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8.5: Polinomios de Taylor y Serie Taylor

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    120171
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Preguntas Motivadoras
    • ¿Qué es un polinomio de Taylor? ¿Para qué fines se utilizan los polinomios Taylor?
    • ¿Qué es una serie Taylor?
    • ¿Cómo determinamos la precisión cuando usamos un polinomio de Taylor para aproximar una función?

    Hasta el momento, cada serie infinita que hemos discutido ha sido una serie de números reales, como

    \[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^k} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k}\text{.}\label{jbt}\tag{8.5.1} \]

    En lo que resta de este capítulo, incluiremos series que involucren una variable. Por ejemplo, si en la serie geométrica en la Ecuación (8.5.1) reemplazamos la relación\(r = \frac{1}{2}\) con la variable\(x\text{,}\) tenemos la serie infinita (todavía geométrica)

    \[ 1 + x + x^2 + \cdots + x^k + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} x^k\text{.}\label{PiC}\tag{8.5.2} \]

    Aquí vemos algo muy interesante: porque una serie geométrica converge cada vez que su relación\(r\) satisface\(|r|\lt 1\text{,}\) y la suma de una serie geométrica convergente es\(\frac{a}{1-r}\text{,}\) podemos decir que para\(|x| \lt 1\text{,}\)

    \[ 1 + x + x^2 + \cdots + x^k + \cdots = \frac{1}{1-x}\text{.}\label{vpL}\tag{8.5.3} \]

    La ecuación (8.5.3) establece que la\(\frac{1}{1-x}\) función no polinómica de la derecha es igual a la expresión polinómica infinita de la izquierda. Debido a que los términos de la izquierda\(k\) se vuelven muy pequeños a medida que se agranda, podemos truncar la serie y decir, por ejemplo, que

    \[ 1 + x + x^2 + x^3 \approx \frac{1}{1-x} \nonumber \]

    para valores pequeños de\(x\text{.}\) Esto muestra una forma en que una función polinómica puede ser utilizada para aproximarse a una función no polinómica; tales aproximaciones son uno de los temas principales de esta sección y la siguiente.

    En Vista previa Actividad 8.5.1, comenzamos nuestra exploración de aproximar funciones con polinomios.

    Vista previa de la actividad 8.5.1

    Vista previa Actividad 8.3.1 mostró cómo podemos aproximar el número\(e\) usando funciones lineales, cuadráticas y otras polinómicas; luego usamos ideas similares en Vista previa Actividad 8.4.1 para aproximar\(\ln(2)\text{.}\) En esta actividad, revisamos y ampliamos el proceso para encontrar la “mejor” aproximación cuadrática a la función exponencial\(e^x\) alrededor del origen. Dejar a\(f(x) = e^x\) lo largo de esta actividad.

    1. Encuentra una fórmula para\(P_1(x)\text{,}\) la linealización de\(f(x)\) at\(x=0\text{.}\) (Etiquetamos esta linealización\(P_1\) porque es una aproximación polinómica de primer grado.) Recordemos que\(P_1(x)\) es una buena aproximación a\(f(x)\) para valores\(x\) cercanos a\(0\text{.}\) Plot\(f\) y\(P_1\) cercanos\(x=0\) para ilustrar este hecho.
    2. Dado que no\(f(x) = e^x\) es lineal, la aproximación lineal eventualmente no es muy buena. Para obtener mejores aproximaciones, queremos desarrollar una aproximación diferente que “dobla” para que se ajuste más estrechamente a la gráfica de\(f\) cerca\(x=0\text{.}\) Para ello, agregamos un término cuadrático a\(P_1(x)\text{.}\) En otras palabras, dejamos
      \[ P_2(x) = P_1(x) + c_2x^2 \nonumber \]

      para algún número real\(c_2\text{.}\) Necesitamos determinar el valor de\(c_2\) que hace que la gráfica de\(P_2(x)\) mejor ajuste la gráfica de\(f(x)\) cerca\(x=0\text{.}\)

      Recuerde que\(P_1(x)\) fue una buena aproximación lineal a\(f(x)\) cerca de\(0\text{;}\) esto es porque\(P_1(0) = f(0)\) y\(P'_1(0) = f'(0)\text{.}\) por lo tanto es razonable buscar un valor de\(c_2\) para que

      \ begin {align*} P_2 (0) & = f (0)\ text {,} & P'_2 (0) & = f' (0)\ text {,} &\ text {y} P"_2 (0) & = f "(0)\ text {.} \ end {alinear*}

      Recuerda, estamos dejando\(P_2(x) = P_1(x) + c_2x^2\text{.}\)

