7.2: Comportamiento Cualitativo de Soluciones a Ecuaciones Diferenciales

Preguntas Motivadoras

• ¿Qué es un campo de pendiente?
• ¿Cómo podemos utilizar un campo de pendiente para obtener información cualitativa sobre las soluciones de una ecuación diferencial?
• ¿Cuáles son las soluciones de equilibrio estable e inestable de una ecuación diferencial autónoma?

En trabajos anteriores, hemos utilizado la línea tangente a la gráfica de una función\(f\) en un punto\(a\) para aproximar los valores de\(f\) near\(a\text{.}\) La utilidad de esta aproximación es que necesitamos saber muy poco sobre la función; armados con solo el valor\(f(a)\) y el derivada\(f'(a)\text{,}\) podemos encontrar la ecuación de la línea tangente y la aproximación

\[ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)\text{.} \nonumber \]

Recuerde que una ecuación diferencial de primer orden nos da información sobre la derivada de una función desconocida. Dado que la derivada en un punto nos dice la pendiente de la línea tangente en este punto, una ecuación diferencial nos da información crucial sobre las líneas tangentes a la gráfica de una solución. Utilizaremos esta información sobre las líneas tangentes para crear un campo de pendiente para la ecuación diferencial, lo que nos permite esbozar soluciones a problemas de valor inicial. Nuestro objetivo será entender las soluciones cualitativamente. Es decir, nos gustaría entender la naturaleza básica de las soluciones, como su comportamiento a largo plazo, sin determinar con precisión el valor de una solución en un punto determinado.

Vista previa de la actividad 7.2.1

Consideremos el problema del valor inicial

\[ \frac{dy}{dt} = t - 2, \ \ y(0) = 1\text{.} \nonumber \]

a. use la ecuación diferencial para encontrar la pendiente de la línea tangente a la solución\(y(t)\) en\(t=0\text{.}\) Luego use el valor inicial para encontrar la ecuación de la línea tangente en\(t=0\text{.}\) Esbozar esta línea tangente sobre el intervalo\(-0.25 \leq t \leq 0.25\) en los ejes proporcionados en la Figura 7.2.1.

Figura 7.2.1. Rejilla para trazar líneas tangentes parciales.

b. también se muestran en la Figura 7.2.1 las líneas tangentes a la solución\(y(t)\) en los puntos\(t=1, 2\text{,}\) y\(3\) (veremos cómo encontrarlas más adelante). Utilice la gráfica para medir la pendiente de cada línea tangente y verificar que cada una concuerde con el valor especificado por la ecuación diferencial.

c. Usando estas líneas tangentes como guía, dibuje una gráfica de la solución a\(0\leq t\leq 3\) lo\(y(t)\) largo del intervalo para que las líneas sean tangentes a la gráfica de\(y(t)\text{.}\)

d. Utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo para encontrar\(y(t)\text{,}\) la solución a este problema de valor inicial.

e. grafica la solución que encontraste en (d) en los ejes proporcionados, y compárela con el boceto que hiciste usando las líneas tangentes.

7.2.1 Campos de talud

Preview Activity 7.2.1 muestra que podemos esbozar la solución a un problema de valor inicial si conocemos una colección apropiada de líneas tangentes. Podemos usar la ecuación diferencial para encontrar la pendiente de la línea tangente en cualquier punto de interés, y de ahí trazar dicha colección.

Sigamos mirando la ecuación diferencial\(\frac{dy}{dt} = t-2\text{.}\) Si\(t=0\text{,}\) esta ecuación dice que\(dy/dt = 0-2=-2\text{.}\) Tenga en cuenta que este valor se mantiene independientemente del valor de Por lo tanto,\(y\text{.}\) esbozaremos líneas tangentes para varios valores de\(y\) y\(t=0\) con una pendiente de\(-2\text{,}\) como se muestra en Figura 7.2.2.

