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4.4: El teorema fundamental del cálculo

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    120188
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    Preguntas Motivadoras
    • ¿Cómo podemos encontrar el valor exacto de una integral definida sin tomar el límite de una suma Riemann?
    • ¿Cuál es la afirmación del Teorema Fundamental del Cálculo y cómo las antiderivadas de funciones juegan un papel clave en la aplicación del teorema?
    • ¿Cuál es el significado de la integral definida de una tasa de cambio en contextos distintos a cuando la tasa de cambio representa velocidad?

    Gran parte de nuestro trabajo en el Capítulo 4 ha sido motivado por el problema de velocidad-distancia: si conocemos la función de velocidad instantánea,\(v(t)\text{,}\) para un objeto en movimiento en un intervalo de tiempo dado\([a,b]\text{,}\) podemos determinar la distancia en la que viajó\([a,b]\text{?}\) Si la función de velocidad no es negativa en\([a,b]\text{,}\) el área delimitada por\(y = v(t)\) y el\(t\) eje en\([a,b]\) es igual a la distancia recorrida. Esta área es también el valor de la integral definida\(\int_a^b v(t) \, dt\text{.}\) Si la velocidad a veces es negativa, el área total delimitada por la función de velocidad aún nos indica la distancia recorrida, mientras que el área señalizada neta nos indica el cambio de posición del objeto.

    Por ejemplo, para la función de velocidad en la Figura 4.4.1, la distancia total\(D\) recorrida por el objeto en movimiento\([a,b]\) es

    \[ D = A_1 + A_2 + A_3\text{,} \nonumber \]

    y el cambio total en la posición del objeto es

    \[ s(b) - s(a) = A_1 - A_2 + A_3\text{.} \nonumber \]

    Las áreas\(A_1\text{,}\)\(A_2\text{,}\) y\(A_3\) están dadas cada una por integrales definidas, que pueden ser calculadas por límites de sumas de Riemann (y en circunstancias especiales por fórmulas geométricas).

    Figura 4.4.1. Una función de velocidad que a veces es negativa.

    Volvemos nuestra atención a un enfoque alternativo.

    Vista previa de la actividad 4.4.1

    Un estudiante con una ventana de dormitorio del tercer piso a 32 pies del suelo lanza un globo de agua directamente al aire con una velocidad inicial de 16 pies por segundo. Resulta que la velocidad instantánea del globo de agua viene dada por\(v(t) = -32t + 16\text{,}\) donde\(v\) se mide en pies por segundo y\(t\) se mide en segundos.

    1. Dejar\(s(t)\) representar la altura del globo de agua sobre el suelo en el momento\(t\text{,}\) y señalar que\(s\) es un antiderivado de Es\(v\text{.}\) decir,\(v\) es el derivado de\(s\text{:}\)\(s'(t) = v(t)\text{.}\) Encontrar una fórmula para\(s(t)\) que satisfaga la condición inicial de que el globo es arrojado desde 32 pies sobre el suelo. En otras palabras, haz tu fórmula para\(s\) satisfacer\(s(0) = 32\text{.}\)
    2. ¿Cuándo alcanza el globo de agua su altura máxima? ¿Cuándo aterriza?
    3. Computación\(s(\frac{1}{2}) - s(0)\text{,}\)\(s(2) - s(\frac{1}{2})\text{,}\) y\(s(2) - s(0)\text{.}\) ¿Qué representan estos?
    4. ¿Cuál es la distancia vertical total recorrida por el globo de agua desde el momento en que se arroja hasta el momento en que aterriza?
    5. Esboce un gráfico de la función de velocidad\(y = v(t)\) en el intervalo de tiempo\([0,2]\text{.}\) ¿Cuál es el área neta total firmada delimitada por\(y = v(t)\) y el\(t\) eje -en\([0,2]\text{?}\) Responda a esta pregunta de dos maneras: primero usando su trabajo anterior, y luego usando una fórmula geométrica familiar para calcular áreas de ciertas regiones relevantes.

