5.2: El segundo teorema fundamental del cálculo

Preguntas Motivadoras

• ¿Cómo\(A(x) = \int_1^x f(t) \, dt\) define la función integral una antiderivada de\(f\text{?}\)
• ¿Cuál es la afirmación del Segundo Teorema Fundamental del Cálculo?
• ¿Cómo los Teoremas Fundamentales Primero y Segundo del Cálculo nos permiten ver formalmente cómo la diferenciación y la integración son procesos casi inversos?

En la Sección 4.4 aprendimos el Teorema Fundamental del Cálculo (FTC), que de aquí en adelante se denominará el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, ya que en esta sección desarrollamos un resultado correspondiente que le sigue. Recordemos que la Primera FTC nos dice que si\(f\) es una función continua sobre\([a,b]\) y\(F\) es cualquier antiderivado de\(f\) (es decir,\(F' = f\)), entonces

\[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\text{.} \nonumber \]

Hemos utilizado este resultado en dos configuraciones:

1. Si tenemos una gráfica de\(f\) y podemos calcular el área exacta delimitada por\(f\) en un intervalo\([a,b]\text{,}\) podemos calcular el cambio en una antiderivada\(F\) sobre el intervalo.
2. Si podemos encontrar una fórmula algebraica para una antiderivada de\(f\text{,}\) podemos evaluar la integral para encontrar el área neta firmada delimitada por la función en el intervalo.

Para el primero, consulte Vista previa Actividad 5.1.1 o Actividad 5.1.2. Para este último, podemos evaluar fácilmente integrales exactamente como

\[ \int_1^4 x^2 \, dx\text{,} \nonumber \]

ya que sabemos que la función\(F(x) = \frac{1}{3}x^3\) es un antiderivado de\(f(x) = x^2\text{.}\) Así,

\ begin {align*}\ int_1^4 x^2\, dx &=\ frac {1} {3} x^3\ bigg\ vert_1^4\\ [4pt] &=\ frac {1} {3} (4) ^3 -\ frac {1} {3} (1) ^3\ [4pt] &= 21\ text {.} \ end {alinear*}

Así, la Primera FTC se puede utilizar de dos maneras. Primero, encontrar la diferencia\(F(b) - F(a)\) para un antiderivado\(F\) del integrando\(f\text{,}\) aunque no tengamos una fórmula para\(F\) sí mismo. Para ello, debemos conocer\(\int_a^b f(x) \, dx\) exactamente el valor de la integral, quizás a través de fórmulas geométricas conocidas para el área. Además, la Primera FTC proporciona una manera de encontrar el valor exacto de una integral definida, y por lo tanto una cierta área neta firmada exactamente, al encontrar una antiderivada del integrando y evaluando su cambio total a lo largo del intervalo. En este caso, necesitamos conocer una fórmula para el antiderivado\(F\text{.}\) Ambas perspectivas se reflejan en la Figura 5.2.1.

Figura 5.2.1. A la izquierda, la gráfica de\(f(x) = x^2\) sobre el intervalo\([1,4]\) y el área que delimita. A la derecha, la función antiderivada\(F(x) = \frac{1}{3}x^3\text{,}\) cuyo cambio total on\([1,4]\) es el valor de la integral definida a la izquierda.

El valor de una integral definida puede tener un significado adicional dependiendo del contexto: como el cambio de posición cuando el integrando es una función de velocidad, la cantidad total de contaminante filtrado de un tanque cuando el integrando es la velocidad a la que la contaminación está goteando, u otros cambios totales si el integrando es una tasa función. Además, el valor de la integral definida está conectado al valor promedio de una función continua en un intervalo dado:\(f_{\operatorname{AVG} [a,b]} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx\text{.}\)

En la última parte de la Sección 5.1, estudiamos funciones integrales de la forma\(A(x) = \int_c^x f(t) \, dt\text{.}\) La Figura 5.1.5 es una imagen particularmente importante a tener en cuenta al trabajar con funciones integrales, y el applet java correspondiente en gvsu.edu/s/cz puede ayudarnos a entender la función\(A\text{.}\) En lo que sigue , utilizamos la Primera FTC para obtener una comprensión adicional de la función\(A(x) = \int_c^x f(t) \, dt\text{,}\) donde\(f\) se da el integrando (ya sea a través de una gráfica o una fórmula), y\(c\) es una constante.

