2.4: Derivadas de otras funciones trigonométricas

Preguntas Motivadoras

• ¿Cuáles son las derivadas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante?
• ¿Cómo se\(\csc(x)\) combinan\(\tan(x)\text{,}\)\(\cot(x)\text{,}\)\(\sec(x)\text{,}\) las derivadas de otras reglas derivadas que hemos desarrollado para ampliar la biblioteca de funciones que podemos diferenciar rápidamente?

Uno de los temas poderosos de la trigonometría proviene de una idea muy simple: ubicar un punto en el círculo unitario.

Figura 2.4.1. El círculo unitario y la definición de las funciones seno y coseno.

Debido a que cada ángulo\(\theta\) en posición estándar corresponde a uno y solo un punto\((x,y)\) en el círculo unitario, las\(y\) coordenadas\(x\) - y -de este punto son cada una funciones de\(\theta\text{.}\) De hecho, esta es la definición misma de\(\cos(\theta)\) y\(\sin(\theta)\text{:}\)\(\cos(\theta)\) es la\(x\) - coordenada del punto en el círculo unitario correspondiente al ángulo\(\theta\text{,}\) y\(\sin(\theta)\) es la\(y\) coordenada -. A partir de esta simple definición, se funda toda la trigonometría. Por ejemplo, la Identidad Trigonométrica Fundamental,

\[ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\text{,} \nonumber \]

es una reafirmación del Teorema de Pitágoras, aplicado al triángulo rectángulo mostrado en la Figura 2.4.1.

Existen otras cuatro funciones trigonométricas, cada una definida en términos de las funciones sinusoidales y/o cosenales.

• La función tangente está definida por\(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\text{;}\)
• la función cotangente es su recíproco:\(\cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\text{.}\)
• La función secante es la recíproca de la función coseno,\(\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}\text{;}\)
• y la función cosecante es la recíproca de la función sinusoidal,\(\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}\text{.}\)

Estas seis funciones trigonométricas juntas nos ofrecen una amplia gama de flexibilidad en problemas que involucran triángulos rectos.

Debido a que conocemos las derivadas de la función seno y coseno, ahora podemos desarrollar reglas de diferenciación de atajo para las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. En la actividad de vista previa de esta sección, trabajamos a través de los pasos para encontrar la derivada de\(y = \tan(x)\text{.}\)

Vista previa de la actividad 2.4.1

Considera la función\(f(x) = \tan(x)\text{,}\) y recuerda que\(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\text{.}\)

1. ¿Cuál es el dominio de\(f\text{?}\)
2. Usa la regla de cociente para mostrar que una expresión para\(f'(x)\) es
   \[ f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) + \sin(x)\sin(x)}{\cos^2(x)}\text{.} \nonumber \]
3. ¿Qué es la Identidad Trigonométrica Fundamental? ¿Cómo se puede usar esta identidad para encontrar una forma más simple para\(f'(x)\text{?}\)
4. Recordemos que\(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\text{.}\) ¿Cómo podemos expresarnos\(f'(x)\) en términos de la función secante?
5. ¿Para qué valores de\(x\) se\(f'(x)\) define? ¿Cómo se compara este conjunto con el dominio de\(f\text{?}\)

2.4.1 Derivadas de las funciones cotangente, secante y cosecante

En Preview Activity 2.4.1, encontramos que la derivada de la función tangente se puede expresar de varias maneras, pero más simplemente en términos de la función secante. A continuación, desarrollamos la derivada de la función cotangente.

Vamos\(g(x) = \cot(x)\text{.}\) Para encontrar\(g'(x)\text{,}\) observamos eso\(g(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\) y aplicamos la regla del cociente. De ahí

\ begin {align*} g' (x) =\ mathstrut &\ frac {\ sin (x) (-\ sin (x)) -\ cos (x)\ cos (x)} {\ sin^2 (x)}\\ [4pt] =\ mathstrut & -\ frac {\ sin^2 (x) +\ cos^2 (x)} {\ sin^2 (x)} {\ sin^2 (x)}\ end {alinear*}

Por la Identidad Trigonométrica Fundamental, vemos eso\(g'(x) = -\frac{1}{\sin^2(x)}\text{,}\) y recordando que\(\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}\text{,}\) se deduce que podemos expresar\(g'\) por la regla

\[ g'(x) = -\csc^2(x)\text{.} \nonumber \]

Tenga en cuenta que\(g\) ni ni\(g'\) se define cuando\(\sin(x) = 0\text{,}\) lo que ocurre en cada entero múltiplo de\(\pi\text{.}\) Por lo tanto tenemos la siguiente regla.

Función cotangente

Para todos los números reales\(x\) tales que\(x \ne k\pi\text{,}\) donde\(k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots\text{,}\)

\[ \dfrac{d}{dx} [\cot(x)] = -\csc^2(x)\text{.} \nonumber \]

Observe que la derivada de la función cotangente es muy similar a la derivada de la función tangente que descubrimos en Preview Activity 2.4.1.

