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6.3: Densidad, Masa y Centro de Masa

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    120151
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    Preguntas Motivadoras
    • ¿Cómo se relacionan la masa, la densidad y el volumen?
    • ¿Cómo se calcula la masa de un objeto con densidad variable?
    • ¿Cuál es el centro de masa de un objeto y cómo se utilizan las integrales definidas para calcularlo?

    Estudiar las unidades sobre el integrando y la variable de integración nos ayuda a comprender el significado de una integral definida. Por ejemplo, si\(v(t)\) es la velocidad de un objeto que se mueve a lo largo de un eje, medida en pies por segundo, y\(t\) mide el tiempo en segundos, entonces tanto la integral definida como su aproximación de suma Riemann,

    \[ \int_a^b v(t) \, dt \approx \sum_{i=1}^n v(t_i) \Delta t\text{,} \nonumber \]

    tener unidades dadas por el producto de las unidades de\(v(t)\) y\(t\text{:}\)

    \[ \text{(feet/sec)} \cdot \text{(sec)} = \text{feet}\text{.} \nonumber \]

    Así,\(\int_a^b v(t) \, dt\) mide el cambio total de posición del objeto en movimiento en pies.

    El análisis de unidades nos será particularmente útil en lo que sigue.

    Vista previa de la actividad 6.3.1

    En cada uno de los siguientes escenarios, consideramos la distribución de una cantidad a lo largo de un eje.

    1. Supongamos que la función\(c(x) = 200 + 100 e^{-0.1x}\) modela la densidad del tráfico en una carretera recta, medida en autos por milla, donde\(x\) está el número de millas al este de un intercambio importante, y considera la integral definida\(\int_0^2 (200 + 100 e^{-0.1x}) \, dx\text{.}\)
      1. Cuáles son las unidades en el producto\(c(x) \cdot \Delta x\text{?}\)
      2. ¿Cuáles son las unidades sobre la integral definida y su aproximación de suma Riemann dada por
        \[ \int_0^2 c(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^n c(x_i) \Delta x? \nonumber \]
      3. Evalúa la integral definida\(\int_0^2 c(x) \, dx = \int_0^2 \left(200 + 100 e^{-0.1x}\right) \, dx\) y escribe una frase para explicar el significado del valor que encuentres.
    2. En una repisa de 6 pies de largo llena de libros, la función\(B\) modela la distribución del peso de los libros, en libras por pulgada, donde\(x\) está el número de pulgadas del extremo izquierdo de la estantería. \(B(x)\)Déjese dar por la regla\(B(x) = 0.5 + \frac{1}{(x+1)^2}\text{.}\)
      1. Cuáles son las unidades en el producto\(B(x) \cdot \Delta x\text{?}\)
      2. ¿Cuáles son las unidades sobre la integral definida y su aproximación de suma Riemann dada por
        \[ \int_{12}^{36} B(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^n B(x_i) \Delta x? \nonumber \]
      3. Evalúa la integral definida\(\int_{0}^{72} B(x) \, dx = \int_0^{72} \left(0.5 + \frac{1}{(x+1)^2}\right) \, dx\) y escribe una frase para explicar el significado del valor que encuentres.

    6.3.1 Densidad

    La masa de una cantidad, típicamente medida en unidades métricas como gramos o kilogramos, es una medida de la cantidad de la cantidad. De manera correspondiente, la densidad de un objeto mide la distribución de masa por unidad de volumen. Por ejemplo, si un ladrillo tiene una masa de 3 kg y un volumen de 0.002 m\(^3\text{,}\) entonces la densidad del ladrillo es

    \[ \frac{3 \mbox{kg} }{0.002 \mbox{m} ^3} = 1500 \frac{\mbox{kg} }{\mbox{m} ^3}\text{.} \nonumber \]

    Como otro ejemplo, la densidad de masa del agua es de 1000 kg/m\(^3\text{.}\) Cada una de estas relaciones demuestran el siguiente principio general.

    Nota

    Para un objeto de densidad constante\(d\text{,}\) con masa\(m\) y volumen\(V\text{,}\)

    \[ d = \frac{m}{V}, \ \text{or} \ m = d \cdot V\text{.} \nonumber \]

    Pero, ¿qué pasa cuando la densidad no es constante?

