5.6: Integración Numérica

Preguntas Motivadoras

• ¿Cómo evaluamos con precisión una integral definida como\(\int_0^1 e^{-x^2} \, dx\) cuando no podemos usar el Primer Teorema Fundamental del Cálculo porque el integrando carece de una antiderivada algebraica elemental? ¿Hay formas de generar estimaciones precisas sin utilizar valores extremadamente grandes de\(n\) en sumas de Riemann?
• ¿Qué es la regla trapezoidal y cómo se relaciona con las sumas de Riemann izquierda, derecha y media?
• ¿Cómo se relacionan los errores en la Regla Trapezoidal y la Regla de Punto Medio y cómo se pueden usar para desarrollar una regla aún más precisa?

Cuando exploramos por primera vez encontrar el área señalizada neta delimitada por una curva, desarrollamos el concepto de una suma de Riemann como una herramienta útil de estimación y un paso clave en la definición de la integral definida. Recordemos que las sumas de Riemann izquierda, derecha y media de una función\(f\) en un intervalo\([a,b]\) están dadas por

\ begin {align} L_n = f (x_0)\ Delta x + f (x_1)\ Delta x +\ cdots + f (x_ {n-1})\ Delta x &=\ suma_ {i = 0} ^ {n-1} f (x_i)\ Delta x,\ etiqueta {E-Izquierda}\ etiqueta {5.6.1}\\ [4pt] R_n = f (x_1)\ Delta x + f (x_2)\ Delta x +\ cdots + f (x_ {n})\ Delta x &=\ suma_ {i = 1} ^ {n} f (x_i)\ Delta x,\ etiqueta {E-derecha}\ etiqueta {5.6.2}\\ [4pt] m_n = f (\ overline {x} _1)\ Delta x + f (\ overline {x} _2)\ Delta x +\ cdots + f (\ overline {x} _ {n})\ Delta x &=\ suma_ {i = 1} ^ {n} f (\ overline {x} _i)\ Delta x\ text {,}\ label {E-Mid}\ tag {5.6.3}\ end {alinear}

donde\(x_0 = a\text{,}\)\(x_i = a + i\Delta x\text{,}\)\(x_n = b\text{,}\) y\(\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{.}\) Para la suma media, definimos\(\overline{x}_{i} = (x_{i-1} + x_i)/2\text{.}\)

Una suma de Riemann es una suma de áreas (posiblemente firmadas) de rectángulos. El valor de\(n\) determina el número de rectángulos, y nuestra elección de puntos finales izquierdos, extremos derechos o puntos medios determina las alturas de los rectángulos. Podemos ver las similitudes y diferencias entre estas tres opciones en la Figura 5.6.1, donde consideramos la función\(f(x) = \frac{1}{20}(x-4)^3 + 7\) en el intervalo\([1,8]\text{,}\) y usamos 5 rectángulos para cada una de las sumas de Riemann.

Figura 5.6.1. Izquierda, derecha y media suma de Riemann para\(y = f(x)\) on\([1,8]\) con 5 subintervalos.

Si bien es un buen ejercicio calcular algunas sumas de Riemann a mano, solo para asegurarnos de que entendemos cómo funcionan y cómo variar la función, el número de subintervalos y la elección de puntos finales o medios afecta el resultado, usar tecnología informática es la mejor manera de determinar\(L_n\text{,}\)\(R_n\text{,}\) y\(M_n\text{.}\) Cualquier sistema de álgebra computacional ofrecerá esta capacidad; como vimos en la Vista previa de la Actividad 4.3.1, una opción sencilla que está disponible gratuitamente en línea es el applet ¹ en http://gvsu.edu/s/a9. Tenga en cuenta que podemos ajustar la fórmula para\(f(x)\text{,}\) la ventana de\(x\) - y\(y\) -valores de interés, el número de subintervalos y el método. (Consulte Vista previa de la Actividad 4.3.1 para ver los recordatorios necesarios sobre cómo funciona el applet).

