5.5: Otras opciones para encontrar derivados algebraicos

Preguntas Motivadoras

• ¿Cómo permite el método de fracciones parciales que cualquier función racional sea antidiferenciada?
• ¿Qué papel han jugado históricamente las tablas integrales en el estudio del cálculo y cómo se puede utilizar una tabla para evaluar integrales como\(\int \sqrt{a^2 + u^2} \, du\text{?}\)
• ¿Qué papel puede desempeñar un sistema de álgebra computacional en el proceso de búsqueda de antiderivados?

Hemos aprendido dos técnicas de antidiferenciación:\(u\) -sustitución e integración por partes. El primero se utiliza para revertir la regla de la cadena, mientras que el segundo para revertir la regla del producto. Pero hemos visto que cada uno trabaja sólo en circunstancias especializadas. Por ejemplo, si bien\(\int xe^{x^2} \, dx\) puede evaluarse por\(u\) -sustitución y\(\int x e^x \, dx\) por integración por partes, ninguno de los métodos proporciona una ruta para evaluar\(\int e^{x^2} \, dx\text{,}\) y de hecho\(e^{x^2}\) no existe un antiderivado algebraico elemental para. Ningún método antidiferenciación nos proporcionará una fórmula algebraica simple para una función\(F(x)\) que satisfaga\(F'(x) = e^{x^2}\text{.}\)

En esta sección del texto, nuestros principales objetivos son identificar algunas clases de funciones que pueden ser antidiferenciadas, y aprender algunos métodos para hacerlo. También debemos reconocer que existen muchas funciones para las que no existe una fórmula algebraica para un antiderivado, y apreciar el papel que puede desempeñar la tecnología informática en la búsqueda de antiderivados de otras funciones complicadas.

Vista previa de la actividad 5.5.1

Para cada una de las integrales indefinidas a continuación, la cuestión principal es decidir si la integral puede evaluarse usando\(u\) -sustitución, integración por partes, una combinación de las dos, o ninguna. Para integrales para las que su respuesta sea afirmativa, indique la (s) sustitución (es) que usaría (n). No es necesario evaluar realmente ninguna de las integrales por completo, a menos que la integral pueda evaluarse inmediatamente utilizando un antiderivado básico familiar.

1. \(\int x^2 \sin(x^3) \, dx\text{,}\)\(\int x^2 \sin(x) \, dx\text{,}\)\(\int \sin(x^3) \, dx\text{,}\)\(\int x^5 \sin(x^3) \, dx\)
2. \(\int \frac{1}{1+x^2} \, dx\text{,}\)\(\int \frac{x}{1+x^2} \, dx\text{,}\)\(\int \frac{2x+3}{1+x^2} \, dx\text{,}\)\(\int \frac{e^x}{1+(e^x)^2} \, dx\text{,}\)
3. \(\int x \ln(x) \, dx\text{,}\)\(\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx\text{,}\)\(\int \ln(1+x^2) \, dx\text{,}\)\(\int x\ln(1+x^2) \, dx\text{,}\)
4. \(\int x \sqrt{1-x^2} \, dx\text{,}\)\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\text{,}\)\(\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\, dx\text{,}\)\(\int \frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} \, dx\text{,}\)

5.5.1 El Método de las Fracciones Parciales

El método de fracciones parciales se utiliza para integrar funciones racionales. Implica revertir el proceso de encontrar un denominador común.