    La fórmula\(m = d \cdot V\) es una reminiscencia de otras dos ecuaciones que hemos utilizado en nuestro trabajo: para un cuerpo que se mueve en una dirección fija, distancia = tasa\(\cdot\) tiempo, y, para un rectángulo, su área viene dada por\(A = l \cdot w\text{.}\) Estas fórmulas se mantienen cuando las principales cantidades involucradas, como la velocidad que mueve el cuerpo y la altura del rectángulo, son constantes. Cuando estas cantidades no son constantes, hemos recurrido a la integral definitiva para la asistencia. Al trabajar con pequeñas rebanadas en las que la cantidad de interés (como la velocidad) es aproximadamente constante, podemos usar una integral definida para sumar los valores en las piezas.

    Por ejemplo, si tenemos una función de velocidad no negativa que no es constante, en un corto intervalo de tiempo\(\Delta t\) sabemos que la distancia recorrida es aproximadamente\(v(t) \Delta t\text{,}\) ya que\(v(t)\) es casi constante en un intervalo pequeño. Del mismo modo, si estamos pensando en el área bajo una función no negativa\(f\) cuyo valor está cambiando, en un corto intervalo\(\Delta x\) el área bajo la curva es aproximadamente el área del rectángulo cuya altura es\(f(x)\) y cuyo ancho es\(\Delta x\text{:}\)\(f(x) \Delta x\text{.}\) Ambos principios son representado visualmente en la Figura 6.3.1.

    Figura 6.3.1. A la izquierda, estimando una pequeña cantidad de distancia recorrida,\(v(t) \Delta t\text{,}\) y a la derecha, una pequeña cantidad de área bajo la curva,\(f(x) \Delta x\text{.}\)

    De manera similar, si la densidad de algún objeto no es constante, podemos usar una integral definida para calcular la masa total del objeto. Nos enfocaremos en problemas donde la densidad varía en una sola dimensión, digamos a lo largo de un solo eje.

    Consideremos una barra delgada de longitud\(b\) cuyo extremo izquierdo está en el origen, donde\(x = 0\text{,}\) y supongamos que la barra tiene área transversal constante de 1 cm\(^2\text{.}\) Dejamos\(\rho(x)\) representar la función de densidad de masa de la barra, medida en gramos por centímetro cúbico. Es decir, dada una ubicación nos\(x\text{,}\)\(\rho(x)\) dice aproximadamente cuánta masa se encontrará en una rebanada de un centímetro de ancho de la barra en\(x\text{.}\)

    Figura 6.3.2. Una barra delgada de área transversal constante de 1 cm\(^2\) con función de densidad\(\rho(x)\) g/cm\(^3\text{.}\)

    El volumen de una rebanada delgada de la barra de ancho\(\Delta x\text{,}\) como se muestra en la Figura 6.3.2, es el área transversal veces\(\Delta x\text{.}\) Dado que las secciones transversales tienen cada una área constante de 1 cm\(^2\text{,}\) se deduce que el volumen de la rebanada es\(1 \Delta x\) cm\(^3\text{.}\) Y debido a que la masa es el producto de la densidad y volumen, vemos que la masa de esta rebanada es aproximadamente

    \[ \text{mass} _{\text{slice} } \approx \rho(x) \ \frac{\mbox{g} }{\mbox{cm} ^3} \cdot 1 \Delta x \ \mbox{cm} ^3 = \rho(x) \cdot \Delta x \ \mbox{g}\text{.} \nonumber \]

    La suma correspondiente de Riemann (y la integral que se aproxima),

    \[ \sum_{i=1}^n \rho(x_i) \Delta x \approx \int_0^b \rho(x) \, dx\text{,} \nonumber \]

    por lo tanto medir la masa de la barra entre\(0\) y\(b\text{.}\) (La suma de Riemann es una aproximación, mientras que la integral será la masa exacta.)

    Para los objetos cuya área de sección transversal es constante y cuya masa se distribuye en relación con la ubicación horizontal,\(x\text{,}\) tiene sentido pensar en la función de densidad\(\rho(x)\) con unidades “masa por unidad de longitud”, como g/cm. Así, cuando calculamos\(\rho(x) \cdot \Delta x\) en una rebanada pequeña\(\Delta x\text{,}\) las unidades resultantes son g/cm\(\cdot\) cm = g, que así mide la masa de la rebanada. Sigue el principio general.

    Nota

    Para un objeto de área transversal constante cuya masa se distribuye a lo largo de un solo eje según la función\(\rho(x)\) (cuyas unidades son unidades de masa por unidad de longitud), la masa total,\(M\text{,}\) del objeto entre\(x = a\) y\(x = b\) está dada por

    \[ M = \int_a^b \rho(x) \, dx\text{.} \nonumber \]

    Actividad 6.3.2

    Considera las siguientes situaciones en las que la masa se distribuye de manera no constante.

