8.3: Serie de números reales

Preguntas Motivadoras

• ¿Qué es una serie infinita?
• ¿Cuál es\(n\) la suma parcial de una serie infinita?
• ¿Cómo sumamos un número infinito de números? En otras palabras, ¿qué significa que converja una serie infinita de números reales?
• ¿Qué significa que una serie infinita de números reales diverja?

En la Sección 8.2, encontramos series geométricas infinitas. Por ejemplo, escribiendo

\[ N = 0.1212121212 \cdots = \frac{12}{100} + \frac{12}{100} \cdot \frac{1}{100} + \frac{12}{100} \cdot \frac{1}{100^2} + \cdots \nonumber \]

como serie geométrica, encontramos una manera de escribir\(N\) como una sola fracción:\(N = \frac{4}{33}\text{.}\) En esta sección, exploramos otros tipos de sumas infinitas. En Vista previa Actividad 8.3.1 vemos cómo una de esas sumas se relaciona con el famoso número\(e\text{.}\)

Vista previa de Actividad 8.3.1

¿Alguna vez te has preguntado cómo tu calculadora puede producir una aproximación numérica para números complicados como\(e\text{,}\)\(\pi\) o\(\ln(2)\text{?}\) Después de todo, las únicas operaciones que una calculadora realmente puede realizar son la suma, la resta, la multiplicación y la división, las operaciones que componen los polinomios. Esta actividad proporciona los primeros pasos para entender cómo funciona este proceso. A lo largo de la actividad, vamos\(f(x) = e^x\text{.}\)

1. Encuentre la línea tangente a\(f\) at\(x=0\) y use esta linealización para aproximarse Es\(e\text{.}\) decir, encontrar una fórmula\(L(x)\) para la línea tangente, y calcular\(L(1)\text{,}\) desde\(L(1) \approx f(1) = e\text{.}\)
2. La linealización de\(e^x\) no proporciona una buena aproximación a\(e\) ya que 1 no está muy cerca de 0. Para obtener una mejor aproximación, alteramos un poco nuestro enfoque. En lugar de usar una línea recta para\(e\text{,}\) aproximarnos ponemos una curva apropiada en nuestra función de estimación para que se ajuste mejor a la gráfica de\(e^x\) para\(x\) cerca de 0. Con la linealización, tuvimos ambos\(f(x)\) y\(f'(x)\) compartimos el mismo valor que la linealización en Ahora\(x=0\text{.}\) usaremos una aproximación cuadrática\(P_2(x)\) a\(f(x) = e^x\) centrada en la\(x=0\) que tiene la propiedad que\(P_2(0) = f(0)\text{,}\)\(P'_2(0) = f'(0)\text{,}\) y\(P''_2(0) = f''(0)\text{.}\)
   1. Vamos\(P_2(x) = 1+x+\frac{x^2}{2}\text{.}\) Mostrar eso\(P_2(0) = f(0)\text{,}\)\(P'_2(0) = f'(0)\text{,}\) y\(P''_2(0) = f''(0)\text{.}\) Entonces, utilizar\(P_2(x)\) para aproximar\(e\) observando que\(P_2(1) \approx f(1)\text{.}\)
   2. Podemos seguir aproximando\(e\) con polinomios de mayor grado cuyos derivados superiores concuerdan con los de\(f\) a 0. Esto resulta hacer que los polinomios se ajusten a la gráfica de\(f\) mejor para más valores de\(x\) alrededor de 0. Por ejemplo, vamos\(P_3(x) = 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\text{.}\) Mostrar eso\(P_3(0) = f(0)\text{,}\)\(P'_3(0) = f'(0)\text{,}\)\(P''_3(0) = f''(0)\text{,}\) y\(P'''_3(0) = f'''(0)\text{.}\) Usar\(P_3(x)\) para aproximar de una\(e\) manera similar a como lo hiciste con\(P_2(x)\) arriba.

