5.1: Gráficas Precisas de Construcción de Antiderivados

Preguntas Motivadoras

• Dada la gráfica de la derivada de una función, ¿cómo podemos construir una gráfica completamente precisa de la función original?
• ¿Cuántos antiderivados tiene una función dada? ¿Qué tienen en común esos antiderivados?
• Dada una función,\(f\text{,}\) ¿cómo\(A(x) = \int_0^x f(t) \, dt\) define la regla una nueva función?\(A\text{?}\)

Un tema recurrente en nuestra discusión sobre el cálculo diferencial ha sido la pregunta “Dada la información sobre la derivada de una función desconocida\(f\text{,}\) ¿cuánta información podemos obtener sobre\(f\) sí misma?” En la Actividad 1.8.3,\(y = f'(x)\) se conocía la gráfica de (junto con el valor de\(f\) en un solo punto) y se procuró esbozar una posible gráfica de\(f\) cerca del punto conocido. En el Ejemplo 3.1.7 — investigamos cómo la primera prueba derivada nos permite utilizar información sobre\(f'\) para determinar dónde\(f\) está aumentando y disminuyendo la función original, así como dónde\(f\) tiene valores extremos relativos. Si conocemos una fórmula o gráfica de\(f'\text{,}\) por computación\(f''\) podemos encontrar donde la función original\(f\) es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Así, conocer\(f'\) y nos\(f''\) permite entender la forma de la gráfica de\(f\text{.}\)

Volvimos a esta cuestión con aún más detalle en la Sección 4.1. En ese escenario, conocíamos la velocidad instantánea de un objeto en movimiento y trabajamos para determinar lo más posible sobre la función de posición del objeto. Encontramos conexiones entre el área señalizada neta bajo la función de velocidad y el cambio correspondiente en la posición de la función, y el Teorema de Cambio Total iluminó aún más estas conexiones entre\(f'\) y\(f\text{,}\) mostrando que el cambio total en el valor de\(f\) durante un intervalo \([a,b]\)se determina por el área neta firmada delimitada por\(f'\) y el\(x\) eje -en el mismo intervalo.

En lo que sigue, exploramos la situación en la que poseemos una gráfica precisa de la función derivada junto con un solo valor de la función A\(f\text{.}\) partir de esa información, nos gustaría determinar una gráfica de\(f\) que muestra dónde\(f\) está aumentando, disminuyendo, cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo, y también proporciona un valor de función preciso en cualquier punto.

Vista previa de la actividad 5.1.1

Supongamos que se conoce la siguiente información sobre una función\(f\text{:}\) la gráfica de su derivada,\(y = f'(x)\text{,}\) se da en la Figura 5.1.1. Además, supongamos que\(f'\) es lineal por partes (como se muestra en la imagen)\(x \le 0\) y que para y\(x \ge 6\text{,}\)\(f'(x) = 0\text{.}\) Finalmente, se da que\(f(0) = 1\text{.}\)

Figura 5.1.1. A la izquierda, la gráfica de\(y = f'(x)\text{;}\) a la derecha, ejes para trazar\(y = f(x)\text{.}\)

1. ¿En qué intervalo (s) hay\(f\) una función creciente? ¿En qué intervalos está\(f\) disminuyendo?
2. ¿En qué intervalo (s) es\(f\) cóncavo hacia arriba? cóncavo hacia abajo?
3. ¿En qué punto (s)\(f\) tiene un mínimo relativo? un máximo relativo?
4. Recordemos que el Teorema del Cambio Total nos dice que

   \[ f(1) - f(0) = \int_0^1 f'(x) \, dx\text{.} \nonumber \]

   ¿Cuál es el valor exacto de\(f(1)\text{?}\)

5. Utilizar la información dada y razonamiento similar al de la letra d) para determinar el valor exacto de\(f(2)\text{,}\)\(f(3)\text{,}\)\(f(4)\text{,}\)\(f(5)\text{,}\) y\(f(6)\text{.}\)
6. Con base en sus respuestas a todas las preguntas anteriores, esboce una gráfica completa y precisa\(y = f(x)\) de los ejes proporcionados, asegurándose de indicar el comportamiento de\(f\) for\(x \lt 0\) y\(x \gt 6\text{.}\)

5.1.1 Construyendo la gráfica de un antiderivado

Preview Activity 5.1.1 demuestra que cuando podemos encontrar el área exacta debajo de la gráfica de una función en cualquier intervalo dado, es posible construir una gráfica de la antiderivada de la función. Es decir, podemos encontrar una función cuya derivada se da. Ahora podemos determinar no solo la forma general de la gráfica antiderivada, sino también la altura real de la gráfica en cualquier punto de interés.

