2.E: Derivados de Computación (Ejercicios)

2.1: Reglas Derivadas Elementales

1. Derivada de una función de potencia

2. Derivada de una función racional

3. Derivada de una función raíz

4. Derivada de una cuadrática

5. Derivada de una suma de funciones de potencia

6. Simplificar un producto antes de diferenciar

7. Simplificar un cociente antes de diferenciar

8. Encontrar una ecuación de línea tangente

9. Determinar dónde\(f'(x) = 0\)

10

Dejar\(f\) y\(g\) ser funciones diferenciables para las que se conoce la siguiente información:\(f(2) = 5\text{,}\)\(g(2) = -3\text{,}\)\(f'(2) = -1/2\text{,}\)\(g'(2) = 2\text{.}\)

1. Dejar\(h\) ser la nueva función definida por la regla\(h(x) = 3f(x) - 4g(x)\text{.}\) Determinar\(h(2)\) y\(h'(2)\text{.}\)
2. Encontrar una ecuación para la línea tangente a\(y = h(x)\) en el punto\((2,h(2))\text{.}\)
3. Dejar\(p\) ser la función definida por la regla\(p(x) = -2f(x) + \frac{1}{2}g(x)\text{.}\) Es\(p\) creciente, decreciente, o ninguna en\(a = 2\text{?}\) ¿Por qué?
4. Estimar el valor de\(p(2.03)\) usando la linealización local de\(p\) en el punto\((2,p(2))\text{.}\)

11

Dejar funciones\(p\) y\(q\) ser las funciones lineales por partes dadas por sus respectivas gráficas en la Figura 2.1.6. Utilice las gráficas para responder a las siguientes preguntas.

Figura 2.1.6. Las gráficas de\(p\) (en azul) y\(q\) (en verde).

1. ¿A qué valores de\(p\) no\(x\) es diferenciable? ¿A qué valores de\(q\) no\(x\) es diferenciable? ¿Por qué?
2. Vamos ¿\(r(x) = p(x) + 2q(x)\text{.}\)A qué valores de\(r\) no\(x\) es diferenciable? ¿Por qué?
3. Determinar\(r'(-2)\) y\(r'(0)\text{.}\)
4. Encontrar una ecuación para la línea tangente a\(y = r(x)\) en el punto\((2,r(2))\text{.}\)

12

Considere las funciones\(r(t) = t^t\) y\(s(t) = \arccos(t)\text{,}\) para las que se le dan los hechos que\(r'(t) = t^t(\ln(t) + 1)\) y\(s'(t) = -\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\text{.}\) No se preocupe de dónde provienen estas fórmulas derivadas. Restringimos nuestro interés en ambas funciones al dominio\(0 \lt t \lt 1\text{.}\)

1. Dejar\(w(t) = 3t^t - 2\arccos(t)\text{.}\) Determinar\(w'(t)\text{.}\)
2. Encontrar una ecuación para la línea tangente a\(y = w(t)\) en el punto\((\frac{1}{2}, w(\frac{1}{2}))\text{.}\)
3. Dejar\(v(t) = t^t + \arccos(t)\text{.}\) Está\(v\) aumentando o disminuyendo en el instante\(t = \frac{1}{2}\text{?}\) ¿Por qué?

13

Dejar\(f(x) = a^x\text{.}\) El objetivo de este problema es explorar cómo el valor de\(a\) afecta a la derivada de\(f(x)\text{,}\) sin asumir que conocemos la regla para la\(\frac{d}{dx}[a^x]\) que hemos declarado y utilizado en trabajos anteriores en esta sección.