8.3.1 Serie Infinita

Actividad de vista previa 8.3.1 muestra que una aproximación al\(e\) uso de un polinomio lineal es 2, una aproximación al\(e\) uso de un polinomio cuadrático es\(2.5\text{,}\) y una aproximación usando un polinomio cúbico es 2.6667. Si continuamos con este proceso podemos obtener aproximaciones a partir de polinomios cuarticos (grado 4) y quinticos (grado 5), dándonos las siguientes aproximaciones a\(e\text{:}\)

lineal	\(1 + 1\)	\(2\)
cuadrático	\(1 +1 + \frac{1}{2}\)	\(2.5\)
cúbico	\(1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(2.\overline{6}\)
cuártico	\(1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24}\)	\(2.708\overline{3}\)
quintic	\(1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120}\)	\(2.71\overline{6}\)

Vemos un patrón interesante aquí. El número\(e\) está siendo aproximado por la suma

\[ 1+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \cdots + \frac{1}{n!}\label{tOG}\tag{8.3.1} \]

para aumentar los valores de\(n\text{.}\)

Podemos usar la notación de suma como una taquigrafía ¹ para escribir la suma en la ecuación (8.3.1) para obtener

\[ e \approx 1+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \cdots + \frac{1}{n!} = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\text{.}\label{ZVP}\tag{8.3.2} \]

Tenga en cuenta que\(0!\) aparece en la Ecuación (8.3.2). Por definición,\(0! = 1\text{.}\)

Podemos calcular esta suma usando tan grande\(n\) como queramos, y cuanto mayor\(n\) sea la más precisa es la aproximación (8.3.2). Esto sugiere que podemos escribir el número\(e\) como la suma infinita

\[ e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\text{.}\label{GcY}\tag{8.3.3} \]

Esta suma es un ejemplo de una serie infinita. Tenga en cuenta que la serie (8.3.3) es la suma de los términos de la secuencia infinita\(\left\{\frac{1}{n!}\right\}\text{.}\) En general, utilizamos la siguiente notación y terminología.

Definición 8.3.1

Una serie infinita de números reales es la suma de las entradas en una secuencia infinita de números reales. En otras palabras, una serie infinita es suma de la forma

\[ a_1+a_2+ \cdots + a_n + \cdots = \sum_{k=1}^{\infty} a_k\text{,} \nonumber \]

donde\(a_1\text{,}\)\(a_2\text{,}\)\(\ldots\text{,}\) están los números reales.

Utilizamos notación de suma para identificar una serie. Si la serie agrega las entradas de una secuencia,\(\{a_n\}_{n \geq 1}\text{,}\) escribiremos la serie como

\[ \sum_{k \geq 1} a_k \nonumber \]

o

\[ \sum_{k=1}^{\infty} a_k\text{.} \nonumber \]

Cada una de estas notaciones es simplemente la taquigrafía de la suma infinita\(a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots\text{.}\)

¿Es posible siquiera sumar una lista infinita de números? Que hacerlo sea posible en algunas situaciones no debería ser una sorpresa. Ya hemos examinado el caso especial de las series geométricas en el apartado anterior. Además, la integral definida se define como el límite de una secuencia de sumas finitas, lo que proporciona una visión de cómo pensaremos de las sumas infinitas en general. Al investigar otras sumas infinitas, hay dos preguntas clave que buscamos responder: (1) ¿es finita la suma? y (2) en caso afirmativo, ¿cuál es su valor?

Actividad 8.3.2

Considera la serie

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\text{.} \nonumber \]

Si bien es físicamente imposible agregar una colección infinita de números, podemos, por supuesto, agregar cualquier colección finita de ellos. En lo que sigue, investigamos cómo entender cómo encontrar la\(n\) th suma parcial (es decir, la suma de los primeros\(n\) términos) nos permite darle sentido a la suma infinita.

1. Suma los dos primeros números de esta serie. Es decir, encontrar un valor numérico para
   \[ \sum_{k=1}^2 \frac{1}{k^2} \nonumber \]
2. A continuación, suma los tres primeros números de la serie.
3. Continúa agregando términos en esta serie para completar la lista a continuación. Llevar cada suma a al menos 8 decimales.
   • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{1} \frac{1}{k^2}=1\)
   • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{2} \frac{1}{k^2}=\)
   • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{3} \frac{1}{k^2}=\)
   • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{4} \frac{1}{k^2}=\)
   • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{5} \frac{1}{k^2}=\phantom{1.46361111}\)
   • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{6} \frac{1}{k^2}=\)
   • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{7} \frac{1}{k^2}=\)
   • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{8} \frac{1}{k^2}=\)
   • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{9} \frac{1}{k^2}=\)
   • \(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k^2} = \phantom{1.549767731}\)
4. Las sumas en la tabla en la parte c forman una secuencia cuyo término\(n\) th es\(S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}\text{.}\) Basado en tus cálculos en la tabla, ¿crees que la secuencia\(\{S_n\}\) converge o diverge? Explique. ¿Cómo crees que esta secuencia\(\{S_n\}\) está relacionada con la serie?\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\text{?}\)