Marc Renault, Universidad de Shippensburg

En esta sección exploramos varias alternativas diferentes para estimar integrales definidas. Nuestro principal objetivo es desarrollar fórmulas para estimar integrales definidas con precisión sin usar un gran número de rectángulos.

Vista previa de Actividad 5.6.1

A medida que comencemos a investigar formas de aproximar integrales definidas, será perspicaz comparar resultados con integrales cuyos valores exactos conocemos. Para ello, la siguiente secuencia de preguntas se centra en\(\int_0^3 x^2 \, dx\text{.}\)

1. Utilice el applet en http://gvsu.edu/s/a9 con la función\(f(x) = x^2\) en la ventana de\(x\) valores de\(0\)\(3\) a para calcular\(L_3\text{,}\) la suma de Riemann izquierda con tres subintervalos.
2. Asimismo, utilice el applet para calcular\(R_3\) y\(M_3\text{,}\) las sumas de Riemann derecha y media con tres subintervalos, respectivamente.
3. Utilice el Teorema Fundamental del Cálculo para calcular el valor exacto de\(I = \int_0^3 x^2 \, dx\text{.}\)
4. Definimos el error que resulta de una aproximación de una integral definida como el valor de la aproximación menos el valor exacto de la integral. ¿Cuál es el error que resulta de usar\(L_3\text{?}\) From\(R_3\text{?}\) From\(M_3\text{?}\)
5. En lo que sigue en esta sección, aprenderemos un nuevo enfoque para estimar el valor de una integral definida conocida como la Regla Trapezoide. La idea básica es utilizar trapecios, en lugar de rectángulos, para estimar el área bajo una curva. Cuál es la fórmula para el área de un trapecio con bases de longitud\(b_1\) y\(b_2\) y altura\(h\text{?}\)
6. Trabajando a mano, estime el área bajo\(f(x) = x^2\) on\([0,3]\) usando tres subintervalos y tres trapecios correspondientes. ¿Cuál es el error en esta aproximación? ¿Cómo se compara con los errores que calculaste en (d)?

5.6.1 La Regla Trapezoide

Hasta el momento, hemos utilizado los cuadriláteros más simples posibles (es decir, rectángulos) para estimar áreas. Es natural, sin embargo, preguntarse si otras formas familiares podrían servirnos aún mejor.

Una alternativa a\(L_n\text{,}\)\(R_n\text{,}\) y\(M_n\) se llama la Regla Trapezoidal. En lugar de usar un rectángulo para estimar el área (firmada) delimitada por\(y = f(x)\) en un intervalo pequeño, usamos un trapecio. Por ejemplo, en la Figura 5.6.2, estimamos el área bajo la curva utilizando tres subintervalos y los trapecios que resultan de conectar los puntos correspondientes en la curva con líneas rectas.

Figura 5.6.2. Estimar\(\int_a^b f(x) \ dx\) usando tres subintervalos y trapecios, en lugar de rectángulos, donde\(a = x_0\) y\(b = x_3\text{.}\)

La mayor diferencia entre la Regla Trapezoide y una suma de Riemann es que en cada subintervalo, la Regla Trapezoide utiliza dos valores de función, en lugar de uno, para estimar el área (firmada) delimitada por la curva. Por ejemplo, para calcular\(D_1\text{,}\) el área del trapecio en\([x_0, x_1]\text{,}\) observamos que la base izquierda tiene longitud\(f(x_0)\text{,}\) mientras que la base derecha tiene longitud\(f(x_1)\text{.}\) La altura del trapecio es\(x_1 - x_0 = \Delta x = \frac{b-a}{3}\text{.}\) El área de un trapecio es el promedio de las bases multiplicado por la altura, por lo que tenemos

\[ D_1 = \frac{1}{2}(f(x_0) + f(x_1)) \cdot \Delta x\text{.} \nonumber \]

Usando cálculos similares para\(D_2\) y\(D_3\text{,}\) encontramos que\(T_3\text{,}\) la aproximación trapezoidal a\(\int_a^b f(x) \, dx\) viene dada por