1. Utilice la definición límite de la derivada para mostrar que
   \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a^x \cdot a^h - a^x}{h}\text{.} \nonumber \]
2. Explique por qué también es cierto que
   \[ f'(x) = a^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}\text{.} \nonumber \]
3. Utilizar tecnología informática y pequeños valores de\(h\) para estimar el valor de
   \[ L = \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} \nonumber \]

   cuando\(a = 2\text{.}\) Hacer lo mismo cuando\(a = 3\text{.}\)

4. Nótese que sería ideal que el valor del límite\(L\) fuera\(1\text{,}\) para entonces\(f\) sería una función particularmente especial: su derivada sería simplemente\(a^x\text{,}\) lo que significaría que su derivada es en sí misma. Experimentando con diferentes valores de\(a\) entre\(2\) y\(3\text{,}\) tratar de encontrar un valor\(a\) para el cual
   \[ L = \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = 1\text{.} \nonumber \]
5. Compute\(\ln(2)\) y\(\ln(3)\text{.}\) lo que sugiere tu trabajo en (b) y (c) es cierto sobre\(\frac{d}{dx}[2^x]\) y\(\frac{d}{dx}[3^x]\text{?}\)
6. ¿Cómo sus investigaciones en (d) conducen a un hecho particularmente importante sobre la función\(f(x) = e^x\text{?}\)

2.2: La función de seno y coseno

1

Supongamos que\(V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)\) representa el valor de la cartera de inversión de una persona en miles de dólares en el año\(t\text{,}\) donde\(t = 0\) corresponde al 1 de enero de 2010.

1. ¿A qué tasa instantánea cambia el valor de la cartera el 1 de enero de 2012? Incluya unidades en su respuesta.
2. Determina el valor de\(V''(2)\text{.}\) ¿Cuáles son las unidades en esta cantidad y qué te dice sobre cómo está cambiando el valor de la cartera?
3. En el intervalo\(0 \le t \le 20\text{,}\) grafica la función\(V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)\) y describe su comportamiento en el contexto del problema. Luego, compare las gráficas de las funciones\(A(t) = 24 \cdot 1.07^t\) y así\(V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)\text{,}\) como las gráficas de sus derivadas\(A'(t)\) y\(V'(t)\text{.}\) Cuál es el impacto del término\(6 \sin(t)\) en el comportamiento de la función\(V(t)\text{?}\)

2.

Let\(f(x) = 3\cos(x) - 2\sin(x) + 6\text{.}\)

1. Determinar la pendiente exacta de la línea tangente a\(y = f(x)\) en el punto donde\(a = \frac{\pi}{4}\text{.}\)
2. Determinar la aproximación de la línea tangente\(y = f(x)\) al punto donde\(a = \pi\text{.}\)
3. ¿En el punto donde\(a = \frac{\pi}{2}\text{,}\) está\(f\) aumentando, disminuyendo, o ninguno?
4. ¿En el punto donde la línea tangente\(a = \frac{3\pi}{2}\text{,}\) se\(y = f(x)\) encuentra por encima de la curva, por debajo de la curva, o ninguna? ¿Cómo se puede responder a esta pregunta sin siquiera graficar la función o la línea tangente?

3

En este ejercicio, exploramos cómo la definición límite de la derivada muestra de manera más formal que\(\frac{d}{dx}[\sin(x)] = \cos(x)\text{.}\) Dejar\(f(x) = \sin(x)\text{,}\) notar que la definición límite de la derivada nos dice que

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}\text{.} \nonumber \]

1. Recordemos la identidad trigonométrica para el seno de una suma de ángulos\(\alpha\) y\(\beta\text{:}\)\(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\text{.}\) Usa esta identidad y algo de álgebra para demostrar que
   \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)(\cos(h)-1) + \cos(x)\sin(h)}{h}\text{.} \nonumber \]
2. A continuación, señalar que a medida que\(h\) cambia,\(x\) se mantiene constante. Explique por lo tanto, tiene sentido decir que
   \[ f'(x) = \sin(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) -1 }{h} + \cos(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h}\text{.} \nonumber \]
3. Finalmente, use valores pequeños de\(h\) para estimar los valores de los dos límites en (c):
   \[ \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) - 1}{h} \ \ \text{and} \ \ \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h}\text{.} \nonumber \]
4. ¿Qué te dicen tus resultados en (b) y (c) así?\(f'(x)\text{?}\)
5. Al emular los pasos dados anteriormente, utilice la definición límite del derivado para argumentar convincentemente que\(\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\sin(x)\text{.}\)

