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4.3: La Integral Definitiva

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    120195
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    Preguntas Motivadoras
    • ¿Cómo afecta el aumento del número de subintervalos a la precisión de la aproximación generada por una suma de Riemann?
    • Cuál es la definición de la integral definida de una función\(f\) en el intervalo\([a,b]\text{?}\)
    • ¿Qué mide exactamente la integral definida y cuáles son algunas de las propiedades clave de la integral definida?

    En la Figura 4.3.1, vemos evidencia de que aumentar el número de rectángulos en una suma de Riemann mejora la precisión de la aproximación del área señalizada neta delimitada por la función dada.

    Figura 4.3.1. A la izquierda y al centro, dos sumas de Riemann izquierdas para una función\(f\) que a veces es negativa; a la derecha, las áreas exactas delimitadas por\(f\) en el intervalo\([a,d]\text{.}\)

    Por lo tanto, exploramos la idea natural de permitir que el número de rectángulos aumente sin límite. En un esfuerzo por calcular el área neta firmada exacta, también consideramos las diferencias entre las sumas de Riemann izquierda, derecha y media y los diferentes resultados que generan como el valor de los\(n\) aumentos. Comenzamos con funciones que son exclusivamente positivas en el intervalo bajo consideración.

    Vista previa de la actividad 4.3.1

    Considera el applet que se encuentra en http://gvsu.edu/s/a9 1. Ahí, inicialmente verá la situación que se muestra en la Figura 4.3.2.

    Marc Renault, Universidad de Shippensburg, Applets de Geogebra para Calclulus, http://gvsu.edu/s/5p.
    Figura 4.3.2. Una suma de Riemann derecha con 10 subintervalos para la función\(f(x) = \sin(2x) - \frac{x^2}{10} + 3\) en el intervalo\([1,7]\text{.}\) El valor de la suma es\(R_{10} = 4.90595\text{.}\)

    Tenga en cuenta que el valor de la suma de Riemann elegida se muestra junto a la palabra “relativo” y que puede cambiar el tipo de suma de Riemann que se calcula arrastrando el punto en la barra deslizante debajo de la frase “ubicación de punto de muestra”.

    Explora para ver cómo puedes cambiar la ventana en la que se ve la función, así como la propia función. Puede establecer los valores mínimo y máximo de\(x\) haciendo clic y arrastrando sobre los puntos azules que establecen los puntos finales; puede cambiar la función escribiendo una nueva fórmula en la ventana “f (x)” en la parte inferior; y puede ajustar la ventana general “paneo y zoom” usando la tecla Mayús y la función de desplazamiento del ratón. Puede encontrar más información sobre cómo hacer pan y hacer zoom en http://gvsu.edu/s/Fl.

    Trabajar en consecuencia para ajustar el applet para que utilice una suma de Riemann izquierda con\(n = 5\) subintervalos para la función es\(f(x) = 2x + 1\text{.}\) Debería ver la figura actualizada que se muestra en la Figura 4.3.3. Entonces, contesta las siguientes preguntas.

    1. Actualice el applet (y la ventana de visualización, según sea necesario) para que la función que se esté considerando esté\(f(x) = 2x+1\) encendida\([1,4]\text{,}\) como se indicó anteriormente. Para esta función en este intervalo, compute\(L_{n}\text{,}\)\(M_{n}\text{,}\)\(R_{n}\) para\(n = 5\text{,}\)\(n = 25\text{,}\) y\(n = 100\text{.}\) Lo que parece ser el área exacta delimitada por\(f(x) = 2x+1\) y el\(x\) eje -en\([1,4]\text{?}\)
    2. Utilice geometría básica para determinar el área exacta delimitada por\(f(x) = 2x+1\) y el\(x\) eje en\([1,4]\text{.}\)
    3. Con base en tu trabajo en (a) y (b), ¿qué observas ocurre cuando aumentamos el número de subintervalos utilizados en la suma de Riemann?
    4. Actualice el applet para considerar la función\(f(x) = x^2 + 1\) en el intervalo\([1,4]\) (tenga en cuenta que necesita ingresar “x ^ 2 + 1” para la fórmula de la función). Usa el applet\(L_{n}\text{,}\)\(M_{n}\text{,}\)\(R_{n}\) para calcular\(n = 5\text{,}\)\(n = 25\text{,}\) y\(n = 100\text{.}\) lo que conjeturas es el área exacta delimitada por\(f(x) = x^2+1\) y el\(x\) eje -en\([1,4]\text{?}\)
    5. ¿Por qué no podemos calcular el valor exacto del área delimitada por\(f(x) = x^2+1\) y el\(x\) eje\([1,4]\) -usando una fórmula como la que hicimos en (b)?