    4.4.1 El teorema fundamental del cálculo

    Supongamos que conocemos la función de posición\(s(t)\) y la función\(v(t)\) de velocidad de un objeto que se mueve en línea recta, y por el momento supongamos que\(v(t)\) es positivo en\([a,b]\text{.}\) Entonces, como se muestra en la Figura 4.4.2, conocemos dos formas diferentes de calcular la distancia,\(D\text{,}\) el objeto viaja: una es que\(D = s(b) - s(a)\text{,}\) el cambio de posición del objeto. El otro es el área bajo la curva de velocidad, que viene dada por la integral definida, entonces\(D = \int_a^b v(t) \, dt\text{.}\)

    Figura 4.4.2. Encontrar la distancia recorrida cuando conocemos una función de velocidad\(v\text{.}\)

    Ya que ambas expresiones nos dicen la distancia recorrida, se deduce que son iguales, por lo que

    \[ s(b) - s(a) = \int_a^b v(t) \, dt\text{.}\label{bai}\tag{4.4.1} \]

    La ecuación (4.4.1) se mantiene incluso cuando la velocidad es a veces negativa, ya que\(s(b) - s(a)\text{,}\) el cambio de posición del objeto, también se mide por el área señalizada neta en la\([a,b]\) que está dada por\(\int_a^b v(t) \, dt\text{.}\)

    Quizás el hecho más poderoso que revela la Ecuación (4.4.1) es que podemos calcular el valor de la integral si podemos encontrar una fórmula para\(s\text{.}\) Recordar,\(s\) y\(v\) están relacionados por el hecho de que\(v\) es la derivada de\(s\text{,}\) o equivalentemente que\(s\) es una antiderivada de \(v\text{.}\)

    Ejemplo 4.4.3

    Determine la distancia exacta recorrida\([1,5]\) por un objeto con función de velocidad\(v(t) = 3t^2 + 40\) pies por segundo. La distancia recorrida en el intervalo\([1,5]\) viene dada por

    \[ D = \int_1^5 v(t) \,dt = \int_1^5 (3t^2 + 40) \, dt = s(5) - s(1)\text{,} \nonumber \]

    donde\(s\) es un antiderivado de\(v\text{.}\) Ahora, el derivado de\(t^3\) es\(3t^2\) y el derivado de\(40t\) es\(40\text{,}\) así se deduce que\(s(t) = t^3 + 40t\) es un antiderivado de\(v\text{.}\) Por lo tanto,

    \ begin {align*} D &=\ int_1^5 3t^2 + 40\, dt = s (5) - s (1)\\ [4pt] &= (5^3 + 40\ cdot 5) - (1^3 + 40\ cdot 1) = 284\\ texto {pies}\ texto {.} \ end {alinear*}

    Observe la lección clave del Ejemplo 4.4.3: para encontrar la distancia recorrida, necesitamos calcular el área bajo una curva, la cual viene dada por la integral definida. Pero para evaluar la integral, podemos encontrar una antiderivada,\(s\text{,}\) de la función de velocidad, y luego calcular el cambio total\(s\) en el intervalo. En particular, podemos evaluar la integral sin computar el límite de una suma de Riemann.

    Figura 4.4.4. El área exacta de la región encerrada por\(v(t) = 3t^2 + 40\) el\([1,5]\text{.}\)

    Será conveniente tener un símbolo abreviado para la antiderivada de una función. Para una función continua a menudo\(f\text{,}\) denotaremos una antiderivada de\(f\) by\(F'(x) = f(x)\) para\(F\text{,}\) que para todos los relevantes\(x\text{.}\) Usando la notación\(V\) en lugar de\(s\) (así que\(V\) es una antiderivada de\(v\)) en la Ecuación (4.4.1), podemos escribir

    \[ V(b) - V(a) = \int_a^b v(t) \, dt\text{.}\label{TvJ}\tag{4.4.2} \]

