5.E: Encontrar Antiderivados y Evaluar Integrales (Ejercicios)

5.1: Gráficas Precisas de Construcción de Antiderivados

Ejercicios 5.1.5 Ejercicios

1. Integral definida de una función lineal por tramos

2. Una función suave que comienza en 0

3. Una función constante por partes

4. Otra función lineal por tramos

5

Una partícula móvil tiene su velocidad dada por la función cuadrática que\(v\) se muestra en la Figura 5.1.7. Además, se da que\(A_1 = \frac{7}{6}\) y así\(A_2 = \frac{8}{3}\text{,}\) como eso para la función de posición correspondiente\(s\text{,}\)\(s(0) = 0.5\text{.}\)

1. Utilizar la información dada para determinar\(s(1)\text{,}\)\(s(3)\text{,}\)\(s(5)\text{,}\) y\(s(6)\text{.}\)
2. ¿En qué intervalo (s) está\(s\) aumentando? ¿En qué intervalo (s) está\(s\) disminuyendo?
3. ¿En qué intervalo (s) es\(s\) cóncavo hacia arriba? ¿En qué intervalo (s) es\(s\) cóncavo hacia abajo?
4. Esboce una gráfica precisa y etiquetada\(s\) en los ejes a la derecha en la Figura 5.1.7.
5. Tenga en cuenta que\(v(t) = -2 + \frac{1}{2}(t-3)^2\text{.}\) Encuentre una fórmula para\(s\text{.}\)

Figura 5.1.7. A la izquierda, la gráfica dada de\(v\text{.}\) A la derecha, ejes para trazar\(s\text{.}\)

6

Una persona que hace ejercicio en una cinta de correr experimenta diferentes niveles de resistencia y, por lo tanto, quema calorías a diferentes velocidades, dependiendo de la configuración de la cinta de correr. En un entrenamiento en particular, la velocidad a la que una persona está quemando calorías viene dada por la función constante por partes que\(c\) se muestra en la Figura 5.1.8. Tenga en cuenta que las unidades\(c\) encendidas son “calorías por minuto”.

Figura 5.1.8. A la izquierda, la gráfica dada de\(c\text{.}\) A la derecha, ejes para trazar\(C\text{.}\)

1. Dejar\(C\) ser un antiderivado de\(c\text{.}\) ¿Qué\(C\) mide la función? ¿Cuáles son sus unidades?
2. Supongamos que\(C(0) = 0\text{.}\) Determine el valor exacto de\(C(t)\) en los valores\(t = 5, 10, 15, 20, 25, 30\text{.}\)
3. Esboce una gráfica precisa\(C\) de los ejes proporcionados a la derecha en la Figura 5.1.8. Tenga la certeza de etiquetar la escala en el eje vertical.
4. Determinar una fórmula para\(C\) que no implique una integral y sea válida para\(5 \le t \le 10\text{.}\)

7.

Considere la función lineal por tramos\(f\) dada en la Figura 5.1.9. Deje que las funciones\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) y\(C\) sean definidas por las reglas\(A(x) = \int_{-1}^{x} f(t) \, dt\text{,}\)\(B(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt\text{,}\) y\(C(x) = \int_{1}^{x} f(t) \, dt\text{.}\)

1. Para los valores\(x = -1, 0, 1, \ldots, 6\text{,}\) hacer una tabla que enumera los valores correspondientes de\(A(x)\text{,}\)\(B(x)\text{,}\) y\(C(x)\text{.}\)
2. En los ejes proporcionados en la Figura 5.1.9, bosquejar las gráficas de\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) y\(C\text{.}\)
3. ¿Cómo son las gráficas de\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) y\(C\) relacionadas?
4. ¿Cómo describirías mejor la relación entre la función\(A\) y la función?\(f\text{?}\)

Figura 5.1.9. A la izquierda, la gráfica dada de\(f\text{.}\) A la derecha, ejes para trazar\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) y\(C\text{.}\)

5.2: El segundo teorema fundamental del cálculo

1. Una integral definida a partir de 3

2. Variable en el límite inferior

3. Aproximación a una función con derivada\(e^{-x^2/5}\)

4

Dejar\(g\) ser la función que se muestra a la izquierda en la Figura 5.2.6, y dejar\(F\) ser definida por\(F(x) = \int_{2}^x g(t) \, dt\text{.}\) Supongamos que las áreas sombreadas tienen valores\(A_1 = 4.29\text{,}\)\(A_2 = 12.75\text{,}\)\(A_3 = 0.36\text{,}\) y\(A_4 = 1.79\text{.}\) Supongamos además que la porción de\(A_2\) eso se encuentra entre\(x = 0.5\) y\(x = 2\) es\(6.06\text{.}\)

Esboce una gráfica cuidadosamente etiquetada\(F\) en los ejes proporcionados e incluya un análisis escrito de cómo sabe dónde\(F\) está cero, creciente, decreciente, CCU y CCD.