2.3: Las reglas de producto y cociente

1. Derivado de un producto básico

2. Derivado de un producto

3. Derivada de un cociente de funciones lineales

4. Derivada de una función racional

5. Derivada de un producto de funciones trigonométricas

6. Derivada de un producto de potencia y funciones trigonmétricas

7. Derivada de una suma que involucra un producto

8. Reglas de producto y cociente con gráficas

9. Reglas de producto y cociente con valores de función dados

10

Dejar\(f\) y\(g\) ser funciones diferenciables para las que se conoce la siguiente información:\(f(2) = 5\text{,}\)\(g(2) = -3\text{,}\)\(f'(2) = -1/2\text{,}\)\(g'(2) = 2\text{.}\)

1. Dejar\(h\) ser la nueva función definida por la regla\(h(x) = g(x) \cdot f(x)\text{.}\) Determinar\(h(2)\) y\(h'(2)\text{.}\)
2. Encuentra una ecuación para la línea tangente a\(y = h(x)\) en el punto\((2,h(2))\) (donde\(h\) se define la función en (a)).
3. Dejar\(r\) ser la función definida por la regla\(r(x) = \frac{g(x)}{f(x)}\text{.}\) Es\(r\) creciente, decreciente, o ninguna en\(a = 2\text{?}\) ¿Por qué?
4. Estimar el valor de\(r(2.06)\) (donde\(r\) está la función definida en (c)) usando la linealización local de\(r\) en el punto\((2,r(2))\text{.}\)

11

Considere las funciones\(r(t) = t^t\) y\(s(t) = \arccos(t)\text{,}\) para las que se le dan los hechos que\(r'(t) = t^t(\ln(t) + 1)\) y\(s'(t) = -\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\text{.}\) No se preocupe de dónde provienen estas fórmulas derivadas. Restringimos nuestro interés en ambas funciones al dominio\(0 \lt t \lt 1\text{.}\)

1. Dejar\(w(t) = t^t \arccos(t)\text{.}\) Determinar\(w'(t)\text{.}\)
2. Encontrar una ecuación para la línea tangente a\(y = w(t)\) en el punto\((\frac{1}{2}, w(\frac{1}{2}))\text{.}\)
3. Dejar\(v(t) = \frac{t^t}{\arccos(t)}\text{.}\) Está\(v\) aumentando o disminuyendo en el instante\(t = \frac{1}{2}\text{?}\) ¿Por qué?

12

Dejar funciones\(p\) y\(q\) ser las funciones lineales por tramos dadas por sus respectivas gráficas en la Figura 2.3.6. Utilice las gráficas para responder a las siguientes preguntas.

1. Dejar\(r(x) = p(x) \cdot q(x)\text{.}\) Determinar\(r'(-2)\) y\(r'(0)\text{.}\)
2. ¿Hay valores de\(x\) para los que\(r'(x)\) no existe? Si es así, ¿qué valores y por qué?
3. Encontrar una ecuación para la línea tangente a\(y = r(x)\) en el punto\((2,r(2))\text{.}\)
4. Dejar\(z(x) = \frac{q(x)}{p(x)}\text{.}\) Determinar\(z'(0)\) y\(z'(2)\text{.}\)
5. ¿Hay valores de\(x\) para los que\(z'(x)\) no existe? Si es así, ¿qué valores y por qué?

Figura 2.3.6. Las gráficas de\(p\) (en azul) y\(q\) (en verde).

13

Un agricultor con grandes explotaciones ha cultivado históricamente una amplia variedad de cultivos. Al subir el precio del combustible etanol, decide que sería prudente dedicar cada vez más de su superficie a producir maíz. A medida que crece más y más maíz, aprende eficiencias que incrementan su rendimiento por acre. En el presente año, utilizó 7000 acres de su tierra para cultivar maíz, y esa tierra tuvo un rendimiento promedio de 170 bushels por acre. En la actualidad, planea aumentar su número de acres dedicados al cultivo de maíz a una tasa de 600 acres/año, y espera que en estos momentos su rendimiento promedio esté aumentando a una tasa de 8 bushels por acre al año. Utilice esta información para responder a las siguientes preguntas.

