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1.8: La aproximación de la línea tangente

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    120138
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    Preguntas Motivadoras
    • Cuál es la fórmula para la aproximación de la línea tangente general a una función diferenciable\(y = f(x)\) en el punto\((a,f(a))\text{?}\)
    • Cuál es el principio de linealidad local y cuál es la linealización local de una función diferenciable\(f\) en un punto\((a,f(a))\text{?}\)
    • ¿Cómo saber solo la aproximación de la línea tangente nos dice información sobre el comportamiento de la propia función original cerca del punto de aproximación? ¿Cómo conocer el valor de la segunda derivada en este punto nos proporciona un conocimiento adicional del comportamiento de la función original?

    Entre todas las funciones, las funciones lineales son más simples. Una de las consecuencias poderosas de que una función\(y = f(x)\) sea diferenciable en un punto\((a,f(a))\) es que, de cerca, la función\(y = f(x)\) es localmente lineal y parece su línea tangente en ese punto. En ciertas circunstancias, esto nos permite aproximar la función original\(f\) con una función más simple\(L\) que es lineal: esto puede ser ventajoso cuando tenemos información limitada sobre\(f\) o cuando\(f\) es computacional o algebraicamente complicada. Exploraremos todas estas situaciones en lo que sigue.

    Es fundamental recordar que cuando\(f\) es diferenciable al\(x = a\text{,}\) valor de\(f'(a)\) proporciona la pendiente de la línea tangente a\(y = f(x)\) en el punto\((a,f(a))\text{.}\) Si conocemos tanto un punto en la línea como la pendiente de la línea podemos encontrar la ecuación de la línea tangente y escribir la ecuación en forma de punto-pendiente 1.

    Recordemos que una línea con pendiente\(m\) que atraviesa\((x_0,y_0)\) tiene ecuación\(y - y_0 = m(x - x_0)\text{,}\) y esta es la forma punto-pendiente de la ecuación.

    Vista previa de la actividad 1.8.1

    Considera la función\(y = g(x) = -x^2+3x+2\text{.}\)

    1. Utilice la definición límite de la derivada para calcular una fórmula para\(y = g'(x)\text{.}\)
    2. Determinar la pendiente de la línea tangente\(y = g(x)\) al valor\(x = 2\text{.}\)
    3. Compute\(g(2)\text{.}\)
    4. Encuentra una ecuación para la línea tangente a\(y = g(x)\) en el punto\((2,g(2))\text{.}\) Escribe tu resultado en forma de punto-pendiente.
    5. En los ejes proporcionados en la Figura 1.8.1, dibuje una gráfica precisa etiquetada\(y = g(x)\) junto con su línea tangente en el punto\((2,g(2))\text{.}\)

    Figura 1.8.1. Ejes para trazar\(y = g(x)\) y su línea tangente al punto\((2,g(2))\text{.}\)

    1.8.1 La línea tangente

    Dada una función\(f\) que es diferenciable en\(x = a\text{,}\) sabemos que podemos determinar la pendiente de la línea tangente a\(y = f(x)\) at\((a,f(a))\) calculando\(f'(a)\text{.}\) La ecuación de la línea tangente resultante se da en forma de punto-pendiente por

    \[ y - f(a) = f'(a)(x-a) \ \ \text{or} \ \ y = f'(a)(x-a) + f(a)\text{.} \nonumber \]

    Tenga en cuenta bien: hay una diferencia importante entre\(f(a)\) y\(f(x)\) en este contexto. La primera es una constante que resulta de usar el valor fijo dado de\(a\text{,}\) mientras que la segunda es la expresión general de la regla que define la función. Lo mismo es cierto para\(f'(a)\) y\(f'(x)\text{:}\) debemos distinguir cuidadosamente entre estas expresiones. Cada vez que encontramos la línea tangente, necesitamos evaluar la función y su derivada en un\(a\) valor fijo.

    En la Figura 1.8.2, vemos la gráfica de una función\(f\) y su línea tangente en el punto\((a,f(a))\text{.}\) Observe cómo cuando acercamos vemos la linealidad local de\(f\) más claramente resaltada. La función y su línea tangente son casi indistinguibles de cerca. La linealidad local también se puede ver dinámicamente en el applet java en http://gvsu.edu/s/6J.

    Figura 1.8.2. Una función\(y = f(x)\) y su línea tangente en el punto\((a,f(a))\text{:}\) a la izquierda, a la distancia, y a la derecha, de cerca. A la derecha, etiquetamos la función de línea tangente por\(y = L(x)\) y observamos que para\(x\) cerca\(a\text{,}\)\(f(x) \approx L(x)\text{.}\)

    1.8.2 La linealización local

    Un ligero cambio de perspectiva y notación nos permitirá ser más precisos al discutir cómo la línea tangente se aproxima\(f\) cerca\(x = a\text{.}\) Al resolver para\(y\text{,}\) podemos escribir la ecuación para la línea tangente como

    \[ y = f'(a)(x-a) + f(a) \nonumber \]

