2.1: Reglas Derivadas Elementales

Preguntas Motivadoras

• ¿Cuáles son las notaciones alternas para la derivada?
• ¿Cómo podemos usar la estructura algebraica de una función\(f(x)\) para calcular una fórmula para\(f'(x)\text{?}\)
• ¿Cuál es la derivada de una función de poder de la forma\(f(x) = x^n\text{?}\) Cuál es la derivada de una función exponencial de la forma\(f(x) = a^x\text{?}\)
• Si conocemos la derivada de\(y = f(x)\text{,}\) lo que es la derivada de\(y = k f(x)\text{,}\) donde\(k\) es una constante?
• Si conocemos las derivadas de\(y = f(x)\) y\(y = g(x)\text{,}\) cómo computamos la derivada de\(y = f(x) + g(x)\text{?}\)

En el Capítulo 1, desarrollamos el concepto de la derivada de una función. Ahora sabemos que la derivada\(f'\) de una función\(f\) mide la tasa instantánea de cambio de\(f\) con respecto a\(x\text{.}\) La derivada también nos dice la pendiente de la línea tangente a a\(y=f(x)\) cualquier valor dado de\(x\text{.}\) Hasta el momento, nos hemos centrado en interpretar el derivada gráficamente o, en el contexto de un entorno físico, como una tasa significativa de cambio. Para calcular el valor de la derivada en un punto específico, nos hemos basado en la definición límite de la derivada,

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{.} \nonumber \]

En este capítulo, investigamos cómo la definición límite de la derivada conduce a patrones y reglas interesantes que nos permiten encontrar una fórmula para\(f'(x)\) rápidamente, sin usar la definición de límite directamente. Por ejemplo, nos gustaría aplicar atajos para diferenciar una función como\(g(x) = 4x^7 - \sin(x) + 3e^x\)

Vista previa de la actividad 2.1.1

Funciones de la forma\(f(x) = x^n\text{,}\) donde a menudo\(n = 1, 2, 3, \ldots\text{,}\) se llaman funciones de potencia. Las dos primeras preguntas a continuación revisan el trabajo que hicimos anteriormente en el Capítulo 1, y las siguientes preguntas extienden esas ideas a poderes superiores de\(x\text{.}\)

1. Utilice la definición límite de la derivada\(f'(x)\) para buscar\(f(x) = x^2\text{.}\)
2. Utilice la definición límite de la derivada\(f'(x)\) para buscar\(f(x) = x^3\text{.}\)
3. Utilice la definición de límite de la derivada\(f'(x)\) para buscar\(f(x) = x^4\text{.}\) (Pista:\((a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\text{.}\) Aplicar esta regla\((x+h)^4\) dentro de la definición de límite.)
4. Con base en tu trabajo en (a), (b) y (c), lo que conjeturas es el derivado de\(f(x) = x^5\text{?}\) Of\(f(x) = x^{13}\text{?}\)
5. Conjetura una fórmula para la derivada de\(f(x) = x^n\) que se sostiene para cualquier entero positivo Es\(n\text{.}\) decir, dado\(f(x) = x^n\) donde\(n\) es un entero positivo, ¿cuál crees que es la fórmula para\(f'(x)\text{?}\)

2.1.1 Alguna notación clave

Además de nuestra\(f'\) notación habitual, existen otras formas de denotar la derivada de una función, así como la instrucción para tomar la derivada. Si estamos pensando en la relación entre\(y\) y a veces\(x\text{,}\) denotamos la derivada de\(y\) con respecto a\(x\) por el símbolo

\[ \frac{dy}{dx} \nonumber \]

que leemos “dee-y dee-x”. Por ejemplo, si\(y = x^2\text{,}\) vamos a escribir que la derivada es\(\frac{dy}{dx} = 2x\text{.}\) Esta notación proviene del hecho de que la derivada está relacionada con la pendiente de una línea, y la pendiente se mide por\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\text{.}\) Tenga en cuenta que mientras leemos\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) como “\(y\)cambio en cambio en\(x\text{,}\)” vemos\(\frac{dy}{dx}\) como un solo símbolo, no un cociente de dos cantidades.

Utilizamos una variante de esta notación como instrucción para tomar la derivada. En particular,

\[ \frac{d}{dx}\left[ \Box \right] \nonumber \]

significa “tomar la derivada de la cantidad\(\Box\) con respecto a\(x\text{.}\)” Por ejemplo, podemos escribir\(\frac{d}{dx}[x^2] = 2x\text{.}\)

Es importante señalar que la variable independiente puede ser diferente de\(x\text{.}\) Si tenemos\(f(z) = z^2\text{,}\) entonces escribimos\(f'(z) = 2z\text{.}\) De manera similar, si\(y = t^2\text{,}\) decimos\(\frac{dy}{dt} = 2t\text{.}\) Y también es cierto que\(\frac{d}{dq}[q^2] = 2q\text{.}\) Esta notación también puede ser utilizada para segundas derivadas:\(f''(z) = \frac{d}{dz}\left[\frac{df}{dz}\right] = \frac{d^2 f}{dz^2}\text{.}\)

En lo que sigue, construiremos un repertorio de funciones para las cuales podremos calcular rápidamente la derivada.