\ begin {alinear*} T_3 &= D_1 + D_2 + D_3\\ [4pt] &=\ frac {1} {2} (f (x_0) + f (x_1))\ cdot\ Delta x +\ frac {1} {2} (f (x_1) + f (x_2))\ cdot\ Delta x +\ frac {1} (f (x_1) + f (x_2))\ cdot\ Delta x +\ frac {1} 2} (f (x_2) + f (x_3))\ cdot\ Delta x\ texto {.} \ end {alinear*}

Debido a que se están utilizando ambos extremos izquierdo y derecho, reconocemos dentro de la aproximación trapezoidal el uso de sumas de Riemann izquierda y derecha. Reordenando la expresión para\(T_3\) eliminando factores de\(\frac{1}{2}\) y\(\Delta x \text{,}\) agrupando las evaluaciones de punto final izquierdo y extremo derecho de\(f\text{,}\) vemos que

\[ T_3 = \frac{1}{2} \left[ f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) \right] \Delta x + \frac{1}{2} \left[ f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) \right] \Delta x\text{.}\label{xGO}\tag{5.6.4} \]

Observamos ahora que han surgido dos sumas familiares. La suma de Riemann izquierda\(L_3\) es\(L_3 = f(x_0) \Delta x + f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x\text{,}\) y la suma de Riemann derecha es\(R_3 = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x\text{.}\) Sustituyendo\(L_3\) y\(R_3\) para las expresiones correspondientes en la Ecuación (5.6.4), se deduce que\(T_3 = \frac{1}{2} \left[ L_3 + R_3 \right]\text{.}\) Hemos visto así un resultado muy importante: usar trapecios para estimar el área (firmada) delimitada por una curva es lo mismo que promediar las estimaciones generadas mediante el uso de extremos izquierdo y derecho.

La regla trapezoidal

La aproximación trapezoidal,\(T_n\text{,}\) de la integral definida\(\int_a^b f(x) \, dx\) usando\(n\) subintervalos viene dada por la regla

\ begin {align*} t_n =\ mathstrut &\ left [\ frac {1} {2} (f (x_0) + f (x_1)) +\ frac {1} {2} (f (x_1) + f (x_2)) +\ cdots +\ frac {1} {2} (f (x_ {n-1}) + f (x_n))\ derecha]\ Delta x.\\ [4pt] =\ mathstrut &\ sum_ {i=0} ^ {n-1}\ frac {1} {2} (f (x_i) + f (x_ {i+1}))\ Delta x\ texto {.} \ end {alinear*}

Además,\(T_n = \frac{1}{2} \left[ L_n + R_n \right]\text{.}\)

Actividad 5.6.2

En esta actividad, exploramos las relaciones entre los errores generados por aproximaciones izquierda, derecha, punto medio y trapezoide a la integral definida\(\int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx\text{.}\)

1. Utilice la Primera FTC para evaluar\(\int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx\) exactamente.
2. Utilice la tecnología informática apropiada para calcular las siguientes aproximaciones para\(\int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx\text{:}\)\(T_4\text{,}\)\(M_4\text{,}\)\(T_8\text{,}\) y\(M_8\text{.}\)
3. Que el error que resulta de una aproximación sea el valor de la aproximación menos el valor exacto de la integral definida. Por ejemplo, si dejamos\(E_{T,4}\) representar el error que resulta del uso de la regla trapezoidal con 4 subintervalos para estimar la integral, tenemos
   \[ E_{T,4} = T_4 - \int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx \text{.} \nonumber \]

   Del mismo modo, calculamos el error de la aproximación de la regla del punto medio con 8 subintervalos por la fórmula

   \[ E_{M,8} = M_8 - \int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx\text{.} \nonumber \]

   Con base en su trabajo en (a) y (b) anteriores, compute\(E_{T,4}\text{,}\)\(E_{T,8}\text{,}\)\(E_{M,4}\text{,}\)\(E_{M,8}\text{.}\)

4. ¿Qué regla sobreestima consistentemente el valor exacto de la integral definida? ¿Qué regla subestima consistentemente la integral definida?
5. ¿Qué comportamiento (s) de la función\(f(x) = \frac{1}{x^2}\) conducen a sus observaciones en (d)?

