6.5: Integrales inadecuadas

Preguntas Motivadoras

• ¿Qué son integrales impropias y por qué son importantes?
• ¿Qué significa decir que una integral inadecuada converge o diverge?
• ¿Cuáles son algunas integrales impropias típicas que podemos clasificar como convergentes o divergentes?

Otra aplicación importante de la integral definida mide la probabilidad de ciertos eventos. Por ejemplo, considere una empresa que fabrica bombillas incandescentes. Con base en un gran volumen de resultados de pruebas, han determinado que la fracción de bombillas que fallan entre tiempos\(t = a\) y\(t = b\) de uso (donde\(t\) se mide en meses) viene dada por

\[ \int_a^b 0.3 e^{-0.3t} \, dt\text{.} \nonumber \]

Por ejemplo, la fracción de bombillas que fallan durante su tercer mes de uso viene dada por

\ begin {align*}\ int_2^3 0.3e^ {-0.3t}\, dt & = -e^ {-0.3t}\ bigg\ vert_2^3\\ [4pt] & = -e^ {-0.9} + e^ {-0.6}\\ [4pt] &\ aprox 0.1422\ text {.} \ end {alinear*}

Así cerca de 14.22% de todas las bombillas fallan entre\(t = 2\) y\(t = 3\text{.}\) Claramente podríamos ajustar los límites de integración para medir la fracción de bombillas que fallan durante cualquier periodo de tiempo de interés.

Vista previa de la actividad 6.5.1

Una empresa con una gran base de clientes cuenta con un call center que recibe miles de llamadas al día. Después de estudiar los datos que representan cuánto tiempo esperan las personas que llaman para recibir asistencia, encuentran que la función\(p(t) = 0.25e^{-0.25t}\) modela el tiempo que esperan los clientes de la siguiente manera: la fracción de clientes que esperan entre\(t = a\) y\(t = b\) minutos viene dada por

\[ \int_a^b p(t) \, dt\text{.} \nonumber \]

Utilice esta información para responder a las siguientes preguntas.

1. Determinar la fracción de personas que llaman que esperan entre 5 y 10 minutos.
2. Determinar la fracción de personas que llaman que esperan entre 10 y 20 minutos.
3. A continuación, estudiemos la fracción que esperan hasta cierto número de minutos:
   1. ¿Cuál es la fracción de las personas que llaman que esperan entre 0 y 5 minutos?
   2. ¿Cuál es la fracción de las personas que llaman que esperan entre 0 y 10 minutos?
   3. ¿Entre 0 y 15 minutos? ¿Entre 0 y 20?
4. Dejar\(F(b)\) representar la fracción de las personas que llaman que esperan entre\(0\) y\(b\) minutos. Encuentre una fórmula para\(F(b)\) que implique una integral definida, y luego use la Primera FTC para encontrar una fórmula para\(F(b)\) que no implique una integral definida.
5. Cuál es el valor del límite\(\lim_{b \to \infty} F(b)\text{?}\) ¿Cuál es su significado en el contexto del problema?

6.5.1 Integrales inpropias que involucran intervalos no delimitados

A la vista de los ejemplos anteriores, vemos que es posible que queramos integrar a lo largo de un intervalo cuyo límite superior crezca sin límite. Por ejemplo, para encontrar la fracción de bombillas que finalmente fallan, deseamos encontrar

\[ \lim_{b \to \infty} \int_0^b 0.3e^{-0.3t} \, dt\text{,} \nonumber \]

para lo cual también usaremos la notación

\[ \int_0^\infty 0.3e^{-0.3t} \, dt\text{.}\label{OFm}\tag{6.5.1} \]

Dicha integral puede interpretarse como el área de una región no delimitada, como se muestra a la derecha en la Figura 6.5.1.

Figura 6.5.1. A la izquierda, el área delimitada por\(p(t) = 0.3e^{-0.3t}\) en el intervalo finito\([0,b]\text{;}\) a la derecha, el resultado de dejar\(b \to \infty\text{.}\) Por “\(\cdots\)” en la figura derecha, queremos decir que la región se extiende hacia la derecha sin límite.