    Esta línea es en sí misma una función de\(x\text{.}\) Reemplazar la variable\(y\) con la expresión\(L(x)\text{,}\) que llamamos

    \[ L(x) = f'(a)(x-a) + f(a) \nonumber \]

    la linealización local de\(f\) en el punto\((a,f(a))\text{.}\) En esta notación, no\(L(x)\) es más que un nuevo nombre para la línea tangente. Como vimos anteriormente, por\(x\) cerca de\(a\text{,}\)\(f(x) \approx L(x)\text{.}\)

    Ejemplo 1.8.3

    Supongamos que una función\(y = f(x)\) tiene su aproximación de línea tangente dada por\(L(x) = 3 - 2(x-1)\) en el punto\((1,3)\text{,}\) pero no sabemos nada más sobre la función\(f\text{.}\) Para estimar un valor de\(f(x)\) para\(x\) cerca de 1, tal como\(f(1.2)\text{,}\) podemos usar el hecho de que\(f(1.2) \approx L(1.2)\) y por lo tanto

    \[ f(1.2) \approx L(1.2) = 3 - 2(1.2-1) = 3 - 2(0.2) = 2.6\text{.} \nonumber \]

    Destacamos que\(y = L(x)\) es simplemente un nuevo nombre para la función de línea tangente. Usando esta nueva notación y nuestra observación de que\(L(x) \approx f(x)\) para\(x\) cerca\(a\text{,}\) se deduce que podemos escribir

    \[ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) \ \text{for} \ x \ \text{near} \ a\text{.} \nonumber \]
    Actividad 1.8.2

    Supongamos que se sabe que para una función diferenciable dada\(y = g(x)\text{,}\) su linealización local en el punto donde\(a = -1\) viene dada por\(L(x) = -2 + 3(x+1)\text{.}\)

    1. Calcular los valores de\(L(-1)\) y\(L'(-1)\text{.}\)
    2. ¿Cuáles deben ser los valores de\(g(-1)\) y\(g'(-1)\text{?}\) por qué?
    3. ¿Esperas que el valor de\(g(-1.03)\) sea mayor o menor que el valor de\(g(-1)\text{?}\) ¿Por qué?
    4. Utilice la linealización local para estimar el valor de\(g(-1.03)\text{.}\)
    5. Supongamos que también sabes eso\(g''(-1) = 2\text{.}\) ¿Qué te dice esto sobre la gráfica de\(y = g(x)\) al\(a = -1\text{?}\)
    6. Para\(x\) casi\(-1\text{,}\) bosquejar la gráfica de la linealización local así\(y = L(x)\) como una posible gráfica de\(y = g(x)\) sobre los ejes proporcionados en la Figura 1.8.4.

    Figura 1.8.4. Ejes para trazar\(y = L(x)\) y\(y = g(x)\text{.}\)

    De la Actividad 1.8.2, vemos que la linealización local\(y = L(x)\) es una función lineal que comparte dos valores importantes con la función de la\(y = f(x)\) que se deriva. En particular,

    • porque\(L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)\text{,}\) se deduce que\(L(a) = f(a)\text{;}\) y
    • porque\(L\) es una función lineal, su derivada es su pendiente.

    Por lo tanto,\(L'(x) = f'(a)\) para cada valor de\(x\text{,}\) y específicamente\(L'(a) = f'(a)\text{.}\) Por lo tanto, vemos que\(L\) es una función lineal que tiene tanto el mismo valor como la misma pendiente que la función\(f\) en el punto\((a,f(a))\text{.}\)

    Así, si conocemos la aproximación lineal\(y = L(x)\) para una función, conocemos el valor de la función original y su pendiente en el punto de tangencia. Lo que sigue siendo desconocido, sin embargo, es la forma de la función\(f\) en el punto de tangencia. Existen esencialmente cuatro posibilidades, como se muestra en la Figura 1.8.5.

    Figura 1.8.5. Cuatro posibles gráficas para una función diferenciable no lineal y cómo se puede situar en relación con su línea tangente en un punto.

    Estas posibles formas resultan del hecho de que existen tres opciones para el valor de la segunda derivada: cualquiera\(f''(a) \lt 0\text{,}\)\(f''(a) = 0\text{,}\) o\(f''(a) \gt 0\text{.}\)

    • Si\(f''(a) \gt 0\text{,}\) entonces sabemos que la gráfica de\(f\) es cóncava hacia arriba, y vemos la primera posibilidad a la izquierda, donde la línea tangente se encuentra completamente por debajo de la curva.
    • Si\(f''(a) \lt 0\text{,}\) entonces\(f\) es cóncava hacia abajo y la línea tangente se encuentra por encima de la curva, como se muestra en la segunda figura.
    • Si\(f''(a) = 0\) y\(f''\) cambios signo en\(x = a\text{,}\) la concavidad de la gráfica va a cambiar, y veremos ya sea la tercera o cuarta figura. 2.
    • Una quinta opción (que no es muy interesante) puede ocurrir si la función\(f\) en sí es lineal, de modo que\(f(x) = L(x)\) para todos los valores de\(x\text{.}\)
    Es posible que\(f''(a) = 0\) pero\(f''\) no cambie signo\(x = a\text{,}\) en cuyo caso la gráfica se verá como una de las dos primeras opciones.