5.6.2 Comparación de las reglas de punto medio y trapecio

Sabemos por la definición de la integral definida que si dejamos\(n\) ser lo suficientemente grandes, podemos hacer cualquiera de las aproximaciones\(L_n\text{,}\)\(R_n\text{,}\) y\(M_n\) lo más cerca que nos gustaría (en teoría) al valor exacto de\(\int_a^b f(x) \, dx\text{.}\) Así, puede ser natural preguntarse por qué alguna vez usamos alguna regla que no sea \(L_n\)o\(R_n\) (con un\(n\) valor suficientemente grande) para estimar una integral definida. Una de las principales razones es que como\(n \to \infty\text{,}\)\(\Delta x = \frac{b-a}{n} \to 0\text{,}\) y así en un cálculo de suma de Riemann con un gran\(n\) valor, terminamos multiplicándonos por un número que está muy cerca de cero. Hacerlo a menudo genera un error de redondeo, ya que representar números cercanos a cero con precisión es un desafío persistente para las computadoras.

Por lo tanto, exploramos formas de estimar integrales definidas a altos niveles de precisión, pero sin utilizar valores extremadamente grandes de\(n\text{.}\) Prestar mucha atención a los patrones en los errores, como los observados en la Actividad 5.6.2, es una forma de comenzar a ver algunos enfoques alternos.

Para comenzar, comparamos los errores en las reglas de Punto Medio y Trapezoide. Primero, considere una función cóncava hacia arriba en un intervalo dado, y una imagen que se aproxime al área delimitada en ese intervalo por las reglas de Punto Medio y Trapezoide usando un solo subintervalo.

Figura 5.6.3. Estimando\(\int_a^b f(x) \ dx\) usando un solo subintervalo: a la izquierda, la regla trapezoidal; en el medio, la regla del punto medio; a la derecha, una forma modificada de pensar sobre la regla del punto medio.

Como se ve en la Figura 5.6.3, es evidente que siempre que la función sea cóncava hacia arriba en un intervalo, la Regla Trapezoidal con un subintervalo,\(T_1\text{,}\) sobreestimará el valor exacto de la integral definida en ese intervalo. A partir de un cuidadoso análisis de la línea que limita la parte superior del rectángulo para la Regla de Punto Medio (mostrada en magenta), vemos que si giramos este segmento de línea hasta que sea tangente a la curva en el punto medio del intervalo (como se muestra a la derecha en la Figura 5.6.3), el trapecio resultante tiene la misma área que \(M_1\text{,}\)y este valor es menor que el valor exacto de la integral definida. Así, cuando la función es cóncava hacia arriba en el intervalo,\(M_1\) subestima el verdadero valor de la integral.

Figura 5.6.4. Comparando el error en la estimación\(\int_a^b f(x) \ dx\) usando un solo subintervalo: en rojo, el error de la regla Trapezoide; en rojo claro, el error de la regla de Punto Medio.

Estas observaciones se extienden fácilmente a la situación en la que la concavidad de la función permanece consistente pero usamos valores mayores de\(n\) en las Reglas de Punto Medio y Trapezoide. De ahí que siempre que\(f\) sea cóncavo hacia arriba\([a,b]\text{,}\)\(T_n\) sobreestimará el valor de\(\int_a^b f(x) \, dx\text{,}\) while\(M_n\) se\(\int_a^b f(x) \, dx\text{.}\) subestimará Las observaciones inversas son verdaderas en la situación donde\(f\) es cóncava hacia abajo.

A continuación, comparamos el tamaño de los errores entre\(M_n\) y\(T_n\text{.}\) Again, nos enfocamos\(T_1\) en\(M_1\) y en un intervalo donde la concavidad de\(f\) es consistente. En la Figura 5.6.4, donde el error de la Regla Trapezoidal está sombreado en rojo, mientras que el error de la Regla de Punto Medio es sombreado de rojo más claro, es visualmente evidente que el error en la Regla Trapezoide es más significativo. Para ver cuánto más significativo, consideremos dos ejemplos y algunos cálculos particulares.

