4.E: La Integral Definitiva (Ejercicios)

4.1: Determinación de la distancia recorrida desde la velocidad

1. Estimación de la distancia recorrida desde los datos de velocidad

2. Distancia desde una función de veloidad lineal

3. Cambio de posición a partir de una función de velocidad lineal

4. Comparar la distancia recorrida desde los gráficos de velocidad

5. Encontrar aceleración promedio a partir de datos de velocidad

6. Cambio de posición a partir de una función de velocidad cuadrática

7

A lo largo de la orilla oriental del lago Michigan desde el lago Macatawa (cerca de Holanda) hasta Grand Haven, hay un carril bici que corre casi directamente de norte a sur. Para efectos de esta problemática, supongamos que el camino es completamente recto, y que la función\(s(t)\) rastrea la posición del motero a lo largo de este camino en millas al norte de Pigeon Lake, que se encuentra aproximadamente a medio camino entre los extremos del carril bici.

Supongamos que la función de velocidad del motorista viene dada por la gráfica de la Figura 4.1.11 en el intervalo de tiempo\(0 \le t \le 4\) (donde\(t\) se mide en horas), y que\(s(0) = 1\text{.}\)

Figura 4.1.11. El gráfico de la velocidad del motorista,\(y = v(t)\text{,}\) a la izquierda. A la derecha, ejes para trazar un boceto aproximado de\(y = s(t)\text{.}\)

1. Aproximadamente, ¿a qué distancia al norte de Pigeon Lake estaba la ciclista cuando estaba a la mayor distancia de Pigeon Lake? ¿A qué hora ocurrió esto?
2. ¿Cuál es el cambio total de posición del ciclista en el intervalo de tiempo? ¿\(t = 2\text{,}\)Estaba\(0 \le t \le 2\text{?}\) al norte o al sur de Pigeon Lake?
3. ¿Cuál es la distancia total en\(0 \le t \le 4\text{?}\) la que recorrió la motera? Al final del paseo, ¿qué tan cerca estaba del punto en el que comenzó?
4. Esbozar una gráfica aproximada de\(y = s(t)\text{,}\) la función de posición del ciclista, en el intervalo\(0 \le t \le 4\text{.}\) Etiqueta al menos cuatro puntos importantes en la gráfica de\(s\text{.}\)

8

Un cohete de juguete se lanza verticalmente desde el suelo en un día sin viento. La velocidad vertical del cohete en el tiempo\(t\) (en segundos) viene dada por\(v(t)= 500-32t\) pies/seg.

1. ¿A qué hora después del lanzamiento del cohete la velocidad del cohete es igual a cero? Llama a este valor de tiempo\(a\text{.}\) ¿Qué pasa con el cohete en\(t = a\text{?}\)
2. Encuentra el valor del área total encerrada por\(y = v(t)\) y el\(t\) eje -en el intervalo\(0 \le t \le a\text{.}\) ¿Qué representa esta área en términos de la configuración física del problema?
3. Encontrar una antiderivada\(s\) de la función Es\(v\text{.}\) decir, encontrar una función\(s\) tal que\(s'(t) = v(t)\text{.}\)
4. Calcular el valor de\(s(a) - s(0)\text{.}\) ¿Qué representa este número en términos de la configuración física del problema?
5. Computar\(s(5) - s(1)\text{.}\) ¿Qué te dice este número sobre el vuelo del cohete?

9

Un objeto que se mueve a lo largo de un eje horizontal tiene su velocidad instantánea\(t\) en el tiempo en segundos dada por la función\(v\) que se muestra en la Figura 4.1.12, donde\(v\) se mide en pies/seg. Supongamos que las curvas que componen las partes de la gráfica de\(y=v(t)\) son porciones de líneas rectas o porciones de círculos.

Figura 4.1.12. El gráfico de\(y = v(t)\text{,}\) la función de velocidad de un objeto en movimiento.

1. Determinar la distancia total exacta en la que viajó el objeto\(0 \le t \le 2\text{.}\)
2. ¿Cuál es el valor y significado de\(s(5) - s(2)\text{,}\) dónde\(y = s(t)\) está la función de posición del objeto en movimiento?
3. En qué intervalo de tiempo recorrió el objeto la mayor distancia:\([0,2]\text{,}\)\([2,4]\text{,}\) o\([5,7]\text{?}\)
4. ¿En qué intervalo (s) de tiempo\(s\) aumenta la función de posición? ¿En qué punto (s)\(s\) logra un máximo relativo?