2.1.2 Funciones constantes, de potencia y exponenciales

Hasta el momento, conocemos la fórmula derivada para dos clases importantes de funciones: funciones constantes y funciones de potencia. Si\(f(x) = c\) es una función constante, su gráfica es una línea horizontal con pendiente cero en cada punto. Así,\(\frac{d}{dx}[c] = 0\text{.}\) resumimos esto con la siguiente regla.

Funciones constantes

Para cualquier número real\(c\text{,}\) si\(f(x) = c\text{,}\) entonces\(f'(x) = 0\text{.}\)

Ejemplo 2.1.1

Si\(f(x) = 7\text{,}\) entonces\(f'(x) = 0\text{.}\) De manera similar,\(\frac{d}{dx} [\sqrt{3}] = 0\text{.}\)

En tu trabajo en Preview Activity 2.1.1, conjeturaste eso para cualquier entero positivo\(n\text{,}\) si\(f(x) = x^n\text{,}\) entonces\(f'(x) = nx^{n-1}\text{.}\) Esta regla puede probarse formalmente para cualquier entero positivo\(n\text{,}\) y también para cualquier número real distinto de cero (positivo o negativo).

Funciones de alimentación

Para cualquier número real distinto de cero\(n\text{,}\) si\(f(x) = x^n\text{,}\) entonces\(f'(x) = nx^{n-1}\text{.}\)

Ejemplo 2.1.2

Usando la regla para funciones de potencia, podemos calcular las siguientes derivadas. Si\(g(z) = z^{-3}\text{,}\) entonces\(g'(z) = -3z^{-4}\text{.}\) De manera similar, si\(h(t) = t^{7/5}\text{,}\) entonces\(\frac{dh}{dt} = \frac{7}{5}t^{2/5}\text{,}\) y\(\frac{d}{dq} [q^{\pi}] = \pi q^{\pi - 1}\text{.}\)

Será instructivo tener una fórmula derivada para un tipo más de función básica. Por ahora, simplemente declaramos esta regla sin explicación ni justificación; exploraremos por qué esta regla es cierta en uno de los ejercicios. Y encontraremos razonamientos gráficos de por qué la regla es plausible en Vista previa Actividad 2.2.1.

Funciones exponenciales

Para cualquier número real positivo\(a\text{,}\) si\(f(x) = a^x\text{,}\) entonces\(f'(x) = a^x \ln(a)\text{.}\)

Ejemplo 2.1.3

Si\(f(x) = 2^x\text{,}\) entonces\(f'(x) = 2^x \ln(2)\text{.}\) Similarmente, para\(p(t) = 10^t\text{,}\)\(p'(t) = 10^t \ln(10)\text{.}\) Es especialmente importante señalar que cuando\(a = e\text{,}\) donde\(e\) está la base de la función logaritmo natural, tenemos que

\[ \frac{d}{dx} [e^x] = e^x \ln(e) = e^x \nonumber \]

ya que\(\ln(e) = 1\text{.}\) Esta es una propiedad extremadamente importante de la función\(e^x\text{:}\) su función derivada es en sí misma!

Anote cuidadosamente la distinción entre funciones de potencia y funciones exponenciales: en las funciones de potencia, la variable está en la base, como en\(x^2\text{,}\) mientras que en funciones exponenciales, la variable está en la potencia,\(2^x\text{.}\) como en Como podemos ver en las reglas, esto hace una gran diferencia en la forma del derivado.

Actividad 2.1.2

Utilice las tres reglas anteriores para determinar la derivada de cada una de las siguientes funciones. Para cada uno, indique su respuesta usando notación completa y adecuada, etiquetando la derivada con su nombre. Por ejemplo, si te dan una función\(h(z)\text{,}\) debes escribir “\(h'(z) =\)” o “\(\frac{dh}{dz} =\)” como parte de tu respuesta.

1. \(\displaystyle f(t) = \pi\)
2. \(\displaystyle g(z) = 7^z\)
3. \(\displaystyle h(w) = w^{3/4}\)
4. \(\displaystyle p(x) = 3^{1/2}\)
5. \(\displaystyle r(t) = (\sqrt{2})^t\)
6. \(\displaystyle s(q) = q^{-1}\)
7. \(\displaystyle m(t) = \frac{1}{t^3}\)

2.1.3 Multiplos constantes y sumas de funciones

A continuación aprenderemos a calcular la derivada de una función construida como una combinación algebraica de funciones básicas. Por ejemplo, nos gustaría poder tomar la derivada de una función polinómica como

\[ p(t) = 3t^5 - 7t^4 + t^2 - 9\text{,} \nonumber \]

que es una suma de múltiplos constantes de poderes de\(t\text{.}\) Para ello, desarrollamos dos nuevas reglas: la Regla Múltiple Constante y la Regla Suma.