Figura 7.2.2. Líneas tangentes en puntos con\(t=0\text{.}\)

Figura 7.2.3. Adición de líneas tangentes en puntos con\(t=1\text{.}\)

Continuemos de la misma manera: si\(t=1\text{,}\) la ecuación diferencial nos dice que\(dy/dt = 1-2=-1\text{,}\) y esto se mantiene independientemente del valor de Ahora\(y\text{.}\) esbozamos líneas tangentes para varios valores de\(y\) y\(t=1\) con una pendiente de\(-1\) en la Figura 7.2.3.

De igual manera, vemos que cuándo\(t=2\text{,}\)\(dy/dt = 0\) y cuándo\(t=3\text{,}\)\(dy/dt=1\text{.}\) podemos por lo tanto sumar a nuestra creciente colección de parcelas de líneas tangentes para lograr la Figura 7.2.4.

Figura 7.2.4. Adición de líneas tangentes en puntos con\(t=2\) y\(t=3\text{.}\)

Figura 7.2.5. Un campo de pendiente terminado.

En la Figura 7.2.4, comenzamos a ver emerger las soluciones a la ecuación diferencial. En aras de una claridad aún mayor, agregamos más líneas tangentes para proporcionar la imagen más completa que se muestra a la derecha en la Figura 7.2.5.

La Figura 7.2.5 se denomina campo de pendiente para la ecuación diferencial. Nos permite esbozar soluciones tal como hicimos en la actividad de previsualización. Podemos comenzar con el valor inicial\(y(0) = 1\) y comenzar a bosquejar la solución siguiendo la línea tangente. Siempre que la solución pasa por un punto en el que se dibuja una línea tangente, esa línea es tangente a la solución. Este principio nos lleva a la secuencia de imágenes en la Figura 7.2.6.

Figura 7.2.6. Una secuencia de imágenes que muestran cómo esbozar la solución IVP que satisface\(y(0)=1\text{.}\)

De hecho, podemos dibujar soluciones para cualquier valor inicial. La Figura 7.2.7 muestra soluciones para varios valores iniciales diferentes para\(y(0)\text{.}\)

Figura 7.2.7. Diferentes soluciones\(\frac{dy}{dt} = t-2\) que corresponden a diferentes valores iniciales.

Así como hicimos para la ecuación\(\frac{dy}{dt} = t-2\text{,}\) podemos construir un campo de pendiente para cualquier ecuación diferencial de interés. El campo de pendiente nos proporciona información visual sobre cómo esperamos que se comporten las soluciones a la ecuación diferencial.

Actividad 7.2.2

Considerar la ecuación diferencial autónoma

\[ \frac{dy}{dt} = -\frac{1}{2}(y - 4)\text{.} \nonumber \]

1. Hacer una gráfica de\(\frac{dy}{dt}\) versus\(y\) en los ejes proporcionados en la Figura 7.2.8. Mirando la gráfica, ¿para qué valores de\(y\)\(y\) aumenta y para qué valores de\(y\)\(y\) disminuye?

   

   Figura 7.2.8. Ejes para trazar\(\frac{dy}{dt}\) versus\(y\text{.}\)

   

   Figura 7.2.9. Ejes para trazar el campo de pendiente para\(\frac{dy}{dt} = -\frac 12( y - 4)\text{.}\)

2. A continuación, esboce el campo de pendiente para esta ecuación diferencial en los ejes proporcionados en la Figura 7.2.9.
3. Utilice su trabajo en (b) para esbozar (sobre los mismos ejes en la Figura 7.2.9.) soluciones que satisfagan\(y(0) = 0\text{,}\)\(y(0) = 2\text{,}\)\(y(0) = 4\) y\(y(0) = 6\text{.}\)
4. Verificar que\(y(t) = 4 + 2e^{-t/2}\) sea una solución a la ecuación diferencial dada con el valor inicial\(y(0) = 6\text{.}\) Compare su gráfica con la que esbozó en (c).
5. ¿Qué tiene de especial la solución donde\(y(0) = 4\text{?}\)

7.2.2 Soluciones de equilibrio y estabilidad

Como demuestra nuestro trabajo en la Actividad 7.2.2, las ecuaciones autónomas de primer orden pueden tener soluciones constantes. Estos son simples de detectar inspeccionando la ecuación diferencial las soluciones\(dy/dt = f(y)\text{:}\) constantes necesariamente tienen una derivada cero, por lo que\(dy/dt = 0 = f(y)\text{.}\)