10

Los filtros en una planta de tratamiento de agua se vuelven más sucios con el tiempo y por lo tanto se vuelven menos efectivos; se reemplazan cada 30 días. Durante un periodo de 30 días, la tasa a la que la contaminación pasa a través de los filtros hacia un lago cercano (en unidades de partículas por día) se mide cada 6 días y se da en la siguiente tabla. El tiempo\(t\) se mide en días desde que se sustituyeron los filtros.

Cuadro 4.1.13. Datos de contaminación para los filtros de agua.

Día,\(t\)	\(0\)	\(6\)	\(12\)	\(18\)	\(24\)	\(30\)
Tasa de contaminación en unidades por día,\(p(t)\)	\(7\)	\(8\)	\(10\)	\(13\)	\(18\)	\(35\)

1. Trazar los datos dados en un conjunto de ejes con el tiempo en el eje horizontal y la tasa de contaminación en el eje vertical.
2. Explique por qué la cantidad de contaminación que ingresó al lago durante este periodo de 30 días estaría dada exactamente por el área delimitada por\(y = p(t)\) y el\(t\) eje -en el intervalo de tiempo\([0,30]\text{.}\)
3. Estimar la cantidad total de contaminación que ingresa al lago durante este periodo de 30 días. Explique cuidadosamente cómo determinó su estimación.

4.2: Sumas de Riemann

1. Evaluación de sumas de Riemann para una función cuadrática

2. Estimación de la distancia recorrida con una suma de Riemann a partir de los datos

3. Redacción de sumas básicas de Riemann

4

Considera la función\(f(x) = 3x + 4\text{.}\)

1. Calcular\(M_4\) para\(y=f(x)\) en el intervalo\([2,5]\text{.}\) Asegúrese de identificar claramente el valor de así\(\Delta x\text{,}\) como las ubicaciones de\(x_0, x_1, \ldots, x_4\text{.}\) Incluir un boceto cuidadoso de la función y los rectángulos correspondientes que se utilizan en la suma.
2. Utilice una fórmula geométrica familiar para determinar el valor exacto del área de la región delimitada por\(y = f(x)\) y el\(x\) eje en\([2,5]\text{.}\)
3. Explique por qué los valores que computó en (a) y (b) resultan ser los mismos. ¿Será esto cierto si usamos un número diferente a\(n = 4\) y calculamos\(M_n\text{?}\) ¿Tendrá\(L_4\) o\(R_4\) tendrá el mismo valor que el área exacta de la región que se encuentra en (b)?
4. Describir la colección de funciones\(g\) para las que siempre se dará el caso de que\(M_n\text{,}\) independientemente del valor de\(n\text{,}\) da el área neta firmada exacta delimitada entre la función\(g\) y el\(x\) eje -en el intervalo\([a,b]\text{.}\)

5

\(S\)Sea la suma dada por

\[ S = ((1.4)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((1.8)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((2.2)^2 + 1) \cdot 0.4 + ((2.6)^2 + 1) \cdot 0.4 +((3.0)^2 + 1) \cdot 0.4\text{.} \nonumber \]

1. Supongamos que\(S\) es una suma correcta de Riemann. ¿Para qué función\(f\) y qué intervalo\([a,b]\) es la suma de Riemann de\(S\) esta función? ¿Por qué?
2. ¿Cómo cambia tu respuesta a (a) si\(S\) es una suma de Riemann izquierda? una suma media de Riemann?
3. Supongamos que\(S\) realmente es una suma correcta de Riemann. ¿Qué es la cantidad geométrica\(S\) aproximada?
4. Usa la notación sigma para escribir una nueva suma\(R\) que sea la suma correcta de Riemann para la misma función, pero que usa el doble de subintervalos que\(S\text{.}\)

6

Un automóvil que viaja por una carretera recta está frenando y su velocidad se mide en varios puntos diferentes en el tiempo, como se indica en la siguiente tabla.