Figura 5.2.6. A la izquierda, la gráfica de\(g\text{.}\) A la derecha, ejes para trazar\(F\text{.}\)

5

La marea elimina la arena de la playa en un pequeño parque oceánico a una velocidad modelada por la función

\[ R(t) = 2 + 5\sin \left( \frac{4\pi t}{25} \right) \nonumber \]

Una estación de bombeo agrega arena a la playa a una velocidad modelada por la función

\[ S(t) = \frac{15t}{1+3t} \nonumber \]

Ambos\(R(t)\) y\(S(t)\) se miden en yardas cúbicas de arena por hora,\(t\) se miden en horas, y los tiempos válidos son\(0 \le t \le 6\text{.}\) A tiempo\(t = 0\text{,}\) la playa tiene 2500 yardas cúbicas de arena.

1. ¿Qué medidas integrales definitivas cuánta arena eliminará la marea durante el periodo de tiempo\(0 \le t \le 6\text{?}\) ¿Por qué?
2. Escribe una expresión para\(Y(x)\text{,}\) el número total de yardas cúbicas de arena en la playa a la vez Explica\(x\text{.}\) cuidadosamente tu pensamiento y razonamiento.
3. ¿A qué ritmo instantáneo\(t = 4\) cambia el número total de yardas cúbicas de arena en la playa en el momento?
4. En el intervalo de tiempo ¿\(0 \le t \le 6\text{,}\)a qué hora\(t\) es menor la cantidad de arena en la playa? ¿Cuál es este valor mínimo? Explique y justifique plenamente sus respuestas.

6

Cuando una aeronave intenta escalar lo más rápido posible, su velocidad de ascenso (en pies por minuto) disminuye a medida que aumenta la altitud, debido a que el aire es menos denso a mayores altitudes. A continuación se presenta una tabla que muestra los datos de rendimiento para un determinado avión monomotor, dando su tasa de ascenso a diversas altitudes, donde\(c(h)\) denota la tasa de ascenso del avión a una altitud\(h\text{.}\)

Cuadro 5.2.7. Datos para la aeronave de escalada.

\(h\)(pies)	\(0\)	\(1000\)	\(2000\)	\(3000\)	\(4000\)	\(5000\)	\(6000\)	\(7000\)	\(8000\)	\(9000\)	\(10{,}000\)
\(c\)(pies/min)	\(925\)	\(875\)	\(830\)	\(780\)	\(730\)	\(685\)	\(635\)	\(585\)	\(535\)	\(490\)	\(440\)

Dejar una nueva función\(m\text{,}\) que también depende de\(h\text{,}\) (digamos\(y = m(h)\)) medir el número de minutos requeridos para que un avión a altitud\(h\) suba al siguiente pie de altitud.

1. Determinar una tabla similar de valores para\(m(h)\) y explicar cómo se relaciona con la tabla anterior. Asegúrese de discutir las unidades en\(m\text{.}\)
2. Dar una interpretación cuidadosa de una función cuya derivada es\(m(h)\text{.}\) Describir qué es la entrada y cuál es la salida. También, explique en sencillo inglés lo que nos dice la función.
3. Determinar una integral definida cuyo valor nos dice exactamente el número de minutos requeridos para que el avión ascienda a 10,000 pies de altitud. Explicar claramente por qué el valor de esta integral tiene el significado requerido.
4. Determinar una fórmula para una función\(M(h)\) cuyo valor nos indique el número exacto de minutos requeridos para que el avión ascienda a\(h\) pies de altitud.
5. Estime los valores de\(M(6000)\) y con la mayor precisión\(M(10000)\) posible. Incluya unidades en sus resultados.