    Figura 4.3.3. Una suma de Riemann izquierda con 5 subintervalos para la función\(f(x) = 2x+1\) en el intervalo\([1,4]\text{.}\) El valor de la suma es\(L_5 = 16.2\text{.}\)

    4.3.1 La definición de la integral definida

    En Preview Activity 4.3.1, vimos que a medida que el número de rectángulos se hacía cada vez más grande, los valores de\(L_n\text{,}\)\(M_n\text{,}\) y\(R_n\) todos se acercaban cada vez más al mismo valor. Resulta que esto ocurre para cualquier función continua en un intervalo\([a,b]\text{,}\) y también para una suma de Riemann usando cualquier punto\(x_{i+1}^*\) en el intervalo\([x_i, x_{i+1}]\text{.}\) Así, como dejamos\(n \to \infty\text{,}\) realmente no importa dónde elegimos evaluar la función dentro de un subintervalo dado, porque

    \[ \lim_{n \to \infty} L_n = \lim_{n \to \infty} R_n = \lim_{n \to \infty} M_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x\text{.} \nonumber \]

    Que estos límites siempre existan (y compartan el mismo valor) cuando\(f\) es continuo 2 nos permite hacer la siguiente definición.

    Resulta que una función no necesita ser continua para tener una integral definida. Para nuestros propósitos, asumimos que las funciones que consideramos son continuas en el intervalo (s) de interés. Es sencillo ver que cualquier función que sea continua por partes en un intervalo de interés también tendrá una integral definida bien definida.
    Definición 4.3.4

    La integral definida de una función continua\(f\) en el intervalo\([a,b]\text{,}\) denotado\(\int_a^b f(x) \, dx\text{,}\) es el número real dado por

    \[ \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x\text{,} \nonumber \]

    donde\(\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{,}\)\(x_i = a + i\Delta x\) (para\(i = 0, \ldots, n\)), y\(x_i^*\) satisface\(x_{i-1} \le x_i^* \le x_i\) (para\(i = 1, \ldots, n\)).

    Llamamos al símbolo\(\int\) el signo integral, los valores\(a\) y\(b\) los límites de la integración, y la función\(f\) el integrando. El proceso de determinación del número real\(\int_a^b f(x) \, dx\) se denomina evaluación de la integral definida. Si bien hay varias interpretaciones diferentes de la integral definida, por ahora la más importante es que\(\int_a^b f(x) \, dx\) mida el área neta firmada delimitada por\(y = f(x)\) y el\(x\) eje -en el intervalo\([a,b]\text{.}\)

    Por ejemplo, si\(f\) es la función que se muestra en la Figura 4.3.5,\(A_1\text{,}\)\(A_2\text{,}\) y y\(A_3\) son las áreas exactas delimitadas por\(f\) y el\(x\) eje -en los intervalos respectivos\([a,b]\text{,}\)\([b,c]\text{,}\) y\([c,d]\text{,}\) luego