Cuadro 4.2.8. Datos para el coche de frenado.

segundos,\(t\)	\(0\)	\(0.3\)	\(0.6\)	\(0.9\)	\(1.2\)	\(1.5\)	\(1.8\)
Velocidad en pies/seg,\(v(t)\)	\(100\)	\(88\)	\(74\)	\(59\)	\(40\)	\(19\)	\(0\)

1. Trazar los datos dados en un conjunto de ejes con el tiempo en el eje horizontal y la velocidad en el eje vertical.
2. Estimar la distancia total recorrida durante el auto el tiempo frena usando una suma de Riemann media con 3 subintervalos.
3. Estimar la distancia total recorrida\([0,1.8]\) por computación\(L_6\text{,}\)\(R_6\text{,}\) y\(\frac{1}{2}(L_6 + R_6)\text{.}\)
4. Asumiendo que siempre\(v(t)\) está disminuyendo en\([0,1.8]\text{,}\) ¿cuál es la distancia máxima posible que recorrió el automóvil antes de detenerse? ¿Por qué?

7

La velocidad a la que la contaminación escapa a un proceso de lavado en una planta de fabricación aumenta con el tiempo a medida que los filtros y otras tecnologías se vuelven menos efectivos. Para este ejemplo en particular, supongamos que la tasa de contaminación (en toneladas por semana) viene dada por la función\(r\) que se representa en la Figura 4.2.9.

1. Utilice la gráfica para estimar el valor de\(M_4\) en el intervalo\([0,4]\text{.}\)
2. ¿Cuál es el significado\(M_4\) en términos de la contaminación descargada por la planta?
3. Supongamos que\(r(t) = 0.5 e^{0.5t}\text{.}\) Use esta fórmula\(r\) para calcular\(L_5\) en\([0,4]\text{.}\)
4. Determine un límite superior sobre la cantidad total de contaminación que puede escapar de la planta durante el período de cuatro semanas que se muestra en la foto que es preciso dentro de un error de como máximo una tonelada de contaminación.

Figura 4.2.9. El índice,\(r(t)\text{,}\) de contaminación en toneladas por semana.

4.3: La Integral Definitiva

1. Evaluación de integrales definidas a partir de información gráfica

2. Estimación de integrales definidas a partir de una gráfica

3. Encontrar el valor promedio de una función lineal

4. Encontrar el valor promedio de una función dada gráficamente

5. Estimar una integral definida y un valor promedio a partir de una gráfica

6. Uso de reglas para combinar valores integrales conocidos

7

La velocidad de un objeto que se mueve a lo largo de un eje viene dada por la función lineal por tramos\(v\) que se representa en la Figura 4.3.12. Supongamos que el objeto se mueve hacia la derecha cuando su velocidad es positiva, y se mueve hacia la izquierda cuando su velocidad es negativa. Supongamos que la función de velocidad dada es válida\(t = 0\) para\(t = 4\text{.}\)

1. Escribir una expresión que involucre integrales definidas cuyo valor sea el cambio total en la posición del objeto en el intervalo\([0,4]\text{.}\)
2. Utilice la gráfica proporcionada de\(v\) para determinar el valor del cambio total de posición en\([0,4]\text{.}\)
3. Escribir una expresión que involucre integrales definidas cuyo valor sea la distancia total recorrida por el objeto en\([0,4]\text{.}\) Cuál es el valor exacto de la distancia total recorrida en\([0,4]\text{?}\)
4. ¿Cuál es la velocidad promedio exacta del objeto en\([0,4]\text{?}\)
5. Encuentra una fórmula algebraica para la función de posición del objeto\([0, 1.5]\) que satisfaga\(s(0) = 0\text{.}\)

Figura 4.3.12. La función de velocidad de un objeto en movimiento.

8

Supongamos que la velocidad de un objeto en movimiento viene dada por\(v(t) = t(t-1)(t-3)\text{,}\) medida en pies por segundo, y que esta función es válida para\(0 \le t \le 4\text{.}\)

1. Escribir una expresión que involucre integrales definidas cuyo valor sea el cambio total en la posición del objeto en el intervalo\([0,4]\text{.}\)
2. Utilice la tecnología apropiada (como http://gvsu.edu/s/a9 ⁴) para calcular las sumas de Riemann para estimar el cambio total de posición del objeto en\([0,4]\text{.}\) Work para asegurarse de que su estimación sea exacta a dos decimales, y explique cómo sabe que este es el caso.
3. Escribir una expresión que involucre integrales definidas cuyo valor sea la distancia total recorrida por el objeto en\([0,4]\text{.}\)
4. Utilice la tecnología adecuada para calcular las sumas de Riemann para estimar la distancia total recorrida del objeto en\([0,4]\text{.}\) Work para asegurarse de que su estimación sea exacta a dos decimales, y explique cómo sabe que este es el caso.
5. ¿Cuál es la velocidad promedio del objeto con\([0,4]\text{,}\) una precisión de dos decimales?

