2.2: La función de seno y coseno

Preguntas Motivadoras

• Qué es una justificación gráfica de por qué\(\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \ln(a)\text{?}\)
• ¿Qué\(y = \cos(x)\) sugieren\(y = \sin(x)\) y sugieren las gráficas como fórmulas para sus respectivas derivadas?
• Una vez que conocemos las derivadas de\(\sin(x)\) y\(\cos(x)\text{,}\) cómo funcionan las reglas derivadas anteriores cuando están involucradas estas funciones?

A lo largo del Capítulo 2, desarrollaremos reglas derivadas de atajo para ayudarnos a eludir la definición de límite y calcular rápidamente\(f'(x)\) a partir de una fórmula para\(f(x)\text{.}\) En la Sección 2.1, establecimos la regla para las funciones de potencia,

\[ \text{if}~ f(x) = x^n,~ \text{then}~ f'(x) = nx^{n-1}\text{,} \nonumber \]

y la regla para las funciones exponenciales,

\[ \text{if}~ a ~ \text{is a positive real number and}~ f(x) = a^x,~ \text{then}~ f'(x) = a^x \ln(a)\text{.} \nonumber \]

Más adelante en esta sección, utilizaremos un argumento gráfico para conjeturar fórmulas derivadas para las funciones seno y coseno.

Vista previa Actividad 2.2.1

Considere la función\(g(x) = 2^x\text{,}\) que se grafica en la Figura 2.2.1.

1. En cada uno de\(x = -2, -1, 0, 1, 2\text{,}\) usar una recta para esbozar una línea tangente precisa a\(y = g(x)\text{.}\)
2. Utilice la rejilla proporcionada para estimar la pendiente de la línea tangente que dibujó en cada punto de (a).
3. Utilice la definición límite de la derivada para estimar\(g'(0)\) usando valores pequeños de\(h\text{,}\) y compare el resultado con su estimación visual para la pendiente de la línea tangente a\(y = g(x)\) at\(x = 0\) in (b).
4. Con base en su trabajo en (a), (b) y (c), esboce una gráfica precisa\(y = g'(x)\) de los ejes adyacentes a la gráfica de\(y = g(x)\text{.}\)
5. Escribe al menos una frase que explique por qué es razonable pensar que\(g'(x) = cg(x)\text{,}\) donde\(c\) es una constante. Además, calcule\(\ln(2)\text{,}\) y luego discuta cómo este valor, combinado con su trabajo anterior, sugiere razonablemente que\(g'(x) = 2^x \ln(2)\text{.}\)

Figura 2.2.1. A la izquierda, la gráfica de\(y = g(x) = 2^x\text{.}\) A la derecha, ejes para trazar\(y = g'(x)\text{.}\)

2.2.1 Las funciones seno y coseno

Las funciones seno y coseno se encuentran entre las funciones más importantes en todas las matemáticas. A veces llamadas las funciones circulares debido a su definición en el círculo unitario, estas funciones periódicas juegan un papel clave en el modelado de fenómenos repetitivos como las elevaciones de las mareas, el comportamiento de una masa oscilante unida a un resorte, o la ubicación de un punto en una llanta de bicicleta. Al igual que las funciones polinomiales y exponenciales, las funciones seno y coseno se consideran funciones básicas, las que a menudo se utilizan en la construcción de funciones más complicadas. Como tal, nos gustaría conocer fórmulas para\(\frac{d}{dx} [\sin(x)]\) y\(\frac{d}{dx} [\cos(x)]\text{,}\) y las dos siguientes actividades nos llevan a ese fin.

Actividad 2.2.2

Considere la función\(f(x) = \sin(x)\text{,}\) que se grafica en la Figura 2.2.2 a continuación. Tenga en cuenta cuidadosamente que la cuadrícula en el diagrama no tiene cajas que son\(1 \times 1\text{,}\) sino aproximadamente\(1.57 \times 1\text{,}\) ya que la escala horizontal de la cuadrícula es\(\pi/2\) unidades por caja.

Figura 2.2.2. A la izquierda, la gráfica de\(y = f(x) = \sin(x)\text{.}\)

1. En cada uno de\(x = -2\pi, -\frac{3\pi}{2}, -\pi, -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\text{,}\) usar una recta para esbozar una línea tangente precisa a\(y = f(x)\text{.}\)
2. Utilice la rejilla proporcionada para estimar la pendiente de la línea tangente que dibujó en cada punto. Presta mucha atención a la escala de la grilla.
3. Utilice la definición límite de la derivada para estimar\(f'(0)\) usando valores pequeños de\(h\text{,}\) y compare el resultado con su estimación visual para la pendiente de la línea tangente a\(y = f(x)\) at\(x = 0\) in (b). Usando periodicidad, ¿qué sugiere este resultado\(f'(2\pi)\text{?}\) sobre\(f'(-2\pi)\text{?}\)
4. Con base en su trabajo en (a), (b) y (c), esboce una gráfica precisa\(y = f'(x)\) de los ejes adyacentes a la gráfica de\(y = f(x)\text{.}\)
5. ¿Qué función familiar crees que es la derivada de\(f(x) = \sin(x)\text{?}\)

Actividad 2.2.3

Considere la función\(g(x) = \cos(x)\text{,}\) que se grafica en la Figura 2.2.5 a continuación. Tenga en cuenta cuidadosamente que la cuadrícula en el diagrama no tiene cajas que son\(1 \times 1\text{,}\) sino aproximadamente\(1.57 \times 1\text{,}\) ya que la escala horizontal de la cuadrícula es\(\pi/2\) unidades por caja.