Si dejamos\(f(x) = 1-x^2\) y consideramos\(\int_0^1 f(x) \,dx\text{,}\) sabemos por la Primera FTC que el valor exacto de la integral es

\[ \int_0^1 (1-x^2) \, dx = x - \frac{x^3}{3} \bigg\vert_0^1 = \frac{2}{3}\text{.} \nonumber \]

Utilizando la tecnología adecuada para calcular\(M_4\text{,}\)\(M_8\text{,}\)\(T_4\text{,}\) y así\(T_8\text{,}\) como los errores correspondientes\(E_{M,4}\text{,}\)\(E_{M,8}\text{,}\)\(E_{T,4}\text{,}\) y\(E_{T,8}\text{,}\) como hicimos en la Actividad 5.6.2, encontramos los resultados resumidos en la Tabla 5.6.5. También incluimos las aproximaciones y sus errores para el ejemplo\(\int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx\) de la Actividad 5.6.2.

Cuadro 5.6.5. Cálculos de\(T_4\text{,}\)\(M_4\text{,}\)\(T_8\text{,}\) y\(M_8\text{,}\) junto con los errores correspondientes, para las integrales definidas\(\int_0^1 (1-x^2) \ dx\) y\(\int_1^2 \frac{1}{x^2} \ dx\text{.}\)

Regla	\(\int_0^1 (1-x^2) \,dx = 0.\overline{6}\)	error	\(\int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx = 0.5\)	error
\(T_4\)	\(0.65625\)	\(-0.0104166667\)	\(0.5089937642\)	\(0.0089937642\)
\(M_4\)	\(0.671875\)	\(0.0052083333\)	\(0.4955479365\)	\(-0.0044520635\)
\(T_8\)	\(0.6640625\)	\(-0.0026041667\)	\(0.5022708502\)	\(0.0022708502\)
\(M_8\)	\(0.66796875\)	\(0.0013020833\)	\(0.4988674899\)	\(-0.0011325101\)

Para una función\(f\) e intervalo dados\([a,b]\text{,}\)\(E_{T,4} = T_4 - \int_a^b f(x) \,dx\) calcula la diferencia entre la aproximación generada por la Regla Trapezoidal con\(n = 4\) y el valor exacto de la integral definida. Si miramos no sólo\(E_{T,4}\text{,}\) sino también los otros errores generados al usar\(T_n\) y\(M_n\) con\(n = 4\) y\(n = 8\) en los dos ejemplos señalados en la Tabla 5.6.5, vemos un patrón evidente. No sólo el signo del error (que mide si la regla genera una sobreestimación o una subestimación) está ligado a la regla utilizada y a la concavidad de la función, sino la magnitud de los errores generados por\(T_n\) y\(M_n\) parece estrechamente relacionados. En particular, los errores generados por la Regla de Punto Medio parecen ser aproximadamente la mitad del tamaño (en valor absoluto) de los generados por la Regla Trapezoide.

Es decir, podemos observar en ambos ejemplos que\(E_{M,4} \approx -\frac{1}{2} E_{T,4}\) y\(E_{M,8} \approx -\frac{1}{2}E_{T,8}\text{.}\) Esta propiedad de las Reglas de Punto Medio y Trapezoide resulta mantener en general: para una función de concavidad consistente, el error en la Regla de Punto Medio tiene el signo opuesto y aproximadamente la mitad de la magnitud del error del Trapezoide Regla. Escrito simbólicamente,

\[ E_{M,n} \approx -\frac{1}{2} E_{T,n}\text{.} \nonumber \]

Esta importante relación sugiere una manera de combinar las Reglas de Punto Medio y Trapezoide para crear una aproximación aún más precisa a una integral definida.

