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6.2: Uso de Integrales Definitivas para Encontrar Volumen

  • Page ID
    120152
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    Preguntas Motivadoras
    • ¿Cómo podemos usar una integral definida para encontrar el volumen de un sólido tridimensional de revolución que resulta de girar una región bidimensional alrededor de un eje particular?
    • ¿En qué circunstancias integramos con respecto a\(y\) en lugar de integrarnos con respecto a\(x\text{?}\)
    • ¿Qué ajustes necesitamos hacer si giramos alrededor de una línea que no sea el eje\(x\) - o\(y\) -eje?

    Así como podemos usar integrales definidas para agregar las áreas de cortes rectangulares para encontrar el área exacta que se encuentra entre dos curvas, también podemos usar integrales para encontrar el volumen de regiones cuyas secciones transversales tienen una forma particular.

    En particular, podemos determinar el volumen de sólidos cuyas secciones transversales son todos cilindros delgados (o arandelas) sumando los volúmenes de estas rebanadas individuales. Primero consideramos una forma familiar en la Actividad Preview 6.2.1: un cono circular.

    Vista previa de la actividad 6.2.1

    Consideremos un cono circular de radio 3 y altura 5, que vemos horizontalmente como se muestra en la Figura 6.2.1. Nuestro objetivo en esta actividad es utilizar una integral definida para determinar el volumen del cono.

    Figura 6.2.1. El cono circular descrito en la Actividad Previa 6.2.1
    1. Encuentre una fórmula para la función lineal\(y = f(x)\) que se muestra en la Figura 6.2.1.
    2. Para la rebanada representativa de espesor\(\Delta x\) que se ubica horizontalmente en una ubicación\(x\) (en algún lugar entre\(x = 0\) y\(x = 5\)), ¿cuál es el radio de la rebanada representativa? Tenga en cuenta que el radio depende del valor de\(x\text{.}\)
    3. ¿Cuál es el volumen de la rebanada representativa que encontraste en (b)?
    4. ¿Qué integral definitiva sumará los volúmenes de las rebanadas delgadas a lo largo de la extensión horizontal completa del cono? ¿Cuál es el valor exacto de esta integral definida?
    5. Compara el resultado de tu trabajo en (d) con el volumen del cono que viene de usar la fórmula\(V_{\text{cone} } = \frac{1}{3} \pi r^2 h\text{.}\)

    Volumen de un Sólido de Revolución

    Un sólido de revolución es un sólido tridimensional que se puede generar girando una o más curvas alrededor de un eje fijo. Por ejemplo, el cono circular en la Figura 6.2.1 es el sólido de revolución generado al girar la porción de la línea\(y = 3 - \frac{3}{5}x\) desde\(x = 0\) hasta\(x = 5\) alrededor del\(x\) eje -eje. Observe que si cortamos un sólido de revolución perpendicular al eje de revolución, la sección transversal resultante es un círculo.

    Primero consideramos sólidos cuyas rebanadas son cilindros delgados. Recordemos que el volumen de un cilindro viene dado por\(V = \pi r^2 h\text{.}\)

    Ejemplo 6.2.2

    Encuentra el volumen del sólido de revolución generado cuando la región\(R\) delimitada por\(y = 4-x^2\) y el\(x\) eje -gira alrededor del\(x\) eje -eje.

    Contestar

    Primero, observamos que\(y = 4-x^2\) cruza el\(x\) eje -en los puntos\((-2,0)\) y\((2,0)\text{.}\) Cuando giramos la región\(R\) alrededor del\(x\) eje, obtenemos el sólido tridimensional representado en la Figura 6.2.3.

    Figura 6.2.3. El sólido de la revolución en el Ejemplo 6.2.2.

    Cortamos el sólido en rodajas verticales de espesor\(\Delta x\) entre\(x = -2\) y\(x = 2\text{.}\) Una rebanada representativa es un cilindro de altura\(\Delta x\) y radio\(4-x^2\text{.}\) Por lo tanto, el volumen de la rebanada es

    \[ V_{\text{slice} } = \pi (4-x^2)^2 \Delta x\text{.} \nonumber \]

    Utilizando una integral definida para sumar los volúmenes de las rebanadas representativas, se deduce que

    \[ V = \int_{-2}^{2} \pi (4-x^2)^2 \, dx\text{.} \nonumber \]

    Es sencillo evaluar la integral y encontrar que el volumen es\(V = \frac{512}{15}\pi\text{.}\)

    Para un sólido como el del Ejemplo 6.2.2, donde cada rebanada es un disco cilíndrico, primero encontramos el volumen de una rebanada típica (señalando particularmente de qué depende este volumen\(x\)), y luego integramos sobre el rango de\(x\) valores que unían al sólido. A menudo, nos contentaremos con simplemente encontrar la integral que representa el volumen; si deseamos un valor numérico para la integral, normalmente usamos una calculadora o sistema de álgebra informática para encontrar ese valor.