5.3 Integración por Sustitución

1. Producto que implica 4ta potencia de un polinomio

2. Producto que implica\(\sin(x^6)\)

3. Fracción que implica\(\ln^9\)

4. Fracción que implica\(e^{5 x}\)

5. Fracción que implica\(e^{5 \sqrt{y}}\)

6. Integral definida que implica\(e^{-cos(q)}\)

7

Este problema se centra en la búsqueda de antiderivados para las funciones trigonométricas básicas distintas de\(\sin(x)\) y\(\cos(x)\text{.}\)

1. Considerar la integral indefinida\(\int \tan(x) \, dx\text{.}\) Al reescribir el integrando como\(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) e identificando un par función-derivado apropiado, haga una\(u\) -sustitución y, por lo tanto, evalúe\(\int \tan(x) \, dx\text{.}\)
2. De manera similar, evaluar\(\int \cot(x) \, dx\text{.}\)
3. Considerar la integral indefinida
   \[ \int \frac{\sec^2(x) + \sec(x) \tan(x)}{\sec(x) + \tan(x)} \, dx\text{.} \nonumber \]

   Evaluar esta integral usando la sustitución\(u = \sec(x) + \tan(x)\text{.}\)

4. Simplificar el integrando en (c) factorizando el numerador. ¿Cuál es una forma mucho más sencilla de escribir el integrando?
5. Combina tu trabajo en (c) y (d) para determinar\(\int \sec(x) \, dx\text{.}\)
6. Utilizando (c) - (e) como guía, evaluar\(\int \csc(x) \, dx\text{.}\)

8

Considerar la integral indefinida\(\int x \sqrt{x-1} \, dx\text{.}\)

1. A primera vista, este integrando puede no parecer adecuado para la sustitución debido a la presencia de\(x\) en ubicaciones separadas en el integrando. Sin embargo, usando la función compuesta\(\sqrt{x-1}\) como guía, vamos\(u = x-1\text{.}\) Determinar expresiones para ambos\(x\) y\(dx\) en términos de\(u\text{.}\)
2. Convertir la integral dada en\(x\) una nueva integral en\(u\text{.}\)
3. Evaluar la integral en (b) señalando eso\(\sqrt{u} = u^{1/2}\) y observando que ahora es posible reescribir el\(u\) integrando expandiéndolo a través de la multiplicación.
4. Evaluar cada una de las integrales\(\int x^2 \sqrt{x-1} \, dx\) y\(\int x \sqrt{x^2 - 1} \, dx\text{.}\) Escribir un párrafo para discutir las similitudes entre las tres integrales indefinidas en este problema y el papel de la sustitución y el reordenamiento algebraico en cada una.

9

Considerar la integral indefinida\(\int \sin^3(x) \, dx\text{.}\)

1. Explique por qué la sustitución no\(u = \sin(x)\) funcionará para ayudar a evaluar la integral dada.
2. Recordemos la Identidad Trigonométrica Fundamental, la cual establece que\(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\text{.}\) Al observar que se\(\sin^3(x) = \sin(x) \cdot \sin^2(x)\text{,}\) utiliza la Identidad Trigonométrica Fundamental para reescribir el integrando como producto de\(\sin(x)\) con otra función.
3. Explique por qué la sustitución\(u = \cos(x)\) ahora proporciona una posible manera de evaluar la integral en (b).
4. Usa tu trabajo en (a) - (c) para evaluar la integral indefinida\(\int \sin^3(x) \, dx\text{.}\)
5. Utilizar un enfoque similar para evaluar\(\int \cos^3(x) \, dx\text{.}\)

10

Para la localidad de Mathland, MI, el consumo de energía residencial ha mostrado ciertas tendencias en los últimos años. Con base en datos que reflejan el uso promedio, los ingenieros de la compañía eléctrica han modelado la tasa de consumo de energía de la ciudad según la función

\[ r(t) = 4 + \sin(0.263t + 4.7) + \cos(0.526t+9.4)\text{.} \nonumber \]

Aquí,\(t\) mide el tiempo en horas después de la medianoche en un típico día de la semana, y\(r\) es la tasa de consumo en megavatios ³ a la vez Las\(t\text{.}\) unidades son críticas a lo largo de este problema.

1. Esboce una gráfica cuidadosamente etiquetada de\(r(t)\) sobre el intervalo [0,24] y explique su significado. ¿Por qué es este un modelo razonable de consumo de energía?
2. Sin calcular su valor, explique el significado de\(\int_0^{24} r(t) \, dt\text{.}\) Incluir las unidades apropiadas en su respuesta.
3. Determinar la cantidad exacta de energía que Mathland consume en un día típico.
4. ¿Cuál es la tasa promedio de consumo de energía de Mathland en un periodo dado de 24 horas? ¿Cuáles son las unidades en esta cantidad?

El megavatio unitario es en sí mismo una tasa, que mide el consumo de energía por unidad de tiempo. Un megavatio-hora es la cantidad total de energía que equivale a una corriente constante de 1 megavatio de potencia que se sostiene durante 1 hora.