Figura 2.2.5. A la izquierda, la gráfica de\(y = g(x) = \cos(x)\text{.}\)

1. En cada uno de\(x = -2\pi, -\frac{3\pi}{2}, -\pi, -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\text{,}\) usar una recta para esbozar una línea tangente precisa a\(y = g(x)\text{.}\)
2. Utilice la rejilla proporcionada para estimar la pendiente de la línea tangente que dibujó en cada punto. Nuevamente, anote la escala de los ejes y la cuadrícula.
3. Utilice la definición límite de la derivada para estimar\(g'(\frac{\pi}{2})\) usando valores pequeños de\(h\text{,}\) y compare el resultado con su estimación visual para la pendiente de la línea tangente a\(y = g(x)\) at\(x = \frac{\pi}{2}\) in (b). Usando la periodicidad, ¿qué sugiere este resultado sobre la simetría de\(g'(-\frac{3\pi}{2})\text{?}\) lata en la gráfica te ayuda a estimar otras pendientes fácilmente?
4. Con base en su trabajo en (a), (b) y (c), esboce una gráfica precisa\(y = g'(x)\) de los ejes adyacentes a la gráfica de\(y = g(x)\text{.}\)
5. ¿Qué función familiar crees que es la derivada de\(g(x) = \cos(x)\text{?}\)

Los resultados de las dos actividades anteriores sugieren que las funciones seno y coseno no sólo tienen conexiones hermosas como las identidades\(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) y\(\cos(x - \frac{\pi}{2}) = \sin(x)\text{,}\) que se vinculan aún más a través del cálculo, ya que la derivada de cada una involucra a la otra. En las siguientes reglas se resumen los resultados de las actividades ¹.

Estas dos reglas pueden probarse formalmente utilizando la definición límite de la derivada y las identidades de expansión para\(\sin(x+h)\) y\(\cos(x+h)\text{.}\)

Funciones de seno y coseno

Para todos los números reales\(x\text{,}\)

\[ \frac{d}{dx} [\sin(x)] = \cos(x) \ \ \text{and} \ \ \frac{d}{dx} [\cos(x)] = -\sin(x)\text{.} \nonumber \]

Ahora hemos agregado las funciones seno y coseno a nuestra biblioteca de funciones básicas cuyas derivadas conocemos. Las reglas constantes de múltiplo y suma aún mantienen, por supuesto, así como todo el significado inherente de la derivada.

Actividad 2.2.4

Responde a cada una de las siguientes preguntas. Cuando se solicita una derivada, asegúrese de etiquetar la función derivada con su nombre usando la notación apropiada.

1. Determinar la derivada de\(h(t) = 3\cos(t) - 4\sin(t)\text{.}\)
2. Encuentra la pendiente exacta de la línea tangente hasta\(y = f(x) = 2x + \frac{\sin(x)}{2}\) en el punto donde\(x = \frac{\pi}{6}\text{.}\)
3. Encuentra la ecuación de la línea tangente a\(y = g(x) = x^2 + 2\cos(x)\) en el punto donde\(x = \frac{\pi}{2}\text{.}\)
4. Determinar la derivada de\(p(z) = z^4 + 4^z + 4\cos(z) - \sin(\frac{\pi}{2})\text{.}\)
5. La función\(P(t) = 24 + 8\sin(t)\) representa una población de un tipo particular de animal que vive en una pequeña isla, donde\(P\) se mide en cientos y\(t\) se mide en décadas desde el 1 de enero de 2010. ¿Cuál es la tasa instantánea de cambio del 1 de\(P\) enero de 2030? ¿Cuáles son las unidades de esta cantidad? Escribir una oración en lenguaje cotidiano que explique cómo se está comportando la población en este momento.

2.2.2 Resumen

• Para una función exponencial,\(f(x) = a^x\)\((a \gt 1)\text{,}\) la gráfica de\(f'(x)\) parece ser una versión escalada de la función original. En particular, un análisis cuidadoso de la gráfica de\(f(x) = 2^x\text{,}\) sugiere\(\frac{d}{dx}[2^x] = 2^x \ln(2)\text{,}\) lo que es un caso especial de la regla que señalamos en la Sección 2.1.
• Al analizar cuidadosamente las gráficas de\(y = \sin(x)\) y\(y = \cos(x)\text{,}\) y mediante el uso de la definición límite de la derivada en puntos seleccionados, encontramos que\(\frac{d}{dx} [\sin(x)] = \cos(x)\) y\(\frac{d}{dx} [\cos(x)] = -\sin(x)\text{.}\)
• Observamos que todas las reglas derivadas encontradas anteriormente aún se mantienen, pero ahora también se pueden aplicar a funciones que involucran el seno y el coseno. Todo el significado establecido de la derivada se aplica también a estas funciones trigonométricas.