    \ begin {reunir*}\ int_a^b f (x)\, dx = A_1,\\ int_b^c f (x)\, dx = -A_2,\\ [4pt]\ int_c^d f (x)\, dx = A_3,\\ [4pt]\ texto {y}\ int_a^d f (x)\, dx = A_1 - 2 + A_3\ texto {.} \ end {reunir*}
    Figura 4.3.5. Una función continua\(f\) en el intervalo\([a,d]\text{.}\)

    También podemos usar integrales definidas para expresar el cambio de posición y la distancia recorrida por un objeto en movimiento. Si\(v\) es una función de velocidad en un intervalo\([a,b]\text{,}\) entonces el cambio en la posición del objeto,\(s(b) - s(a)\text{,}\) viene dado por

    \[ s(b) - s(a) = \int_a^b v(t) \, dt\text{.} \nonumber \]

    Si la función de velocidad no es negativa\([a,b]\text{,}\) entonces nos\(\int_a^b v(t) \,dt\) dice la distancia recorrida por el objeto. Si la velocidad a veces es negativa en\([a,b]\text{,}\) podemos usar integrales definidas para encontrar las áreas delimitadas por la función en cada intervalo donde\(v\) no cambia de signo, y la suma de estas áreas nos dirá la distancia recorrida por el objeto.

    Para calcular el valor de una integral definida a partir de la definición, tenemos que tomar el límite de una suma. Si bien esto es posible hacerlo en determinadas circunstancias, también es tedioso y consume mucho tiempo, y no ofrece mucha información adicional sobre el significado o interpretación de la integral definida. En cambio, en la Sección 4.4, aprenderemos el Teorema Fundamental del Cálculo, que proporciona un atajo para evaluar una gran clase de integrales definidas. Esto nos permitirá determinar el área neta firmada exacta delimitada por una función continua y el\(x\) eje -en muchas circunstancias.

    Por ahora, nuestro objetivo es entender el significado y las propiedades de la integral definida, más que calcular su valor. Para ello, nos basaremos en la interpretación neta del área firmada de la integral definida. Entonces usaremos como ejemplos curvas que produzcan regiones cuyas áreas podamos calcular exactamente a través de fórmulas de área. Podemos así calcular el valor exacto de la integral correspondiente.

    Por ejemplo, si queremos evaluar la integral definida\(\int_1^4 (2x+1) \, dx\text{,}\) observamos que la región delimitada por esta función y el\(x\) eje -es el trapecio mostrado en la Figura 4.3.6. Por la fórmula para el área de un trapecio,\(A = \frac{1}{2}(3+9) \cdot 3 = 18\text{,}\) por lo

    \[ \int_1^4 (2x+1) \, dx = 18\text{.} \nonumber \]
    Figura 4.3.6. El área delimitada por\(f(x)=2x+1\) y el\(x\) eje -en el intervalo\([1,4]\text{.}\)
    Actividad 4.3.2

    Utilizar fórmulas geométricas conocidas y la interpretación del área con signo neto de la integral definida para evaluar cada una de las integrales definidas a continuación.

    1. \(\displaystyle \int_0^1 3x \, dx\)
    2. \(\displaystyle \int_{-1}^4 (2-2x) \, dx\)
    3. \(\displaystyle \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx\)
    4. \(\int_{-3}^4 g(x) \, dx\text{,}\)donde\(g\) está la función que se muestra en la Figura 4.3.7. Supongamos que cada porción de\(g\) es parte de una línea o parte de un círculo.

    1. Figura 4.3.7. La función\(g\) para la parte (d). Tenga en cuenta que\(g\) se define por partes, y cada pieza de la función es parte de un círculo o parte de una línea.

    4.3.2 Algunas propiedades de la integral definida

    En cuanto a la integral definida de una función\(f\) a lo largo de un intervalo\([a,b]\) como el área señalizada neta delimitada por\(f\) y el\(x\) eje -eje, descubrimos varias propiedades estándar de la integral definida. Es útil recordar que la integral definida se define en términos de sumas de Riemann, que consisten en las áreas de rectángulos.