1. Decir que el presente año es el\(t = 0\text{,}\) que\(A(t)\) denota el número de acres que el agricultor dedica al cultivo de maíz en año\(t\text{,}\)\(Y(t)\) representa el rendimiento promedio en año\(t\) (medido en bushels por acre), y\(C(t)\) es el número total de bushels de maíz que produce el agricultor. ¿Para qué sirve la fórmula\(C(t)\) en términos de\(A(t)\) y\(Y(t)\text{?}\) por qué?
2. ¿Cuál es el valor de ¿\(C(0)\text{?}\)Qué mide?
3. Escribe una expresión para\(C'(t)\) en términos de\(A(t)\text{,}\)\(A'(t)\text{,}\)\(Y(t)\text{,}\) y\(Y'(t)\text{.}\) Explica tu pensamiento.
4. ¿Cuál es el valor de ¿\(C'(0)\text{?}\)Qué mide?
5. Con base en la información dada y su trabajo anterior, estime el valor de\(C(1)\text{.}\)

14

\(f(v)\)Sea el consumo de gas (en litros/km) de un automóvil que va a velocidad\(v\) (en km/hora). Es decir,\(f(v)\) te dice cuántos litros de gasolina usa el automóvil para recorrer un kilómetro si está viajando a\(v\) kilómetros por hora. Además, supongamos que\(f(80)=0.05\) y\(f'(80) = 0.0004\text{.}\)

1. Deja\(g(v)\) ser la distancia que va el mismo carro en un litro de gas a velocidad\(v\text{.}\) ¿Cuál es la relación entre\(f(v)\) y\(g(v)\text{?}\) Por lo tanto encontrar\(g(80)\) y\(g'(80)\text{.}\)
2. Deja\(h(v)\) ser el consumo de gas en litros por hora de un automóvil que va a velocidad\(v\text{.}\) En otras palabras, te\(h(v)\) dice cuántos litros de gas usa el auto en una hora si va a velocidad\(v\text{.}\) Cuál es la relación algebraica entre\(h(v)\) y\(f(v)\text{?}\) De ahí encontrar \(h(80)\)y\(h'(80)\text{.}\)
3. ¿Cómo explicarías el significado práctico de estas funciones y valores derivados a un conductor que no conoce cálculo? Incluya unidades en cada uno de los valores de función y derivados que comente en su respuesta.

2.4: Derivadas de otras funciones trigonométricas

1. Una suma y un producto que implica\(\tan(x)\)

2. Un cociente que involucra\(\tan(t)\)

3. Un cociente de funciones trigonométricas

4. Un cociente que involucra un producto

5. Encontrar una ecuación de línea tangente

6

Un objeto que se mueve verticalmente tiene su altura en el tiempo\(t\) (medida en pies, con tiempo en segundos) dada por la función\(h(t) = 3 + \frac{2\cos(t)}{1.2^t}\text{.}\)

1. ¿Cuál es la velocidad instantánea del objeto cuando\(t =2\text{?}\)
2. ¿Cuál es la aceleración del objeto en el instante?\(t = 2\text{?}\)
3. Describir en el lenguaje cotidiano el comportamiento del objeto en el instante\(t = 2\text{.}\)

7

Let\(f(x) = \sin(x) \cot(x)\text{.}\)

1. Usa la regla del producto para encontrar\(f'(x)\text{.}\)
2. Verdadero o falso: para todos los números reales\(x\text{,}\)\(f(x) = \cos(x)\text{.}\)
3. Explica por qué la función que encontraste en (a) es casi lo contrario de la función sinusoidal, pero no del todo. (Pista: convertir todas las funciones trigonométricas en (a) en senos y cosenos, y trabajar para simplificar. Piense cuidadosamente sobre el dominio de\(f\) y el dominio de\(f'\text{.}\))

8

\(p(z)\)Déjese dar por la regla

\[ p(z) = \frac{z\tan(z)}{z^2\sec(z) + 1} + 3 e^z + 1\text{.} \nonumber \]

1. Determinar\(p'(z)\text{.}\)
2. Encuentra una ecuación para la línea tangente a\(p\) en el punto donde\(z = 0\text{.}\)
3. \(z = 0\text{,}\)¿Al es\(p\) creciente, decreciente, o ninguno? ¿Por qué?

