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6.1: Uso de integrales definidas para encontrar área y longitud

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    120140
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Preguntas Motivadoras
    • ¿Cómo podemos usar integrales definidas para medir el área entre dos curvas?
    • ¿Cómo decidimos si integrarnos con respecto\(x\) o con respecto a\(y\) cuando tratamos de encontrar el área de una región?
    • ¿Cómo se puede usar una integral definida para medir la longitud de una curva?

    Al principio de nuestro trabajo con la integral definida, aprendimos que para un objeto que se mueve a lo largo de un eje, el área bajo una velocidad no negativa funciona\(v\) entre\(a\) y nos\(b\) dice la distancia que recorrió el objeto en ese intervalo de tiempo, y esa área viene dada precisamente por el definido integral\(\int_a^b v(t) \, dt\text{.}\) En general, para cualquier función no negativa\(f\) en un intervalo\([a,b]\text{,}\)\(\int_a^b f(x) \, dx\) mide el área delimitada por la curva y el\(x\) eje -entre\(x = a\) y\(x = b\text{.}\)

    A continuación, exploraremos cómo se pueden usar integrales definidas para representar otras propiedades físicamente importantes. En Preview Activity 6.1.1, investigamos cómo se puede usar una sola integral definida para representar el área entre dos curvas.

    Vista previa de la actividad 6.1.1

    Considerar las funciones dadas por\(f(x) = 5-(x-1)^2\) y\(g(x) = 4-x\text{.}\)

    1. Usa álgebra para encontrar los puntos donde se\(f\)\(g\) cruzan las gráficas.
    2. Dibuje una gráfica precisa de\(f\) y\(g\) sobre los ejes proporcionados, etiquetando las curvas por nombre y los puntos de intersección con pares ordenados.
    3. Encuentre y evalúe exactamente una expresión integral que represente el área entre\(y = f(x)\) y el\(x\) eje en el intervalo entre los puntos de intersección de\(f\) y\(g\text{.}\)
    4. Encuentre y evalúe exactamente una expresión integral que represente el área entre\(y = g(x)\) y el\(x\) eje en el intervalo entre los puntos de intersección de\(f\) y\(g\text{.}\)
    5. ¿Cuál es el área exacta entre\(f\) y\(g\) entre sus puntos de intersección? ¿Por qué?

    Figura 6.1.1. Ejes para plotting\(f\) y\(g\) en Actividad Preview 6.1.1

    6.1.1 El área entre dos curvas

    En Preview Activity 6.1.1, vimos una manera natural de pensar sobre el área entre dos curvas: es el área debajo de la curva superior menos el área debajo de la curva inferior.

    Ejemplo 6.1.2

    Encuentra el área delimitada entre las gráficas de\(f(x) = (x-1)^2 + 1\) y\(g(x) = x+2\text{.}\)

    Figura 6.1.3. Las áreas delimitadas por las funciones\(f(x) = (x-1)^2 + 1\) y\(g(x) = x+2\) en el intervalo\([0,3]\text{.}\)
    Responder

    En la Figura 6.1.3, vemos que las gráficas se cruzan en\((0,2)\) y\((3,5)\text{.}\) podemos encontrar estos puntos de intersección algebraicamente resolviendo el sistema de ecuaciones dadas por\(y = x+2\) y\(y = (x-1)^2 + 1\text{:}\) sustituyendo\(x+2\)\(y\) en la segunda ecuación rinde\(x+2 = (x-1)^2 + 1\text{,}\) así\(x+2 = x^2 - 2x + 1 + 1\text{,}\) y así

    \[ x^2 - 3x = x(x-3) = 0\text{,} \nonumber \]

    de lo que se deduce que\(x = 0\) o\(x = 3\text{.}\) Usando\(y = x+2\text{,}\) encontramos los\(y\) -valores correspondientes de los puntos de intersección.

    En el intervalo,\([0,3]\text{,}\) el área debajo\(g\) es

    \[ \int_0^3 (x+2) \, dx = \frac{21}{2}\text{,} \nonumber \]

    mientras que el área bajo\(f\) en el mismo intervalo es

    \[ \int_0^3 [(x-1)^2 + 1] \, dx = 6\text{.} \nonumber \]

    Así, el área entre las curvas es

    \[ A = \int_0^3 (x+2) \, dx - \int_0^3 [(x-1)^2 + 1] \, dx = \frac{21}{2} - 6 = \frac{9}{2}\text{.}\label{wfW}\tag{6.1.1} \]