Vista previa de la actividad 5.2.1

Considerar la función\(A\) definida por la regla

\[ A(x) = \int_1^x f(t) \, dt\text{,} \nonumber \]

donde\(f(t) = 4-2t\text{.}\)

1. Calcular\(A(1)\) y\(A(2)\) exactamente.
2. Utilice el Primer Teorema Fundamental del Cálculo para encontrar una fórmula para\(A(x)\) que no involucre integrales. Es decir, utilizar la primera FTC para evaluar\(\int_1^x (4-2t) \, dt\text{.}\)
3. Observe que\(f\) es una función lineal; qué tipo de función es\(A\text{?}\)
4. Usando la fórmula que encontró en (b) que no involucra integrales, compute\(A'(x)\text{.}\)
5. Si bien hemos definido\(f\) por la regla\(f(t) = 4-2t\text{,}\) equivale a decir que\(f\) viene dada por la regla\(f(x) = 4 - 2x\text{.}\) ¿Qué observas sobre la relación entre\(A\) y\(f\text{?}\)

5.2.1 El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

El resultado de Preview Activity 5.2.1 no es particular de la función\(f(t) = 4-2t\text{,}\) ni de la elección de “\(1\)” como el límite inferior en la integral que define la función\(A\text{.}\) Por ejemplo, si dejamos\(f(t) = \cos(t) - t\) y\(A(x) = \int_2^x f(t) \, dt\text{,}\) establecemos podemos determinar una fórmula para\(A\) por la Primera FTC. Específicamente,

\ begin {align*} A (x) &=\ int_2^x (\ cos (t) - t)\, dt\\ [4pt] &=\ sin (t) -\ frac {1} {2} t^2\ bigg\ vert_2^x\\ [4pt] &=\ sin (x) -\ frac {1} {2} x^2 - izquierda\ (\ sin (2) - 2\ derecha)\ texto {.} \ end {alinear*}

Diferenciando\(A(x)\text{,}\) ya que\((\sin(2) - 2)\) es constante, se deduce que

\[ A'(x) = \cos(x) - x\text{,} \nonumber \]

y así vemos que\(A'(x) = f(x)\text{,}\) así\(A\) es un antiderivado de\(f\text{.}\) Y ya que\(A(2) = \int_2^2 f(t) \, dt = 0\text{,}\)\(A\) es el único antiderivado del\(f\) cual\(A(2) = 0\text{.}\)

En general, si\(f\) es alguna función continua, y definimos la función\(A\) por la regla

\[ A(x) = \int_c^x f(t) \, dt\text{,} \nonumber \]

donde\(c\) es una constante arbitraria, entonces podemos demostrar que\(A\) es un antiderivado de\(f\text{.}\) Para ver por qué, vamos a demostrar eso\(A'(x) = f(x)\) usando la definición límite de la derivada. Al hacerlo, observamos que

\ begin {align} A' (x) & =\ lim_ {h\ a 0}\ frac {A (x+h) - A (x)} {h}\ notag\\ [4pt] & =\ lim_ {h\ a 0}\ frac {\ int_c^ {x+h} f (t)\, dt -\ int_c^x f (t)\ dt} {h}\ noetiqueta\\ [4pt] & =\ lim_ {h\ a 0}\ frac {\ int_x^ {x+h} f (t)\, dt} {h}\ texto {,}\ etiqueta {e-FTC2limDef}\ tag {5.2.1}\ end {align}

donde la Ecuación (5.2.1) se desprende del hecho de que\(\int_c^x f(t) \,dt + \int_x^{x+h} f(t) \, dt = \int_c^{x+h} f(t) \, dt\text{.}\) Ahora, observe que para valores pequeños de\(h\text{,}\)

\[ \int_x^{x+h} f(t) \, dt \approx f(x) \cdot h\text{,} \nonumber \]

por una simple aproximación a la izquierda de la integral. Así, al tomar el límite en la Ecuación (5.2.1), se deduce que

\[ A'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\int_x^{x+h} f(t) \, dt}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) \cdot h}{h} = f(x)\text{.} \nonumber \]

De ahí,\(A\) es efectivamente un antiderivado de\(f\text{.}\) Además,\(A(c) = \int_c^c f(t) \, dt = 0\text{.}\) El argumento precedente demuestra la verdad del Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, que afirmamos de la siguiente manera.