      1. Calcular\(P_2(0)\) para mostrar que\(P_2(0) = f(0)\text{.}\)
      2. Calcular\(P'_2(0)\) para mostrar que\(P'_2(0) = f'(0)\text{.}\)
      3. Calcular\(P''_2(x)\text{.}\) Luego encuentra un valor\(c_2\) para que\(P''_2(0) = f''(0)\text{.}\)
      4. Explique por qué la condición\(P''_2(0) = f''(0)\) pondrá una “curva” apropiada en la gráfica de\(P_2\) para hacer\(P_2\) encajar la gráfica de\(f\) alrededor\(x=0\text{.}\)

    8.5.1 Polinomios de Taylor

    Vista previa Actividad 8.5.1 ilustra los primeros pasos en el proceso de aproximación de funciones con polinomios. Mediante este proceso podemos aproximar funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y otras funciones no polinómicas tan cerca como queramos (para ciertos valores de\(x\)) con polinomios. Esto es extraordinariamente útil ya que nos permite calcular valores de estas funciones con cualquier precisión que nos guste utilizando únicamente las operaciones de suma, resta, multiplicación y división, que pueden programarse fácilmente en una computadora.

    A continuación ampliamos el enfoque en la Actividad previa 8.5.1 a las funciones arbitrarias en puntos arbitrarios. Dejar\(f\) ser una función que tenga tantas derivadas como necesitemos en un punto\(x=a\text{.}\) Recordemos que\(P_1(x)\) es la línea tangente a\(f\) at\((a,f(a))\) y viene dada por la fórmula

    \[ P_1(x) = f(a) + f'(a)(x-a)\text{.} \nonumber \]

    \(P_1(x)\)es la aproximación lineal a\(f\) cerca\(a\) que tiene el mismo valor de pendiente y función que\(f\) en el punto\(x = a\text{.}\)

    A continuación queremos encontrar una aproximación cuadrática

    \[ P_2(x) = P_1(x) + c_2(x-a)^2 \nonumber \]

    para que\(P_2(x)\) más de\(f(x)\) cerca los modelos cerca\(x=a\text{.}\) Considere los siguientes cálculos de los valores y derivados de\(P_2(x)\text{:}\)

    \ begin {align*} P_2 (x) & = P_1 (x) + c_2 (x-a) ^2 & P_2 (a) & = P_1 (a) = f (a)\\ [4pt] P'_2 (x) & = P'_1 (x) + 2c_2 (x-a) & P'_2 (a) & = P'_1 (a) = f' (a)\\ [4pt] P"_2 (x) & = 2c_2 & P"_2 (a) & = 2c_2\ text {.} \ end {alinear*}

    Para hacer\(P_2(x)\) encajar\(f(x)\) mejor de\(P_1(x)\text{,}\) lo que queremos\(P_2(x)\) y\(f(x)\) tener la misma concavidad\(x=a\text{,}\) además de tener la misma pendiente y valor de función. Es decir, queremos tener

    \[ P''_2(a) = f''(a)\text{.} \nonumber \]

    Esto implica que

    \[ 2c_2 = f''(a) \nonumber \]

    y por lo tanto

    \[ c_2 = \frac{f''(a)}{2}\text{.} \nonumber \]

    Por lo tanto, la aproximación cuadrática\(P_2(x)\) a\(f\) centrado en\(x=a\) es

    \[ P_2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2\text{.} \nonumber \]

    Este enfoque se extiende naturalmente a polinomios de mayor grado. Definimos polinomios

    \ begin {align*} P_3 (x) & = P_2 (x) + c_3 (x-a) ^3\ text {,}\\ [4pt] P_4 (x) & = P_3 (x) + c_4 (x-a) ^4\ text {,}\\ [4pt] P_5 (x) & = P_4 (x) + c_5 (x-a) ^5\ texto {,}\ end {align*}

    y en general

    \[ P_n(x) = P_{n-1}(x) + c_n(x-a)^n\text{.} \nonumber \]

    La propiedad definitoria de estos polinomios es que para todas\(n\text{,}\)\(P_n(x)\) y cada una de sus primeras\(n\) derivadas deben estar de acuerdo con las de\(f\) al\(x = a\text{.}\) En otras palabras requerimos que

    \[ P^{(k)}_n(a) = f^{(k)}(a) \nonumber \]

    para todos\(k\) de 0 a\(n\text{.}\)

    Para ver las condiciones en las que esto sucede, supongamos

    \[ P_n(x) = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots + c_n(x-a)^n\text{.} \nonumber \]

    Entonces

    \ begin {alinear*} P^ {(0)} _n (a) & = c_0\\ [4pt] P^ {(1)} _n (a) & = c_1\\ [4pt] P^ {(2)} _n (a) & = 2c_2\\ [4pt] P^ {(3)} _n (a) & = (2) (3) c_3\\ [4pt] P^ {(4)} _n (a) & = (2) (3) (4) c_4\\ [4pt] P^ {(5)} _n (a) & = (2) (3) (4) (5) c_5\ final {alinear*}

    y, en general,

    \[ P^{(k)}_n(a) = (2)(3)(4) \cdots (k-1)(k)c_k = k!c_k\text{.} \nonumber \]

    Así que tener\(P^{(k)}_n(a) = f^{(k)}(a)\) significa eso\(k!c_k = f^{(k)}(a)\) y por lo tanto

    \[ c_k = \frac{f^{(k)}(a)}{k!} \nonumber \]

    por cada valor de\(k\text{.}\) Usando esta expresión para\(c_k\text{,}\) hemos encontrado la fórmula para la aproximación polinómica de la\(f\) que buscamos. Tal polinomio se llama polinomio de Taylor.