Función Tangente

Para todos los números reales\(x\) tales que\(x \ne \frac{(2k+1)\pi}{2}\text{,}\) donde\(k = \pm 1, \pm 2, \ldots\text{,}\)

\[ \dfrac{d}{dx} [\tan(x)] = \sec^2(x)\text{.} \nonumber \]

En las dos actividades siguientes, desarrollamos las reglas para diferenciar las funciones secante y cosecante.

Actividad 2.4.2

Dejemos\(h(x) = \sec(x)\) y recordemos que\(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\text{.}\)

1. ¿Cuál es el dominio de\(h\text{?}\)
2. Use la regla del cociente para desarrollar una fórmula para\(h'(x)\) que se exprese completamente en términos de\(\sin(x)\) y\(\cos(x)\text{.}\)
3. ¿Cómo se pueden usar otras relaciones entre funciones trigonométricas para escribir\(h'(x)\) solo en términos de\(\tan(x)\) y\(\sec(x)\text{?}\)
4. Cuál es el dominio de\(h'\text{?}\) ¿Cómo se compara esto con el dominio de\(h\text{?}\)

Actividad 2.4.3

Dejemos\(p(x) = \csc(x)\) y recordemos que\(\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}\text{.}\)

1. ¿Cuál es el dominio de\(p\text{?}\)
2. Use la regla del cociente para desarrollar una fórmula para\(p'(x)\) que se exprese completamente en términos de\(\sin(x)\) y\(\cos(x)\text{.}\)
3. ¿Cómo se pueden usar otras relaciones entre funciones trigonométricas para escribir\(p'(x)\) solo en términos de\(\cot(x)\) y\(\csc(x)\text{?}\)
4. Cuál es el dominio de\(p'\text{?}\) ¿Cómo se compara esto con el dominio de\(p\text{?}\)

Usando la regla del cociente hemos determinado las derivadas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante, expandiendo nuestra biblioteca general de funciones que podemos diferenciar. Observe que así como la derivada de cualquier función polinómica es un polinomio, y la derivada de cualquier función exponencial es otra función exponencial, entonces es que la derivada de cualquier función trigonométrica básica es otra función que consiste en funciones trigonométricas básicas. Esto tiene sentido porque todas las funciones trigonométricas son periódicas, y por lo tanto sus derivadas también serán periódicas.

La derivada conserva todo su significado fundamental como una tasa instantánea de cambio y como la pendiente de la línea tangente a la función en consideración.

Actividad 2.4.4

Responde a cada una de las siguientes preguntas. Cuando se solicita una derivada, asegúrese de etiquetar la función derivada con su nombre usando la notación apropiada.

1. Vamos\(f(x) = 5 \sec(x) - 2\csc(x)\text{.}\) Encuentra la pendiente de la línea tangente a\(f\) en el punto donde\(x =\frac{\pi}{3}\text{.}\)
2. Let\(p(z) = z^2\sec(z) - z\cot(z)\text{.}\) Encuentra la tasa instantánea de cambio de\(p\) en el punto donde\(z = \frac{\pi}{4}\text{.}\)
3. Let\(h(t) = \displaystyle \frac{\tan (t)}{t^2+1} - 2e^t \cos(t)\text{.}\) Find\(h'(t)\text{.}\)
4. Let\(g(r) = \displaystyle \frac{r \sec(r) }{5^r}\text{.}\) Find\(g'(r)\text{.}\)
5. Cuando una masa cuelga de un resorte y se pone en movimiento, la posición del objeto oscila de manera que el tamaño de las oscilaciones disminuye. Esto generalmente se llama oscilación amortiguada. Supongamos que para un objeto en particular, su desplazamiento del equilibrio (donde el objeto se sienta en reposo) es modelado por la función
   \[ s(t) = \dfrac{15 \sin(t)}{e^t}\text{.} \nonumber \]

   Supongamos que\(s\) se mide en pulgadas y\(t\) en segundos. Esboce una gráfica de esta función\(t \ge 0\) para ver cómo representa la situación descrita. Luego calcula el\(ds/dt\text{,}\) estado de las unidades en esta función, y explica lo que te dice sobre el movimiento del objeto. Finalmente, computar e interpretar\(s'(2)\text{.}\)

2.4.2 Resumen

• Las derivadas de las otras cuatro funciones trigonométricas son
  \[ \frac{d}{dx}[\tan(x)] = \sec^2(x), \ \ \frac{d}{dx}[\cot(x)] = -\csc^2(x)\text{,} \nonumber \]
  \[ \frac{d}{dx}[\sec(x)] = \sec(x)\tan(x), \ \text{and} \ \frac{d}{dx}[\csc(x)] = -\csc(x)\cot(x)\text{.} \nonumber \]

  Cada derivada existe y se define en el mismo dominio que la función original. Por ejemplo, tanto la función tangente como su derivada se definen para todos los números reales de\(x\) tal manera que\(x \ne \frac{k\pi}{2}\text{,}\) donde\(k = \pm 1, \pm 2, \ldots\text{.}\)

• Las cuatro reglas para las derivadas de la tangente, cotangente, secante y cosecante se pueden usar junto con las reglas para funciones de potencia, funciones exponenciales y seno y coseno, así como las reglas de suma, múltiplo constante, producto y cociente, para diferenciar rápidamente una amplia gama de funciones diferentes.