    1. Supongamos que una varilla delgada con área transversal constante de 1 cm\(^2\) tiene su masa distribuida de acuerdo con la función de densidad\(\rho(x) = 2e^{-0.2x}\text{,}\) donde\(x\) está la distancia en cm desde el extremo izquierdo de la varilla, y las unidades en\(\rho(x)\) son g/cm. Si la varilla mide 10 cm de largo, determine la masa exacta de la varilla.
    2. Considera el cono que tiene una base de radio 4 m y una altura de 5 m. Imagínese el cono acostado horizontalmente con el centro de su base en el origen y piense en el cono como un sólido de revolución.
      1. Escribir y evaluar una integral definida cuyo valor es el volumen del cono.
      2. A continuación, supongamos que el cono tiene densidad uniforme de 800 kg/m\(^3\text{.}\) ¿Cuál es la masa del cono sólido?
      3. Ahora supongamos que la densidad del cono no es uniforme, sino que el cono es más denso en su base. En particular, supongamos que la densidad del cono es uniforme a través de secciones transversales paralelas a su base, pero que en cada sección transversal que es una distancia\(x\) unidades desde el origen, la densidad de la sección transversal viene dada por la función\(\rho(x) = 400 + \frac{200}{1+x^2}\text{,}\) medida en kg/m\(^3\text{.}\) Determinar y evaluar una integral definida cuyo valor es la masa de este cono de densidad no uniforme. Hazlo pensando primero en la masa de una rebanada dada de las\(x\) unidades de cono alejadas de la base; recuerda que en tal rebanada, la densidad será esencialmente constante.
    3. Dejar que una varilla delgada de área transversal constante de 1 cm\(^2\) y longitud 12 cm tenga su masa distribuida de acuerdo con la función de densidad\(\rho(x) = \frac{1}{25}(x-15)^2\text{,}\) medida en g/cm. Encuentra la ubicación exacta\(z\) en la que cortar la barra para que las dos piezas tengan cada una masa idéntica.

    6.3.2 Promedios ponderados

    El concepto de promedio es natural, y uno que hemos utilizado repetidamente como parte de nuestra comprensión del significado de la integral definida. Si tenemos\(n\) valores\(a_1\text{,}\)\(a_2\text{,}\)\(\ldots\text{,}\)\(a_n\text{,}\) sabemos que su promedio viene dado por

    \[ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}\text{,} \nonumber \]

    y para una cantidad que se mide por una función\(f\) en un intervalo,\([a,b]\text{,}\) el valor promedio de la cantidad en\([a,b]\) es

    \[ \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx\text{.} \nonumber \]

    A medida que seguimos pensando en problemas que involucran la distribución de la masa, es natural considerar la idea de un promedio ponderado, donde ciertas cantidades involucradas se cuentan más en el promedio.

    Un uso común de los promedios ponderados es en el cálculo del GPA de un estudiante, donde las calificaciones se ponderan de acuerdo con las horas de crédito. Consideremos el escenario en la Tabla 6.3.3.

    Cuadro 6.3.3. Calificaciones semestrales de un estudiante universitario.
    clase grado puntos de calificación créditos
    química B+ 3.3 5
    cálculo A- 3.7 4
    historia B- 2.7 3
    psicología B- 2.7 3

    Si todas las clases fueran del mismo peso (es decir, el mismo número de créditos), el promedio del estudiante se calcularía simplemente tomando el promedio

    \[ \frac{3.3 + 3.7 + 2.7 + 2.7}{4} = 3.1\text{.} \nonumber \]

    Pero dado que los cursos de química y cálculo tienen pesos más altos (de 5 y 4 créditos respectivamente), en realidad calculamos el GPA de acuerdo con el promedio ponderado

    \[ \frac{3.3 \cdot 5 + 3.7 \cdot 4 + 2.7 \cdot 3 + 2.7 \cdot 3}{5 + 4 + 3 + 3} = 3.1\overline{6}\text{.} \nonumber \]

    El promedio ponderado refleja el hecho de que la química y el cálculo, como cursos con mayores créditos, tienen un mayor impacto en el promedio de calificaciones de los estudiantes. Obsérvese particularmente que en el promedio ponderado, cada nota se multiplica por su peso, y dividimos por la suma de los pesos.

    En la siguiente actividad, exploramos más a fondo cómo se pueden utilizar los promedios ponderados para encontrar el punto de equilibrio de un sistema físico.

    Actividad 6.3.3

    Para cantidades de igual peso, como dos niños en un tambaleo, el punto de equilibrio se encuentra tomando el promedio de sus ubicaciones. Cuando los pesos de las cantidades difieren, utilizamos un promedio ponderado de sus respectivas ubicaciones para encontrar el punto de equilibrio.