    Este método para encontrar el volumen de un sólido de revolución a menudo se llama el método de disco.

    El método del disco

    Si\(y = r(x)\) es una función continua no negativa en\([a,b]\text{,}\) entonces el volumen del sólido de revolución generado al girar la curva alrededor del\(x\) eje -sobre este intervalo viene dado por

    \[ V = \int_a^b \pi r(x)^2 \, dx\text{.} \nonumber \]

    Un tipo diferente de sólido puede emerger cuando se involucran dos curvas, como vemos en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo 6.2.4

    Encuentra el volumen del sólido de revolución generado cuando la región finita\(R\) que se encuentra entre\(y = 4-x^2\) y\(y = x+2\) gira alrededor del\(x\) eje -eje.

    Contestar

    Primero, debemos determinar dónde se\(y = x+2\) cruzan las curvas\(y = 4-x^2\) y. Sustituyendo la expresión\(y\) de la segunda ecuación a la primera ecuación, encontramos que\(x + 2 = 4-x^2\text{.}\) Reordenando, se deduce que

    \[ x^2 + x - 2 = 0\text{,} \nonumber \]

    y las soluciones a esta ecuación son\(x = -2\) y\(x = 1\text{.}\) Las curvas por lo tanto se cruzan en\((-2,0)\) y\((1,1)\text{.}\)

    Cuando giramos la región\(R\) alrededor del\(x\) eje, obtenemos el sólido tridimensional representado a la izquierda en la Figura 6.2.5.

    Figura 6.2.5. A la izquierda, el sólido de revolución en el Ejemplo 6.2.4. A la derecha, un corte típico con radio interior\(r(x)\) y radio exterior\(R(x)\text{.}\)

    Inmediatamente vemos una gran diferencia entre el sólido en este ejemplo y el del Ejemplo 6.2.2: aquí, el sólido tridimensional de la revolución no es “sólido” porque tiene espacio abierto en su centro a lo largo del eje de revolución. Si cortamos el sólido perpendicular al eje de revolución, observamos que el corte resultante no es un disco sólido, sino una arandela, como se muestra a la derecha en la Figura 6.2.5. En una ubicación dada\(x\) entre\(x = -2\) y\(x = 1\text{,}\) el pequeño radio\(r(x)\) del círculo interno está determinado por la curva de\(y = x+2\text{,}\) manera\(r(x) = x+2\text{.}\) similar, el radio grande\(R(x)\) proviene de la función\(y = 4-x^2\text{,}\) y por lo tanto\(R(x) = 4-x^2\text{.}\)

    Para encontrar el volumen de una porción representativa, calculamos el volumen del disco externo y restamos el volumen del disco interno. Desde

    \[ \pi R(x)^2 \Delta x - \pi r(x)^2 \Delta x = \pi [ R(x)^2 - r(x)^2] \Delta x\text{,} \nonumber \]

    se deduce que el volumen de una rebanada típica es

    \[ V_{\text{slice} } = \pi [ (4-x^2)^2 - (x+2)^2 ] \Delta x\text{.} \nonumber \]

    Usando una integral definida para sumar los volúmenes de las respectivas rebanadas a través de la integral, encontramos que

    \[ V = \int_{-2}^1 \pi[ (4-x^2)^2 - (x+2)^2 ] \, dx\text{.} \nonumber \]

    Evaluando la integral, encontramos que el volumen del sólido de la revolución es\(V = \frac{108}{5}\pi\text{.}\)

    Este método para encontrar el volumen de un sólido de revolución generado por dos curvas a menudo se denomina método de arandela.

    El método de la lavadora

    Si\(y = R(x)\) y\(y = r(x)\) son funciones continuas no negativas sobre\([a,b]\) eso satisfacen\(R(x) \ge r(x)\) para todos\(x\) en\([a,b]\text{,}\) entonces el volumen del sólido de revolución generado al girar la región entre ellos alrededor del\(x\) -eje sobre este intervalo viene dado por

    \[ V = \int_a^b \pi [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx\text{.} \nonumber \]

    Actividad 6.2.2

    En cada una de las siguientes preguntas, dibuje un boceto cuidadoso y etiquetado de la región descrita, así como el sólido resultante que resulta de girar la región alrededor del eje señalado. Además, dibuje una porción representativa y establezca el volumen de esa porción, junto con una integral definida cuyo valor sea el volumen de todo el sólido. No es necesario evaluar las integrales que encuentres.