    Para cualquier número real\(a\) y la integral definida\(\int_a^a f(x) \, dx\) es evidente que no hay área encerrada, porque el intervalo comienza y termina con el mismo punto. Por lo tanto,

    Nota

    Si\(f\) es una función continua y\(a\) es un número real, entonces\(\int_a^a f(x) \,dx = 0\text{.}\)

    A continuación, consideramos el resultado de subdividir el intervalo de integración. En la Figura 4.3.8, vemos que

    \ begin {reunir*}\ int_a^b f (x)\, dx = A_1,\\ int_b^c f (x)\, dx = A_2,\\ [4pt]\ text {y}\ int_a^c f (x)\, dx = A_1 + A_2\ text {,}\ end {reunir*}

    lo que ilustra la siguiente regla general.

    Figura 4.3.8. El área delimitada por\(y=f(x)\) en el intervalo\([a,c]\text{.}\)
    Nota

    Si\(f\) es una función continua y\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(c\) son números reales, entonces

    \[ \int_a^c f(x) \,dx = \int_a^b f(x) \,dx + \int_b^c f(x) \,dx\text{.} \nonumber \]

    Si bien esta regla es fácil de ver si\(a \lt b \lt c\text{,}\) de hecho sostiene en general para cualquier valor de\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(c\text{.}\) Otra propiedad de la integral definida establece que si invertimos el orden de los límites de la integración, cambiamos el signo del valor de la integral.

    Nota

    Si\(f\) es una función continua y\(a\) y\(b\) son números reales, entonces

    \[ \int_b^a f(x) \,dx = -\int_a^b f(x) \,dx\text{.} \nonumber \]

    Este resultado tiene sentido porque si integramos de\(a\) a\(b\text{,}\) entonces en la suma definitoria de Riemann nos fijamos\(\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{,}\) mientras que si integramos de\(b\) a\(a\text{,}\) tenemos\(\Delta x = \frac{a-b}{n} = -\frac{b-a}{n}\text{,}\) y este es el único cambio en la suma utilizada para definir la integral.

    Hay dos propiedades útiles adicionales de la integral definida. Cuando trabajamos con reglas derivadas en el Capítulo 2, formulamos la Regla Múltiple Constante y la Regla de Suma. Recordemos que la Regla Múltiple Constante dice que si\(f\) es una función diferenciable y\(k\) es una constante, entonces

    \[ \frac{d}{dx} [kf(x)] = kf'(x)\text{,} \nonumber \]

    y la Regla de Suma dice que si\(f\) y\(g\) son funciones diferenciables, entonces

    \[ \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)\text{.} \nonumber \]

    Estas reglas son útiles porque permiten tratar individualmente las partes más simples de ciertas funciones aprovechando la suma y multiplicando por una constante. Es decir, el proceso de tomar la derivada respeta la suma y multiplicación por constantes de la manera más sencilla posible.

    Resulta que reglas similares se mantienen para la integral definitiva. Primero, consideremos las funciones que se muestran en la Figura 4.3.9.

    Figura 4.3.9. Las áreas delimitadas por\(y = f(x)\) y\(y = 2f(x)\) en\([a,b]\text{.}\)

    Debido a que multiplicar la función por 2 duplica su altura en cada\(x\) -valor, vemos que la altura de cada rectángulo en una suma de Riemann izquierda se duplica,\(f(x_i)\) para la función original, versus\(2f(x_i)\) en la función duplicada. Para las áreas\(A\) y\(B\text{,}\) sigue\(B = 2A\text{.}\) Como esto es cierto independientemente del valor de\(n\) o del tipo de suma que utilicemos, vemos que en el límite, el área de la región roja delimitada por\(y = 2f(x)\) será el doble del área de la región azul delimitada por\(y = f(x)\text{.}\) Como no hay nada especial sobre el valor\(2\) comparado con una constante arbitraria que sostiene\(k\text{,}\) el siguiente principio general.