5.6.3 Regla de Simpson

Cuando desarrollamos por primera vez la Regla Trapezoide, observamos que es un promedio de las sumas de Riemann Izquierda y Derecha:

\[ T_n = \frac{1}{2}(L_n + R_n)\text{.} \nonumber \]

Si una función es siempre creciente o siempre decreciente en el intervalo\([a,b]\text{,}\) uno de\(L_n\) y\(R_n\) sobreestimará el verdadero valor de\(\int_a^b f(x) \, dx\text{,}\) mientras que la otra subestimará la integral. Así, los errores que resultan de\(L_n\) y\(R_n\) tendrán signos opuestos; así promediando\(L_n\) y\(R_n\) eliminando una cantidad considerable del error presente en las aproximaciones respectivas. De manera similar, tiene sentido pensar\(T_n\) en promediar\(M_n\) y para generar una aproximación aún más precisa.

Acabamos de observar que normalmente\(M_n\) es aproximadamente el doble de preciso que\(T_n\text{.}\) Así que usamos el promedio ponderado

\[ S_{2n} = \frac{2M_n + T_n}{3}\text{.}\label{CqH}\tag{5.6.5} \]

La regla para\(S_{2n}\) dar por la Ecuación (5.6.5) suele conocerse como Regla de Simpson. ² Tenga en cuenta que usamos “\(S_{2n}\)” más bien que “\(S_n\)” ya que los\(n\) puntos que usa la Regla de Punto Medio son diferentes de los\(n\) puntos que usa la Regla Trapezoide, y por lo tanto la Regla de Simpson está usando\(2n\) puntos en los que evaluar la función. Construimos sobre los resultados de la Tabla 5.6.5 para ver las aproximaciones generadas por la Regla de Simpson. En particular, en la Tabla 5.6.6, incluimos todos los resultados en la Tabla 5.6.5, pero incluimos resultados adicionales para\(S_8 = \frac{2M_4 + T_4}{3}\) y\(S_{16} = \frac{2M_8 + T_8}{3}\text{.}\)

Thomas Simpson fue un matemático del siglo XVIII; su idea era extender la regla trapezoidal, pero en lugar de usar líneas rectas para construir trapecios, usar funciones cuadráticas para construir regiones cuya área estaba delimitada por parábolas (cuyas áreas podía encontrar exactamente). La regla de Simpson a menudo se desarrolla desde la perspectiva más sofisticada del uso de la interpolación por funciones cuadráticas.

Cuadro 5.6.6. Cuadro 5.6.5 actualizado para incluir\(S_8\text{,}\)\(S_{16}\text{,}\) y los errores correspondientes.

Regla	\(\int_0^1 (1-x^2) \,dx = 0.\overline{6}\)	error	\(\int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx = 0.5\)	error
\(T_4\)	\(0.65625\)	\(-0.0104166667\)	\(0.5089937642\)	\(0.0089937642\)
\(M_4\)	\(0.671875\)	\(0.0052083333\)	\(0.4955479365\)	\(-0.0044520635\)
\(S_8\)	\(0.6666666667\)	\(0\)	\(0.5000298792\)	\(0.0000298792\)
\(T_8\)	\(0.6640625\)	\(-0.0026041667\)	\(0.5022708502\)	\(0.0022708502\)
\(M_8\)	\(0.66796875\)	\(0.0013020833\)	\(0.4988674899\)	\(-0.0011325101\)
\(S_{16}\)	\(0.6666666667\)	\(0\)	\(0.5000019434\)	\(0.0000019434\)

Los resultados que se observan en el Cuadro 5.6.6 son llamativos. Si consideramos que la\(S_{16}\) aproximación del error es solo Por\(\int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx\text{,}\) el contrario,\(E_{S,16} = 0.0000019434\text{.}\) por\(L_8 = 0.5491458502\text{,}\) lo que el error de esa estimación es\(E_{L,8} = 0.0491458502\text{.}\) Por otra parte, observamos que generar las aproximaciones para la Regla de Simpson casi no es un trabajo adicional: una vez que tenemos\(L_n\text{,}\)\(R_n\text{,}\) y \(M_n\)para un valor dado de\(n\text{,}\) ello es un ejercicio sencillo de generar\(T_n\text{,}\) y de ahí calcular\(S_{2n}\text{.}\) Por último, tenga en cuenta que el error en las aproximaciones de la Regla de Simpson de ¡\(\int_0^1 (1-x^2) \, dx\)es cero! ³

Similar a cómo las aproximaciones de punto medio y trapecio son exactas para funciones lineales, las aproximaciones de la regla de Simpson son exactas para las funciones cuadráticas y cúbicas. Ver discusión adicional sobre este tema más adelante en la sección y en los ejercicios.