¿Cómo se\(y = kf(x)\) relaciona la derivada de la derivada de\(y = f(x)\text{?}\) Recall que cuando multiplicamos una función por una constante\(k\text{,}\) estiramos verticalmente la gráfica por un factor de\(|k|\) (y reflejamos la gráfica a través de\(y = 0\) if\(k \lt 0\)). Este estiramiento vertical afecta la pendiente de la gráfica, por lo que la pendiente de la función\(y = kf(x)\) es\(k\) veces tan empinada como la pendiente de\(y = f(x)\text{.}\) Así, cuando multiplicamos una función por un factor de\(k\text{,}\) cambiamos el valor de su derivada por un factor de\(k\) también. ¹,

La Regla Múltiple Constante puede ser probada formalmente como consecuencia de propiedades de límites, utilizando la definición límite de la derivada.

Regla Múltiple Constante

Para cualquier número real\(k\text{,}\) si\(f(x)\) es una función diferenciable con derivada\(f'(x)\text{,}\) entonces\(\frac{d}{dx}[k f(x)] = k f'(x)\text{.}\)

En palabras, esta regla dice que “la derivada de una constante veces una función es la constante veces la derivada de la función”.

Ejemplo 2.1.4

Si\(g(t) = 3 \cdot 5^t\text{,}\) tenemos\(g'(t) = 3 \cdot 5^t \ln(5)\text{.}\) De igual manera,\(\frac{d}{dz} [5z^{-2}] = 5 (-2z^{-3})\text{.}\)

A continuación examinamos una suma de dos funciones. Si tenemos\(y = f(x)\) y\(y = g(x)\text{,}\) podemos calcular una nueva función\(y = (f+g)(x)\) sumando las salidas de las dos funciones:\((f+g)(x) = f(x) + g(x)\text{.}\) No solo el valor de la nueva función es la suma de los valores de las dos funciones conocidas, sino que la pendiente de la nueva función es la suma de las pendientes de las funciones conocidas. Por lo tanto ², llegamos a la siguiente Regla de Suma para derivados:

Al igual que la Regla Múltiple Constante, la Regla de Suma puede probarse formalmente como consecuencia de propiedades de límites, utilizando la definición límite de la derivada.

La regla de la suma

Si\(f(x)\) y\(g(x)\) son funciones diferenciables con derivadas\(f'(x)\) y\(g'(x)\) respectivamente, entonces\(\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)\text{.}\)

En palabras, la Regla de la Suma nos dice que “la derivada de una suma es la suma de las derivadas”. También nos dice que una suma de dos funciones diferenciables también es diferenciable. Además, porque podemos ver la función de diferencia\(y = (f-g)(x) = f(x) - g(x)\) como\(y = f(x) + (-1 \cdot g(x))\text{,}\) la Regla de Suma y las Reglas Múltiples Constantes juntas nos dicen eso\(\frac{d}{dx}[f(x) + (-1 \cdot g(x))] = f'(x) - g'(x)\text{,}\) o que “la derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas”. Ahora podemos calcular derivadas de sumas y diferencias de funciones elementales.

Ejemplo 2.1.5

Usando la regla de suma,\(\frac{d}{dw} (2^w + w^2) = 2^w \ln(2) + 2w\text{.}\) Usar tanto la suma como las reglas múltiples constantes, si\(h(q) = 3q^6 - 4q^{-3}\text{,}\) entonces\(h'(q) = 3 (6q^5) - 4(-3q^{-4}) = 18q^5 + 12q^{-4}\text{.}\)

Actividad 2.1.3

Utilice solo las reglas para las funciones constante, potencia y exponencial, junto con las Reglas de Múltiple Constante y Suma, para calcular la derivada de cada función a continuación con respecto a la variable independiente dada. Tenga en cuenta bien que aún no conocemos ninguna regla sobre cómo diferenciar el producto o cociente de funciones. Esto significa que es posible que tenga que hacer algo de álgebra primero en las funciones siguientes antes de poder usar reglas existentes para calcular la fórmula derivada deseada. En cada caso, etiquete la derivada que calcule con su nombre usando la notación adecuada como\(f'(x)\text{,}\)\(h'(z)\text{,}\)\(dr/dt\text{,}\) etc.