El ejemplo de la Actividad 8.3.2 ilustra cómo definimos la suma de una serie infinita. Construimos una nueva secuencia de números (llamada secuencia de sumas parciales) donde el término\(n\) th en la secuencia consiste en la suma de los primeros\(n\) términos de la serie. Si esta secuencia converge, se dice que la serie infinita correspondiente converge, y decimos que podemos encontrar la suma de la serie. De manera más formal, tenemos la siguiente definición.

Definición 8.3.2

La \(n\)suma parcial de la serie\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) es la suma finita\(S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\text{.}\)

Es decir, la\(n\) ésima suma parcial\(S_n\) de una serie es la suma de los primeros\(n\) términos de la serie,

\[ S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n\text{.} \nonumber \]

Investigamos el comportamiento de la serie examinando la secuencia

\[ S_1, S_2, \ldots, S_n, \ldots \nonumber \]

de sus sumas parciales. Si la secuencia de sumas parciales converge a algún número finito, decimos que la serie correspondiente converge. De lo contrario, decimos que la serie diverge. De nuestro trabajo en la Actividad 8.3.2, la serie

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \nonumber \]

parece converger a algún número cerca de 1.54977. Formalizamos el concepto de convergencia y divergencia de una serie infinita en la siguiente definición.

Definición 8.3.3

La serie infinita

\[ \sum_{k=1}^{\infty} a_k \nonumber \]

converge (o es convergente) si la secuencia\(\{S_n\}\) de sumas parciales converge, donde

\[ S_n = \sum_{k=1}^n a_k\text{.} \nonumber \]

Si\(\lim_{n \to \infty} S_n = S\text{,}\) entonces llamamos a\(S\) la suma de la serie Es\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\text{.}\) decir,

\[ \sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} S_n = S\text{.} \nonumber \]

Si la secuencia de sumas parciales no converge, entonces la serie

\[ \sum_{k=1}^{\infty} a_k \nonumber \]

diverge (o es divergente).

Los primeros términos de una serie no influyen en si la serie converge o diverge o no. Más bien, la convergencia o divergencia de una serie

\[ \sum_{k=1}^{\infty} a_k \nonumber \]

está determinado por lo que sucede con los términos\(a_k\) para valores muy grandes de\(k\text{.}\) Para ver por qué, supongamos que\(m\) es alguna constante mayor que 1. Entonces

\[ \sum_{k=1}^{\infty} a_k = (a_1+a_2+ \cdots + a_m) + \sum_{k=m+1}^{\infty} a_k\text{.} \nonumber \]

Dado que\(a_1+a_2+ \cdots + a_m\) es un número finito, la serie\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) convergerá si y sólo si la serie\(\sum_{k=m+1}^{\infty} a_k\) converge. Debido a que el índice de inicio de la serie no afecta si la serie converge o diverge, a menudo solo escribiremos

\[ \sum a_k \nonumber \]

cuando nos interesan las cuestiones de convergencia/divergencia frente a la suma exacta de una serie.

En la Sección 8.2 nos encontramos con la familia especial de series geométricas infinitas. Recordemos que una serie geométrica tiene la forma\(\sum_{k=0}^{\infty} ar^k\text{,}\) donde\(a\) y\(r\) son números reales (y\(r \ne 1\)). Encontramos que la suma\(n\) parcial\(S_n\) de una serie geométrica viene dada por la fórmula conveniente

\[ S_n = \frac{1-r^{n}}{1-r}\text{,} \nonumber \]

y así converge una serie geométrica si las series\(|r| \lt 1\text{.}\) geométricas divergen para todos los demás valores de\(r\text{.}\)

Generalmente es una cuestión difícil determinar si una serie no geométrica dada converge o diverge. Hay varias pruebas que podemos utilizar que consideraremos en los siguientes apartados.