    1. Supongamos que una repisa mide 6 pies de largo, con su extremo izquierdo situado en\(x = 0\text{.}\) Si se coloca un libro de peso a 1 lb\(x_1 = 0\text{,}\) y se coloca otro libro de peso de 1 lb en\(x_2 = 6\text{,}\) cuál es la ubicación del\(\overline{x}\text{,}\) punto en el que la repisa (teóricamente) se balancearía sobre un fulcro?
    2. Ahora, digamos que colocamos cuatro libros en la repisa, cada uno con un peso de 1 lb:\(x_1 = 0\text{,}\) a\(x_2 = 2\text{,}\) en\(x_3 = 4\text{,}\) y en\(x_4 = 6\text{.}\) Encuentra\(\overline{x}\text{,}\) el punto de equilibrio de la repisa.
    3. ¿Cómo\(\overline{x}\) cambia si cambiamos la ubicación del tercer libro? Digamos que las ubicaciones de los libros de 1 lb son\(x_1 = 0\text{,}\)\(x_2 = 2\text{,}\)\(x_3 = 3\text{,}\) y\(x_4 = 6\text{.}\)
    4. A continuación, supongamos que colocamos cuatro libros en el estante, pero de pesos variables: en\(x_1 = 0\) un libro de 2 lb, en\(x_2 = 2\) un libro de 3 lb, en\(x_3 = 4\) un libro de 1 lb y en\(x_4 = 6\) un libro de 1 lb. Utilice un promedio ponderado de las ubicaciones para encontrar\(\overline{x}\text{,}\) el punto de equilibrio de la repisa. ¿Cómo se compara el punto de equilibrio en este escenario con el que se encuentra en la letra b)?
    5. ¿Qué pasa si cambiamos la ubicación de uno de los libros? Decir que mantenemos todo igual en (d), excepto que\(x_3 = 5\text{.}\) ¿Cómo\(\overline{x}\) cambia?
    6. ¿Qué pasa si cambiamos el peso de uno de los libros? Digamos que mantenemos todo igual en (d), excepto que el libro en\(x_3 = 4\) este momento pesa 2 lbs. ¿Cómo\(\overline{x}\) cambia?
    7. Experimenta con un par de escenarios diferentes de tu elección donde mueves uno de los libros hacia la izquierda, o disminuyes el peso de uno de los libros.
    8. Escribe un par de frases para explicar cómo ajustar la ubicación de uno de los libros o el peso de uno de los libros afecta la ubicación del punto de equilibrio de la repisa. Piense detenidamente aquí sobre cómo deben considerarse sus cambios en relación con la ubicación del punto\(\overline{x}\) de equilibrio del escenario actual.

    6.3.3 Centro de Masa

    En la Actividad 6.3.3, vimos que el punto de equilibrio de un sistema de punto-masas 1 (como libros en una repisa) se encuentra tomando un promedio ponderado de sus respectivas ubicaciones. En la actividad, estábamos calculando el centro de masa de un sistema de masas distribuidas a lo largo de un eje, que es el punto de equilibrio del eje sobre el que descansan las masas.

    En la actividad, en realidad usamos peso en lugar de masa. Dado que el peso es proporcional a la masa, los cálculos para el punto de equilibrio resultan en la misma ubicación independientemente de si usamos peso o masa. La constante gravitacional está presente tanto en el numerador como en el denominador del promedio ponderado.

    Centro de masa (punto-masas)

    Para una colección de\(n\) masas\(m_1\text{,}\)\(\ldots\text{,}\)\(m_n\) que se distribuyen a lo largo de un solo eje en las ubicaciones,\(x_1\text{,}\)\(\ldots\text{,}\)\(x_n\text{,}\) el centro de masa viene dado por

    \[ \overline{x} = \frac{x_1 m_1 + x_2 m_2 + \cdots + x_n m_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n}\text{.} \nonumber \]

    Ahora considere una barra delgada sobre la cual la densidad se distribuye continuamente. Si la densidad es constante, es obvio que el punto de equilibrio de la barra es su punto medio. Pero si la densidad no es constante, debemos calcular un promedio ponderado. Digamos que la función nos\(\rho(x)\) dice la distribución de densidad a lo largo de la barra, medida en g/cm. Si cortamos la barra en pequeñas secciones, podemos pensar que la barra contiene una colección de masas puntuales adyacentes. La masa\(m_i\) de una rebanada de espesor\(\Delta x\) en la ubicación\(x_i\text{,}\) es\(m_i \approx \rho(x_i) \Delta x\text{.}\)