    Polinomios de Taylor

    El polinomio Taylor de orden\(n\) th de\(f\) centrado en\(x = a\) está dado por

    \ begin {align*} P_n (x) =\ mathstrut & f (a) + f' (a) (x-a) +\ frac {f "(a)} {2!} (x-a) ^2 +\ cdots +\ frac {f^ {(n)} (a)} {n!} (x-a) ^n\\ [4pt] =\ mathstrut &\ sum_ {k=0} ^n\ frac {f^ {(k)} (a)} {k!} (x-a) ^k\ texto {.} \ end {alinear*}

    Este\(n\) polinomio grado se aproxima\(f(x)\) cerca\(x=a\) y tiene la propiedad que\(P_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)\) para\(k = 0, 1, \ldots, n\text{.}\)

    Ejemplo 8.5.1

    Determinar el polinomio Taylor de tercer orden para así\(f(x) = e^x\text{,}\) como el polinomio Taylor de orden general\(n\) para\(f\) centrado en\(x=0\text{.}\)

    Contestar

    Sabemos eso\(f'(x) = e^x\) y así\(f''(x) = e^x\) y\(f'''(x) = e^x\text{.}\) Así,

    \[ f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 1\text{.} \nonumber \]

    Entonces el polinomio Taylor de tercer orden de\(f(x) = e^x\) centrado en\(x=0\) es

    \ begin {alinear*} P_3 (x) & = f (0) + f' (0) (x-0) +\ frac {f "(0)} {2!} (x-0) ^2 +\ frac {f"' (0)} {3!} (x-0) ^3\\ [4pt] & = 1 + x +\ frac {x^2} {2} +\ frac {x^3} {6}\ text {.} \ end {alinear*}

    En general, para la función exponencial\(f\) tenemos\(f^{(k)}(x) = e^x\) para cada entero positivo\(k\text{.}\) Así, el término\(k\) th en el polinomio Taylor de orden\(n\) th para\(f(x)\) centrado en\(x=0\) es

    \[ \frac{f^{(k)}(0)}{k!}(x-0)^k = \frac{1}{k!}x^k\text{.} \nonumber \]

    Por lo tanto, el polinomio Taylor de orden\(n\) th para\(f(x) = e^x\) centrado en\(x=0\) es

    \[ P_n(x) = 1+x+\frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!}x^n = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\text{.} \nonumber \]
    Actividad 8.5.2

    Acabamos de ver que el polinomio Taylor de orden\(n\) th centrado en\(a = 0\) para la función exponencial\(e^x\) es

    \[ \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}\text{.} \nonumber \]

    En esta actividad, determinamos polinomios Taylor de orden pequeño para varias otras funciones familiares, y buscamos patrones generales.

    1. Let\(f(x) = \frac{1}{1-x}\text{.}\)
      1. Calcular las primeras cuatro derivadas de\(f(x)\) en\(x=0\text{.}\) Luego encuentra el polinomio Taylor de cuarto orden\(P_4(x)\) para\(\frac{1}{1-x}\) centrado en\(0\text{.}\)
      2. Con base en los resultados de la parte (i), determine una fórmula general para\(f^{(k)}(0)\text{.}\)
    2. Let\(f(x) = \cos(x)\text{.}\)
      1. Calcular las primeras cuatro derivadas de\(f(x)\) en\(x=0\text{.}\) Luego encuentra el polinomio Taylor de cuarto orden\(P_4(x)\) para\(\cos(x)\) centrado en\(0\text{.}\)
      2. Con base en sus resultados de la parte (i), encuentre una fórmula general para\(f^{(k)}(0)\text{.}\) (Piense en cómo\(k\) ser par o impar afecta el valor de la derivada\(k\) th.)
    3. Let\(f(x) = \sin(x)\text{.}\)
      1. Calcular las primeras cuatro derivadas de\(f(x)\) en\(x=0\text{.}\) Luego encuentra el polinomio Taylor de cuarto orden\(P_4(x)\) para\(\sin(x)\) centrado en\(0\text{.}\)
      2. Con base en sus resultados de la parte (i), encuentre una fórmula general para\(f^{(k)}(0)\text{.}\) (Piense en cómo\(k\) ser par o impar afecta el valor de la derivada\(k\) th.)