2.5: La regla de la cadena

1. Reglas de mezcla: cadena, producto, suma

2. Reglas de mezcla: cadena y producto

3. Usar la regla de la cadena repetidamente

4. Derivada que implica constantes arbitrarias\(a\) and \(b\)

5. Regla de cadena con gráficas

6. Regla de cadena con valores de función

7. Un producto que implica una función compuesta

8

Considere las funciones básicas\(f(x) = x^3\) y\(g(x) = \sin(x)\text{.}\)

1. Let\(h(x) = f(g(x))\text{.}\) Encuentra la tasa instantánea exacta de cambio de\(h\) en el punto donde\(x = \frac{\pi}{4}\text{.}\)
2. ¿Qué función está cambiando más rápidamente en\(x = 0.25\text{:}\)\(h(x) = f(g(x))\) o\(r(x) = g(f(x))\text{?}\) por qué?
3. Let\(h(x) = f(g(x))\) y\(r(x) = g(f(x))\text{.}\) ¿Cuál de estas funciones tiene una derivada que es periódica? ¿Por qué?

9

Dejar\(u(x)\) ser una función diferenciable. Para cada una de las siguientes funciones, determinar la derivada. Cada respuesta implicará\(u\) y/o\(u'\text{.}\)

1. \(\displaystyle p(x) = e^{u(x)}\)
2. \(\displaystyle q(x) = u(e^x)\)
3. \(\displaystyle r(x) = \cot(u(x))\)
4. \(\displaystyle s(x) = u(\cot(x))\)
5. \(\displaystyle a(x) = u(x^4)\)
6. \(\displaystyle b(x) = u^4(x)\)

10

Dejar funciones\(p\) y\(q\) ser las funciones lineales por tramos dadas por sus respectivas gráficas en la Figura 2.5.9. Utilice las gráficas para responder a las siguientes preguntas.

Figura 2.5.9. Las gráficas de\(p\) (en azul) y\(q\) (en verde).

1. Dejar\(C(x) = p(q(x))\text{.}\) Determinar\(C'(0)\) y\(C'(3)\text{.}\)
2. Encontrar un valor\(x\) para el cual\(C'(x)\) no existe. Explica tu pensamiento.
3. Dejar\(Y(x) = q(q(x))\) y\(Z(x) = q(p(x))\text{.}\) Determinar\(Y'(-2)\) y\(Z'(0)\text{.}\)

11

Si un tanque esférico de radio 4 pies tiene\(h\) pies de agua presentes en el tanque, entonces el volumen de agua en el tanque viene dado por la fórmula

\[ V = \frac{\pi}{3} h^2(12-h)\text{.} \nonumber \]

1. ¿A qué velocidad instantánea está cambiando el volumen de agua en el tanque con respecto a la altura del agua en el instante\(h = 1\text{?}\) ¿Cuáles son las unidades en esta cantidad?
2. Ahora supongamos que la altura del agua en el tanque está siendo regulada por un flujo de entrada y salida (por ejemplo, un grifo y un desagüe) de manera que la altura del agua en el momento\(t\) viene dada por la regla\(h(t) = \sin(\pi t) + 1\text{,}\) donde\(t\) se mide en horas (y todavía\(h\) se mide en pies). ¿A qué velocidad cambia la altura del agua con respecto al tiempo en el instante?\(t = 2\text{?}\)
3. Continuando bajo los supuestos en (b), a qué velocidad instantánea está cambiando el volumen de agua en el tanque con respecto al tiempo en el instante\(t = 2\text{?}\)
4. ¿Cuáles son las principales diferencias entre las tasas encontradas en (a) y (c)? Incluir una discusión de las unidades relevantes.