Esto es consecuencia del Teorema Fundamental del Cálculo: si conocemos una función\(f\) y el valor de la antiderivada\(F\) en algún punto de partida\(a\text{,}\) podemos determinar el valor de\(F(b)\) vía la integral definida. Ya que\(F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \, dx\text{,}\) se deduce que

\[ F(b) = F(a) + \int_a^b f(x) \, dx\text{.}\label{AWG}\tag{5.1.1} \]

También podemos interpretar la ecuación\(F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \, dx\) en términos de las gráficas de\(f\) y de la\(F\) siguiente manera. En un intervalo\([a,b]\text{,}\)

diferencias en alturas en la gráfica de la antiderivada dada por\(F(b) - F(a)\) corresponden al área neta firmada delimitada por la función original en el intervalo\([a,b]\text{,}\) que viene dada por\(\int_a^b f(x) \, dx\text{.}\)

Actividad 5.1.2

Supongamos que la función\(y = f(x)\) viene dada por la gráfica que se muestra en la Figura 5.1.2, y que las piezas de\(f\) son porciones de líneas o porciones de círculos. Además, dejemos\(F\) ser un antiderivado de\(f\) y decir que\(F(0) = -1\text{.}\) Por último, supongamos que para\(x \le 0\) y\(x \ge 7\text{,}\)\(f(x) = 0\text{.}\)

Figura 5.1.2. A la izquierda, la gráfica de\(y = f(x)\text{.}\)

1. ¿En qué intervalo (s) hay\(F\) una función creciente? ¿En qué intervalos está\(F\) disminuyendo?
2. ¿En qué intervalo (s) es\(F\) cóncavo hacia arriba? cóncavo hacia abajo? ¿tampoco?
3. ¿En qué punto (s)\(F\) tiene un mínimo relativo? un máximo relativo?
4. Utilice la información dada para determinar el valor exacto de\(F(x)\) para\(x = 1, 2, \ldots, 7\text{.}\) Además, cuáles son los valores de\(F(-1)\) y\(F(8)\text{?}\)
5. Con base en sus respuestas a todas las preguntas anteriores, esboce una gráfica completa y precisa de\(y = F(x)\) en los ejes proporcionados, asegurándose de indicar el comportamiento de\(F\) for\(x \lt 0\) e Indique\(x \gt 7\text{.}\) claramente la escala en los ejes vertical y horizontal de su gráfica.
6. ¿Qué pasa si cambiamos una pieza clave de información: en particular, decir que\(G\) es un antiderivado de\(f\) y\(G(0) = 0\text{.}\) cómo (en todo caso) cambiarían sus respuestas a las preguntas anteriores? Esboce una gráfica\(G\) sobre los mismos ejes que la gráfica de\(F\) usted construida en (e).

5.1.2 Múltiples antiderivados de una sola función

En la pregunta final de la Actividad 5.1.2, encontramos una idea muy importante: una función\(f\) tiene más de un antiderivado. Cada antiderivado de\(f\) se determina de manera única por su valor en un solo punto. Por ejemplo, supongamos que\(f\) es la función dada a la izquierda en la Figura 5.1.3, y supongamos además que\(F\) es una antiderivada de\(f\) que satisface\(F(0) = 1\text{.}\)

Figura 5.1.3. A la izquierda, la gráfica de\(y = f(x)\text{.}\) A la derecha, tres antiderivados diferentes de\(f\text{.}\)

Luego, usando la ecuación (5.1.1), podemos calcular

\ begin {align*} F (1) &= F (0) +\ int_0^1 f (x)\, dx\\ [4pt] &= 1 + 0.5\\ [4pt] &= 1.5\ text {.} \ end {alinear*}

De igual manera,\(F(2) = 1.5\text{,}\)\(F(3) = -0.5\text{,}\)\(F(4) = -2\text{,}\)\(F(5) = -0.5\text{,}\) y\(F(6) = 1\text{.}\) además, podemos usar el hecho de que\(F' = f\) para determinar dónde\(F\) está aumentando y disminuyendo, cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo, y tiene extremos relativos y puntos de inflexión. En última instancia encontramos que la gráfica de\(F\) es la que se da en azul en la Figura 5.1.3.

Si queremos una antiderivada\(G\) para la cual\(G(0) = 3\text{,}\) entonces\(G\) tendrá exactamente la misma forma que\(F\) (ya que ambos comparten la derivada\(f\)), pero se\(G\) desplazará verticalmente de la gráfica de\(F\text{,}\) como se muestra en rojo en la Figura 5.1.3. Obsérvese que\(G(1) - G(0) = \int_0^1 f(x) \, dx = 0.5\text{,}\) así como\(F(1) - F(0) = 0.5\text{,}\) pero ya\(G(0) = 3\text{,}\)\(G(1) = G(0) + 0.5 = 3.5\text{,}\) que mientras\(F(1) = 1.5\text{.}\) De la misma manera, si asignáramos un valor inicial diferente a la antiderivada, digamos que\(H(0) = -1\text{,}\) obtendríamos otro antiderivado más, como se muestra en magenta en la Figura 5.1.3.