El segundo teorema fundamental del cálculo

Si\(f\) es una función continua y\(c\) es cualquier constante, entonces\(f\) tiene una antiderivada única\(A\) que satisface\(A(c) = 0\text{,}\) y esa antiderivada viene dada por la regla\(A(x) = \int_c^x f(t) \, dt\text{.}\)

Actividad 5.2.2

Supongamos que\(f\) es la función dada en la Figura 5.2.2 y que\(f\) es una función por partes cuyas partes son porciones de líneas o porciones de círculos, como se muestra en la imagen.

Figura 5.2.2. A la izquierda, la gráfica de\(y = f(x)\text{.}\) A la derecha, ejes para bosquejar\(y = A(x)\text{.}\)

Además, deja\(A\) ser la función definida por la regla\(A(x) = \int_2^x f(t) \, dt\text{.}\)

1. ¿Qué nos dice la Segunda FTC sobre la relación entre\(A\) y\(f\text{?}\)
2. Calcular\(A(1)\) y\(A(3)\) exactamente.
3. Esboce un gráfico preciso\(y = A(x)\) en los ejes de la derecha que refleje con precisión dónde\(A\) está aumentando y disminuyendo, dónde\(A\) es cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo, y los valores exactos de\(A\) at\(x = 0, 1, \ldots, 7\text{.}\)
4. ¿Cómo es\(A\) similar, pero diferente de, la función\(F\) que encontraste en la Actividad 5.1.2?
5. Con el menor trabajo adicional posible, dibuje gráficas precisas de las funciones\(B(x) = \int_3^x f(t) \, dt\) y\(C(x) = \int_1^x f(t) \, dt\text{.}\) Justifica tus resultados con al menos una frase de explicación.

5.2.2 Comprensión de las Funciones Integrales

La Segunda FTC nos proporciona una manera de construir una antiderivada de cualquier función continua. En particular, si se nos da una función continua\(g\) y deseamos encontrar un antiderivado ahora\(G\text{,}\) podemos decir que

\[ G(x) = \int_c^x g(t) \, dt \nonumber \]

establece la regla para tal antiderivado, y además que\(G(c) = 0\text{.}\) Nótese especialmente que sabemos que\(G'(x) = g(x)\text{,}\) o

\[ \frac{d}{dx} \left[ \int_c^x g(t) \, dt \right] = g(x)\text{.}\label{aTe}\tag{5.2.2} \]

Este resultado es útil para entender la gráfica de\(G\text{.}\)

Ejemplo 5.2.3

Investigar el comportamiento de la función integral

\[ E(x) = \int_0^x e^{-t^2} \, dt\text{.} \nonumber \]

Contestar

\(E\)está estrechamente relacionado con la conocida función de error ¹ en probabilidad y estadística. Resulta que la función\(e^{-t^2}\) no tiene una antiderivada elemental.

La función error está definida por la regla\(\erf (x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \,dt\) y tiene la propiedad clave que\(0 \le \erf (x) \lt 1\) para todos\(x \ge 0\) y además que\(\lim_{x \to \infty} \erf (x) = 1\text{.}\)

Si bien no podemos evaluar\(E\) exactamente para ningún valor que no sea que todavía\(x = 0\text{,}\) podemos obtener una tremenda cantidad de información sobre la función\(E\text{.}\) Al aplicar la regla en la Ecuación (5.2.2) a\(E\text{,}\) ella se deduce que

\[ E'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \int_0^x e^{-t^2} \, dt \right] = e^{-x^2}\text{,} \nonumber \]

entonces conocemos una fórmula para la derivada de\(E\text{,}\) y sabemos que\(E(0) = 0\text{.}\) Esta información es precisamente del tipo que nos dieron en la Actividad 3.1.2, donde nos dieron información sobre la derivada de una función, pero carecía de una fórmula para la función misma.