5.4: Integración por Partes

1. Elija qué método usar

2. Producto que implica\(\cos(5 x)\)

3. Producto que implica\(e^{8 z}\)

4. Integral definitiva de\(t e^{-t}\)

5

Let\(f(t) = te^{-2t}\) y\(F(x) = \int_0^x f(t) \, dt\text{.}\)

1. Determinar\(F'(x)\text{.}\)
2. Utilice la Primera FTC para encontrar una fórmula para\(F\) que no implique una integral.
3. Es\(F\) una función creciente o decreciente para\(x \gt 0\text{?}\) ¿Por qué?

6

Considerar la integral indefinida dada por\(\int e^{2x} \cos(e^x) \, dx\text{.}\)

1. Señalando que\(e^{2x} = e^x \cdot e^x\text{,}\) utilizar la sustitución\(z = e^{x}\) para determinar una nueva integral equivalente en la variable\(z\text{.}\)
2. Evalúa la integral que encontraste en (a) usando una técnica apropiada.
3. ¿En qué se\(\int e^{2x} \cos(e^{2x}) \, dx\) diferencia el problema de evaluar de evaluar la integral en (a)? Hazlo.
4. Evalúe también cada una de las siguientes integrales, teniendo en cuenta los enfoques utilizados anteriormente en este problema:
   • \(\displaystyle \int e^{2x} \sin(e^x) \, dx\)
   • \(\displaystyle \int e^{3x} \sin(e^{3x}) \, dx\)
   • \(\displaystyle \int xe^{x^2} \cos(e^{x^2}) \sin(e^{x^2}) \, dx\)

7

Para cada una de las siguientes integrales indefinidas, determine si usaría\(u\) -sustitución, integración por partes, ninguna*, o ambas para evaluar la integral. En cada caso, escribe una oración para explicar tu razonamiento, e incluye una declaración de cualquier sustitución utilizada. (Es decir, si decides en un problema dejar\(u = e^{3x}\text{,}\) debes decir eso, así como eso\(du = 3e^{3x} \, dx\text{.}\)) Finalmente, usa tu enfoque elegido para evaluar cada integral. (* uno de los siguientes problemas no tiene un antiderivado elemental y no se espera que realmente evalúes esta integral; esto corresponderá con una opción de “ninguno” entre los dados.)

1. \(\displaystyle \int x^2 \cos(x^3) \, dx\)
2. \(\int x^5 \cos(x^3) \, dx\)(Pista:\(x^5 = x^2 \cdot x^3\))
3. \(\displaystyle \int x\ln(x^2) \, dx\)
4. \(\displaystyle \int \sin(x^4) \, dx\)
5. \(\displaystyle \int x^3 \sin(x^4) \, dx\)
6. \(\displaystyle \int x^7 \sin(x^4) \, dx\)

5.5: Otras Opciones para Encontrar Derivadas Algebraicas

1. Fracciones parciales: lineal sobre diferencia de cuadrados

2. Fracciones parciales: constante sobre el producto

3. Fracciones parciales: lineal sobre cuadrática

4. Fracciones parciales: cúbicas sobre 4º grado

5. Fracciones parciales: cuadráticas sobre cúbicas factorizadas

6

Para cada una de las siguientes integrales que involucran funciones racionales, (1) usar un CAS para encontrar la descomposición parcial de la fracción del integrando; (2) evaluar la integral de la función resultante sin la ayuda de la tecnología; (3) usar un CAS para evaluar la integral original para probar y comparar su resultado en (2).

1. \(\displaystyle \int \frac{x^3 + x + 1}{x^4 - 1} \, dx\)
2. \(\displaystyle \int \frac{x^5 + x^2 + 3}{x^3 - 6x^2 + 11x - 6} \, dx\)
3. \(\displaystyle \int \frac{x^2 - x - 1}{(x-3)^3} \, dx\)

7

Para cada una de las siguientes integrales que involucren funciones radicales, (1) use una\(u\) sustitución apropiada junto con el Apéndice A para evaluar la integral sin la ayuda de la tecnología, y (2) usar un CAS para evaluar la integral original para probar y comparar su resultado en (1).