1. \(\displaystyle f(x) = x^{5/3} - x^4 + 2^x\)
2. \(\displaystyle g(x) = 14e^x + 3x^5 - x\)
3. \(\displaystyle h(z) = \sqrt{z} + \frac{1}{z^4} + 5^z\)
4. \(\displaystyle r(t) = \sqrt{53} \, t^7 - \pi e^t + e^4\)
5. \(\displaystyle s(y) = (y^2 + 1)(y^2 - 1)\)
6. \(\displaystyle q(x) = \frac{x^3 - x + 2}{x}\)
7. \(\displaystyle p(a) = 3a^4 - 2a^3 + 7a^2 - a + 12\)

De la misma manera que tenemos reglas de atajo para ayudarnos a encontrar derivados, introducimos algún lenguaje que es más sencillo y más corto. A menudo, en lugar de decir “tomar la derivada de\(f\text{,}\)” vamos a decir simplemente “diferenciar\(f\text{.}\)” De manera similar, si la derivada existe en un punto, decimos “\(f\)es diferenciable en ese punto”, o que se\(f\) puede diferenciar.

A medida que trabajamos con la estructura algebraica de las funciones, es importante desarrollar una visión general de lo que estamos haciendo. Aquí, hacemos varias observaciones generales con base en las reglas que tenemos hasta el momento.

• La derivada de cualquier función polinómica será otra función polinómica, y que el grado de la derivada sea uno menor que el grado de la función original. Por ejemplo, si\(p(t) = 7t^5 - 4t^3 + 8t\text{,}\)\(p\) es un polinomio de grado 5, y su derivada,\(p'(t) = 35t^4 - 12t^2 + 8\text{,}\) es un polinomio de grado 4.
• La derivada de cualquier función exponencial es otra función exponencial: por ejemplo, si\(g(z) = 7 \cdot 2^z\text{,}\) entonces\(g'(z) = 7 \cdot 2^z \ln(2)\text{,}\) que también es exponencial.
• No debemos perder de vista que aún conserva todo el significado de la derivada que desarrollamos en el Capítulo 1. La derivada mide la tasa instantánea de cambio de la función original, así como la pendiente de la línea tangente en cualquier punto seleccionado de la curva.

Actividad 2.1.4

Cada una de las siguientes preguntas te pide usar derivados para responder preguntas clave sobre funciones. Asegúrese de pensar cuidadosamente sobre cada pregunta y de usar la notación adecuada en sus respuestas.

1. Encuentra la pendiente de la línea tangente hasta\(h(z) = \sqrt{z} + \frac{1}{z}\) en el punto donde\(z = 4\text{.}\)
2. Una población de células está creciendo de tal manera que su número total en millones viene dado por la función\(P(t) = 2(1.37)^t + 32\text{,}\) donde\(t\) se mide en días.
   1. Determina la tasa instantánea a la que crece la población el día 4, e incluye unidades en tu respuesta.
   2. ¿La población está creciendo a un ritmo creciente o creciendo a un ritmo decreciente el día 4? Explique.
3. Encuentre una ecuación para la línea tangente a la curva\(p(a) = 3a^4 - 2a^3 + 7a^2 - a + 12\) en el punto donde\(a=-1\text{.}\)
4. ¿Cuál es la diferencia entre que se le pida encontrar la pendiente de la línea tangente (preguntado en (a)) y la ecuación de la línea tangente (preguntado en (c))?

2.1.4 Resumen

• Dada una función diferenciable\(y = f(x)\text{,}\) podemos expresar la derivada de\(f\) en varias notaciones diferentes:\(f'(x)\text{,}\)\(\frac{df}{dx}\text{,}\)\(\frac{dy}{dx}\text{,}\) y\(\frac{d}{dx}[f(x)]\text{.}\)
• La definición límite de la derivada conduce a patrones entre ciertas familias de funciones que nos permiten calcular fórmulas derivadas sin recurrir directamente a la definición límite. Por ejemplo, si\(f\) es una función de potencia de la forma\(f(x) = x^n\text{,}\) entonces\(f'(x) = nx^{n-1}\) para cualquier número real que no\(n\) sea 0. A esto se le llama la Regla para las Funciones de Poder.
• Hemos establecido una regla para las derivadas de funciones exponenciales en el mismo espíritu que la regla para las funciones de poder: para cualquier número real positivo\(a\text{,}\) si\(f(x) = a^x\text{,}\) entonces\(f'(x) = a^x \ln(a)\text{.}\)
• Si se nos da un múltiplo constante de una función cuya derivada conocemos, o una suma de funciones cuyas derivadas conocemos, las Reglas de Múltiple Constante y Suma facilitan el cálculo de la derivada de la función general. De manera más formal, si\(f(x)\) y\(g(x)\) son diferenciables con derivados\(f'(x)\)\(g'(x)\) y\(a\) y y\(b\) son constantes, entonces
  \[ \frac{d}{dx} \left[af(x) + bg(x)\right] = af'(x) + bg'(x)\text{.} \nonumber \]