Llamamos a una integral para la cual el intervalo de integración no tiene límites impropios. Por ejemplo, las integrales

\[ \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx, \ \ \int_{-\infty}^0 \frac{1}{1+x^2} \, dx, \ \ \text{and} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \nonumber \]

son todos impropios porque tienen límites de integración que implican\(\infty\text{.}\) Para evaluar una integral inadecuada la reemplazamos por un límite de integrales adecuadas. Es decir,

\[ \int_0^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_0^b f(x) \,dx\text{.} \nonumber \]

Primero intentamos evaluar\(\int_0^b f(x) \,dx\) usando la Primera FTC, y luego evaluar el límite. ¿Es posible siquiera que el área de una región no delimitada sea finita? La siguiente actividad explora este tema y otros con más detalle.

Actividad 6.5.2

En esta actividad exploramos las integrales impropias\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x} \, dx\) y\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}} \, dx\text{.}\)

1. Primero investigamos\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x} \, dx\text{.}\)
   1. Usa la Primera FTC para determinar los valores exactos de\(\int_1^{10} \frac{1}{x} \, dx\text{,}\)\(\int_1^{1000} \frac{1}{x} \, dx\text{,}\) y\(\int_1^{100000} \frac{1}{x} \, dx\text{.}\) Luego, usa tu dispositivo computacional para calcular una aproximación decimal de cada resultado.
   2. Utilice la Primera FTC para evaluar la integral definida\(\int_1^{b} \frac{1}{x} \, dx\) (lo que da como resultado una expresión de la que depende\(b\)).
   3. Ahora, utilice su trabajo de (ii.) para evaluar el límite dado por
      \[ \lim_{b \to \infty} \int_1^{b} \frac{1}{x} \, dx\text{.} \nonumber \]
2. A continuación, investigamos\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}} \, dx\text{.}\)
   1. Usa la Primera FTC para determinar los valores exactos de\(\int_1^{10} \frac{1}{x^{3/2}} \, dx\text{,}\)\(\int_1^{1000} \frac{1}{x^{3/2}} \, dx\text{,}\) y\(\int_1^{100000} \frac{1}{x^{3/2}} \, dx\text{.}\) Luego, usa tu calculadora para calcular una aproximación decimal de cada resultado.
   2. Utilice la Primera FTC para evaluar la integral definida\(\int_1^{b} \frac{1}{x^{3/2}} \, dx\) (lo que da como resultado una expresión de la que depende\(b\)).
   3. Ahora, utilice su trabajo de (ii.) para evaluar el límite dado por
      \[ \lim_{b \to \infty} \int_1^{b} \frac{1}{x^{3/2}} \, dx\text{.} \nonumber \]
3. Trazar las funciones\(y = \frac{1}{x}\) y\(y = \frac{1}{x^{3/2}}\) en los mismos ejes de coordenadas para los valores\(x = 0 \ldots 10\text{.}\) ¿Cómo compararías su comportamiento como\(x\) aumentos sin límite? ¿Qué es similar? ¿Qué es diferente?
4. ¿Cómo caracterizarías el valor\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x} \, dx\text{?}\) de de\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}} \, dx\text{?}\) Qué nos dice esto sobre las respectivas áreas delimitadas por estas dos curvas para\(x \ge 1\text{?}\)

6.5.2 Convergencia y Divergencia

La actividad 6.5.2 sugiere que\(\lim_{b \to \infty} \int_1^b f(x) \, dx\) es finito o infinito (o no existe). Con estas posibilidades en mente, introducimos la siguiente terminología.

Nota

Si no\(f(x)\) es negativo para\(x \ge a\text{,}\) entonces decimos que la integral impropia\(\int_a^{\infty} f(x) \, dx\) converge siempre que

\[ \lim_{b \to \infty} \int_a^{b} f(x) \, dx \nonumber \]

existe y es finito. De lo contrario, decimos que\(\int_a^{\infty} f(x) \, dx\) diverge.