    Regla Múltiple Constante

    Si\(f\) es una función continua y\(k\) es cualquier número real, entonces

    \[ \int_a^b k \cdot f(x) \,dx = k \int_a^b f(x) \,dx\text{.} \nonumber \]

    Vemos una situación similar con la suma de dos funciones\(f\) y\(g\text{.}\)

    Figura 4.3.10. Las áreas delimitadas por\(y = f(x)\) y\(y = g(x)\) sobre\([a,b]\text{,}\), así como el área delimitada por\(y = f(x) + g(x)\text{.}\)

    Si tomamos la suma de dos funciones\(f\) y\(g\) en cada punto del intervalo, la altura de la función\(f+g\) viene dada por\((f+g)(x_i) = f(x_i) + g(x_i)\text{.}\) Por lo tanto, para los rectángulos fotografiados con áreas\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) y\(C\text{,}\) se deduce que\(C = A + B\text{.}\) Porque esto ocurrirá para cada uno de tales rectángulo, en el límite el área de la región gris será la suma de las áreas de las regiones azul y roja. En cuanto a integrales definidas, tenemos la siguiente regla general.

    Regla de Suma

    Si\(f\) y\(g\) son funciones continuas, entonces

    \[ \int_a^b [f(x) + g(x)] \,dx = \int_a^b f(x) \,dx + \int_a^b g(x) \,dx\text{.} \nonumber \]

    Las Reglas Constantes Múltiples y Suma se pueden combinar para decir que para cualquier función continua\(f\)\(g\) y y cualquier constante\(c\) y\(k\text{,}\)

    \[ \int_a^b [c f(x) \pm k g(x)] \,dx = c \int_a^b f(x) \,dx \pm k \int_a^b g(x) \,dx\text{.} \nonumber \]
    Actividad 4.3.3

    Supongamos que se conoce la siguiente información sobre las funciones\(f\text{,}\)\(g\text{,}\)\(x^2\text{,}\) y\(x^3\text{:}\)

    • \(\int_0^2 f(x) \, dx = -3\text{;}\)\(\int_2^5 f(x) \, dx = 2\)
    • \(\int_0^2 g(x) \, dx = 4\text{;}\)\(\int_2^5 g(x) \, dx = -1\)
    • \(\int_0^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3}\text{;}\)\(\int_2^5 x^2 \, dx = \frac{117}{3}\)
    • \(\int_0^2 x^3 \, dx = 4\text{;}\)\(\int_2^5 x^3 \, dx = \frac{609}{4}\)

    Utilice la información proporcionada y las reglas discutidas en el apartado anterior para evaluar cada una de las siguientes integrales definidas.

    1. \(\displaystyle \int_5^2 f(x) \, dx\)
    2. \(\displaystyle \int_0^5 g(x) \, dx\)
    3. \(\displaystyle \int_0^5 (f(x) + g(x))\, dx\)
    4. \(\displaystyle \int_2^5 (3x^2 - 4x^3) \, dx\)
    5. \(\displaystyle \int_5^0 (2x^3 - 7g(x)) \, dx\)

    4.3.3 Cómo se conecta la integral definida con el valor promedio de una función

    Una de las aplicaciones más valiosas de la integral definida es que proporciona una manera de discutir el valor promedio de una función, incluso para una función que adquiere infinitamente muchos valores. Recordemos que si queremos tomar el promedio de\(n\) números\(y_1\text{,}\)\(y_2\text{,}\)\(\ldots\text{,}\)\(y_n\text{,}\) calculamos

    \[ AVG = \frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_n}{n}\text{.} \nonumber \]

    Dado que las integrales surgen de sumas de Riemann en las que agregamos\(n\) valores de una función, no debería sorprender que evaluar una integral sea similar a promediar los valores de salida de una función. Consideremos, por ejemplo, la suma correcta de Riemann\(R_n\) de una función\(f\text{,}\) que viene dada por

    \[ R_n = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + \cdots + f(x_n) \Delta x = (f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n))\Delta x\text{.} \nonumber \]