    Es posible que un polinomio de Taylor de orden\(n\) th no sea un polinomio de grado es\(n\text{;}\) decir, el orden de la aproximación puede ser diferente del grado del polinomio. Por ejemplo, en la Actividad 8.5.3 encontramos que el polinomio Taylor de segundo orden\(P_2(x)\) centrado en\(0\) for\(\sin(x)\) es\(P_2(x) = x\text{.}\) En este caso, el polinomio Taylor de segundo orden es un polinomio de grado 1.

    8.5.2 Serie Taylor

    En la Actividad 8.5.2 vimos que el polinomio Taylor de cuarto orden\(P_4(x)\) para\(\sin(x)\) centrado en\(0\) es

    \[ P_4(x) = x - \frac{x^3}{3!}\text{.} \nonumber \]

    El patrón que encontramos para las derivadas\(f^{(k)}(0)\) describe los polinomios de Taylor de orden superior, p.

    \ begin {alinear*} P_5 (x) &= x -\ frac {x^3} {3!} +\ frac {x^ {(5)}} {5!} \ text {,}\\ [4pt] P_7 (x) &= x -\ frac {x^3} {3!} +\ frac {x^ {(5)}} {5!} -\ frac {x^ {(7)}} {7!} \ text {,}\\ [4pt] P_9 (x) &= x -\ frac {x^3} {3!} +\ frac {x^ {(5)}} {5!} -\ frac {x^ {(7)}} {7!} +\ frac {x^ {(9)}} {9!} \ text {,}\ end {align*}

    y así sucesivamente. Es instructivo considerar el comportamiento gráfico de estas funciones; la Figura 8.5.2 muestra las gráficas de algunos de los polinomios Taylor centrados en\(0\) para la función sinusoidal.

    Figura 8.5.2. Los polinomios de Taylor del orden 1, 5, 7 y 9 se centraron en\(x = 0\) para\(f(x) = \sin(x)\text{.}\)

    Observe que\(P_1(x)\) está cerca de la función sinusoidal solo para valores de los\(x\) que están cerca\(0\text{,}\) pero a medida que aumentamos el grado del polinomio Taylor los polinomios Taylor proporcionan un mejor ajuste a la gráfica de la función sinusoidal a intervalos más grandes. Esto ilustra el comportamiento general de los polinomios de Taylor: para cualquier función suficientemente bien comportada, la secuencia\(\{P_n(x)\}\) de polinomios de Taylor converge a la función\(f\) en intervalos cada vez más grandes (aunque esos intervalos pueden no necesariamente aumentar sin límite). Si los polinomios Taylor finalmente convergen\(f\) en todo su dominio, escribimos

    \[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\text{.} \nonumber \]
    Definición 8.5.3

    Dejar\(f\) ser una función todas cuyas derivadas existen en\(x=a\text{.}\) La serie Taylor para\(f\) centrado en\(x=a\) es la serie\(T_f(x)\) definida por

    \[ T_f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\text{.} \nonumber \]

    En el caso especial donde\(a=0\) en la Definición 8.5.3, la serie Taylor también se llama la serie Maclaurin para\(f\text{.}\) Del Ejemplo 8.5.1 conocemos el polinomio Taylor de\(n\) th orden centrado en\(0\) para la función exponencial\(e^x\text{;}\) así, el Maclaurin serie para\(e^x\) es

    \[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}\text{.} \nonumber \]
    Actividad 8.5.3

    En la Actividad 8.5.2 determinamos polinomios Taylor de orden pequeño para algunas funciones familiares, y también encontramos patrones generales en las derivadas evaluadas en\(0\text{.}\) Use esa información para escribir la serie Taylor centrada en\(0\) para las siguientes funciones.

    1. \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{1-x}\)
    2. \(f(x) = \cos(x)\)(Deberá considerar cuidadosamente cómo indicar que muchos de los coeficientes son 0. Piense en una forma general de representar un número entero par.)
    3. \(f(x) = \sin(x)\)(Deberá considerar cuidadosamente cómo indicar que muchos de los coeficientes son\(0\text{.}\) Piense en una forma general de representar un número entero impar).
    4. \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{1+x}\)
    Actividad 8.5.4
    1. Trazar las gráficas de varios de los polinomios Taylor centrados en\(0\) (de orden al menos 5) para\(e^x\) y convencerse de que estos polinomios Taylor convergen a\(e^x\) por cada valor de\(x\text{.}\)
    2. Dibuja las gráficas de varios de los polinomios de Taylor centrados en\(0\) (de orden al menos 6) para\(\cos(x)\) y convencerse de que estos polinomios Taylor convergen a\(\cos(x)\) por cada valor de\(x\text{.}\) Escribe la serie Taylor centrada en\(0\) for\(\cos(x)\text{.}\)
    3. Dibuja las gráficas de varios de los polinomios Taylor centrados en\(0\) para\(\frac{1}{1-x}\text{.}\) Basado en tus gráficas, para qué valores de\(x\) estos polinomios Taylor parecen converger a\(\frac{1}{1-x}\text{?}\) Cómo es esta situación diferente a lo que observamos con\(e^x\) y\(\cos(x)\text{?}\) Además, escribe la serie Taylor se centró\(0\) en\(\frac{1}{1-x}\text{.}\)