Utilizando la primera y segunda derivadas de\(E\text{,}\) junto con el hecho de que\(E(0) = 0\text{,}\) podemos determinar más información sobre el comportamiento de\(E\text{.}\) First, observamos que para todos los números reales\(x\text{,}\)\(e^{-x^2} \gt 0\text{,}\) y\(E'(x) \gt 0\) por lo tanto para todos\(x\text{.}\) Así\(E\) es una función siempre creciente . Además, como\(x \to \infty\text{,}\)\(E'(x) = e^{-x^2} \to 0\text{,}\) así la pendiente de la función\(E\) tiende a cero como\(x \to \infty\) (y de manera similar como\(x \to -\infty\)). En efecto, resulta que\(E\) tiene asíntotas horizontales a medida que\(x\) aumenta o disminuye sin ataduras.

Además, podemos observar eso\(E''(x) = -2xe^{-x^2}\text{,}\) y que\(E''(0) = 0\text{,}\) mientras\(E''(x) \lt 0\) para\(x \gt 0\) y\(E''(x) \gt 0\) para\(x \lt 0\text{.}\) Esta información nos dice que\(E\) es cóncava hacia arriba para\(x\lt 0\) y cóncava hacia abajo para\(x \gt 0\) con un punto de inflexión en\(x = 0\text{.}\)

Lo único que nos falta en este punto es una idea de lo grande que\(E\) puede llegar a ser a medida que\(x\) aumenta. Si usamos una suma de Riemann de punto medio con 10 subintervalos para estimar\(E(2)\text{,}\) vemos que\(E(2) \approx 0.8822\text{;}\) un cálculo similar a estimar\(E(3)\) muestra poco cambio (\(E(3) \approx 0.8862\)), por lo que parece que a medida que\(x\) aumenta sin límite,\(E\) se acerca a un valor apenas mayor\(0.886\text{,}\) que el que alinea con el hecho de que\(E\) tiene asíntotas horizontales. Al juntar toda esta información (y utilizando la simetría de\(f(t) = e^{-t^2}\)), vemos los resultados mostrados en la Figura 5.2.4.

Figura 5.2.4. A la izquierda, la gráfica de\(f(t) = e^{-t^2}\text{.}\) At right, la función integral\(E(x) = \int_0^x e^{-t^2} \ dt\text{,}\) que es la antiderivada única de la\(f\) que satisface\(E(0) = 0\text{.}\)

Porque\(E\) es la antiderivada de\(f(t) = e^{-t^2}\) que satisface\(E(0) = 0\text{,}\) valores en la gráfica de\(y = E(x)\) representar el área neta firmada de la región delimitada por\(f(t) = e^{-t^2}\) desde 0 hasta\(x\text{.}\) Vemos que el valor de\(E\) aumenta rápidamente cerca de cero pero luego se nivela como\(x\) aumenta, ya que cada vez hay menos área acumulada adicional delimitada por\(f(t) = e^{-t^2}\) como\(x\) incrementos.

Actividad 5.2.3

Supongamos que\(f(t) = \frac{t}{1+t^2}\) y\(F(x) = \int_0^x f(t) \, dt\text{.}\)

1. En los ejes a la izquierda en la Figura 5.2.5, trazar una gráfica de\(f(t) = \frac{t}{1+t^2}\) en el intervalo Etiquetar\(-10 \le t \le 10\text{.}\) claramente los ejes verticales con la escala apropiada.
2. ¿Cuál es la relación clave entre\(F\) y\(f\text{,}\) según la Segunda FTC?
3. Utilice la prueba de la primera derivada para determinar los intervalos en los que\(F\) va aumentando y disminuyendo.
4. Utilice la segunda prueba derivada para determinar los intervalos en los que\(F\) es cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo. Nota que se\(f'(t)\) puede simplificar para ser escrito en el formulario\(f'(t) = \frac{1-t^2}{(1+t^2)^2}\text{.}\)
5. Usando la tecnología apropiadamente, estime los valores de\(F(5)\) y\(F(10)\) a través de las sumas apropiadas de Riemann.
6. Dibuje una gráfica precisa de\(y = F(x)\) los ejes de la derecha proporcionados y etiquete claramente los ejes verticales con la escala apropiada.