    Ahora bien, para evaluar la integral definida\(\int_a^b f(x) \, dx\) para una función continua arbitraria, ciertamente\(f\text{,}\) podríamos pensar en representar la velocidad de algún objeto en movimiento, y\(x\) como la variable que representa el tiempo.\(f\) Pero las ecuaciones (4.4.1) y (4.4.2) se mantienen para cualquier función de velocidad continua, incluso cuando a veces\(v\) es negativa. Entonces, la Ecuación (4.4.2) ofrece una ruta atajo para evaluar cualquier integral definida, siempre que podamos encontrar una antiderivada del integrando. El Teorema Fundamental del Cálculo (FTC) resume estas observaciones.

    Teorema Fundamental del Cálculo

    Si\(f\) es una función continua\([a,b]\text{,}\) y\(F\) es cualquier antiderivado de\(f\text{,}\) entonces\(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\text{.}\)

    Una notación alternativa común para\(F(b) - F(a)\) es

    \[ F(b) - F(a) = \left. F(x) \right|_a^b\text{,} \nonumber \]

    donde leemos el lado derecho como “la función\(F\) evaluada de\(a\) a\(b\text{.}\)” En esta notación, la FTC dice que

    \[ \int_a^b f(x) \, dx = \left. F(x) \right|_a^b\text{.} \nonumber \]

    La FTC abre la puerta a evaluar una amplia gama de integrales si podemos encontrar un antiderivado\(F\) para el integrando\(f\text{.}\) Por ejemplo ya que\(\frac{d}{dx}[\frac{1}{3}x^3] = x^2\text{,}\) la FTC nos dice que

    \ begin {align*}\ int_0^1 x^2\, dx =\ mathstrut &\ izquierda. \ frac {1} {3}\, x^3\ derecha|_0^1\\ [4pt] =\ mathstrut &\ frac {1} {3}\, (1) ^3 -\ frac {1} {3}\, (0) ^3\ [4pt] =\ mathstrut &\ frac {1} {3}\ text {.} \ end {alinear*}

    Pero encontrar un antiderivado puede estar lejos de ser simple; muchas veces es difícil o incluso imposible. Si bien podemos diferenciar casi cualquier función, incluso algunas funciones relativamente simples no tienen una antiderivada elemental. Una porción significativa del cálculo integral (que es el foco principal del cálculo universitario del segundo semestre) se dedica al problema de encontrar antiderivados.

    Actividad 4.4.2

    Utilice el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar cada una de las siguientes integrales exactamente. Para cada uno, esboce una gráfica del integrando en el intervalo relevante y escriba una oración que explique el significado del valor de la integral en términos del área (con signo neto) delimitada por la curva.

    1. \(\displaystyle \int_{-1}^4 (2-2x) \, dx\)
    2. \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx\)
    3. \(\displaystyle \int_0^1 e^x \, dx\)
    4. \(\displaystyle \int_{-1}^{1} x^5 \, dx\)
    5. \(\displaystyle \int_0^2 (3x^3 - 2x^2 - e^x) \, dx\)

    4.4.2 Antiderivados básicos

    El problema general de encontrar un antiderivado es difícil. En parte, esto se debe a que estamos tratando de deshacer el proceso de diferenciación, y la deshacer es mucho más difícil que el hacer. Por ejemplo, si bien es evidente que un antiderivado de\(f(x) = \sin(x)\) es\(F(x) = -\cos(x)\) y que un antiderivado de\(g(x) = x^2\) es\(G(x) = \frac{1}{3} x^3\text{,}\) combinaciones de\(f\) y\(g\) puede ser mucho más complicado. Considerar las funciones

    \[ 5\sin(x) - 4x^2, \ x^2 \sin(x), \ \frac{\sin(x)}{x^2}, \ \text{and} \ \sin(x^2)\text{.} \nonumber \]

    ¿Qué implica tratar de encontrar un antiderivado para cada uno? Por nuestra experiencia con reglas derivadas, sabemos que las derivadas de sumas y múltiplos constantes de funciones básicas son simples de ejecutar, pero las derivadas que involucran productos, cocientes y compuestos de funciones familiares son más complicadas. Por lo tanto, es lógico pensar que los productos antidiferenciadores, cocientes y compuestos de funciones básicas pueden ser aún más desafiantes. Aplazamos nuestro estudio de todos los antiderivados menos los más elementales para más adelante en el texto.