    También podemos pensar en el área de esta manera: si cortamos la región entre dos curvas en rectángulos verticales delgados (con el mismo espíritu que originalmente cortamos la región entre una sola curva y el\(x\) eje -en la Sección 4.2), vemos (como se muestra en la Figura 6.1.4) que la altura de un rectángulo típico es dada por la diferencia entre las dos funciones,\(g(x) - f(x)\text{,}\) y su ancho es\(\Delta x\text{.}\) Así el área del rectángulo es

    \[ A_{\text{rect} } = (g(x) - f(x)) \Delta x\text{.} \nonumber \]
    Figura 6.1.4. El área delimitada por las funciones\(f(x) = (x-1)^2 + 1\) y\(g(x) = x+2\) en el intervalo\([0,3]\text{.}\)

    El área entre las dos curvas\([0,3]\) es así aproximada por la suma de Riemann

    \[ A \approx \sum_{i=1}^{n} (g(x_i) - f(x_i)) \Delta x\text{,} \nonumber \]

    y como dejamos que\(n \to \infty\text{,}\) se deduce que el área viene dada por la integral definida única

    \[ A = \int_0^3 (g(x) - f(x)) \, dx\text{.}\label{oBx}\tag{6.1.2} \]

    En muchas aplicaciones de la integral definida, nos resultará útil pensar en una “rebanada representativa” y usar la integral definida para agregar estas rebanadas. Aquí, la integral suma las áreas de rectángulos delgados.

    Finalmente, no importa si pensamos en el área entre dos curvas como la diferencia entre el área delimitada por las curvas individuales (como en (6.1.1)) o como el límite de una suma de Riemann de las áreas de rectángulos delgados entre las curvas (como en (6.1.2)). Estos dos resultados son los mismos, ya que la diferencia de dos integrales es la integral de la diferencia:

    \[ \int_0^3 g(x) \, dx - \int_0^3 f(x) \, dx = \int_0^3 (g(x) - f(x)) \, dx\text{.} \nonumber \]

    Nuestro trabajo hasta ahora en esta sección ilustra el siguiente principio general.

    Nota

    Si dos curvas\(y = g(x)\) y se\(y = f(x)\) cruzan en\((a,g(a))\)\((b,g(b))\text{,}\) y y para todos\(x\) tales que\(a \le x \le b\text{,}\)\(g(x) \ge f(x)\text{,}\) entonces el área entre las curvas es\(A = \int_a^b (g(x) - f(x)) \, dx\text{.}\)

    Actividad 6.1.2

    En cada uno de los siguientes problemas, nuestro objetivo es determinar el área de la región descrita. Para cada región, (i) determinar los puntos de intersección de las curvas, (ii) esbozar la región cuya área se encuentra, (iii) dibujar y etiquetar un corte representativo, y (iv) indicar el área de la rebanada representativa. Luego, declarar una integral definida cuyo valor sea el área exacta de la región, y evalúe la integral para encontrar el valor numérico del área de la región.

    1. La región finita delimitada por\(y = \sqrt{x}\) y\(y = \frac{1}{4}x\text{.}\)
    2. La región finita delimitada por\(y = 12-2x^2\) y\(y = x^2 - 8\text{.}\)
    3. El área delimitada por el\(y\) -eje,\(f(x) = \cos(x)\text{,}\) y\(g(x) = \sin(x)\text{,}\) donde consideramos la región formada por el primer valor positivo de\(x\) para la cual\(f\) e\(g\) intersectar.
    4. Las regiones finitas entre las curvas\(y = x^3-x\) y\(y = x^2\text{.}\)

    6.1.2 Área de búsqueda con rebanadas horizontales

    A veces, la forma de una región puede dictar que usemos rebanadas rectangulares horizontales, en lugar de verticales.

    Ejemplo 6.1.5

    Encuentra el área de la región delimitada por la parábola\(x = y^2 - 1\) y la línea que\(y = x-1\text{,}\) se muestra a la izquierda en la Figura 6.1.6.

    Figura 6.1.6. El área delimitada por las funciones\(x = y^2-1\) y\(y = x-1\) (a la izquierda), con la región cortada verticalmente (centro) y horizontalmente (a la derecha).
    Responder

    Al resolver la segunda ecuación para\(x\) y escribir\(x = y + 1\text{,}\) encontramos que\(y+1 = y^2 - 1\text{.}\) De ahí que las curvas se crucen donde\(y^2 - y - 2 = 0\text{.}\) Así, encontramos más\(y = -1\) o\(y = 2\text{,}\) menos los puntos de intersección de las dos curvas son\((0,-1)\) y\((3,2)\text{.}\)

    Si intentamos usar rectángulos verticales para rebanar el área (como en la gráfica central de la Figura 6.1.6), vemos que de\(x = -1\) a\(x = 0\) las curvas que delimitan la parte superior e inferior del rectángulo son una y la misma. Esto sugiere, como se muestra en la gráfica más a la derecha de la figura, que intentemos usar rectángulos horizontales.