Figura 5.2.5. Ejes para trazar\(f\) y\(F\text{.}\)

5.2.3 Diferenciar una función integral

Hemos visto que la Segunda FTC nos permite construir una antiderivada\(F\) para cualquier función continua\(f\) como la función integral\(F(x) = \int_c^x f(t) \, dt\text{.}\) Si tenemos una función de la forma\(F(x) = \int_c^x f(t) \, dt\text{,}\) entonces sabemos que\(F'(x) = \frac{d}{dx} \left[\int_c^x f(t) \, dt \right] = f(x)\text{.}\) Esto demuestra que las funciones integrales, mientras que quizás tienen la mayor fórmulas complicadas de cualquier función que hayamos encontrado, son sin embargo particularmente simples de diferenciar. Por ejemplo, si

\[ F(x) = \int_{\pi}^x \sin(t^2) \, dt\text{,} \nonumber \]

luego por la Segunda FTC, sabemos de inmediato que

\[ F'(x) = \sin(x^2)\text{.} \nonumber \]

En general, sabemos por la Segunda FTC que

\[ \frac{d}{dx} \left[ \int_a^x f(t) \, dt \right] = f(x)\text{.} \nonumber \]

Esta ecuación dice que “la derivada de la función integral cuyo integrando es\(f\text{,}\) es\(f\text{.}\)” Vemos que si primero integramos la función\(f\) de\(t = a\) a\(t = x\text{,}\) y luego diferenciamos con respecto a\(x\text{,}\) estos dos procesos “deshacemos” entre sí.

Qué pasa si diferenciamos una función\(f(t)\) y luego integramos el resultado de\(t = a\) a Es\(t = x\text{?}\) decir, qué podemos decir sobre la cantidad

\[ \int_a^x \frac{d}{dt} \left[ f(t) \right] \, dt? \nonumber \]

Observamos que\(f(t)\) es un antiderivado\(\frac{d}{dt} \left[ f(t) \right]\) y aplicamos la Primera FTC. Vemos que

\ begin {align*}\ int_a^x\ frac {d} {dt}\ izquierda [f (t)\ derecha]\, dt &= f (t)\ bigg\ vert_a^x\\ [4pt] &= f (x) - f (a)\ text {.} \ end {alinear*}

Así, vemos que si primero diferenciamos\(f\) y luego integramos el resultado de\(a\) a\(x\text{,}\) volvemos a la función\(f\text{,}\) menos el valor constante\(f(a)\text{.}\) Entonces los dos procesos casi se deshacen entre sí, hasta la constante\(f(a)\text{.}\)

Las observaciones realizadas en los dos párrafos anteriores demuestran que diferenciar e integrar (donde integramos desde una constante hasta una variable) son procesos casi inversos. Esto no debería sorprender: integrar implica antidiferenciación, lo que invierte el proceso de diferenciación. Por otro lado, vemos que hay alguna sutileza involucrada, porque integrar la derivada de una función no produce del todo la función misma. Esto se debe a que cada función tiene toda una familia de antiderivados, y dos cualesquiera de esos antiderivados difieren solo por una constante.

Actividad 5.2.4

Evaluar cada una de las siguientes derivadas e integrales definidas. Cite claramente si utiliza la Primera o la Segunda FTC al hacerlo.

1. \(\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \int_4^x e^{t^2} \, dt \right]\)
2. \(\displaystyle \int_{-2}^x \frac{d}{dt} \left[ \frac{t^4}{1+t^4} \right] \, dt\)
3. \(\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ \int_{x}^1 \cos(t^3) \, dt \right]\)
4. \(\displaystyle \int_{3}^x \frac{d}{dt} \left[ \ln(1+t^2) \right] \, dt\)
5. \(\frac{d}{dx} \left[ \int_4^{x^3} \sin(t^2) \, dt \right]\).

5.2.4 Resumen

• Para una función continua,\(f\text{,}\) la función integral\(A(x) = \int_1^x f(t) \, dt\) define una antiderivada de\(f\text{.}\)
• El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo es la afirmación formal, más general del hecho precedente: si\(f\) es una función continua y\(c\) es cualquier constante, entonces\(A(x) = \int_c^x f(t) \, dt\) es la antiderivada única de la\(f\) que satisface\(A(c) = 0\text{.}\)
• Juntos, la Primera y la Segunda FTC nos permiten ver formalmente cómo la diferenciación y la integración son procesos casi inversos a través de las observaciones que
  \[ \int_c^x \frac{d}{dt} \left[ f(t) \right] \, dt = f(x) - f(c) \nonumber \]

  y

  \[ \frac{d}{dx} \left[ \int_c^x f(t) \, dt \right] = f(x)\text{.} \nonumber \]