Estas reglas no sólo son útiles para aproximar integrales definidas como\(\int_0^1 e^{-x^2} \, dx\text{,}\) para las que no podemos encontrar una antiderivada elemental de\(e^{-x^2}\text{,}\) sino también para aproximar integrales definidas cuando se nos da una función a través de una tabla de datos.

Actividad 5.6.3

Un automóvil que viaja por una carretera recta está frenando y su velocidad se mide en varios puntos diferentes en el tiempo, como se indica en la siguiente tabla. Supongamos que\(v\) es continuo, siempre decreciente, y siempre decreciente a un ritmo decreciente, como sugieren los datos.

Cuadro 5.6.7. Datos para el coche de frenado.

segundos,\(t\)	Velocidad en pies/seg,\(v(t)\)
\(0\)	\(100\)
\(0.3\)	\(99\)
\(0.6\)	\(96\)
\(0.9\)	\(90\)
\(1.2\)	\(80\)
\(1.5\)	\(50\)
\(1.8\)	\(0\)

Figura 5.6.8. Ejes para trazar los datos en la Actividad 5.6.3.

1. Trazar los datos dados en el conjunto de ejes proporcionados en la Figura 5.6.8 con el tiempo en el eje horizontal y la velocidad en el eje vertical.
2. Qué integral definitiva te dará la distancia exacta en la que viajó el auto\([0,1.8]\text{?}\)
3. Estima la distancia total recorrida\([0,1.8]\) por computación\(L_3\text{,}\)\(R_3\text{,}\) y\(T_3\text{.}\) ¿Cuál de estos subestima la verdadera distancia recorrida?
4. Estimar la distancia total recorrida\([0,1.8]\) por computación\(M_3\text{.}\) ¿Es esto una sobreestimación o subestimación? ¿Por qué?
5. Usando tus resultados de (c) y (d), mejora aún más tu estimación usando la Regla de Simpson.
6. ¿Cuál es su mejor estimación de la velocidad promedio del automóvil en\([0,1.8]\text{?}\) ¿Por qué? ¿Cuáles son las unidades en esta cantidad?

5.6.4 Observaciones generales sobre\(L_n\text{,}\)\(R_n\text{,}\)\(T_n\text{,}\)\(M_n\text{,}\) y\(S_{2n}\text{.}\)

Al concluir nuestra discusión sobre la aproximación numérica de integrales definidas, es importante resumir las tendencias generales en cómo las diversas reglas sobreestiman o subestiman el verdadero valor de una integral definida, y por cuánto. Para revisitar algunas observaciones pasadas y ver algunas nuevas, consideramos la siguiente actividad.

Actividad 5.6.4

Considera las funciones\(f(x) = 2-x^2\text{,}\)\(g(x) = 2-x^3\text{,}\) y\(h(x) = 2-x^4\text{,}\) todo en el intervalo\([0,1]\text{.}\) Para cada una de las preguntas que requieran una respuesta numérica en lo que sigue, escribe tu respuesta exactamente en forma de fracción.

1. En los tres conjuntos de ejes proporcionados en la Figura 5.6.9, bosquejar una gráfica de cada función en el intervalo\([0,1]\text{,}\) y computar\(L_1\) y\(R_1\) para cada uno. ¿Qué observas?
2. Calcular\(M_1\) para cada función a aproximar\(\int_0^1 f(x) \,dx\text{,}\)\(\int_0^1 g(x) \,dx\text{,}\) y\(\int_0^1 h(x) \,dx\text{,}\) respectivamente.
3. Calcular\(T_1\) para cada una de las tres funciones, y por lo tanto computar\(S_2\) para cada una de las tres funciones.
4. Evaluar cada una de las integrales\(\int_0^1 f(x) \,dx\text{,}\)\(\int_0^1 g(x) \,dx\text{,}\) y\(\int_0^1 h(x) \,dx\) exactamente usando la Primera FTC.
5. Para cada una de las tres funciones\(f\text{,}\)\(g\text{,}\) y\(h\text{,}\) comparar los resultados de\(L_1\text{,}\)\(R_1\text{,}\)\(M_1\text{,}\)\(T_1\text{,}\) y\(S_2\) con el verdadero valor de la integral definida correspondiente. ¿Qué patrones observas?