    Notamos que siempre que conocemos la derivada de una función, tenemos un par función-derivado, por lo que también conocemos la antiderivada de una función. Por ejemplo, ya que sabemos que

    \[ \frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \sin(x)\text{,} \nonumber \]

    también sabemos que\(F(x) = -\cos(x)\) es un antiderivado de\(f(x) = \sin(x)\text{.}\)\(F\) y\(f\) juntos forman un par función-derivado. Claramente, cada regla derivada básica nos lleva a tal par, y así a una conocida antiderivada.

    En la Actividad 4.4.3, construiremos una lista de los antiderivados básicos que conocemos en este momento. Esas reglas nos ayudarán a antidiferenciar sumas y múltiplos constantes de funciones básicas. Por ejemplo, dado que\(-\cos(x)\) es un antiderivado de\(\sin(x)\) y\(\frac{1}{3}x^3\) es un antiderivado de\(x^2\text{,}\) ello se deduce que

    \[ F(x) = -5\cos(x) - \frac{4}{3}x^3 \nonumber \]

    es una antiderivada de\(f(x) = 5\sin(x) - 4x^2\text{,}\) por la suma y reglas múltiples constantes para la diferenciación.

    Por último, antes de proceder a construir una lista de funciones comunes cuyas antiderivadas conocemos, recordamos que cada función tiene más de una antiderivada. Debido a que la derivada de cualquier constante es cero, podemos agregar una constante de nuestra elección a cualquier antiderivada. Por ejemplo, sabemos que\(G(x) = \frac{1}{3}x^3\) es un antiderivado de\(g(x) = x^2\text{.}\) Pero también podríamos haber elegido\(G(x) = \frac{1}{3}x^3 + 7\text{,}\) ya que en este caso también,\(G'(x) = x^2\text{.}\) si\(g(x) = x^2\text{,}\) decimos que el antiderivado general de\(g\) es

    \[ G(x) = \frac{1}{3}x^3 + C\text{,} \nonumber \]

    donde\(C\) representa una constante de número real arbitraria. Independientemente de la fórmula para\(g\text{,}\) incluir\(+C\) en la fórmula para su antiderivado\(G\) da como resultado el antiderivado más general posible.

    Nuestro interés actual por los antiderivados es que podamos evaluar integrales definidas por el Teorema Fundamental del Cálculo. Para esa tarea, la constante\(C\) es irrelevante, y solemos omitirla. Para ver por qué, considera la integral definitiva

    \[ \int_0^1 x^2 \, dx\text{.} \nonumber \]

    Para el integrando\(g(x) = x^2\text{,}\) supongamos que encontramos y usamos el antiderivado general\(G(x) = \frac{1}{3} x^3 + C\text{.}\) Entonces, por la FTC,

    \ begin {align*}\ int_0^1 x^2\, dx &=\ izquierda. \ frac {1} {3} x^3 + C\ derecha|_0^1\\ [4pt] &=\ izquierda (\ frac {1} {3} (1) ^3 + C\ derecha) -\ izquierda (\ frac {1} {3} (0) ^3 + C\ derecha)\\ [4pt] &=\ frac {1} {3} + C - 0 - C\\ [4pt] &=\ frac {1} {3}\ texto {.} \ end {alinear*}

    Observe que los\(C\) -valores aparecen como opuestos en la evaluación de la integral y por lo tanto no afectan el valor de la integral definida.

    En la siguiente actividad, trabajamos para construir una lista de funciones básicas cuyas antiderivadas ya conocemos.