    La serie Maclaurin para\(e^x\text{,}\)\(\sin(x)\text{,}\)\(\cos(x)\text{,}\) y se\(\frac{1}{1-x}\) utilizará con frecuencia, por lo que debemos estar seguros de conocerlos y reconocerlos bien.

    8.5.3 El intervalo de convergencia de una serie Taylor

    En la sección anterior (en la Figura 8.5.2 y Actividad 8.5.4) observamos que los polinomios de Taylor se centraron en\(0\) for\(e^x\text{,}\)\(\cos(x)\text{,}\) y\(\sin(x)\) convergieron a estas funciones para todos los valores de\(x\) en su dominio, pero que los polinomios Taylor se centraron en\(0\) for \(\frac{1}{1-x}\)convergen a\(\frac{1}{1-x}\) en el intervalo\((-1,1)\) y divergen para todos los demás valores de\(x\text{.}\) Así que la serie Taylor para una función\(f(x)\) no necesita converger para todos los valores de\(x\) en el dominio de\(f\text{.}\)

    Nuestras observaciones sugieren dos preguntas naturales: ¿podemos determinar los valores\(x\) para los que converge una serie de Taylor determinada? ¿Y la serie Taylor para una función\(f\) realmente converge para\(f(x)\text{?}\)

    Ejemplo 8.5.4

    La evidencia gráfica sugiere que la serie Taylor centrada en\(0\) for\(e^x\) converge para todos los valores de\(x\text{.}\) Para verificar esto, use la Prueba de Relación para determinar todos los valores de\(x\) para los cuales la serie Taylor

    \[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}\label{yUl}\tag{8.5.4} \]

    converge absolutamente.

    Contestar

    Recordemos que la Prueba de Relación se aplica únicamente a series de términos no negativos. En este ejemplo, la variable\(x\) puede tener valores negativos. Pero nos interesa la convergencia absoluta, por lo que aplicamos la Prueba de Ratio a la serie

    \[ \sum_{k=0}^{\infty} \left| \frac{x^k}{k!} \right| = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{| x |^k}{k!}\text{.} \nonumber \]

    Ahora, observe que

    \[\begin{align*} \lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} & = \lim_{k \to \infty} \frac{\frac{| x |^{k+1}}{(k+1)!} }{ \frac{| x |^k}{k} }\\[4pt] & = \lim_{k \to \infty} \frac{| x |^{k+1}k!}{ | x |^{k}(k+1)! }\\[4pt] & = \lim_{k \to \infty} \frac{| x |}{k+1}\\[4pt] & = 0 \end{align*}\]

    por cualquier valor de\(x\text{.}\) Así que la serie Taylor (8.5.4) converge absolutamente para cada valor de\(x\text{,}\) y así converge para cada valor de\(x\text{.}\)

    Aún queda una pregunta: mientras la serie Taylor para\(e^x\) converge para todo\(x\text{,}\) lo que hemos hecho no nos dice que esta serie de Taylor realmente converge\(e^x\) para cada una\(x\text{.}\) Volveremos a esta pregunta cuando consideremos el error en una aproximación de Taylor cerca del final de esta sección.

    Podemos aplicar la idea principal del Ejemplo 8.5.4 en general. Determinar los valores de\(x\) para los cuales una serie de Taylor

    \[ \sum_{k=0}^{\infty} c_k (x-a)^k\text{,} \nonumber \]

    centrado en\(x = a\) convergerá, aplicamos la Prueba de Relación con\(a_k = | c_k (x-a)^k |\text{.}\) La serie converge si\(\lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} \lt 1\text{.}\)

    Observe que

    \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} = | x-a | \frac{| c_{k+1} |}{| c_{k} |}\text{,} \nonumber \]

    así que cuando aplicamos la Prueba de Ratio, obtenemos

    \[ \lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k \to \infty} |x-a| \frac{| c_{k+1} |}{| c_{k} |}\text{.} \nonumber \]

    Tenga en cuenta supongamos que

    \[ \lim_{k \to \infty} \frac{| c_{k+1} |}{| c_{k} |} = L\text{,} \nonumber \]

    para que

    \[ \lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} = |x-a| \cdot L\text{.} \nonumber \]

    Hay tres posibilidades para\(0\text{,}\) que\(L\text{:}\)\(L\) pueda ser un valor positivo finito, o puede ser infinito. Con base en este valor de\(L\text{,}\) podemos determinar para qué valores de\(x\) la serie original de Taylor converge.