8.3.2 La prueba de divergencia

La primera pregunta que hacemos sobre cualquier serie infinita suele ser “¿La serie converge o diverge?” Hay una manera sencilla de comprobar que ciertas series divergen, y exploramos esta prueba en la siguiente actividad.

Actividad 8.3.3

Si la serie\(\sum a_k\) converge, entonces necesariamente sigue un resultado importante respecto a la secuencia\(\{a_n\}\text{.}\) Esta actividad explora este resultado.

Supongamos que la serie\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) converge y tiene suma igual a\(L\text{.}\)

1. ¿Cuál es\(n\) la suma parcial\(S_n\) de la serie?\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\text{?}\)
2. Cuál es la\((n-1)\) primera suma parcial\(S_{n-1}\) de la serie\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\text{?}\)
3. Cuál es la diferencia entre la\(n\) ésima suma parcial y la\((n-1)\) st suma parcial de la serie\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\text{?}\)
4. Ya que estamos asumiendo que\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k = L\text{,}\) ¿qué nos dice eso sobre\(\lim_{n \to \infty} S_n\text{?}\) ¿Por qué? ¿Qué nos dice eso sobre\(\lim_{n \to \infty} S_{n-1}\text{?}\) ¿Por qué?
5. Combine los resultados de las dos partes anteriores de esta actividad para determinar\(\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (S_n - S_{n-1})\text{.}\)

El resultado de la Actividad 8.3.3 es la siguiente declaración condicional importante:

Si la serie\(\sum_{k = 1}^{\infty} a_k\) converge, entonces la secuencia\(\{a_k\}\) de los términos\(k\) th converge a 0.

Lógicamente es equivalente decir que si la secuencia\(\{a_k\}\) no converge a 0, entonces la serie\(\sum_{k = 1}^{\infty} a_k\) no puede converger. Esta afirmación se llama Prueba de Divergencia.

La prueba de divergencia

Si\(\lim_{k \to \infty} a_k \neq 0\text{,}\) entonces la serie\(\sum a_k\) diverge.

Actividad 8.3.4

Determinar si la Prueba de Divergencia se aplica a las siguientes series. Si la prueba no aplica, explique por qué. Si la prueba sí aplica, ¿qué nos dice de la serie?

1. \(\displaystyle \sum \frac{k}{k+1}\)
2. \(\displaystyle \sum (-1)^k\)
3. \(\displaystyle \sum \frac{1}{k}\)

Nota bien: ten mucho cuidado con la Prueba de Divergencia. Esta prueba sólo nos dice qué pasa con una serie si los términos de la secuencia correspondiente no convergen a 0. Si la secuencia de los términos de la serie sí converge a 0, no se aplica la Prueba de Divergencia: efectivamente, como pronto veremos, una serie cuyos términos van a cero puede o bien converger o divergir.

8.3.3 La Prueba Integral

El Test de Divergencia resuelve las cuestiones de divergencia o convergencia de series\(\sum a_k\) en las que\(\lim_{k \to \infty} a_k \neq 0\text{.}\) Determinar la convergencia o divergencia de series\(\sum a_k\) en las que\(\lim_{k \to \infty} a_k = 0\) resulta ser más complicado. A menudo, tenemos que investigar la secuencia de sumas parciales o aplicar alguna otra técnica.

A continuación, consideramos la serie armónica ²

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\text{.} \nonumber \]

A continuación se muestran las primeras 9 sumas parciales de esta serie.

\ begin {alinear*}\ sum_ {k=1} ^ {1}\ frac {1} {k} &= 1 &\ suma_ {k=1} ^ {4}\ frac {1} {k} &= 2.083333333 &\ sum_ {k=1} ^ {7}\ frac {1} {k} &= 2.592857143\\ [4pt]\ sum_\ suma_ {k=1} ^ {2}\ frac {1} {k} &= 1.5 &\ sum_ {k=1} ^ {5}\ frac {1} {k} &= 2.283333333 &\ sum_ {k=1} ^ {8}\ frac {1} {k} &= 2.717857143\\ [4pt]\ suma_ {k=1} ^ {3}\ frac {1} {k} &= 1.833333333 &\ suma_ {k=1} ^ {6}\ frac {1} {k} &= 2.450000000 &\ suma_ {k=1} ^ {9}\ frac {1} {k} &= 2.828968254\ end {align*}

Esta serie se llama armónica porque cada término en la serie después de la primera es la media armónica del término anterior a ella y el término posterior a ella. La media armónica de dos números\(a\) y\(b\) es\(\frac{2ab}{a+b}\text{.}\) Véase “What's Harmonic about the Harmonic Series”, de David E. Kullman (en la revista College Mathematics Journal, Vol. 32, No. 3 (mayo de 2001), 201-203) para una interesante discusión de la media armónica.