    Ya\(\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{,}\) que así podemos escribir

    \[\begin{align} R_n =\mathstrut & (f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n))\cdot \frac{b-a}{n}\notag\\[4pt] =\mathstrut & (b-a) \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}\text{.}\label{E-RAvg}\tag{4.3.1} \end{align}\]

    Vemos que la suma correcta de Riemann con\(n\) subintervalos es solo la longitud del intervalo\((b-a)\) multiplicada por el promedio de los valores de\(n\) función encontrados en los extremos correctos. Y al igual que con nuestros esfuerzos para calcular el área, cuanto mayor sea el valor\(n\) que usemos, más preciso será nuestro promedio. En efecto, vamos a definir el valor promedio de\(f\) on\([a,b]\) a ser

    \[ f_{\operatorname{AVG} [a,b]} = \lim_{n \to \infty} \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}\text{.} \nonumber \]

    Pero también sabemos que para cualquier función continua de\([a,b]\text{,}\) tomar\(f\) el límite de una suma Riemann lleva precisamente a la integral definitiva. Es decir,\(\lim_{n \to \infty} R_n = \int_a^b f(x) \, dx\text{,}\) y tomando así el límite como\(n \to \infty\) en la Ecuación (4.3.1), tenemos que

    \[ \int_a^b f(x) \, dx = (b-a) \cdot f_{\operatorname{AVG} [a,b]}\text{.}\label{naf}\tag{4.3.2} \]

    Resolviendo la Ecuación (4.3.2) pues\(f_{\operatorname{AVG} [a,b]}\text{,}\) tenemos el siguiente principio general.

    Valor promedio de una función

    Si\(f\) es una función continua en\([a,b]\text{,}\) entonces su valor promedio on\([a,b]\) viene dado por la fórmula

    \[ f_{\operatorname{AVG} [a,b]} = \frac{1}{b-a} \cdot \int_a^b f(x) \, dx\text{.} \nonumber \]

    La ecuación (4.3.2) nos dice otra manera de interpretar la integral definida: la integral definida de una función\(f\) de\(a\) a\(b\) es la longitud del intervalo\((b-a)\) multiplicada por el valor promedio de la función en el intervalo. Además, cuando la función no\(f\) es negativa en\([a,b]\text{,}\) la Ecuación (4.3.2) tiene una interpretación visual natural.

    Figura 4.3.11. Una función\(y = f(x)\text{,}\) el área que limita, y su valor promedio en\([a,b]\text{.}\)

    Consideremos la Figura 4.3.11, donde vemos a la izquierda la región sombreada cuya área está\(\int_a^b f(x) \, dx\text{,}\) en el centro el rectángulo sombreado cuyas dimensiones son\((b-a)\) por\(f_{\operatorname{AVG} [a,b]}\text{,}\) y a la derecha estas dos figuras superpuestas. Tenga en cuenta que en verde oscuro mostramos la línea horizontal\(y = f_{\operatorname{AVG} [a,b]}\text{.}\) Así, el área del rectángulo verde viene dada por la\((b-a) \cdot f_{\operatorname{AVG} [a,b]}\text{,}\) cual es precisamente el valor de\(\int_a^b f(x) \, dx\text{.}\) El área de la región azul en la figura izquierda es la misma que el área del rectángulo verde en la figura central. También podemos observar que las áreas\(A_1\) y\(A_2\) en la figura más a la derecha parecen ser iguales. Así, conocer el valor promedio de una función nos permite construir un rectángulo cuya área es la misma que el valor de la integral definida de la función en el intervalo. El applet java 3 en http://gvsu.edu/s/az brinda la oportunidad de explorar cómo cambia el valor promedio de la función a medida que cambia el intervalo, a través de una imagen similar a la que se encuentra en la Figura 4.3.11.