    Tenga en cuenta que el ancho de un rectángulo horizontal depende de\(y\text{.}\) Entre\(y = -1\) y\(y = 2\text{,}\) el extremo derecho de un rectángulo representativo está determinado por la línea\(x = y+1\text{,}\) y el extremo izquierdo está determinado por la parábola,\(x = y^2-1\text{.}\) El grosor del rectángulo es\(\Delta y\text{.}\)

    Por lo tanto, el área del rectángulo es

    \[ A_{\text{rect} } = [(y+1) - (y^2-1)] \Delta y\text{,} \nonumber \]

    y el área entre las dos curvas en el\(y\) -intervalo\([-1,2]\) es aproximada por la suma de Riemann

    \[ A \approx \sum_{i=1}^{n} [(y_i+1)-(y_i^2-1)] \Delta y\text{.} \nonumber \]

    Tomando el límite de la suma de Riemann, se deduce que el área de la región es

    \[ A = \int_{y=-1}^{y=2} [(y+1) - (y^2-1)] \, dy\text{.}\label{Neh}\tag{6.1.3} \]

    Destacamos que estamos integrando con respecto a\(y\text{;}\) esto es porque optamos por usar rectángulos horizontales cuyos anchos dependen\(y\) y cuyo espesor se denota\(\Delta y\text{.}\) Es un ejercicio sencillo para evaluar la integral en la Ecuación (6.1.3) y encontrar que\(A = \frac{9}{2}\text{.}\)

    Al igual que con el uso de rectángulos verticales de espesor\(\Delta x\text{,}\) tenemos un principio general para encontrar el área entre dos curvas, que declaramos de la siguiente manera.

    Nota

    Si dos curvas\(x = g(y)\) y se\(x = f(y)\) cruzan en\((g(c),c)\)\((g(d),d)\text{,}\) y y para todos\(y\) tales que\(c \le y \le d\text{,}\)\(g(y) \ge f(y)\text{,}\) entonces el área entre las curvas es

    \[ A = \int_{y=c}^{y=d} (g(y) - f(y)) \, dy\text{.} \nonumber \]

    Actividad 6.1.3

    En cada uno de los siguientes problemas, nuestro objetivo es determinar el área de la región descrita. Para cada región, (i) determinar los puntos de intersección de las curvas, (ii) esbozar la región cuya área se encuentra, (iii) dibujar y etiquetar un corte representativo, y (iv) indicar el área de la rebanada representativa. Luego, declarar una integral definida cuyo valor sea el área exacta de la región, y evalúe la integral para encontrar el valor numérico del área de la región. Nota bien: En el paso donde dibujas una rebanada representativa, debes elegir si cortar vertical u horizontalmente.

    1. La región finita delimitada por\(x=y^2\) y\(x=6-2y^2\text{.}\)
    2. La región finita delimitada por\(x=1-y^2\) y\(x = 2-2y^2\text{.}\)
    3. El área delimitada por el\(x\) eje\(y=x^2\text{,}\) -y\(y=2-x\text{.}\)
    4. Las regiones finitas entre las curvas\(x=y^2-2y\) y\(y=x\text{.}\)

    6.1.3 Encontrar la longitud de una curva

    También podemos usar la integral definida para encontrar la longitud de una porción de una curva. Utilizamos el mismo principio fundamental: cortamos la curva en trozos pequeños cuyas longitudes podemos aproximarnos fácilmente. Específicamente, subdividimos la curva en pequeños segmentos de línea de aproximación, como se muestra a la izquierda en la Figura 6.1.7.

    Figura 6.1.7. A la izquierda, una función continua\(y = f(x)\) cuya longitud buscamos en el intervalo\(a = x_0\) a\(b = x_3\text{.}\) A la derecha, una vista de cerca de una porción de la curva.