    1. La región\(S\) delimitada por el\(x\) eje -eje, la curva\(y = \sqrt{x}\text{,}\) y la línea\(x = 4\text{;}\) giran\(S\) alrededor del\(x\) eje -eje.
    2. La región\(S\) delimitada por el\(y\) eje -eje, la curva\(y = \sqrt{x}\text{,}\) y la línea\(y = 2\text{;}\) giran\(S\) alrededor del\(x\) eje -eje.
    3. La región finita\(S\) delimitada por las curvas\(y = \sqrt{x}\) y\(y = x^3\text{;}\) gira\(S\) alrededor del\(x\) eje.
    4. La región finita\(S\) delimitada por las curvas\(y = 2x^2 + 1\) y\(y = x^2 + 4\text{;}\) gira\(S\) alrededor del\(x\) eje.
    5. La región\(S\) delimitada por el\(y\) eje -eje, la curva\(y = \sqrt{x}\text{,}\) y la línea\(y = 2\text{;}\) giran\(S\) alrededor del\(y\) eje -eje. ¿En qué se diferencia este problema del que se plantea en la parte b)?

    Girando alrededor del\(y\) eje

    Cuando giramos una región dada alrededor del\(y\) eje, las rebanadas representativas ahora tienen espesor\(\Delta y\text{,}\) lo que significa que debemos integrarnos con respecto a\(y\text{.}\)

    Ejemplo 6.2.6

    Encuentra el volumen del sólido de revolución generado cuando la región\(R\) que se encuentra entre\(y = \sqrt{x}\) y\(y = x^4\) gira alrededor del\(y\) eje -eje.

    Contestar

    Estas dos curvas se cruzan cuando de\(x = 1\text{,}\) ahí en el punto\((1,1)\text{.}\) Cuando giramos la región\(R\) alrededor del\(y\) eje, obtenemos el sólido tridimensional representado a la izquierda en la Figura 6.2.7.

    Figura 6.2.7. A la izquierda, el sólido de la revolución en el Ejemplo 6.2.6. A la derecha, un corte típico con radio interior\(r(y)\) y radio exterior\(R(y)\text{.}\)

    Tenga en cuenta que las rebanadas son arandelas cilíndricas solo si se toman perpendiculares al\(y\) eje. Cortamos el sólido horizontalmente, comenzando en\(y = 0\) y procediendo hasta\(y = 1\text{.}\) El espesor de una rebanada representativa es\(\Delta y\text{,}\) así que debemos expresar el integrando en términos de\(y\text{.}\) El radio interno está determinado por la curva\(y = \sqrt{x}\text{,}\) así resolvemos\(x\) y obtenemos\(x = y^2 = r(y)\text{.}\) En el de la misma manera, resolvemos la curva\(y = x^4\) (que gobierna el radio exterior) para\(x\) en términos de\(y\text{,}\) y por\(x = \sqrt[4]{y}\text{.}\) lo tanto, el volumen de una rebanada típica es

    \[ V_{\text{slice} } = \pi [R(y)^2 - r(y)^2] = \pi[(\sqrt[4]{y})^2 - (y^2)^2] \Delta y\text{.} \nonumber \]

    Usamos una integral definida para sumar los volúmenes de todas las rebanadas de\(y = 0\) a\(y = 1\text{.}\) El volumen total es

    \[ V = \int_{y=0}^{y=1} \pi \left[ (\sqrt[4]{y})^2 - (y^2)^2 \right] \, dy\text{.} \nonumber \]

    Es sencillo evaluar la integral y encontrar que\(V = \frac{7}{15} \pi\text{.}\)

    Actividad 6.2.3

    En cada una de las siguientes preguntas, dibuje un boceto cuidadoso y etiquetado de la región descrita, así como el sólido resultante que resulta de girar la región alrededor del eje señalado. Además, dibuje una porción representativa y establezca el volumen de esa porción, junto con una integral definida cuyo valor sea el volumen de todo el sólido. No es necesario evaluar las integrales que encuentres.