    Actividad 4.4.3

    Utilice sus conocimientos de derivados de funciones básicas para completar el Cuadro 4.4.5 de antiderivados. Para cada entrada, tu tarea es encontrar una función\(F\) cuya derivada sea la función dada\(f\text{.}\) Cuando termine, usa la FTC y los resultados en la tabla para evaluar las tres integrales definidas dadas.

    Cuadro 4.4.5. Funciones básicas familiares y sus antiderivados.
    función dada,\(f(x)\) antiderivado,\(F(x)\)
    \ (f (x)\) ">\(k\text{,}\) (\(k\)es constante) \ (F (x)\) ">
    \ (f (x)\) ">\(x^n\text{,}\)\(n \ne -1\) \ (F (x)\) ">
    \ (f (x)\) ">\(\frac{1}{x}\text{,}\)\(x \gt 0\) \ (F (x)\) ">
    \ (f (x)\) ">\(\sin(x)\) \ (F (x)\) ">
    \ (f (x)\) ">\(\cos(x)\) \ (F (x)\) ">
    \ (f (x)\) ">\(\sec(x) \tan(x)\) \ (F (x)\) ">
    \ (f (x)\) ">\(\csc(x) \cot(x)\) \ (F (x)\) ">
    \ (f (x)\) ">\(\sec^2 (x)\) \ (F (x)\) ">
    \ (f (x)\) ">\(\csc^2 (x)\) \ (F (x)\) ">
    \ (f (x)\) ">\(e^x\) \ (F (x)\) ">
    \ (f (x)\) ">\(a^x\)\((a \gt 1)\) \ (F (x)\) ">
    \ (f (x)\) ">\(\frac{1}{1+x^2}\) \ (F (x)\) ">
    \ (f (x)\) ">\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \ (F (x)\) ">
    1. \(\displaystyle \int_0^1 \left(x^3 - x - e^x + 2\right) \,dx\)
    2. \(\displaystyle \int_0^{\pi/3} (2\sin (t) - 4\cos(t) + \sec^2(t) - \pi) \, dt\)
    3. \(\displaystyle \int_0^1 (\sqrt{x}-x^2) \, dx\)

    4.4.3 El teorema del cambio total

    Revisemos tres interpretaciones de la integral definida.

    • Para un objeto en movimiento con velocidad instantánea,\(v(t)\text{,}\) el cambio de posición del objeto en el intervalo de tiempo\([a,b]\) viene dado por\(\int_a^b v(t) \, dt\text{,}\) y siempre que\(v(t) \ge 0\) encendido nos\([a,b]\text{,}\)\(\int_a^b v(t) \, dt\) indica la distancia total recorrida por el objeto en\([a,b]\text{.}\)
    • Para cualquier función continua,\(f\text{,}\) su integral definida\(\int_a^b f(x) \, dx\) representa el área neta firmada delimitada por\(y = f(x)\) y el\(x\) eje\([a,b]\text{,}\) -donde las regiones que se encuentran debajo del\(x\) eje tienen un signo menos asociado con su área.
    • El valor de una integral definida está vinculado al valor promedio de una función: para una función continua\(f\) en\([a,b]\text{,}\) su valor promedio\(f_{\operatorname{AVG} [a,b]}\) viene dado por\[ f_{\operatorname{AVG} [a,b]} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx\text{.} \nonumber \]

    El Teorema Fundamental del Cálculo ahora nos permite evaluar exactamente (sin tomar un límite de sumas de Riemann) cualquier integral definida para la que podamos encontrar una antiderivada del integrando.

    Un ligero cambio de perspectiva nos permite conocer aún más el significado de la integral definida. Recall Equation (4.4.2), donde escribimos el Teorema Fundamental del Cálculo para una función de velocidad\(v\) con antiderivada\(V\) como

    \[ V(b) - V(a) = \int_a^b v(t) \, dt\text{.} \nonumber \]

    Si reemplazamos\(V\) con\(s\) (que representa la posición) y reemplazamos\(v\) con\(s'\) (ya que la velocidad es la derivada de la posición), la Ecuación (4.4.2) entonces se lee como

    \[ s(b) - s(a) = \int_a^b s'(t) \, dt\text{.}\label{pdN}\tag{4.4.3} \]

    En palabras, esta versión de la FTC nos dice que el cambio total en la función de posición de un objeto en un intervalo determinado viene dado por la integral definida de la derivada de la función position sobre ese intervalo.