    Si cortamos la barra en\(n\) pedazos, podemos aproximar su centro de masa por

    \[ \overline{x} \approx \frac{x_1 \cdot \rho(x_1) \Delta x + x_2 \cdot \rho(x_2) \Delta x + \cdots + x_n \cdot \rho(x_n) \Delta x }{\rho(x_1) \Delta x + \rho(x_2) \Delta x + \cdots + \rho(x_n) \Delta x}\text{.} \nonumber \]

    Reescribiendo las sumas en notación sigma, tenemos

    \[ \overline{x} \approx \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_i \cdot \rho(x_i) \Delta x}{\sum_{i = 1}^{n} \rho(x_i) \Delta x}\text{.}\label{npa}\tag{6.3.1} \]

    Cuanto mayor sea el número de rebanadas, más precisa será nuestra estimación del punto de equilibrio. Las sumas en la Ecuación (6.3.1) pueden verse como sumas de Riemann, por lo que en el límite ya que\(n \to \infty\text{,}\) encontramos que el centro de masa viene dado por el cociente de dos integrales.

    Centro de masa (distribución continua de masa)

    Para una varilla delgada de densidad\(\rho(x)\) distribuida a lo largo de un eje desde\(x = a\)\(x = b\text{,}\) el centro de masa de la varilla viene dada por

    \[ \overline{x} = \frac{\int_a^b x \rho(x) \, dx}{\int_a^b \rho(x) \, dx}\text{.} \nonumber \]

    Tenga en cuenta que el denominador de\(\overline{x}\) es la masa de la barra, y que este cociente de integrales es simplemente la versión continua del promedio ponderado de ubicaciones,\(x\text{,}\) a lo largo de la barra.

    Actividad 6.3.4

    Considera una barra delgada de longitud 20 cm cuya densidad se distribuye de acuerdo a la función\(\rho(x) = 4 + 0.1x\text{,}\) donde\(x = 0\) representa el extremo izquierdo de la barra. Supongamos que\(\rho\) se mide en g/cm y\(x\) se mide en cm.

    1. Encuentra la masa total,\(M\text{,}\) de la barra.
    2. Sin hacer ningún cálculo, ¿espera que el centro de masa de la barra sea igual a 10, menor de 10 o mayor de 10? ¿Por qué?
    3. Calcular\(\overline{x}\text{,}\) el centro de masa exacto de la barra.
    4. ¿Cuál es la densidad promedio de la barra?
    5. Ahora considere una función de densidad diferente, dada por\(p(x) = 4e^{0.020732x}\text{,}\) también para una barra de longitud 20 cm cuyo extremo izquierdo está en\(x = 0\text{.}\) Trazar ambos\(\rho(x)\) y\(p(x)\) en los mismos ejes. Sin hacer ningún cálculo, ¿qué barra esperas que tenga el mayor centro de masa? ¿Por qué?
    6. Calcule el centro de masa exacto de la barra descrita en (e) cuya función de densidad es\(p(x) = 4e^{0.020732x}\text{.}\) Comprobar el resultado contra la predicción que realizó en (e).

    6.3.4 Resumen

    • Para un objeto de densidad constante\(D\text{,}\) con volumen\(V\) y masa\(m\text{,}\) sabemos que\(m = D \cdot V\text{.}\)
    • Si un objeto con área transversal constante (como una barra delgada) tiene su densidad distribuida a lo largo de un eje según la función\(\rho(x)\text{,}\) entonces podemos encontrar la masa del objeto entre\(x = a\) y\(x = b\) por
      \[ m = \int_a^b \rho(x) \, dx\text{.} \nonumber \]
    • Para un sistema de masas puntuales distribuidas a lo largo de un eje, digamos\(m_1, \ldots, m_n\) en ubicaciones\(x_1, \ldots, x_n\text{,}\) el centro de masa,\(\overline{x}\text{,}\) viene dado por el promedio ponderado
      \[ \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i m_i}{\sum_{i=1}^n m_i}\text{.} \nonumber \]

      Si en cambio tenemos masa distribuida continuamente a lo largo de un eje, tal como por una función de densidad\(\rho(x)\) para una barra delgada de área transversal constante, el centro de masa de la porción de la barra entre\(x = a\) y\(x = b\) está dado por

      \[ \overline{x} = \frac{\int_a^b x \rho(x) \, dx}{\int_a^b \rho(x) \, dx}\text{.} \nonumber \]

      En cada situación,\(\overline{x}\) representa el punto de equilibrio del sistema de masas o de la porción de la barra.


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