Esta información por sí sola no parece ser suficiente para decirnos si la serie\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\) converge o diverge. Las sumas parciales podrían eventualmente nivelarse a algún número fijo o continuar creciendo sin límite. Incluso si miramos sumas parciales más grandes, como\(\sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{k} \approx 7.485470861\text{,}\) el resultado no es particularmente convincente de una manera u otra. La Prueba Integral es una forma de determinar si la serie armónica converge o no, y exploramos esta prueba más a fondo en la siguiente actividad.

Actividad 8.3.5

Considerar la serie armónica\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\text{.}\) Recordemos que la serie armónica convergerá siempre que su secuencia de sumas parciales converja. La\(n\) suma parcial\(S_n\) de la serie\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\) es

\ begin {align*} s_n =\ mathstrut &\ sum_ {k=1} ^ {n}\ frac {1} {k}\\ [4pt] =\ mathstrut & 1 +\ frac {1} {2} +\ frac {1} {3} +\ cdots +\ frac {1} {n}\\ [4pt] =\ mathstrut & 1 (1) + (1)\ izquierda (\ frac {1} {2}\ derecha) + (1)\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha) +\ cdots + (1)\ izquierda (\ frac {1} {n}\ derecha)\ texto {.} \ end {alinear*}

A través de esta última expresión para\(S_n\text{,}\) podemos visualizar esta suma parcial como una suma de áreas de rectángulos con alturas\(\frac{1}{m}\) y bases de longitud 1, como se muestra en la Figura 8.3.4, que utiliza la novena suma parcial.

Figura 8.3.4. Una imagen de la novena suma parcial de la serie armónica como una suma de áreas de rectángulos.

La gráfica de la función continua\(f\) definida por\(f(x) = \frac{1}{x}\) se superpone en esta gráfica.

1. Explica cómo esta imagen representa una suma particular de Riemann.
2. ¿Cuál es la integral definitiva que corresponde a la suma de Riemann que consideró en (a)?
3. ¿Cuál es mayor, la integral definida en (b), o la suma parcial correspondiente\(S_9\) de la serie? ¿Por qué?
4. Si en lugar de considerar la novena suma parcial, consideramos la\(n\) ésima suma parcial, y dejamos\(n\) ir al infinito, entonces podemos comparar la serie\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\) con la integral impropia ¿\(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \ dx\text{.}\)Cuál de estas cantidades es mayor? ¿Por qué?
5. ¿La integral inadecuada\(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \ dx\) converge o diverge? ¿De qué resulta eso, junto con tu trabajo en (d), cuéntanos sobre la serie\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\text{?}\)

Las ideas de la Actividad 8.3.5 se mantienen de manera más general. Supongamos que\(f\) es una función decreciente continua y que\(a_k = f(k)\) por cada valor de\(k\text{.}\) Considerar la serie correspondiente\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\text{.}\) La suma parcial

\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \nonumber \]

siempre se puede ver como una suma Riemann izquierda de\(f(x)\text{,}\) usar rectángulos con bases de ancho 1 y alturas dadas por los valores\(a_k\text{.}\) Una imagen representativa se muestra a la izquierda en la Figura 8.3.5. Ya que\(f\) es una función decreciente, tenemos que

\[ S_n \gt \int_1^n f(x) \ dx\text{.} \nonumber \]

Tomando el límite como\(n\) va al infinito demuestra que

\[ \sum_{k=1}^{\infty} a_k \gt \int_{1}^{\infty} f(x) \ dx\text{.} \nonumber \]

Por lo tanto, si la integral inadecuada\(\int_{1}^{\infty} f(x) \ dx\) diverge, también lo hace la serie\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\text{.}\)