Ejemplo 5.5.1

Evaluar

\[ \int \frac{5x}{x^2-x-2} \, dx\text{.} \nonumber \]

Contestar

Si factorizamos el denominador, podemos ver cómo\(R\) podría ser la suma de dos fracciones de la forma\(\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}\text{,}\) así que suponemos que

\[ \frac{5x}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} \nonumber \]

y buscar las constantes\(A\) y\(B\text{.}\)

Multiplicando ambos lados de esta ecuación por\((x-2)(x+1)\text{,}\) encontramos que

\[ 5x = A(x+1) + B(x-2)\text{.} \nonumber \]

Como queremos que esta ecuación se mantenga para cada valor de,\(x\text{,}\) podemos usar opciones perspicaces\(x\) de valores específicos para ayudarnos a encontrar\(A\) y\(B\text{.}\) tomar\(x = -1\text{,}\) tenemos

\[ 5(-1) = A(0) + B(-3)\text{,} \nonumber \]

por lo que\(B = \frac{5}{3}\text{.}\)\(x = 2\text{,}\) Eligiéndolo sigue

\[ 5(2) = A(3) + B(0)\text{,} \nonumber \]

por lo\(A = \frac{10}{3}\text{.}\) tanto,

\[ \int \frac{5x}{x^2-x-2} \, dx = \int \frac{10/3}{x-2} + \frac{5/3}{x+1} \, dx\text{.} \nonumber \]

Esta integral es sencilla de evaluar, y por lo tanto encontramos que

\[ \int \frac{5x}{x^2-x-2} \, dx = \frac{10}{3} \ln|x-2| + \frac{5}{3}\ln|x+1| + C\text{.} \nonumber \]

Resulta que podemos utilizar el método de fracciones parciales para reescribir cualquier función ratinal\(R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) donde el grado del polinomio\(P\) sea menor que ¹ el grado de\(Q\) como suma de funciones racionales más simples de una de las siguientes formas:

\[ \frac{A}{x-c},\ \frac{A}{(x-c)^n},\ \frac{Ax+B}{x^2 + k},\ \text{or }\frac{Ax+B}{\left(x^2 + k\right)^n} \nonumber \]

donde\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) y\(c\) son números reales, y\(k\) es un número real positivo. Debido a que podemos antidiferenciar cada una de estas formas básicas, las fracciones parciales nos permiten antidiferenciar cualquier función racional.

Si el grado de\(P\) es mayor o igual al grado de división\(Q\text{,}\) larga se puede utilizar para escribir\(R\) como la suma de un polinomio más una función racional donde el grado del numerador es menor que el del denominador.

Un sistema de álgebra computacional como Maple, Mathematica o WolframAlpha se puede utilizar para encontrar la descomposición parcial de la fracción de cualquier función racional. En WolframAlpha, ingresando

fracción parcial 5x/ (x^2-x-2)

resultados en la salida

\[ \frac{5x}{x^2-x-2} = \frac{10}{3(x-2)} + \frac{5}{3(x+1)}\text{.} \nonumber \]

Utilizaremos la tecnología para generar descomposiciones parciales de fracciones de funciones racionales, y luego evaluar las integrales usando métodos establecidos.

Actividad 5.5.2

Para cada uno de los siguientes problemas, evaluar la integral utilizando la descomposición parcial de la fracción proporcionada.

1. \(\int \frac{1}{x^2 - 2x - 3} \, dx\text{,}\)dado que\(\frac{1}{x^2 - 2x - 3} = \frac{1/4}{x-3} - \frac{1/4}{x+1}\)
2. \(\int \frac{x^2+1}{x^3 - x^2} \, dx\text{,}\)dado que\(\frac{x^2+1}{x^3 - x^2} = -\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x-1}\)
3. \(\int \frac{x-2}{x^4 + x^2}\, dx\text{,}\)dado que\(\frac{x-2}{x^4 + x^2} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2} + \frac{-x+2}{1+x^2}\)

5.5.2 Uso de una Tabla Integral

El cálculo tiene una larga historia, que se remonta a los matemáticos griegos en 400-300 a.C. Sus fundamentos principales fueron primero investigados y entendidos independientemente por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz a finales del siglo XVII, haciendo que las ideas modernas del cálculo tengan más de 300 años de antigüedad. Es instructivo darse cuenta de que hasta finales de la década de 1980, la computadora personal no existía, por lo que el cálculo (y otras matemáticas) tuvieron que hacerse a mano durante aproximadamente 300 años. En el siglo XXI, sin embargo, las computadoras han revolucionado muchos aspectos del mundo en el que vivimos, incluyendo las matemáticas. En esta sección hacemos un breve recorrido histórico para preceder a discutir el papel que pueden desempeñar los sistemas de álgebra computacional en la evaluación de integrales indefinidas. En particular, consideramos una clase de integrales que involucran ciertas expresiones radicales.