    David Austin, http://gvsu.edu/s/5r.
    Actividad 4.3.4

    Supongamos que nos\(v(t) = \sqrt{4-(t-2)^2}\) dice la velocidad instantánea de un objeto en movimiento en el intervalo\(0 \le t \le 4\text{,}\) donde\(t\) se mide en minutos y\(v\) se mide en metros por minuto.

    1. Esboce una gráfica precisa de\(y = v(t)\text{.}\) Qué tipo de curva es\(y = \sqrt{4-(t-2)^2}\text{?}\)
    2. Evalúe\(\int_0^4 v(t) \, dt\) exactamente.
    3. En cuanto al problema físico del objeto en movimiento con velocidad\(v(t)\text{,}\) cuál es el significado de\(\int_0^4 v(t) \, dt\text{?}\) Incluir unidades en tu respuesta.
    4. Determine el valor promedio exacto de\(v(t)\) en\([0,4]\text{.}\) Incluir unidades en su respuesta.
    5. Esboza un rectángulo cuya base es el segmento de línea de\(t=0\) a\(t = 4\) sobre el\(t\) eje de tal manera que el área del rectángulo sea igual al valor de\(\int_0^4 v(t) \, dt\text{.}\) ¿Cuál es la altura exacta del rectángulo?
    6. ¿Cómo puedes usar el valor promedio que encontraste en (d) para calcular la distancia total recorrida por el objeto en movimiento sobre\([0,4]\text{?}\)

    4.3.4 Resumen

    • Cualquier suma de Riemann de una función continua\(f\) en un intervalo\([a,b]\) proporciona una estimación del área neta firmada delimitada por la función y el eje horizontal en el intervalo. Aumentar el número de subintervalos en la suma de Riemann mejora la precisión de esta estimación, y dejar que el número de subintervalos aumente sin límite da como resultado que los valores de las sumas correspondientes de Riemann se acerquen al valor exacto del área señalizada neta cerrada.
    • Cuando tomamos el límite de las sumas de Riemann, llegamos a lo que llamamos la integral definida de\(f\) sobre el intervalo\([a,b]\text{.}\) En particular, el símbolo\(\int_a^b f(x) \, dx\) denota la integral definida de\(f\) over\([a,b]\text{,}\) y esta cantidad se define por la ecuación
      \[ \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x\text{,} \nonumber \]

      donde\(\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{,}\)\(x_i = a + i\Delta x\) (para\(i = 0, \ldots, n\)), y\(x_i^*\) satisface\(x_{i-1} \le x_i^* \le x_i\) (para\(i = 1, \ldots, n\)).

    • La integral definida\(\int_a^b f(x) \,dx\) mide el área neta firmada exacta delimitada por\(f\) y el eje horizontal\([a,b]\text{;}\) en además, el valor de la integral definida está relacionado con lo que llamamos el valor promedio de la función on\([a,b]\text{:}\)\(f_{\text{AVG} [a,b]} = \frac{1}{b-a} \cdot \int_a^b f(x) \, dx\text{.}\) En el escenario donde consideramos la integral de una función de velocidad\(v\text{,}\)\(\int_a^b v(t) \,dt\) mide el cambio exacto en la posición del objeto en movimiento\([a,b]\text{;}\) cuando no\(v\) es negativo,\(\int_a^b v(t) \,dt\) es la distancia recorrida por el objeto\([a,b]\text{.}\)
    • La integral definida es una suma sofisticada, y por lo tanto tiene algunas de las mismas propiedades naturales que tienen las sumas finitas. Quizás lo más importante de estos es cómo la integral definida respeta las sumas y los múltiplos constantes de funciones, que pueden resumirse por la regla
      \[ \int_a^b [c f(x) \pm k g(x)] \,dx = c \int_a^b f(x) \,dx \pm k \int_a^b g(x) \,dx \nonumber \]

      donde\(f\) y\(g\) son funciones continuas sobre\([a,b]\)\(c\) y\(k\) son constantes arbitrarias.


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