Marc Renault, Universidad de Shippensburg.

9

Considere las gráficas de dos funciones\(f\) y\(g\) que se proporcionan en la Figura 4.3.13. Cada pieza de\(f\) y\(g\) es parte de una línea recta o parte de un círculo.

Figura 4.3.13. Dos funciones\(f\) y\(g\text{.}\)

1. Determinar el valor exacto de\(\int_0^1 [f(x) + g(x)]\,dx\text{.}\)
2. Determinar el valor exacto de\(\int_1^4 [2f(x) - 3g(x)] \, dx\text{.}\)
3. Encuentre el valor promedio exacto de\(h(x) = g(x) - f(x)\) on\([0,4]\text{.}\)
4. ¿Para\(c\) qué constante sostiene la siguiente ecuación?
   \[ \int_0^4 c \, dx = \int_0^4 [f(x) + g(x)] \, dx \nonumber \]

10

Let\(f(x) = 3 - x^2\) y\(g(x) = 2x^2\text{.}\)

1. En el intervalo,\([-1,1]\text{,}\) dibuje una gráfica etiquetada\(y = f(x)\) y escriba una integral definida cuyo valor sea el área exacta delimitada por\(y = f(x)\) on\([-1,1]\text{.}\)
2. En el intervalo,\([-1,1]\text{,}\) dibuje una gráfica etiquetada\(y = g(x)\) y escriba una integral definida cuyo valor sea el área exacta delimitada por\(y = g(x)\) on\([-1,1]\text{.}\)
3. Escribir una expresión que involucre una diferencia de integrales definidas cuyo valor sea el área exacta que se encuentra entre\(y = f(x)\) y\(y = g(x)\) en\([-1,1]\text{.}\)
4. Explica por qué tu expresión en (c) tiene el mismo valor que la integral única\(\int_{-1}^1 [f(x) - g(x)] \, dx\text{.}\)
5. Explique por qué, en general, si\(p(x) \ge q(x)\) para todos\(x\) en\([a,b]\text{,}\) el área exacta entre\(y = p(x)\) y\(y = q(x)\) está dada por
   \[ \int_a^b [p(x) - q(x)] \, dx\text{.} \nonumber \]

4.4: El teorema fundamental del cálculo

Encontrar desplazamiento exacto

Evaluar la integral definida de una función racional

Evaluar la integral definida de una función lineal

Evaluar la integral definida de una función cuadrática

Simplificar un integrando antes de integrar

Evaluación de la integral definida de una función trigonométrica

7

La velocidad instantánea (en metros por minuto) de un objeto en movimiento viene dada por la función que\(v\) se muestra en la Figura\(\PageIndex{10}\). Supongamos que en el intervalo\(0 \le t \le 4\text{,}\)\(v(t)\) viene dado por\(v(t) = -\frac{1}{4}t^3 + \frac{3}{2}t^2 + 1\text{,}\) y que en cada dos intervalos\(v\) es lineal por tramos, como se muestra.

Figura 4.4.10. La función de velocidad de un cuerpo en movimiento.

1. Determinar la distancia exacta recorrida por el objeto en el intervalo de tiempo\(0 \le t \le 4\text{.}\)
2. ¿Cuál es la velocidad promedio del objeto en\([12,24]\text{?}\)
3. ¿A qué hora es mayor la aceleración del objeto?
4. Supongamos que la velocidad del objeto se incrementa en un valor constante\(c\) para todos los valores de\(t\text{.}\) ¿Qué valor de\(c\) hará que la distancia total recorrida del objeto\([12,24]\) sea de 210 metros?