Como se ve en la breve tabla de integrales que se encuentra en el Apéndice A, existen muchas formas de integrales que involucran\(\sqrt{a^2 \pm w^2}\) y\(\sqrt{w^2 - a^2}\text{.}\) Estas reglas integrales se pueden desarrollar utilizando una técnica conocida como sustitución trigonométrica que elegimos omitir; en cambio, simplemente aceptaremos los resultados presentado en la tabla. Para ver cómo se utilizan estas reglas, considere las diferencias entre

\[ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx, \ \ \ \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \,dx, \ \ \ \text{and} \ \ \ \int \sqrt{1-x^2} \,dx\text{.} \nonumber \]

La primera integral es una básica familiar, y da como resultado\(\arcsin(x) + C\text{.}\) La segunda integral puede evaluarse usando una\(u\) sustitución estándar con\(u = 1-x^2\text{.}\) La tercera, sin embargo, no es familiar y no se presta a\(u\) -sustitución.

En el Apéndice A, encontramos la regla

\[ (h) ~ \int \sqrt{a^2 - u^2} \, du = \frac{u}{2}\sqrt{a^2 - u^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin \left( \frac{u}{a} \right) + C\text{.} \nonumber \]

Usando las sustituciones\(a = 1\) y\(u = x\) (para que\(du = dx\)), se deduce que

\[ \int \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} - \frac{1}{2} \arcsin (x) + C\text{.} \nonumber \]

Siempre que estamos aplicando una regla en la tabla, estamos haciendo una\(u\) -sustitución, sobre todo cuando la sustitución es más complicada que establecer\(u = x\) como en el último ejemplo.

Ejemplo 5.5.2

Evaluar la integral

\[ \int \sqrt{9 + 64x^2} \, dx\text{.} \nonumber \]

Contestar

Aquí, queremos usar Regla (c) de la tabla, pero ahora establecemos\(a = 3\) y también\(u = 8x\text{.}\) elegimos la opción “\(+\)” en la regla. Con esta sustitución, se deduce que\(du = 8dx\text{,}\) así\(dx = \frac{1}{8} du\text{.}\) Aplicando la sustitución,

\[ \int \sqrt{9 + 64x^2} \, dx = \int \sqrt{9 + u^2} \cdot \frac{1}{8} \, du = \frac{1}{8} \int \sqrt{9+u^2} \, du\text{.} \nonumber \]

Por Regla (c), encontramos ahora que

\ begin {alinear*}\ int\ sqrt {9 + 64x^2}\, dx =\ mathstrut &\ frac {1} {8}\ izquierda (\ frac {u} {2}\ sqrt {u^2 + 9} +\ frac {9} {2}\ ln|u +\ sqrt {u^2 + 9} | + C\ derecha)\\ [4pt] =\ mathstrut &\ frac {1} {8}\ izquierda (\ frac {8x} {2}\ sqrt {64x^2 + 9} +\ frac {9} {2}\ ln|8x +\ sqrt {64x^2 + 9} | + C\ derecha)\ text {.} \ end {alinear*}

Siempre que usemos una\(u\) -subsitución junto con el Apéndice A, es importante que no olvidemos abordar las constantes que surjan e incluirlas en nuestros cómputos, como la\(\frac{1}{8}\) que apareció en el Ejemplo 5.5.2.

Actividad 5.5.3

Para cada una de las siguientes integrales, evalúe la integral usando\(u\) -sustitución y/o una entrada de la tabla que se encuentra en el Apéndice A.