    • Si\(L = 0\text{,}\) entonces la serie Taylor converge en\((-\infty, \infty)\text{.}\)
    • Si\(L\) es infinito, entonces la serie Taylor converge solo en\(x = a\text{.}\)
    • Si\(L\) es finito y distinto de cero, entonces la serie Taylor converge absolutamente para todos los\(x\) que satisfacen
      \[ |x-a| \cdot L \lt 1 \nonumber \]

      o para todos\(x\) los que

      \[ |x-a| \lt \frac{1}{L}\text{,} \nonumber \]

      cual es el intervalo

      \[ \left(a-\frac{1}{L}, a+\frac{1}{L}\right)\text{.} \nonumber \]

      Porque la Prueba de Relación no es concluyente cuando\(|x-a| \cdot L = 1\text{,}\) los puntos finales\(a \pm \frac{1}{L}\) tienen que ser revisados por separado.

    Es importante notar que el conjunto de\(x\) valores en el que converge una serie de Taylor es siempre un intervalo centrado en\(x=a\text{.}\) Por esta razón, el conjunto en el que converge una serie de Taylor se denomina intervalo de convergencia. La mitad de la longitud del intervalo de convergencia se llama radio de convergencia. Si el intervalo de convergencia de una serie de Taylor es infinito, entonces decimos que el radio de convergencia es infinito.

    Actividad 8.5.5
    1. Utilice la Prueba de Relación para determinar explícitamente el intervalo de convergencia de la serie Taylor para\(f(x) = \frac{1}{1-x}\) centrado en\(x=0\text{.}\)
    2. Utilice la Prueba de Relación para determinar explícitamente el intervalo de convergencia de la serie Taylor para\(f(x) = \cos(x)\) centrado en\(x=0\text{.}\)
    3. Utilice la Prueba de Relación para determinar explícitamente el intervalo de convergencia de la serie Taylor para\(f(x) = \sin(x)\) centrado en\(x=0\text{.}\)

    El Test de Ratio nos permite determinar el conjunto de\(x\) valores para los cuales converge absolutamente una serie Taylor. No obstante, sólo porque\(f\) converge una serie de Taylor para una función, no podemos estar seguros de que la serie Taylor realmente converja\(f(x)\text{.}\) a Para mostrar por qué y dónde una serie de Taylor de hecho converge a la función\(f\text{,}\) consideramos a continuación el error que está presente en los polinomios de Taylor.

    8.5.4 Aproximaciones de error para polinomios de Taylor

    Ahora sabemos cómo encontrar polinomios de Taylor para funciones como\(\sin(x)\text{,}\) y cómo determinar el intervalo de convergencia de la serie Taylor correspondiente. A continuación desarrollamos un límite de error que nos dirá qué tan bien un polinomio Taylor de orden\(n\) th\(P_n(x)\) se aproxima a su función generadora\(f(x)\text{.}\) Este límite de error también nos permitirá determinar si una serie de Taylor en su intervalo de convergencia realmente es igual a la función\(f\) de del que se deriva la serie Taylor. Finalmente, podremos utilizar el límite de error para determinar el orden del polinomio Taylor\(P_n(x)\) que vamos a asegurar que se\(P_n(x)\) aproxime\(f(x)\) al grado de precisión deseado.

    Para este argumento, asumimos a lo largo de que centramos nuestras aproximaciones en\(0\) (pero un argumento similar se mantiene para aproximaciones centradas en\(a\)). Definimos el error exacto,\(E_n(x)\text{,}\) que resulta de aproximar\(f(x)\) con\(P_n(x)\) por

    \[ E_n(x) = f(x) - P_n(x)\text{.} \nonumber \]

    Estamos particularmente interesados en\(|E_n(x)|\text{,}\) la distancia entre\(P_n\) y\(f\text{.}\) Porque

    \[ P^{(k)}_n(0) = f^{(k)}(0) \nonumber \]

    porque\(0 \leq k \leq n\text{,}\) sabemos que

    \[ E^{(k)}_n(0) = 0 \nonumber \]

    para\(0 \leq k \leq n\text{.}\) Además, ya que\(P_n(x)\) es un polinomio de grado menor o igual que\(n\text{,}\) sabemos que

    \[ P_n^{(n+1)}(x) = 0\text{.} \nonumber \]

    Así, ya que de\(E^{(n+1)}_n(x) = f^{(n+1)}(x) - P_n^{(n+1)}(x)\text{,}\) ello se deduce que

    \[ E^{(n+1)}_n(x) = f^{(n+1)}(x) \nonumber \]

    para todos\(x\text{.}\)

