,}\) entonces\(\lim_{x \to b} p(x)\) debe existir. ¿Por qué?

    1.7.4 Resumen

    • Una función\(f\) tiene límite\(L\) como\(x \to a\) si y solo si\(f\) tiene un límite izquierdo en\(x = a\text{,}\)\(f\) tiene un límite de mano derecha en\(x = a\text{,}\) y los límites izquierdo y derecho son iguales. Visualmente, esto significa que puede haber un agujero en la gráfica en\(x = a\text{,}\) pero la función debe acercarse al mismo valor único desde cualquier lado de\(x = a\text{.}\)
    • Una función\(f\) es continua\(x = a\) siempre que\(f(a)\) se defina,\(f\) tiene un límite como\(x \to a\text{,}\) y el valor del límite y el valor de la función acuerdan. Esto garantiza que no haya un hoyo o salto en la gráfica de\(f\) al\(x = a\text{.}\)
    • Una función\(f\) es diferenciable\(x = a\) cuando\(f'(a)\) existe, lo que significa que\(f\) tiene una línea tangente en\((a,f(a))\) y por lo tanto\(f\) es localmente lineal en\(x = a\text{.}\) Informalmente, esto significa que la función se ve como una línea cuando se ve de cerca\((a,f(a))\) y que hay no es un punto de esquina o cúspide en\((a,f(a))\text{.}\)
    • De las tres condiciones discutidas en esta sección (tener un límite de\(x = a\text{,}\) ser continuo en\(x = a\text{,}\) y diferenciable en\(x = a\)), la condición más fuerte es ser diferenciable, y la siguiente más fuerte es ser continua. En particular, si\(f\) es diferenciable en\(x = a\text{,}\) entonces también\(f\) es continuo en\(x = a\text{,}\) y si\(f\) es continuo en\(x = a\text{,}\) entonces\(f\) tiene un límite en\(x = a\text{.}\)

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