1. \(\displaystyle \int \frac{1}{x \sqrt{9x^2 + 25}} \, dx\)
2. \(\displaystyle \int x \sqrt{1 + x^4} \, dx\)
3. \(\displaystyle \int e^x \sqrt{4 + e^{2x}} \, dx\)
4. \(\displaystyle \int \frac{\tan(x)}{\sqrt{9 - \cos^2(x)}} \, dx\)

8

Considerar la integral indefinida dada por

\[ \int \frac{\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}}{x} \, dx\text{.} \nonumber \]

1. Explique por qué\(u\) -sustitución no ofrece una forma de simplificar esta integral al discutir al menos dos opciones diferentes que podría probar\(u\text{.}\)
2. Explicar por qué la integración por partes tampoco parece ser una forma razonable de proceder, considerando una opción para\(u\) y\(dv\text{.}\)
3. ¿Hay alguna línea en la tabla integral del Apéndice A que sea útil para esta integral?
4. Evaluar la integral dada usando WolframAlpha. ¿Qué observas?

5.6: Integración Numérica

Dos notas sobre cómo se codifica el Ejercicio 5.6.6.1: (i) como se explica en el encabezado del problema, necesita respuestas a cada entrada individual antes de que pueda marcar partes individuales como correctas; si ingresa solo una respuesta para (a) y envía, (a) se marcará mal independientemente. Y (ii), en este problema, la notación “SIMP (2)” es en realidad lo que hemos llamado “SIMP (4)” en nuestro trabajo anterior. Diferentes autores utilizan notación diferente, y el autor de este ejercicio WebWork elige escribir “SIMP (n)” donde hemos escrito “SIMP (2n)” en la Sección 5.6.

1. Diversos métodos para\(e^x\) numerically

2. Comparación de métodos para aumentar la función de descenso cóncavo

3. Comparación de la precisión para dos funciones similares

4. Identificar y comparar métodos

5

Considerar la integral definitiva\(\int_0^1 x \tan(x) \, dx\text{.}\)

1. Explique por qué esta integral no puede evaluarse exactamente mediante el uso de\(u\) -sustitución o mediante la integración por partes.
2. Usando subintervalos apropiados, cómpule\(L_4\text{,}\)\(R_4\text{,}\)\(M_4\text{,}\)\(T_4\text{,}\) y\(S_8\text{.}\)
3. ¿Cuál de las aproximaciones en (b) es una sobreestimación al verdadero valor de ¿\(\int_0^1 x \tan(x) \, dx\text{?}\)Cuál es una subestimación? ¿Cómo lo sabes?

6

Para una función desconocida\(f(x)\text{,}\) se conoce la siguiente información.

• \(f\)es continuo en\([3,6]\text{;}\)
• \(f\)es siempre creciente o siempre decreciente en\([3,6]\text{;}\)
• \(f\)tiene la misma concavidad a lo largo del intervalo\([3,6]\text{;}\)
• Como aproximaciones a\(\int_3^6 f(x) \, dx\text{,}\)\(L_4 = 7.23\text{,}\)\(R_4 = 6.75\text{,}\) y\(M_4 = 7.05\text{.}\)

1. Está\(f\) aumentando o disminuyendo en\([3,6]\text{?}\) ¿Qué datos te dicen?
2. Es\(f\) cóncava arriba o cóncava abajo en\([3,6]\text{?}\) ¿Por qué?
3. Determina la mejor estimación posible para la que puedas\(\int_3^6 f(x) \, dx\text{,}\) basándote en la información dada.

7

La velocidad a la que fluye el agua a través de la presa Table Rock en el río White en Branson, MO, se mide en pies cúbicos por segundo (CFS). A medida que los ingenieros abren las compuertas, los caudales se registran de acuerdo con el siguiente gráfico.

Cuadro 5.6.16. Datos de flujo de agua.

segundos,\(t\)	\(0\)	\(10\)	\(20\)	\(30\)	\(40\)	\(50\)	\(60\)
flujo en CFS,\(r(t)\)	\(2000\)	\(2100\)	\(2400\)	\(3000\)	\(3900\)	\(5100\)	\(6500\)

1. ¿Qué integral definida mide el volumen total de agua a fluir a través de la presa en el periodo de tiempo de 60 segundos proporcionado por la tabla anterior?
2. Utilice los datos dados para calcular\(M_n\) para el mayor valor posible de aproximarse\(n\) a la integral que declaró en (a). ¿Piensa\(M_n\) sobre-o subestima el valor exacto de la integral? ¿Por qué?
3. Aproximar la integral señalada en (a) calculando\(S_n\) para el mayor valor posible de con\(n\text{,}\) base en los datos dados.
4. Calcular\(\frac{1}{60} S_n\) y\(\frac{2000+2100+2400+3000+3900+5100+6500}{7}\text{.}\) ¿Qué cantidad estiman ambos valores? ¿Cuál es una aproximación más precisa?