Vamos a restringir nuestro interés a integrales impropias para las cuales el integrando no es negativo. También, requerimos que\(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\text{,}\) para si\(f\) no se acerca\(0\) ya que\(x \to \infty\text{,}\) entonces es imposible\(\int_a^{\infty} f(x) \, dx\) que converja.

Actividad 6.5.3

Determinar si cada una de las siguientes integrales inadecuadas converge o diverge. Para cada integral que converja, encuentra su valor exacto.

1. \(\displaystyle \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx\)
2. \(\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-x/4} \, dx\)
3. \(\displaystyle \int_2^{\infty} \frac{9}{(x+5)^{2/3}} \, dx\)
4. \(\displaystyle \int_4^{\infty} \frac{3}{(x+2)^{5/4}} \, dx\)
5. \(\displaystyle \int_0^{\infty} x e^{-x/4} \, dx\)
6. \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx\text{,}\)donde\(p\) es un número real positivo

6.5.3 Integrales inadecuadas que involucran a integrands no acotados

Una integral también se llama inadecuada si el integrando no está limitado en el intervalo de integración. Por ejemplo, considere

\[ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx\text{.} \nonumber \]

Porque\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\) tiene una asíntota vertical en no\(x = 0\text{,}\)\(f\) es continua\([0,1]\text{,}\) y la integral representa el área de la región no delimitada que se muestra a la derecha en la Figura 6.5.2.

Figura 6.5.2. A la izquierda, el área delimitada por\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\) en el intervalo finito\([a,1]\text{;}\) a la derecha, el resultado de dejar\(a \to 0^+\text{,}\) donde vemos que la región sombreada se extenderá verticalmente sin límite.

Abordamos el problema de que el integrando no esté limitado reemplazando la integral inadecuada por un límite de integrales adecuadas. Por ejemplo, para evaluar\(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx\text{,}\)\(0\) reemplazamos por\(a\) y dejamos\(a\) acercarnos a 0 desde la derecha. Por lo tanto,

\[ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \lim_{a \to 0^+} \int_a^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx\text{.} \nonumber \]

Evaluamos la integral adecuada\(\int_a^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx\text{,}\) y luego tomamos el límite. Diremos que la integral impropia converge si existe este límite, y diverge de otra manera. En este ejemplo, observamos que

\ begin {align*}\ int_0^1\ frac {1} {\ sqrt {x}}\, dx &=\ lim_ {a\ a 0^+}\ int_a^1\ frac {1} {\ sqrt {x}}\, dx\\ [4pt] &=\ lim_ {a\ a 0^+}\ izquierda. 2\ sqrt {x}\,\ derecha\ vert_a^1\\ [4pt] &=\ lim_ {a\ a 0^+} 2\ sqrt {1} - 2\ sqrt {a}\\ [4pt] &= 2\ text {,}\ end {align*}

por lo que la integral impropia\(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx\) converge (al valor 2).

Tenemos que ser especialmente cuidadosos con los integrands no acotados, ya que pueden surgir de formas que al principio pueden no ser obvias. Consideremos, por ejemplo, la integral

\[ \int_1^3 \frac{1}{(x-2)^2} \, dx\text{.} \nonumber \]

A primera vista podríamos pensar que podemos simplemente aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo antidiferenciando\(\frac{1}{(x-2)^2}\) para obtener\(-\frac{1}{x-2}\) y luego evaluar de\(1\) a Si así lo\(3\text{.}\) hiciéramos, estaríamos aplicando erróneamente la FTC porque\(f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}\) falla en ser continuos a lo largo del intervalo, como se ve en la Figura 6.5.3.