Este ejemplo demuestra un hecho importante que sostiene de manera más general:

Nota

Si\(G\) y\(H\) son ambos antiderivados de una función\(f\text{,}\) entonces la función\(G - H\) debe ser constante.

Para ver por qué se sostiene este resultado, observar que si\(G\) y\(H\) son ambos antiderivados de\(f\text{,}\) entonces\(G' = f\) y\(H' = f\text{.}\) Por lo tanto,

\[ \frac{d}{dx}[ G(x) - H(x) ] = G'(x) - H'(x) = f(x) - f(x) = 0\text{.} \nonumber \]

Dado que la única forma en que una función puede tener un cero derivado es siendo una función constante, se deduce que la función\(G - H\) debe ser constante.

Ahora vemos que si una función tiene al menos un antiderivado, debe tener infinitamente muchos: podemos agregar cualquier constante de nuestra elección a la antiderivada y obtener otra antiderivada. Por esta razón, a veces nos referimos a la antiderivada general de una función\(f\text{.}\)

Para identificar un antiderivado particular de\(f\text{,}\) debemos conocer un solo valor de la antiderivada\(F\) (este valor suele llamarse condición inicial). Por ejemplo, si\(f(x) = x^2\text{,}\) su antiderivado general es\(F(x) = \frac{1}{3}x^3 + C\text{,}\) donde incluimos el “\(+C\)” para indicar que\(F\) incluye todos los posibles antiderivados de\(f\text{.}\) Si sabemos que\(F(2) = 3\text{,}\) sustituimos 2 por\(x\) in\(F(x) = \frac{1}{3}x^3 + C\text{,}\) y encontramos que

\[ 3 = \frac{1}{3}(2)^3 + C\text{,} \nonumber \]

o\(C = 3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3}\text{.}\) Por lo tanto, el antiderivado particular en este caso es\(F(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{3}\text{.}\)

Actividad 5.1.3

Para cada una de las siguientes funciones, esboce una gráfica precisa de la antiderivada que satisfaga la condición inicial dada. Además, esbozar la gráfica de dos antiderivadas adicionales de la función dada, y exponer las condiciones iniciales correspondientes que cada una de ellas satisface. Si es posible, encontrar una fórmula algebraica para el antiderivado que satisfaga la condición inicial.

1. función original: condición\(g(x) = \left| x \right| - 1\text{;}\) inicial:\(G(-1) = 0\text{;}\) intervalo para boceto:\([-2,2]\)
2. función original: condición\(h(x) = \sin(x)\text{;}\) inicial:\(H(0) = 1\text{;}\) intervalo para boceto:\([0,4\pi]\)
3. función original: condición\(p(x) = \begin{cases}x^2, & \text{ if } 0 \lt x \lt 1 \\[4pt] -(x-2)^2, & \text{ if } 1 \lt x \lt 2 \\[4pt] 0 & \text{ otherwise } \end{cases}\text{;}\) inicial:\(P(0) = 1\text{;}\) intervalo para boceto:\([-1,3]\)

5.1.3 Funciones definidas por integrales

La ecuación (5.1.1) nos permite calcular el valor de la antiderivada\(F\) en un punto\(b\text{,}\) siempre que sepamos\(F(a)\) y podamos evaluar la integral definida de\(a\) a\(b\) de Es\(f\text{.}\) decir,

\[ F(b) = F(a) + \int_a^b f(x) \, dx\text{.} \nonumber \]

En varias situaciones, hemos utilizado esta fórmula\(F(b)\) para calcular para varios valores diferentes de\(b\text{,}\) y luego trazar los puntos para ayudarnos\((b,F(b))\) a dibujar una gráfica precisa de\(F\text{.}\) Esto sugiere que es posible que queramos pensar en\(b\text{,}\) el límite superior de integración, como una variable en sí misma. Para ello, se introduce la idea de una función integral, una función cuya fórmula implica una integral definida.

Definición 5.1.4

Si\(f\) es una función continua, definimos la función integral correspondiente de\(A\) acuerdo con la regla

\[ A(x) = \int_a^x f(t) \, dt\text{.}\label{FGz}\tag{5.1.2} \]

Tenga en cuenta que debido a que\(x\) es la variable independiente en la función\(A\text{,}\) y determina el punto final del intervalo de integración, necesitamos usar una variable diferente como la variable de integración. Una elección estándar es\(t\text{,}\) pero cualquier variable que no\(x\) sea aceptable.