    Las gráficas de la Figura 1.8.5 resaltan otra cosa importante que podemos aprender de la concavidad de la gráfica cerca del punto de tangencia: si la línea tangente se encuentra por encima o por debajo de la propia curva. Esto es clave porque nos dice si los valores de aproximación de la línea tangente serán o no demasiado grandes o demasiado pequeños en comparación con el valor verdadero de\(f\text{.}\) Por ejemplo, en la primera situación en la gráfica más a la izquierda en la Figura 1.8.5 donde\(f''(a) > 0\text{,}\) debido a que la línea tangente cae por debajo de la curva, sabemos que\(L(x) \le f(x)\) para todos los valores de\(x\) cerca\(a\text{.}\)

    Actividad 1.8.3

    Esta actividad se refiere a una función\(f(x)\) sobre la cual se conoce la siguiente información:

    • \(f\)es una función diferenciable definida en cada número real\(x\)
    • \(\displaystyle f(2) = -1\)
    • \(y = f'(x)\)tiene su gráfica dada en la Figura 1.8.6

    Figura 1.8.6. En el centro, una gráfica de\(y = f'(x)\text{;}\) a la izquierda, ejes para trazar\(y = f(x)\text{;}\) a la derecha, ejes para trazar\(y = f''(x)\text{.}\)

    Su tarea es determinar la mayor cantidad de información posible sobre\(f\) (especialmente cerca del valor\(a = 2\)) respondiendo a las preguntas a continuación.

    1. Encontrar una fórmula para la aproximación de la línea tangente,\(L(x)\text{,}\) a\(f\) en el punto\((2,-1)\text{.}\)
    2. Usa la aproximación de la línea tangente para estimar el valor de\(f(2.07)\text{.}\) Muestra tu trabajo con cuidado y claridad.
    3. Esboce una gráfica de\(y = f''(x)\) la cuadrícula derecha en la Figura 1.8.6; etiquétela apropiadamente.
    4. Es la pendiente de la línea tangente al\(y = f(x)\) incremento, decreciente, o a ninguno cuando\(x = 2\text{?}\) Explique.
    5. Esboce una posible gráfica de\(y = f(x)\) cerca\(x = 2\) en la cuadrícula izquierda en la Figura 1.8.6. Incluir un boceto de\(y=L(x)\) (que se encuentra en la parte (a)). Explica cómo conoces la gráfica de\(y = f(x)\) parece que la has dibujado.
    6. ¿Su estimación en (b) sobre-o subestima el verdadero valor de\(f(2.07)\text{?}\) ¿Por qué?

    La idea de que una función diferenciable se ve lineal y puede ser bien aproximada por una función lineal es importante que encuentra amplia aplicación en el cálculo. Por ejemplo, al aproximar una función con su linealización local, es posible desarrollar un algoritmo efectivo para estimar los ceros de una función. La linealidad local también nos ayuda a dar más sentido a ciertos límites desafiantes. Por ejemplo, hemos visto que el límite

    \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \nonumber \]

    es indeterminado, porque tanto su numerador como su denominador tienden a 0. Si bien no hay álgebra que podamos hacer para simplificar\(\frac{\sin(x)}{x}\text{,}\) es sencillo demostrar que la linealización de\(f(x) = \sin(x)\) en el punto\((0,0)\) viene dada por\(L(x) = x\text{.}\) Por lo tanto, para valores\(x\) cercanos a 0,\(\sin(x) \approx x\text{,}\) y por lo tanto

    \[ \frac{\sin(x)}{x} \approx \frac{x}{x} = 1\text{,} \nonumber \]

    lo que hace plausible el hecho de que

    \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\text{.} \nonumber \]

    1.8.3 Resumen

    • La línea tangente a una función diferenciable\(y = f(x)\) en el punto\((a,f(a))\) se da en forma de pendiente de punto por la ecuación
      \[ y - f(a) = f'(a)(x-a)\text{.} \nonumber \]
    • El principio de linealidad local nos dice que si ampliamos un punto donde una función\(y = f(x)\) es diferenciable, la función será indistinguible de su línea tangente. Es decir, una función diferenciable se ve lineal cuando se ve de cerca. Cambiamos el nombre de la línea tangente para que sea la función\(y = L(x)\text{,}\) donde\(L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)\text{.}\) Así,\(f(x) \approx L(x)\) para todos\(x\) cerca\(x = a\text{.}\)
    • Si conocemos la aproximación de línea tangente\(L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)\) a una función\(y=f(x)\text{,}\) entonces porque\(L(a) = f(a)\) y también\(L'(a) = f'(a)\text{,}\) conocemos los valores tanto de la función como de su derivada en el punto donde\(x = a\text{.}\) En otras palabras, la aproximación lineal nos dice la altura y pendiente de la función original. Si, además, conocemos el valor de entonces\(f''(a)\text{,}\) sabemos si la línea tangente se encuentra por encima o por debajo de la gráfica de\(y = f(x)\text{,}\) dependiendo de la concavidad de\(f\text{.}\)

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