    1. La región\(S\) delimitada por el\(y\) eje -eje, la curva\(y = \sqrt{x}\text{,}\) y la línea\(y = 2\text{;}\) giran\(S\) alrededor del\(y\) eje -eje.
    2. La región\(S\) delimitada por el\(x\) eje -eje, la curva\(y = \sqrt{x}\text{,}\) y la línea\(x = 4\text{;}\) giran\(S\) alrededor del\(y\) eje -eje.
    3. La región finita\(S\) en el primer cuadrante delimitada por las curvas\(y = 2x\) y\(y = x^3\text{;}\) gira\(S\) alrededor del\(x\) eje -eje.
    4. La región finita\(S\) en el primer cuadrante delimitada por las curvas\(y = 2x\) y\(y = x^3\text{;}\) gira\(S\) alrededor del\(y\) eje -eje.
    5. La región finita\(S\) delimitada por las curvas\(x = (y-1)^2\) y\(y = x-1\text{;}\) gira\(S\) alrededor del\(y\) eje

    Girar alrededor de líneas horizontales y verticales distintas de los ejes de coordenadas

    Es posible girar una región alrededor de cualquier línea horizontal o vertical. Al hacerlo, se ajustan los radios de los cilindros o arandelas involucrados por un valor constante. Una trama cuidadosa y bien etiquetada del sólido de la revolución generalmente revelará cómo el eje diferente de la revolución afecta a la integral definida.

    Ejemplo 6.2.8

    Encuentra el volumen del sólido de revolución generado cuando la región finita\(S\) que se encuentra entre\(y = x^2\) y\(y = x\) gira alrededor de la línea\(y = -1\text{.}\)

    Contestar

    Graficando la región entre las dos curvas en el primer cuadrante entre sus puntos de intersección (\((0,0)\)y\((1,1)\)) y luego girando la región alrededor de la línea\(y = -1\text{,}\) vemos el sólido que se muestra en la Figura 6.2.9. Cada rebanada del sólido perpendicular al eje de revolución es una arandela, y los radios de cada arandela están gobernados por las curvas\(y = x^2\) y\(y = x\text{.}\) Pero también vemos que hay un cambio agregado: el eje de revolución agrega una longitud fija a cada radio. El radio interior de un corte típico,\(r(x)\text{,}\) viene dado por\(r(x) = x^2 + 1\text{,}\) mientras que el radio exterior es\(R(x) = x+1\text{.}\)

    Figura 6.2.9. El sólido de revolución descrito en el Ejemplo 6.2.8.

    Por lo tanto, el volumen de una rebanada típica es

    \[ V_{\text{slice} } = \pi[ R(x)^2 - r(x)^2 ] \Delta x = \pi \left[ (x+1)^2 - (x^2 + 1)^2 \right] \Delta x\text{.} \nonumber \]

    Finalmente, integramos para encontrar el volumen total, y

    \[ V = \int_0^1 \pi \left[ (x+1)^2 - (x^2 + 1)^2 \right] \, dx = \frac{7}{15} \pi\text{.} \nonumber \]
    Actividad 6.2.4

    En cada una de las siguientes preguntas, dibuje un boceto cuidadoso y etiquetado de la región descrita, así como el sólido resultante que resulta de girar la región alrededor del eje señalado. Además, dibuje una porción representativa y establezca el volumen de esa porción, junto con una integral definida cuyo valor sea el volumen de todo el sólido. No es necesario evaluar las integrales que encuentres. Para cada prompt, use la región finita\(S\) en el primer cuadrante delimitada por las curvas\(y = 2x\) y\(y = x^3\text{.}\)

    1. Gira\(S\) sobre la línea\(y = -2\text{.}\)
    2. Gira\(S\) sobre la línea\(y = 4\text{.}\)
    3. Gira\(S\) sobre la línea\(x=-1\text{.}\)
    4. Gira\(S\) sobre la línea\(x = 5\text{.}\)

    Resumen

    • Podemos usar una integral definida para encontrar el volumen de un sólido tridimensional de revolución que resulta de girar una región bidimensional alrededor de un eje particular tomando rebanadas perpendiculares al eje de revolución que luego serán discos circulares o arandelas.
    • Si giramos alrededor de una línea vertical y rebanamos perpendicular a esa línea, entonces nuestras rebanadas son horizontales y de grosor\(\Delta y\text{.}\) Esto nos lleva a integrarnos con respecto a en\(y\text{,}\) contraposición a con respecto a\(x\) cuando cortamos un sólido verticalmente.
    • Si giramos alrededor de una línea que no sea el eje\(x\) - o\(y\) -eje, necesitamos tener en cuenta cuidadosamente el desplazamiento que se produce en el radio de un corte típico. Normalmente, este cambio implica tomar una suma o diferencia de la función junto con la constante conectada a la ecuación para la línea horizontal o vertical; un diagrama bien etiquetado suele ser la mejor manera de decidir la nueva expresión para el radio.

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