    Estimamos la longitud\(L_{\text{slice} }\) de cada porción de la curva en un pequeño intervalo de longitud\(\Delta x\text{.}\) Utilizamos el triángulo rectángulo con patas paralelas a los ejes de coordenadas e hipotenusa conectando los extremos del corte, como se ve a la derecha en la Figura 6.1.7. La longitud,\(h\text{,}\) de la hipotenusa se aproxima a la longitud,\(L_{\text{slice} }\text{,}\) de la curva entre los dos puntos seleccionados. Así,

    \[ L_{\text{slice} } \approx h = \sqrt{ (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 }\text{.} \nonumber \]

    A continuación usamos álgebra para reorganizar la expresión para la longitud de la hipotenusa en una forma que podamos integrar. Al eliminar un factor de\((\Delta x)^2\text{,}\) encontramos

    \ begin {align*} L_ {\ text {slice}} &\ approx\ sqrt {(\ Delta x) ^2 + (\ Delta y) ^2}\\ [4pt] &=\ sqrt {(\ Delta x) ^2\ left (1 +\ frac {(\ Delta y) ^2} {(\ Delta x) ^2}\ derecha)}\\ [4pt] =\ sqrt {1 +\ frac {(\ Delta y) ^2} {(\ Delta x) ^2}}\ cdot\ Delta x\ texto {.} \ end {align*}

    Entonces, como\(n \to \infty\) y\(\Delta x \to 0\text{,}\) tenemos eso\(\frac{\Delta y}{\Delta x} \to \frac{dy}{dx} = f'(x)\text{.}\) Así, podemos decir que

    \[ L_{\text{slice} } \approx \sqrt{1 + f'(x)^2} \Delta x\text{.} \nonumber \]

    Tomando una suma de Riemann de todas estas rebanadas y dejando que\(n \to \infty\text{,}\) lleguemos al siguiente hecho.

    Nota

    Dada una función diferenciable\(f\) en un intervalo,\([a,b]\text{,}\) la longitud total del arco,\(L\text{,}\) a lo largo de la curva\(y = f(x)\) de\(x = a\) a\(x = b\) viene dada por

    \[ L = \int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2} \, dx\text{.} \nonumber \]

    Actividad 6.1.4

    Cada una de las siguientes preguntas involucra de alguna manera la longitud del arco a lo largo de una curva

    1. Utilice la definición y la tecnología computacional apropiada para determinar la longitud del arco\(x = -1\) a lo largo\(y = x^2\) de\(x = 1\text{.}\)
    2. Encuentra la longitud del arco de\(y = \sqrt{4-x^2}\) en el intervalo\(-2 \le x \le 2\text{.}\) Encuentra este valor de dos maneras diferentes: (a) usando una integral definida, y (b) usando una propiedad familiar de la curva.
    3. Determinar la longitud del arco\(y = xe^{3x}\) en el intervalo\([0,1]\text{.}\)
    4. ¿Las integrales que surgen calculando la longitud del arco típicamente serán aquellas que podamos evaluar exactamente usando la Primera FTC, o las que necesitamos aproximar? ¿Por qué?
    5. Una partícula en movimiento se desplaza a lo largo de la curva dada por\(y = f(x) = 0.1x^2 + 1\text{,}\) y lo hace a una velocidad constante de 7 cm/s, donde ambos\(x\) y\(y\) se miden en cm (es decir, la curva\(y = f(x)\) es la trayectoria a lo largo de la cual realmente viaja el objeto; la curva no es una “función de posición”). Encuentra la posición de la partícula cuando\(t = 4\) s, asumiendo que cuando\(t = 0\text{,}\) la ubicación de la partícula es\((0,f(0))\text{.}\)

    6.1.4 Resumen

    • Para encontrar el área entre dos curvas, pensamos en cortar la región en rectángulos delgados. Si, por ejemplo, el área de un rectángulo típico en el intervalo\(x = a\) a\(x = b\) viene dada por\(A_{\text{rect} } = (g(x) - f(x)) \Delta x\text{,}\) entonces el área exacta de la región viene dada por la integral definida
      \[ A = \int_a^b (g(x)-f(x))\, dx\text{.} \nonumber \]
    • La forma de la región suele dictar si debemos usar rectángulos verticales de grosor\(\Delta x\) o rectángulos horizontales de grosor\(\Delta y\text{.}\) Queremos que la altura del rectángulo dada por la diferencia entre dos curvas: si esas curvas son mejor pensadas como funciones de\(y\text{,}\) usamos rectángulos horizontales, mientras que si esas curvas se ven mejor como funciones de\(x\text{,}\) usamos rectángulos verticales.
    • La longitud del arco,\(L\text{,}\) a lo largo de la curva\(y = f(x)\) de\(x = a\) a\(x = b\) viene dada por
      \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2} \, dx\text{.} \nonumber \]

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