Figura 8.3.5. Comparando una integral inadecuada con una serie

Además, si nos fijamos en la mano derecha Riemann sumas de\(f\) on\([1,n]\) como se muestra a la derecha en la Figura 8.3.5, vemos que

\[ \int_{1}^{\infty} f(x) \ dx \gt \sum_{k=2}^{\infty} a_k\text{.} \nonumber \]

Entonces si\(\int_{1}^{\infty} f(x) \ dx\) converge, entonces también lo hace lo\(\sum_{k=2}^{\infty} a_k\text{,}\) que también significa que la serie\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) también converge. Nuestra discusión anterior ha demostrado la verdad de la Prueba Integral.

La Prueba Integral

Dejar\(f\) ser una función de valor real y asumir\(f\) es decreciente y positivo para todos\(x\) mayores que algún número\(c\text{.}\) Let\(a_k = f(k)\) para cada entero positivo\(k\text{.}\)

1. Si la integral inadecuada\(\int_{c}^{\infty} f(x) \, dx\) converge, entonces la serie\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) converge.
2. Si la integral inadecuada\(\int_{c}^{\infty} f(x) \, dx\) diverge, entonces la serie\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) diverge.

La Prueba Integral compara una serie infinita dada con una integral natural, inapropiada correspondiente y dice que la serie infinita y la integral impropia correspondiente tienen ambas el mismo estado de convergencia. En la siguiente actividad, aplicamos la Prueba Integral para determinar la convergencia o divergencia de una clase de series importantes.

Actividad 8.3.6

Las series\(\sum \frac{1}{k^p}\) son series especiales llamadas\(p\) -series. Ya hemos visto que la\(p\) -serie con\(p=1\) (la serie armónica) diverge. Investigamos el comportamiento\(p\) de otras series en esta actividad.

1. Evaluar la integral inadecuada\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \ dx\text{.}\) ¿La serie\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\) converge o diverge? Explique.
2. Evaluar la integral impropia\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} \ dx\) donde ¿\(p \gt 1\text{.}\)Para qué valores de\(p\) podemos concluir que la serie\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}\) converge?
3. Evaluar la integral impropia\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} \ dx\) donde\(p \lt 1\text{.}\) Qué nos dice esto sobre la\(p\) -serie correspondiente\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}\text{?}\)
4. Resume tu trabajo en esta actividad completando la siguiente declaración.

   La\(p\) serie\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p}\) -converge si y solo si.

8.3.4 La Prueba de Comparación de Límites

El Test Integral nos permite determinar la convergencia de toda una familia de series: la\(p\) -serie. Sin embargo, hemos visto que muchas veces es difícil integrar funciones, por lo que la Prueba Integral no es una que podamos usar todo el tiempo. De hecho, incluso para una serie relativamente simple como\(\sum \frac{k^2+1}{k^4+2k+2}\text{,}\) la Prueba Integral no es una opción. En lo que sigue desarrollamos una prueba que aplica a series de funciones racionales comparando su comportamiento con el comportamiento de\(p\) -series.

Actividad 8.3.7

Considerar la serie\(\sum \frac{k+1}{k^3+2}\text{.}\) Dado que la convergencia o divergencia de una serie sólo depende del comportamiento de la serie para grandes valores de\(k\text{,}\) podríamos examinar los términos de esta serie más de cerca a medida que\(k\) se agranda.

1. Al calcular el valor de\(\frac{k+1}{k^3+2}\) for\(k = 100\) y\(k = 1000\text{,}\) explicar por qué los términos\(\frac{k+1}{k^3+2}\) son esencialmente\(\frac{k}{k^3}\) cuando\(k\) es grande.
2. Formalicemos nuestras observaciones en (a) un poco más. Dejar\(a_k = \frac{k+1}{k^3+2}\) y\(b_k = \frac{k}{k^3}\text{.}\) Calcular
   \[ \lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{b_k}\text{.} \nonumber \]

   De qué te dice el valor del límite\(a_k\) y\(b_k\) para grandes valores de\(k\text{?}\) Compara tu respuesta de la parte (a).

3. ¿La serie\(\sum \frac{k}{k^3}\) converge o diverge? ¿Por qué? Qué opinas que nos diga de la convergencia o divergencia de la serie\(\sum \frac{k+1}{k^3+2}\text{?}\) Explique.