Figura 5.6.9. Ejes para trazar las funciones en la Actividad 5.6.4.

Los resultados vistos en la Actividad 5.6.4 generalizan muy bien. Por ejemplo, si\(f\) está disminuyendo\([a,b]\text{,}\)\(L_n\) sobreestimará el valor exacto de\(\int_a^b f(x) \,dx\text{,}\) y si\(f\) es cóncavo hacia abajo\([a,b]\text{,}\)\(M_n\) sobreestimará el valor exacto de la integral. Un excelente ejercicio es escribir una colección de escenarios de posible comportamiento de función, y luego categorizar si cada uno de\(L_n\text{,}\)\(R_n\text{,}\)\(T_n\text{,}\) y\(M_n\) es una sobreestimación o subestimación.

Por último, hacemos dos notas importantes sobre la Regla de Simpson. Cuando T. Simpson desarrolló esta regla por primera vez, su idea era reemplazar la función\(f\) en un intervalo dado por una función cuadrática que compartiera tres valores con la función\(f\text{.}\) Al hacerlo, garantizó que esta nueva regla de aproximación sería exacta para la integral definida de cualquier cuadrática polinomio. En una de las gratas sorpresas del análisis numérico, resulta que a pesar de que fue diseñada para ser exacta para polinomios cuadráticos, la Regla de Simpson es exacta para cualquier polinomio cúbico: es decir, si nos interesa una integral como siempre\(\int_2^5 (5x^3 - 2x^2 + 7x - 4)\, dx\text{,}\)\(S_{2n}\) será exacta, independientemente del valor de\(n\text{.}\) Esta es solo una pieza más de evidencia que muestra cuán efectiva es la Regla de Simpson como herramienta de aproximación para estimar integrales definidas. ⁴

Una razón por la que la Regla de Simpson es tan efectiva es que se\(S_{2n}\) beneficia al usar\(2n+1\) puntos de datos. Porque combina lo\(M_n\text{,}\) que usa\(n\) puntos medios, y\(T_n\text{,}\) que usa los\(n+1\) puntos finales de los subintervalos elegidos,\(S_{2n}\) aprovecha la cantidad máxima de información que tenemos cuando conocemos valores de función en los puntos finales y puntos medios de los\(n\) subintervalos.

5.6.5 Resumen

• Para una integral definida como\(\int_0^1 e^{-x^2} \, dx\) cuando no podemos usar el Primer Teorema Fundamental del Cálculo porque el integrando carece de una antiderivada algebraica elemental, podemos estimar el valor de la integral usando una secuencia de aproximaciones de suma de Riemann. Normalmente, comenzamos por la computación\(L_n\text{,}\)\(R_n\text{,}\) y\(M_n\) para uno o más valores elegidos de\(n\text{.}\)
• La Regla Trapezoidal, que estima\(\int_a^b f(x) \, dx\) usando trapecios, en lugar de rectángulos, también se puede ver como el promedio de las sumas de Riemann Izquierda y Derecha. Es decir,\(T_n = \frac{1}{2}(L_n + R_n)\text{.}\)
• La Regla de Punto Medio suele ser dos veces más precisa que la Regla Trapezoide, y los signos de los respectivos errores de estas reglas son opuestos. De ahí que al tomar el promedio ponderado\(S_{2n} = \frac{2M_n + T_n}{3}\text{,}\) podamos construir una aproximación mucho más precisa\(\int_a^b f(x) \, dx\) al usar aproximaciones que ya hemos calculado. La regla para\(S_{2n}\) es conocida como la Regla de Simpson, que también se puede desarrollar aproximando una función continua dada con piezas de polinomios cuadráticos.