Por ejemplo, en la Actividad 7.2.2, consideramos la ecuación Las soluciones\(\frac{dy}{dt} = f(y)=-\frac12(y-4)\text{.}\) constantes se encuentran estableciendo\(f(y) = -\frac12(y-4) = 0\text{,}\) lo que inmediatamente vemos implica que\(y = 4\text{.}\)

Valores\(y\) para los cuales\(f(y) = 0\) en una ecuación diferencial autónoma\(\frac{dy}{dt} = f(y)\) se denominan soluciones de equilibrio de la ecuación diferencial.

Actividad 7.2.3

Considerar la ecuación diferencial autónoma

\[ \frac{dy}{dt} = -\frac{1}{2}y(y-4)\text{.} \nonumber \]

1. Hacer una gráfica de\(\frac{dy}{dt}\) versus\(y\) en los ejes proporcionados en la Figura 7.2.10. Mirando la gráfica, ¿para qué valores de\(y\)\(y\) aumenta y para qué valores de\(y\)\(y\) disminuye?

   

   Figura 7.2.10. Ejes para trazar\(dy/dt\) vs\(y\) para\(\frac{dy}{dt} = -\frac 12 y(y-4)\text{.}\)

   

   Figura 7.2.11. Ejes para trazar el campo de pendiente para\(\frac{dy}{dt} = -\frac 12 y(y-4)\text{.}\)

2. Identificar cualquier solución de equilibrio de la ecuación diferencial dada.
3. Ahora esboce el campo de pendiente para la ecuación diferencial dada en los ejes proporcionados en la Figura 7.2.11.
4. Esbozar las soluciones a la ecuación diferencial dada que corresponden a los valores iniciales\(y(0)=-1, 0, 1, \ldots, 5\text{.}\)
5. Una solución de equilibrio\(\overline{y}\) se llama estable si las soluciones cercanas convergen a\(\overline{y}\text{.}\) Esto significa que si la condición inicial varía ligeramente a partir de\(\overline{y}\text{,}\) entonces\(\lim_{t\to\infty}y(t) = \overline{y}\text{.}\) Por el contrario, una solución de equilibrio\(\overline{y}\) se llama inestable si se empujan las soluciones cercanas lejos de\(\overline{y}\text{.}\) Usando su trabajo anterior, clasifique las soluciones de equilibrio que encontró en (b) como estables o inestables.
6. Supongamos que\(y(t)\) describe la población de una especie de organismos vivos y que el valor inicial\(y(0)\) es positivo. ¿Qué puede decir sobre el destino final de esta población?
7. Consideremos ahora una ecuación diferencial autónoma general de la forma\(dy/dt = f(y)\text{.}\) Recordar que una solución de equilibrio\(\overline{y}\) satisface\(f(\overline{y}) = 0\text{.}\) Si\(dy/dt = f(y)\) graficamos en función de\(y\text{,}\) para cuál de las ecuaciones diferenciales representadas en la Figura 7.2.12 y la Figura 7.2.13 es\(\overline{y}\) una equilibrio estable y para cuál es\(\overline{y}\) inestable? ¿Por qué?

Figura 7.2.12. Parcela de\(\frac{dy}{dt}\) como una función de\(y\text{.}\)

Figura 7.2.13. Parcela de\(\frac{dy}{dt}\) como una función diferente de\(y\text{.}\)

7.2.3 Resumen

• Un campo de pendiente es una gráfica creada graficando las líneas tangentes de muchas soluciones diferentes a una ecuación diferencial.
• Una vez que tenemos un campo de pendiente, podemos bosquejar la gráfica de soluciones dibujando una curva que siempre es tangente a las líneas en el campo de pendiente.
• Las ecuaciones diferenciales autónomas a veces tienen soluciones constantes que llamamos soluciones de equilibrio. Estos pueden clasificarse como estables o inestables, dependiendo del comportamiento de las soluciones cercanas.