2.6: Derivadas de funciones inversas

1. Función compuesta que involucra logaritmos y polinomios

2. Función compuesta que involucra funciones trigonométricas y logaritmos

3. Producto que implica\(\arcsin(w)\)

4. Derivada que implica\(\arctan(x)\)

5. Función compuesta a partir de una gráfica

6. Función compuesta que implica una función trigonométrica inversa

7. Reglas de mezcla: producto, cadena y trigonometría inversa

8. Reglas de mezcla: producto y trigonometría inversa

9

Determinar la derivada de cada una de las siguientes funciones. Usa la notación adecuada e identifica claramente las reglas derivadas que usas.

1. \(\displaystyle f(x) = \ln(2\arctan(x) + 3\arcsin(x) + 5)\)
2. \(\displaystyle r(z) = \arctan(\ln(\arcsin(z)))\)
3. \(\displaystyle q(t) = \arctan^2(3t) \arcsin^4(7t)\)
4. \(\displaystyle g(v) = \ln\left( \frac{\arctan(v)}{\arcsin(v) + v^2} \right)\)

10

Considere la gráfica de\(y = f(x)\) proporcionada en la Figura 2.6.7 y utilícela para responder a las siguientes preguntas.

1. Utilice la gráfica proporcionada para estimar el valor de\(f'(1)\text{.}\)
2. Esboce una gráfica aproximada de\(y = f^{-1}(x)\text{.}\) Etiqueta al menos tres puntos distintos en la gráfica que corresponden a tres puntos en la gráfica de\(f\text{.}\)
3. Con base en su trabajo en (a), cuál es el valor de\((f^{-1})'(-1)\text{?}\) ¿Por qué?

Figura 2.6.7. Una función\(y = f(x)\)

11

Let\(f(x) = \frac{1}{4}x^3 + 4\text{.}\)

1. Esbozar una gráfica\(y = f(x)\) y explicar por qué\(f\) es una función invertible.
2. Dejar\(g\) ser la inversa de\(f\) y determinar una fórmula para\(g\text{.}\)
3. Computación\(f'(x)\text{,}\)\(g'(x)\text{,}\)\(f'(2)\text{,}\) y\(g'(6)\text{.}\) ¿Cuál es la relación especial entre\(f'(2)\) y\(g'(6)\text{?}\) por qué?

12

Let\(h(x) = x + \sin(x)\text{.}\)

1. Esboce una gráfica\(y = h(x)\) y explique por qué\(h\) debe ser invertible.
2. Explique por qué no parece ser algebraicamente posible determinar una fórmula para\(h^{-1}\text{.}\)
3. Observe que el punto\((\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} + 1)\) se encuentra en la gráfica de\(y = h(x)\text{.}\) Determinar el valor de\((h^{-1})'(\frac{\pi}{2} + 1)\text{.}\)

2.7: Derivadas de funciones dadas implícitamente

1. Diferenciación implícita en una ecuación polinómica

2. Diferenciación implícita en una ecuación con logaritmos

3. Diferenciación implícita en una ecuación con funciones trigonométricas inversas

4. Pendiente de la línea tangente a una curva implícita

5. Ecuación de la línea tangente a una curva implícita

6

Considera la curva dada por la ecuación\(2y^3+y^2-y^5 = x^4 - 2x^3 + x^2\text{.}\) Encuentra todos los puntos en los que la línea tangente a la curva es horizontal o vertical. Asegúrese de usar una utilidad gráfica para trazar esta curva implícita y verificar visualmente los resultados del razonamiento algebraico que usa para determinar dónde están las líneas tangentes horizontales y verticales.

7

Para la curva dada por la ecuación\(\sin(x+y) + \cos(x-y) = 1\text{,}\) encontrar la ecuación de la línea tangente a la curva en el punto\((\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\text{.}\)

8

La diferenciación implícita nos permite una perspectiva diferente desde la que ver por qué se\(\frac{d}{dx} [a^x] = a^x \ln(a)\) sostiene la regla, si asumimos que\(\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}\text{.}\) Este ejercicio te lleva a través de los pasos clave para hacerlo.