1. \(\displaystyle \int \sqrt{x^2 + 4} \, dx\)
2. \(\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x^2 +4}} \, dx\)
3. \(\displaystyle \int \frac{2}{\sqrt{16+25x^2}}\, dx\)
4. \(\displaystyle \int \frac{1}{x^2 \sqrt{49-36x^2}} \, dx\)

5.5.3 Uso de sistemas informáticos de álgebra

Un sistema de álgebra computacional (CAS) es un programa informático que es capaz de ejecutar matemáticas simbólicas. Por ejemplo, si le pedimos a un CAS que resuelva la ecuación\(ax^2 + bx + c = 0\) para la variable\(x\text{,}\) donde\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(c\) son constantes arbitrarias, el programa devolverá\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\text{.}\) Investigación para desarrollar las primeras fechas CAS a la década de 1960, y estos programas se pusieron a disposición del público a principios de la La década de 1990. Dos ejemplos destacados son los programas Maple y Mathematica, que estuvieron entre los primeros sistemas de álgebra computacional en ofrecer una interfaz gráfica de usuario. Hoy en día, Maple y Mathematica son paquetes de software profesionales excepcionalmente potentes que pueden ejecutar una increíble variedad de sofisticados cálculos matemáticos. También son muy caros, ya que cada uno es un programa propietario. El CAS SAGE es una alternativa libre y de código abierto a Maple y Mathematica.

Para los fines de este texto, cuando necesitamos usar un CAS, vamos a recurrir en su lugar a una herramienta computacional similar, pero algo diferente, el “motor de conocimiento computacional” basado en la web llamado WolframAlpha. Hay dos características de WolframAlpha que lo hacen destacar de las opciones CAS mencionadas anteriormente: (1) a diferencia de Maple y Mathematica, WolframAlpha es gratuito (siempre que estemos dispuestos a navegar por alguna publicidad emergente); y (2) a diferencia de cualquiera de las tres, la sintaxis en WolframAlpha es flexible. Piensa en WolframAlpha como un poco como hacer una búsqueda en Google: el programa interpretará lo que es entrada, y luego proporcionará un resumen de opciones.

Si queremos que WolframAlpha evalúe una integral para nosotros, podemos proporcionarle sintaxis como

integrar x^2 dx

a lo que el programa responde con

\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + \text{constant}\text{.} \nonumber \]

Si bien hay mucho de lo que entusiasmarnos con respecto a los programas CAS como WolframAlpha, hay varias cosas sobre las que debemos tener cuidado: (1) un CAS solo responde exactamente a lo que es entrada; (2) un CAS puede responder usando potentes funciones de matemáticas muy avanzadas; y (3) hay problemas que ni siquiera un CAS puede prescindir de una visión humana adicional.

Aunque (1) probablemente no hace falta decirlo, tenemos que tener cuidado con nuestra entrada: si ingresamos sintaxis que define la función incorrecta, el CAS trabajará precisamente con la función que definamos. Por ejemplo, si estamos interesados en evaluar la integral

\[ \int \frac{1}{16-5x^2} \, dx\text{,} \nonumber \]

y por error entramos

integrar 1/16 - 5x^2 dx

un CAS responderá (correctamente) con

\[ \frac{1}{16}x - \frac{5}{3} x^3\text{.} \nonumber \]

Pero si estamos suficientemente versados en la antidiferenciación, reconoceremos que esta función no puede ser la que buscamos: integrar una función racional como la que\(\frac{1}{16-5x^2}\text{,}\) esperamos que la función logaritmo esté presente en el resultado.