La actividad 8.3.7 ilustra cómo podemos comparar una serie con términos positivos con otra cuyo estado de convergencia conocemos. Supongamos que tenemos dos series\(\sum a_k\) y\(\sum b_k\) con términos positivos y conocemos el estado de convergencia de la serie\(\sum a_k\text{.}\) Recordemos que la convergencia o divergencia de una serie depende sólo de los términos de la serie para grandes valores de\(k\text{,}\) así que si sabemos eso\(a_k\) y\(b_k\) estamos proporcional para grandes\(k\text{,}\) entonces las dos series\(\sum a_k\) y\(\sum b_k\) deben comportarse de la misma manera. En otras palabras, si hay una constante finita positiva\(c\) tal que

\[ \lim_{k \to \infty} \frac{b_k}{a_k} = c\text{,} \nonumber \]

luego\(b_k \approx ca_k\) para grandes valores de\(k\text{.}\) So

\[ \sum b_k \approx \sum ca_k = c \sum a_k\text{.} \nonumber \]

Dado que multiplicar por una constante distinta de cero no afecta la convergencia o divergencia de una serie, se deduce que la serie\(\sum a_k\) y\(\sum b_k\) ambas convergen o ambas divergen. El enunciado formal de este hecho se denomina Prueba de Comparación de Límite.

La prueba de comparación de límites

Dejar\(\sum a_k\) y\(\sum b_k\) ser series con términos positivos. Si

\[ \lim_{k \to \infty} \frac{b_k}{a_k} = c \nonumber \]

para alguna constante positiva (finita)\(c\text{,}\) entonces\(\sum a_k\) y\(\sum b_k\) ambas convergen o ambas divergen.

La Prueba de Comparación de Límites muestra que si tenemos una serie\(\sum \frac{p(k)}{q(k)}\) de funciones racionales donde\(p(k)\) es un polinomio de grado\(m\) y\(q(k)\) un polinomio de grado\(l\text{,}\) entonces la serie se\(\sum \frac{p(k)}{q(k)}\) comportará como la serie\(\sum \frac{k^m}{k^l}\text{.}\) Así que esta prueba nos permite determinar el convergencia o divergencia de series cuyos términos son funciones racionales.

Actividad 8.3.8

Utilice la prueba de comparación de límites para determinar la convergencia o divergencia de la serie

\[ \sum \frac{3k^2+1}{5k^4+2k+2}\text{.} \nonumber \]

comparándolo con la serie\(\sum \frac{1}{k^2}\text{.}\)

8.3.5 La prueba de relación

La Prueba de Comparación de Límite funciona bien si podemos encontrar una serie con comportamiento conocido para comparar. Pero este tipo de series no siempre son fáciles de encontrar. En esta sección examinaremos una prueba que nos permite examinar el comportamiento de una serie comparándola con una serie geométrica, sin saber de antemano qué series geométricas necesitamos.

Actividad 8.3.9

Considere la serie definida por

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{3^k-k}\text{.}\label{uIN}\tag{8.3.4} \]

Esta serie no es una serie geométrica, pero esta actividad ilustrará cómo podríamos comparar esta serie con una geométrica. Recordemos que una serie\(\sum a_k\) es geométrica si la relación\(\frac{a_{k+1}}{a_k}\) es siempre la misma. Para la serie en (8.3.4), tenga en cuenta que\(a_k = \frac{2^k}{3^k-k}\text{.}\)

1. Para ver si\(\sum \frac{2^k}{3^k-k}\) es comparable a una serie geométrica, analizamos las proporciones de términos sucesivos en la serie. Completa la Tabla 8.3.6, enumerando tus cálculos con al menos 8 decimales.

   Cuadro 8.3.6. Ratios de términos sucesivos en la serie\(\sum \frac{2^k}{3^k-k}\)

   \(k\)	\(5\)	\(10\)	\(20\)	\(21\)	\(22\)	\(23\)	\(24\)	\(25\)
   \(\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\)

2. Con base en sus cálculos en la Tabla 8.3.6, ¿qué podemos decir de la relación\(\frac{a_{k+1}}{a_k}\) si\(k\) es grande?
3. ¿Está de acuerdo o no está de acuerdo con la afirmación: “la serie\(\sum \frac{2^k}{3^k-k}\) es aproximadamente geométrica cuando\(k\) es grande”? Si no, ¿por qué no? Si es así, ¿crees que la serie\(\sum \frac{2^k}{3^k-k}\) converge o diverge? Explique.