    Supongamos que queremos aproximar\(f(x)\) en un número\(c\) cercano a\(0\) usar\(P_n(c)\text{.}\) Si asumimos\(|f^{(n+1)}(t)|\) está limitado por algún número\(M\) encendido\([0, c]\text{,}\) para que

    \[ \left|f^{(n+1)}(t)\right| \leq M \nonumber \]

    para todos\(0 \leq t \leq c\text{,}\) entonces podemos decir que

    \[ \left|E^{(n+1)}_n(t)\right| = \left|f^{(n+1)}(t)\right| \leq M \nonumber \]

    para todos\(t\) entre\(0\) y\(c\text{.}\) Equivalentemente,

    \[ -M \leq E^{(n+1)}_n(t) \leq M\label{RHJ}\tag{8.5.5} \]

    on\([0, c]\text{.}\) Siguiente, integramos los tres términos en Desigualdad (8.5.5) de\(t = 0\) a\(t = x\text{,}\) y así encontramos que

    \[ \int_0^x -M \ dt \leq \int_0^x E^{(n+1)}_n(t) \ dt \leq \int_0^x M \ dt \nonumber \]

    por cada valor de\(x\) en\([0, c]\text{.}\) Desde\(E^{(n)}_n(0) = 0\text{,}\) la Primera FTC nos dice que

    \[ -Mx \leq E^{(n)}_n(x) \leq Mx \nonumber \]

    para cada\(x\)\([0, c]\text{.}\)

    Integrando esta última desigualdad, obtenemos

    \[ \int_0^x -Mt \ dt \leq \int_0^x E^{(n)}_n(t) \ dt \leq \int_0^x Mt \ dt \nonumber \]

    y por lo tanto

    \[ -M\frac{x^2}{2} \leq E^{(n-1)}_n(x) \leq M\frac{x^2}{2} \nonumber \]

    para todos\(x\) en\([0, c]\text{.}\)

    Integrando\(n\) tiempos, llegamos a

    \[ -M\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \leq E_n(x) \leq M\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \nonumber \]

    para todos\(x\) en\([0, c]\text{.}\) Esto nos permite concluir que

    \[ \left|E_n(x)\right| \leq M\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \nonumber \]

    para todos\(x\) en\([0, c]\text{,}\) y hemos encontrado un límite en el error de aproximación,\(E_n\text{.}\)

    Nuestro trabajo anterior se basó en la aproximación centrada en\(a = 0\text{;}\) el argumento que puede generalizarse para mantener para cualquier valor de\(a\text{,}\) lo que resulte en el siguiente teorema.

    El límite de error de Lagrange para\(P_n(x)\)

    Dejar\(f\) ser una función continua con derivadas\(n+1\) continuas. Supongamos que\(M\) es un número real positivo tal que\(\left|f^{(n+1)}(x)\right| \le M\) en el intervalo\([a, c]\text{.}\) If\(P_n(x)\) es el polinomio Taylor de orden\(n\) th para\(f(x)\) centrado en\(x=a\text{,}\) entonces

    \[ \left|P_n(c) - f(c)\right| \leq M\frac{|c-a|^{n+1}}{(n+1)!}\text{.} \nonumber \]

    Podemos usar este error enlazado para decirnos información importante sobre los polinomios de Taylor y las series Taylor, como vemos en los siguientes ejemplos y actividades.

    Ejemplo 8.5.5

    Determinar qué tan bien el polinomio Taylor de décimo orden\(P_{10}(x)\) para\(\sin(x)\text{,}\) centrado en\(0\text{,}\) aproximaciones\(\sin(2)\text{.}\)

    Contestar

    Para responder a esta pregunta utilizamos\(f(x) = \sin(x)\text{,}\)\(c = 2\text{,}\)\(a=0\text{,}\) y\(n = 10\) en la fórmula de Lagrange con límite de error. También necesitamos encontrar un valor apropiado para\(M\text{.}\) Tenga en cuenta que las derivadas de\(f(x) = \sin(x)\) son todas iguales a\(\pm \sin(x)\) o\(\pm \cos(x)\text{.}\) Así,

    \[ \left| f^{(n+1)}(x) \right| \leq 1 \nonumber \]

    para cualquier\(n\) y\(x\text{.}\) Por lo tanto, podemos\(M\) optar por ser\(1\text{.}\) Entonces

    \[ \left|P_{10}(2) - f(2)\right| \leq (1)\frac{|2-0|^{11}}{(11)!} = \frac{2^{11}}{(11)!} \approx 0.00005130671797\text{.} \nonumber \]

    Así\(P_{10}(2)\) se\(\sin(2)\) aproxima al interior a lo sumo\(0.00005130671797\text{.}\) Un sistema de álgebra computacional nos dice que

    \[ P_{10}(2) \approx 0.9093474427 \ \ \text{ and } \ \ \sin(2) \approx 0.9092974268 \nonumber \]

    con una diferencia real de aproximadamente\(0.0000500159\text{.}\)

    Actividad 8.5.6

    Dejar\(P_n(x)\) ser el polinomio Taylor de orden\(n\) th para\(\sin(x)\) centrado en\(x=0\text{.}\) Determinar qué\(n\) tan grande tenemos que elegir para que\(P_n(2)\) se aproxime\(\sin(2)\) a los\(20\) decimales.