    Por supuesto, este resultado no se limita solo al ajuste de posición y velocidad. Escribiendo el resultado en términos de una función más general\(f\text{,}\) tenemos el Teorema del Cambio Total.

    Teorema de Cambio Total

    Si\(f\) es una función continuamente diferenciable\([a,b]\) con derivada\(f'\text{,}\) entonces Es\(f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x) \, dx\text{.}\) decir, la integral definida de la tasa de cambio de una función en\([a,b]\) es el cambio total de la función en sí en\([a,b]\text{.}\)

    El Teorema del Cambio Total nos dice más sobre la relación entre la gráfica de una función y la de su derivada. Recordemos que las alturas en la gráfica de la función derivada son iguales a las pendientes en la gráfica de la propia función. Si en cambio conocemos\(f'\) y estamos buscando información al respecto\(f\text{,}\) podemos decir lo siguiente:

    diferencias en alturas\(f\) corresponden a áreas señalizadas netas delimitadas por\(f'\text{.}\)

    Figura 4.4.6. Las gráficas de\(f'(x) = 4 - 2x\) (a la izquierda) y una antiderivada\(f(x) = 4x - x^2\) a la derecha. Diferencias en alturas\(f\) corresponden a áreas señalizadas netas delimitadas por\(f'\text{.}\)

    Para ver por qué esto es así, considera la diferencia\(f(1) - f(0)\text{.}\) Este valor es 3, porque\(f(1) = 3\) y\(f(0) = 0\text{,}\) pero también porque el área neta firmada delimitada por\(y = f'(x)\) on\([0,1]\) es 3. Es decir,

    \[ f(1) - f(0) = \int_0^1 f'(x) \, dx\text{.} \nonumber \]

    Además de esta observación sobre el área, el Teorema de Cambio Total nos permite responder preguntas sobre una función cuya tasa de cambio conocemos.

    Ejemplo 4.4.7

    Supongamos que los contaminantes están goteando de un tanque de almacenamiento subterráneo a una tasa de\(r(t)\) galones/día, donde\(t\) se mide en días. Se conjetura que\(r(t)\) viene dada por la fórmula\(r(t) = 0.0069t^3 -0.125t^2+11.079\) durante un cierto periodo de 12 días. La gráfica de\(y=r(t)\) se da en la Figura 4.4.8. ¿Cuál es el significado\(\int_4^{10} r(t) \, dt\) y cuál es su valor? ¿Cuál es la tasa promedio a la que los contaminantes salen del tanque en el intervalo de tiempo?\(4 \le t \le 10\text{?}\)

    Figura 4.4.8. La tasa\(r(t)\) de contaminación que se escapa de un tanque, medida en galones por día.
    Contestar

    Ya que\(r(t) \ge 0\text{,}\) el valor de\(\int_4^{10} r(t) \, dt\) es el área bajo la curva en el intervalo\([4,10]\text{.}\) Una suma de Riemann para esta área tendrá rectángulos con alturas medidas en galones por día y anchos medidos en días, por lo que el área de cada rectángulo tendrá unidades de

    \[ \frac{\text{gallons} }{\text{day} } \cdot \text{days} = \text{gallons}\text{.} \nonumber \]

    Así, la integral definitiva nos dice el número total de galones de contaminante que se filtran del tanque desde el día 4 hasta el día 10. El Teorema del Cambio Total nos dice lo mismo: si dejamos\(R(t)\) denotar el número total de galones de contaminante que se han filtrado del tanque hasta el día\(t\text{,}\) entonces\(R'(t) = r(t)\text{,}\) y

    \[ \int_4^{10} r(t) \, dt = R(10) - R(4)\text{,} \nonumber \]

    el número de galones que se han filtrado desde el día 4 hasta el día 10.