Podemos generalizar el argumento en la Actividad 8.3.9 de la siguiente manera. Considera la serie\(\sum a_k\text{.}\) If

\[ \frac{a_{k+1}}{a_k} \approx r \nonumber \]

para grandes valores de\(k\text{,}\) entonces\(a_{k+1} \approx ra_k\) para grande\(k\) y la serie\(\sum a_k\) es aproximadamente la serie geométrica\(\sum ar^k\) para grande\(k\text{.}\) Dado que la serie geométrica con relación\(r\) converge solo para\(-1 \lt r \lt 1\text{,}\) vemos que la serie\(\sum a_k\) convergerá si

\[ \lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} = r \nonumber \]

por un valor de\(r\) tal que\(|r| \lt 1\text{.}\) Este resultado se conoce como la Prueba de Relación.

La prueba de relación

\(\sum a_k\)Déjese ser una serie infinita. Supongamos

\[ \lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|} = r\text{.} \nonumber \]

1. Si\(0 \leq r \lt 1\text{,}\) entonces la serie\(\sum a_k\) converge.
2. Si\(1 \lt r\text{,}\) entonces la serie\(\sum a_k\) diverge.
3. Si\(r = 1\text{,}\) entonces la prueba no es concluyente.

Nota bien: La Prueba de Ratio analiza el límite de la relación de términos consecutivos de una serie dada; al hacerlo, la prueba pregunta, “¿esta serie es aproximadamente geométrica?” Si es así, la prueba utiliza el límite de la relación de términos consecutivos para determinar si la serie dada converge.

Ahora hemos encontrado varias pruebas para determinar la convergencia o divergencia de series.

• El Test de Divergencia se puede utilizar para mostrar que una serie diverge, pero nunca para demostrar que una serie converge.
• Se utilizó la Prueba Integral para determinar el estado de convergencia de una clase completa de series, la\(p\) serie -series.
• La prueba de comparación de límites funciona bien para series que involucran funciones racionales y que, por lo tanto, pueden compararse con\(p\) -series.
• Finalmente, el Test de Ratio nos permite comparar nuestra serie con una serie geométrica; es particularmente útil para series que involucran\(n\) th powers y factoriales.
• En los ejercicios se discuten otras dos pruebas, la Prueba de Comparación Directa y la Prueba Raíz.

Uno de los retos de determinar si una serie converge o diverge es encontrar qué prueba responde a esa pregunta.

Actividad 8.3.10

Determinar si cada una de las siguientes series converge o diverge. Indique explícitamente qué prueba usa.

1. \(\displaystyle \sum \frac{k}{2^k}\)
2. \(\displaystyle \sum \frac{k^3+2}{k^2+1}\)
3. \(\displaystyle \sum \frac{10^k}{k!}\)
4. \(\displaystyle \sum \frac{k^3-2k^2+1}{k^6+4}\)

8.3.6 Resumen

• Una serie infinita es una suma de los elementos en una secuencia infinita. En otras palabras, una serie infinita es una suma de la forma
  \[ a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots = \sum_{k=1}^{\infty} a_k \nonumber \]

  donde\(a_k\) es un número real para cada entero positivo\(k\text{.}\)

• La\(n\) suma parcial\(S_n\) de la serie\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) es la suma de los primeros\(n\) términos de la serie. Es decir,
  \[ S_n = a_1+a_2+ \cdots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\text{.} \nonumber \]
• La secuencia\(\{S_n\}\) de sumas parciales de una serie nos\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) habla de la convergencia o divergencia de la serie. En particular
  • La serie\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) converge si la secuencia\(\{S_n\}\) de sumas parciales converge. En este caso decimos que la serie es el límite de la secuencia de sumas parciales y escribimos
    \[ \sum_{k=1}^{\infty} a_k =\lim_{n \to \infty} S_n\text{.} \nonumber \]
  • La serie\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) diverge si la secuencia\(\{S_n\}\) de sumas parciales diverge.