Una forma de pensar en la función\(A\) es como la función “net signed area from\(a\) up to\(x\)”, donde consideramos la región delimitada por\(y = f(t)\text{.}\) Por ejemplo, en la Figura 5.1.5, vemos una función que se\(f\) muestra a la izquierda, y su función de área correspondiente (elegir\(a = 0\)), \(A(x) = \int_0^x f(t) \, dt\)se muestra a la derecha.

Figura 5.1.5. A la izquierda, la gráfica de la función dada\(f\text{.}\) A la derecha, la función de área\(A(x) = \int_0^x f(t) \ dt\text{.}\)

La función\(A\) mide el área neta firmada de\(t = 0\) a\(t = x\) delimitada por la curva\(y = f(t)\text{;}\) este valor se reporta entonces como la altura correspondiente en la gráfica de\(y = A(x)\text{.}\) At http://gvsu.edu/s/cz, encontramos un applet java ¹ que trae la imagen estática en Figura 5.1.5 a la vida. Allí, el usuario puede mover el punto rojo en la función\(f\) y ver cómo cambia la altura correspondiente en el punto azul claro en la gráfica de\(A\text{.}\)

David Austin, Universidad Estatal Grand Valley

La elección de\(a\) es algo arbitraria. En la actividad que sigue, exploramos cómo\(a\) afecta el valor de la gráfica de la función integral.

Actividad 5.1.4

Supongamos que\(g\) viene dada por la gráfica a la izquierda en la Figura 5.1.6 y que\(A\) es la función integral correspondiente definida por\(A(x) = \int_1^x g(t) \, dt\text{.}\)

Figura 5.1.6. A la izquierda, la gráfica de\(y = g(t)\text{;}\) a la derecha, ejes para trazar\(y = A(x)\text{,}\) donde\(A\) se define por la fórmula\(A(x) = \int_1^x g(t) \ dt\text{.}\)

1. ¿En qué intervalo (s) hay\(A\) una función creciente? ¿En qué intervalos está\(A\) disminuyendo? ¿Por qué?
2. ¿En qué intervalo (s) crees que\(A\) es cóncavo hacia arriba? cóncavo hacia abajo? ¿Por qué?
3. ¿En qué punto (s)\(A\) tiene un mínimo relativo? un máximo relativo?
4. Utilice la información dada para determinar los valores exactos de\(A(0)\text{,}\)\(A(1)\text{,}\)\(A(2)\text{,}\)\(A(3)\text{,}\)\(A(4)\text{,}\)\(A(5)\text{,}\) y\(A(6)\text{.}\)
5. Con base en sus respuestas a todas las preguntas anteriores, esboce una gráfica completa y precisa\(y = A(x)\) de los ejes proporcionados, asegurándose de indicar el comportamiento de\(A\) for\(x \lt 0\) y\(x \gt 6\text{.}\)
6. ¿Cómo se\(B\) compara la gráfica con\(A\) si en su lugar\(B\) se define por\(B(x) = \int_0^x g(t) \, dt\text{?}\)

5.1.4 Resumen

• Dada la gráfica de una función\(f\text{,}\) podemos construir la gráfica de su antiderivada\(F\) siempre que (a) sepamos un valor inicial de\(F\text{,}\) say\(F(a)\text{,}\) y (b) podamos evaluar la integral\(\int_a^b f(x) \, dx\) exactamente para las elecciones relevantes de\(a\) y\(b\text{.}\) Por ejemplo, si deseamos saber\(F(3)\text{,}\) podemos calcular\(F(3) = F(a) + \int_a^3 f(x) \, dx\text{.}\) Cuando combinamos esta información sobre los valores de función de\(F\) junto con nuestra comprensión de cómo el comportamiento de\(F' = f\) afecta la forma general de\(F\text{,}\) podemos desarrollar una gráfica completamente precisa de la antiderivada\(F\text{.}\)
• Debido a que la derivada de una constante es cero, si\(F\) es una antiderivada de la\(f\text{,}\) misma se deduce que también\(G(x) = F(x) + C\) será una antiderivada de\(f\text{.}\) Además, cualesquiera dos antiderivados de una función\(f\) difieren precisamente por una constante. Así, cualquier función con al menos una antiderivada de hecho tiene infinitamente muchas, y las gráficas de dos antiderivadas cualesquiera diferirán solo por una traslación vertical.
• Dada una función\(f\text{,}\) la regla\(A(x) = \int_a^x f(t) \, dt\) define una nueva función\(A\) que mide el área net-signed delimitada por\(f\) en el intervalo\([a,x]\text{.}\) Llamamos a la función\(A\) la función integral correspondiente a\(f\text{.}\)