8

Una función\(f\) viene dada por partes por la fórmula

\[ f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x + 1, & \ \text{if} \ 0 \le x \lt 2 \\[4pt] -x + 3, & \ \text{if} \ 2 \le x \lt 3 \\[4pt] x^2 - 8x + 15, & \ \text{if} \ 3 \le x \le 5 \end{cases}\text{.} \nonumber \]

1. Determinar el valor exacto del área neta firmada encerrada por\(f\) y el\(x\) eje -en el intervalo\([2,5]\text{.}\)
2. Calcular el valor promedio exacto de\(f\) on\([0,5]\text{.}\)
3. Encuentra una fórmula para una función\(g\) on para\(5 \le x \le 7\) que si extendemos la definición anterior de\(f\) para que\(f(x) = g(x)\) si sigue\(5 \le x \le 7\text{,}\) eso\(\int_0^7 f(x) \, dx = 0\text{.}\)

9

Cuando una aeronave intenta escalar lo más rápido posible, su velocidad de ascenso (en pies por minuto) disminuye a medida que aumenta la altitud, debido a que el aire es menos denso a mayores altitudes. A continuación se presenta una tabla que muestra los datos de rendimiento para un determinado avión monomotor, dando su tasa de ascenso a diversas altitudes, donde\(c(h)\) denota la tasa de ascenso del avión a una altitud\(h\text{.}\)

\(h\)(pies)	\(0\)	\(1000\)	\(2000\)	\(3000\)	\(4000\)	\(5000\)	\(6000\)	\(7000\)	\(8000\)	\(9000\)	\(10{,}000\)
\(c\)(pies/min)	\(925\)	\(875\)	\(830\)	\(780\)	\(730\)	\(685\)	\(635\)	\(585\)	\(535\)	\(490\)	\(440\)

Dejar que una nueva función llamada\(m(h)\) mida el número de minutos requeridos para que un avión\(h\) a altitud suba al siguiente pie de altitud.

1. Determinar una tabla similar de valores para\(m(h)\) y explicar cómo se relaciona con la tabla anterior. Asegúrese de explicar las unidades.
2. Dar una interpretación cuidadosa de una función cuya derivada es\(m(h)\text{.}\) Describir qué es la entrada y cuál es la salida. También, explique en sencillo inglés lo que nos dice la función.
3. Determinar una integral definida cuyo valor nos dice exactamente el número de minutos requeridos para que el avión ascienda a 10,000 pies de altitud. Explicar claramente por qué el valor de esta integral tiene el significado requerido.
4. Utiliza la suma de Riemann\(M_5\) para estimar el valor de la integral que encontraste en (c). Incluya unidades en su resultado.

10

En el Capítulo 1, mostramos que para un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta con función de posición,\(s(t)\text{,}\) la “velocidad promedio en el intervalo\([a,b]\)” del objeto viene dada por

\[ AV_{[a,b]} = \frac{s(b)-s(a)}{b-a}\text{.} \nonumber \]

Más recientemente en el Capítulo 4, encontramos que para un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta con función de velocidad,\(v(t)\text{,}\) el “valor promedio de su función de velocidad activado\([a,b]\)” del objeto es

\[ \displaystyle v_{\operatorname{AVG} [a,b]} = \frac{1}{b-a} \int_a^b v(t) \, dt\text{.} \nonumber \]

¿Son lo mismo la “velocidad promedio en el intervalo\([a,b]\)” y el “valor promedio de la función de velocidad en\([a,b]\)”? ¿Por qué o por qué no? Explique.

11

En Tabla\(\PageIndex{5}\) en Actividad 4.4.3, notamos que para\(x \gt 0\text{,}\) la antiderivada de\(f(x) = \frac{1}{x}\) es\(F(x) = \ln(x)\text{.}\) Aquí observamos que una diferencia clave entre\(f(x)\) y\(F(x)\)\(f\) es que se define para todos\(x \ne 0\text{,}\) mientras que solo\(F\) se define para\(x \gt 0\text{,}\) y vemos como podemos definir realmente la antiderivada de\(f\) para todos los valores de\(x\text{.}\)

1. Supongamos que\(x \lt 0\text{,}\) y que\(G(x) = \ln(-x)\text{.}\) Compute\(G'(x)\text{.}\)
2. Explicar por qué\(G\) es un antiderivado de\(f\) para\(x \lt 0\text{.}\)
3. Dejemos\(H(x) = \ln(|x|)\text{,}\) y recordemos que

   \[ |x| = \begin{cases} -x, & \ \text{if} \ x \lt 0 \\[4pt] x, & \ \text{if} \ x \ge 0 \end{cases}\text{.} \nonumber \]

   Explicar por qué\(H(x) = G(x)\) para\(x \lt 0\) y\(H(x) = F(x)\) para\(x \gt 0\text{.}\)

4. Ahora discutimos por qué decimos que el antiderivado de\(\frac{1}{x}\) es\(\ln(|x|)\) para todos\(x \ne 0\text{.}\)