    Ejemplo 8.5.6

    Demuestre que la serie Taylor para\(\sin(x)\) realmente converge a\(\sin(x)\) para todos\(x\text{.}\)

    Contestar

    Recordemos del ejemplo anterior que ya\(f(x) = \sin(x)\text{,}\) sabemos

    \[ \left| f^{(n+1)}(x) \right| \leq 1 \nonumber \]

    para cualquiera\(n\) y\(x\text{.}\) Esto nos permite elegir\(M = 1\) en la fórmula límite de error de Lagrange. Por lo tanto,

    \[ |P_n(x) - \sin(x)| \leq \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\label{bbv}\tag{8.5.6} \]

    para cada\(x\text{.}\)

    Mostramos en trabajos anteriores que la serie Taylor\(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}\) converge por cada valor de\(x\text{.}\) Debido a que los términos de cualquier serie convergente deben acercarse a cero, se deduce que

    \[ \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} = 0 \nonumber \]

    por cada valor de\(x\text{.}\) Así, tomando el límite como\(n \to \infty\) en la desigualdad (8.5.6), se deduce que

    \[ \lim_{n \to \infty} |P_n(x) - \sin(x)| = 0\text{.} \nonumber \]

    Como resultado, ya podemos escribir

    \[ \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} \nonumber \]

    por cada número real\(x\text{.}\)

    Actividad 8.5.7
    1. Demuestre que la serie Taylor centrada en\(0\) for\(\cos(x)\) converge a\(\cos(x)\) para cada número real\(x\text{.}\)
    2. A continuación consideramos la serie Taylor para\(e^x\text{.}\)
      1. Demuestre que la serie Taylor centrada en\(0\) for\(e^x\) converge a\(e^x\) por cada valor no negativo de\(x\text{.}\)
      2. Demuestre que la serie Taylor centrada en\(0\) for\(e^x\) converge a\(e^x\) por cada valor negativo de\(x\text{.}\)
      3. Explica por qué la serie Taylor centrada en\(0\) para\(e^x\) converge a\(e^x\) por cada número real\(x\text{.}\) Recordemos que antes demostramos que la serie de Taylor se centró en\(0\) para\(e^x\) converge para todos\(x\text{,}\) y ahora hemos completado el argumento de que la serie Taylor porque\(e^x\) realmente converge a\(e^x\) para todos\(x\text{.}\)
    3. \(P_n(x)\)Sea el polinomio Taylor de orden\(n\) th para\(e^x\) centrado en\(0\text{.}\) Find a value of\(n\) so that\(P_n(5)\) approximate\(e^5\) correct to\(8\) decimal places.

    8.5.5 Resumen

    • Podemos usar polinomios de Taylor para aproximar funciones. Esto nos permite aproximar valores de funciones usando solo suma, resta, multiplicación y división de números reales. El polinomio Taylor de orden\(n\) th centrado en\(x=a\) una función\(f\) es
      \ begin {align*} P_n (x) =\ mathstrut & f (a) + f' (a) (x-a) +\ frac {f "(a)} {2!} (x-a) ^2 +\ cdots +\ frac {f^ {(n)} (a)} {n!} (x-a) ^n\\ [4pt] =\ mathstrut &\ sum_ {k=0} ^n\ frac {f^ {(k)} (a)} {k!} (x-a) ^k\ texto {.} \ end {alinear*}
    • La serie Taylor centrada en\(x=a\) para una función\(f\) es
      \[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\text{.} \nonumber \]

      El polinomio Taylor de orden\(n\)\(n\) th centrado en\(a\) for\(f\) es la ésima suma parcial de su serie Taylor centrada en\(a\text{.}\) Entonces el polinomio Taylor de orden\(n\) th para una función\(f\) es una aproximación al\(f\) intervalo donde la serie Taylor converge; para los valores de\(x\) para los que converge la serie Taylor\(f\) escribimos

      \[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\text{.} \nonumber \]
    • El Lagrange Error Bound nos muestra cómo determinar la precisión en el uso de un polinomio de Taylor para aproximar una función. Más específicamente, si\(P_n(x)\) es el polinomio Taylor de orden\(n\) th para\(f\) centrado en\(x=a\) y si\(M\) es un límite superior para\(\left|f^{(n+1)}(x)\right|\) en el intervalo\([a, c]\text{,}\) entonces
      \[ \left|P_n(c) - f(c)\right| \leq M\frac{|c-a|^{n+1}}{(n+1)!}\text{.} \nonumber \]

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