    Para calcular el valor exacto de la integral, utilizamos el Teorema Fundamental del Cálculo. Antidiferenciando\(r(t) = 0.0069t^3 -0.125t^2+11.079\text{,}\) encontramos que

    \ begin {alinear*}\ int_4^ {10} 0.0069t^3 -0.125t^2+11.079\, dt =\ mathstrut &\ izquierda. 0.0069\ cdot\ frac {1} {4}\, t^4 - 0.125\ cdot\ frac {1} {3} t^3 + 11.079t\ derecha|_4^ {10}\ [4pt]\ approx\ mathstrut & 44.282\ texto {.} \ end {alinear*}

    Así, aproximadamente 44.282 galones de contaminante se filtraron durante el periodo de seis días.

    Para encontrar la tasa promedio a la que el contaminante se filtró del tanque sobre\(4 \le t \le 10\text{,}\) calculamos el valor promedio de\(r\) on\([4,10]\text{.}\) Así,

    \[ r_{\operatorname{AVG} [4,10]} = \frac{1}{10-4} \int_4^{10} r(t) \, dt \approx \frac{44.282}{6} = 7.380 \nonumber \]

    galones por día.

    Actividad 4.4.4

    Durante un entrenamiento de 40 minutos, una persona que monta una máquina de ejercicios quema calorías a un ritmo de\(c\) calorías por minuto, donde la función\(y = c(t)\) se da en la Figura 4.4.9. En el intervalo\(0 \le t \le 10\text{,}\) la fórmula para\(c\) es\(c(t) = -0.05t^2 + t + 10\text{,}\) mientras que en\(30 \le t \le 40\text{,}\) su fórmula es\(c(t) = -0.05t^2 + 3t - 30\text{.}\)

    Figura 4.4.9. La tasa\(c(t)\) a la que una persona que hace ejercicio quema calorías, medidas en calorías por minuto.
    1. ¿Cuál es el número total exacto de calorías que quema la persona durante los primeros 10 minutos de su entrenamiento?
    2. Dejar\(C(t)\) ser un antiderivado de\(c(t)\text{.}\) ¿Cuál es el significado de\(C(40) - C(0)\) en el contexto de la persona que ejerce? Incluya unidades en su respuesta.
    3. Determinar la tasa promedio exacta a la que la persona quemó calorías durante el entrenamiento de 40 minutos.
    4. ¿A qué hora (s), si la hay, es la velocidad instantánea a la que la persona quema calorías igual a la tasa promedio a la que quema calorías, en el intervalo de tiempo\(0 \le t \le 40\text{?}\)

    4.4.4 Resumen

    • Podemos encontrar el valor exacto de una integral definida sin tomar el límite de una suma de Riemann o usando una fórmula de área familiar encontrando la antiderivada del integrando, y por lo tanto aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo.
    • El Teorema Fundamental del Cálculo dice que si\(f\) es una función continua sobre\([a,b]\) y\(F\) es una antiderivada de\(f\text{,}\) entonces
      \[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\text{.} \nonumber \]

      Por lo tanto, si podemos encontrar un antiderivado para el\(f\text{,}\) integrando la evaluación de la integral definida viene de simplemente computar el cambio\(F\) en\([a,b]\text{.}\)

    • Una perspectiva ligeramente diferente sobre la FTC nos permite reafirmarla como el Teorema del Cambio Total, que dice que
      \[ \int_a^b f'(x) \, dx = f(b) - f(a)\text{,} \nonumber \]

      para cualquier función continuamente diferenciable\(f\text{.}\) Esto significa que la integral definida de la tasa instantánea de cambio de una función\(f\) en un intervalo\([a,b]\) es igual al cambio total en la función\(f\) on\([a,b]\text{.}\)


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