1. Dejar\(y = a^x\text{.}\) Reescribir esta ecuación usando la función de logaritmo natural para escribir\(x\) en términos de\(y\) (y la constante\(a\)).
2. Diferenciar ambos lados de la ecuación que encontraste en (a) con\(x\text{,}\) respecto a tener en cuenta que\(y\) es implícitamente una función de\(x\text{.}\)
3. Resuelve la ecuación para la que encontraste en (b)\(\frac{dy}{dx}\text{,}\) y luego usa la definición de\(y\) para escribir\(\frac{dy}{dx}\) únicamente en términos de\(x\text{.}\) ¿Qué has encontrado?

2.8: Uso de derivados para evaluar límites

1. Regla de L'Hôpital con gráficas

2. Regla de L'Hôpital para evaluar un límite

3. Determinar si se aplica la Regla de L'Hôpital

4. Usando la Regla de L'Hôpital varias veces

5

Dejar\(f\) y\(g\) ser funciones diferenciables sobre las cuales se conoce la siguiente información:\(f(3) = g(3) = 0\text{,}\)\(f'(3) = g'(3) = 0\text{,}\)\(f''(3) = -2\text{,}\) y\(g''(3) = 1\text{.}\) Dejar que una nueva función\(h\) sea dada por la regla\(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\text{.}\) En el mismo conjunto de ejes, bosquejar posibles gráficas de\(f\) y\(g\) cerca \(x = 3\text{,}\)y utilizar la información proporcionada para determinar el valor de

\[ \lim_{x \to 3} h(x)\text{.} \nonumber \]

Proporcione una explicación para apoyar su conclusión.

6

Buscar todas las asíntotas verticales y horizontales de la función

\[ R(x) = \frac{3(x-a)(x-b)}{5(x-a)(x-c)}\text{,} \nonumber \]

donde\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(c\) son constantes distintas y arbitrarias. Además, indicar todos los valores de\(x\) para los cuales no\(R\) es continuo. Esbozar una posible gráfica de etiquetar\(R\text{,}\) claramente los valores de\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(c\text{.}\)

7

Consideremos la función\(g(x) = x^{2x}\text{,}\) que se define para todos\(x \gt 0\text{.}\) Observar que\(\lim_{x \to 0^+} g(x)\) es indeterminada debido a su forma de\(0^0\text{.}\) (Piense en cómo sabemos que\(0^k = 0\) para todos\(k \gt 0\text{,}\) mientras\(b^0 = 1\) para todos\(b \ne 0\text{,}\) pero que ninguna regla puede aplicarse a\(0^0\text{.}\))

1. Vamos a\(h(x) = \ln(g(x))\text{.}\) explicar por qué\(h(x) = 2x \ln(x)\text{.}\)
2. A continuación, explica por qué equivale a escribir\(h(x) = \frac{2\ln(x)}{\frac{1}{x}}\text{.}\)
3. Usa la Regla de L'Hôpital y tu trabajo en (b) para computar\(\lim_{x \to 0^+} h(x)\text{.}\)
4. Basado en el valor de\(\lim_{x \to 0^+} h(x)\text{,}\) determinar\(\lim_{x \to 0^+} g(x)\text{.}\)

8

Recordemos que decimos que la función\(g\) domina la función\(f\) siempre que\(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\text{,}\)\(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\text{,}\) y\(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\text{.}\)

1. Qué función domina a la otra:\(\ln(x)\) o\(\sqrt{x}\text{?}\)
2. Qué función domina a la otra:\(\ln(x)\) o\(\sqrt[n]{x}\text{?}\) (\(n\)puede ser cualquier entero positivo)
3. Explicar por qué\(e^x\) dominará cualquier función polinómica.
4. Explicar por qué\(x^n\) dominará\(\ln(x)\) para cualquier entero positivo\(n\text{.}\)
5. Dar cualquier ejemplo de dos funciones no lineales de tal manera que ninguna domine a la otra