Figura 6.5.3. La función\(f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}\) en un intervalo que incluye\(x = 2\text{.}\)

Una aplicación tan incorrecta de la FTC lleva a un resultado imposible (\(-2\)), lo que a su vez sugeriría que algo que hicimos debe estar mal. En cambio, debemos abordar la asíntota vertical en\(x = 2\) escribiendo

\[ \int_1^3 \frac{1}{(x-2)^2} \, dx = \lim_{a \to 2^-} \int_1^a \frac{1}{(x-2)^2} \, dx + \lim_{b \to 2^+} \int_b^3 \frac{1}{(x-2)^2} \, dx\text{.} \nonumber \]

Luego evaluamos dos límites separados de integrales adecuadas. Por ejemplo, al hacerlo por la integral con\(a\) acercarse\(2\) desde la izquierda, encontramos

\ begin {alinear*}\ int_1^2\ frac {1} {(x-2) ^2}\, dx&=\ lim_ {a\ a 2^-}\ int_1^a\ frac {1} {(x-2) ^2}\, dx\\ [4pt] &=\ lim_ {a\ a 2^-} -\ frac {1} {(x-2) {(x-2) {(x-2) {(x-2) {(2)}\ bigg\ vert_1^a\\ [4pt] &=\ lim_ {a\ a 2^-} -\ frac {1} {(a-2)} +\ frac {1} {1-2}\\ [4pt] &=\ infty\ text {,}\ end {align*}

ya que\(\frac{1}{a-2} \to -\infty\) como\(a\) se acerca a 2 desde la izquierda. Así, la integral impropia\(\int_1^2 \frac{1}{(x-2)^2} \, dx\) diverge; trabajos similares muestran que\(\int_2^3 \frac{1}{(x-2)^2} \, dx\) también diverge. De cualquiera de estos dos resultados, podemos concluir que esa integral original,\(\int_1^3 \frac{1}{(x-2)^2} \, dx\) diverge, también.

Actividad 6.5.4

Para cada una de las siguientes integrales definidas, decidir si la integral es impropia o no. Si la integral es adecuada, evalúala usando la Primera FTC. Si la integral es inadecuada, determinar si la integral converge o diverge o no; si la integral converge, encuentra su valor exacto.

1. \(\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{x^{1/3}} \, dx\)
2. \(\displaystyle \int_0^2 e^{-x} \, dx\)
3. \(\displaystyle \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{4-x}} \, dx\)
4. \(\displaystyle \int_{-2}^2 \frac{1}{x^2} \, dx\)
5. \(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \tan(x) \, dx\)
6. \(\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)

6.5.4 Resumen

• Una integral\(\int_a^b f(x) \, dx\) puede ser inadecuada si al menos uno de\(a\) o\(b\) está\(\pm \infty\text{,}\) haciendo el intervalo sin límites, o si\(f\) tiene una asíntota vertical en\(x = c\) por algún valor de\(c\) eso satisface\(a \le c \le b\text{.}\) Una razón por la que las integrales inadecuadas son importantes es que ciertas las probabilidades pueden ser representadas por integrales que implican límites infinitos.
• Cuando nos encontramos con una integral inadecuada, trabajamos para entenderla reemplazando la integral impropia por un límite de integrales adecuadas. Por ejemplo, escribimos
  \[ \int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx\text{,} \nonumber \]

  y luego trabajar para determinar si el límite existe y es finito. Para cualquier integral impropia, si el límite resultante de integrales propias existe y es finito, decimos que la integral impropia converge. De lo contrario, la integral impropia diverge.

• Una clase importante de integrales impropias viene dada por
  \[ \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx \nonumber \]

  donde\(p\) es un número real positivo. Podemos demostrar que esta integral inadecuada converge siempre\(p \gt 1\text{,}\) y diverge cada vez que\(0 \lt p \le 1\text{.}\) una clase relacionada de integrales impropias es la\(\int_0^1 \frac{1}{x^p} \, dx\text{,}\) que converge para\(0 \lt p \lt 1\text{,}\) y diverge para\(p \ge 1\text{.}\)