Respecto a (2), incluso para una integral relativamente simple como\(\int \frac{1}{16-5x^2} \, dx\text{,}\) algunos CASs invocarán funciones avanzadas en lugar de simples. Por ejemplo, si usamos Maple para ejecutar el comando

int (1/ (16-5*x^2), x);

el programa responde con

\[ \int \frac{1}{16-5x^2} \, dx = \frac{\sqrt{5}}{20} arctanh (\frac{\sqrt{5}}{4}x)\text{.} \nonumber \]

Si bien esto es correcto (salvo por la constante arbitraria faltante, que Maple nunca informa), la función tangente hiperbólica inversa no es común ni familiar; una forma más sencilla de expresar esta función se puede encontrar usando el método de fracciones parciales, y pasa a ser el resultado reportado por WolframAlpha:

\[ \int \frac{1}{16-5x^2} \, dx = \frac{1}{8\sqrt{5}} \left(\log(4\sqrt{5}+5x) - \log(4\sqrt{5}-5x)\right) + \text{constant}\text{.} \nonumber \]

Usar funciones sofisticadas de matemáticas más avanzadas es a veces la forma en que un CAS le dice al usuario “No sé cómo hacer este problema”. Por ejemplo, si queremos evaluar

\[ \int e^{-x^2} \, dx\text{,} \nonumber \]

y le pedimos a WolframAlpha que lo haga, la entrada

integrar exp (-x^2) dx

resultados en la salida

\[ \int e^{-x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}erf (x) + \text{constant}\text{.} \nonumber \]

La función “erf\((x)\)” es la función de error, que en realidad se define por una integral:

\[ erf (x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \, dt\text{.} \nonumber \]

Entonces, al producir producción que involucra una integral, el CAS básicamente nos ha informado de la misma pregunta que hicimos.

Finalmente, como se remarcó en (3) anterior, hay momentos en que un CAS realmente fallará sin alguna visión humana adicional. Si consideramos la integral

\[ \int (1+x)e^x \sqrt{1+x^2e^{2x}} \, dx \nonumber \]

y pedirle a WolframAlpha que evalúe

int (1+x) * exp (x) * sqrt (1+x^2 * exp (2x)) dx,

el programa piensa por un momento y luego informa

(no se encontró ningún resultado en términos de funciones matemáticas estándar)

Pero de hecho esta integral no es tan difícil de evaluar. Si dejamos\(u = xe^{x}\text{,}\) entonces\(du = (1+x)e^x \, dx\text{,}\) lo que significa que la integral anterior tiene forma

\[ \int (1+x)e^x \sqrt{1+x^2e^{2x}} \, dx = \int \sqrt{1+u^2} \, du\text{,} \nonumber \]

que es sencillo para que cualquier CAS evalúe.

Entonces, debemos proceder con cierta cautela: si bien cualquier CAS es capaz de evaluar una amplia gama de integrales (tanto definidas como indefinidas), hay momentos en que el resultado puede engañarnos. Debemos pensar cuidadosamente sobre el significado de la salida, si es consistente con lo que esperamos, y si tiene sentido o no proceder.

5.5.4 Resumen

• Podemos antidiferenciar cualquier función racional con el método de fracciones parciales. Cualquier función polinómica puede ser factorizada en un producto de términos cuadráticos lineales e irreducibles, por lo que cualquier función racional puede escribirse como la suma de un polinomio más términos racionales de la forma\(\frac{A}{(x-c)^n}\) (donde\(n\) es un número natural) y\(\frac{Bx+C}{x^2 + k}\) (donde\(k\) es un número real positivo).
• Hasta el desarrollo de los sistemas de álgebra de cómputos, las tablas integrales permitieron a los estudiantes de cálculo evaluar integrales como\(\int \sqrt{a^2 + u^2} \, du\text{,}\) dónde\(a\) es un número real positivo. Una breve tabla de integrales se puede encontrar en el Apéndice A.
• Los sistemas informáticos de álgebra pueden desempeñar un papel importante en la búsqueda de antiderivados, aunque debemos ser cautelosos para usar la entrada correcta, para vigilar funciones avanzadas inusuales o desconocidas que el CAS pueda citar en su resultado, y considerar la posibilidad de que un CAS pueda necesitar más ayuda o conocimiento de nosotros en para responder a una pregunta en particular.