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8.E: Secuencias y Series (Ejercicios)

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    120185
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    8.1: Secuencias

    1. Límites de cinco secuencias
    2. Fórmula para una secuencia, dados los primeros términos
    3. Secuencias divergentes o convergentes
    4. Términos de una secuencia a partir del muestreo de una señal
    5

    Encontrar límites de secuencias convergentes puede ser un desafío. Sin embargo, existe una herramienta útil que podemos adaptar a partir de nuestro estudio de límites de funciones continuas al infinito para usar para encontrar límites de secuencias. Ilustramos en este ejercicio con el ejemplo de la secuencia

    \[ \frac{\ln(n)}{n}\text{.} \nonumber \]
    1. Calcula los primeros 10 términos de esta secuencia. A partir de estos cálculos, ¿cree que la secuencia converge o diverge? ¿Por qué?
    2. Para esta secuencia, existe una función continua correspondiente\(f\) definida por
      \[ f(x) = \frac{\ln(x)}{x}\text{.} \nonumber \]

      Dibuja la gráfica de\(f(x)\) en el intervalo\([0,10]\) y luego grafica las entradas de la secuencia en la gráfica. ¿Qué conclusión crees que podemos sacar sobre la secuencia\(\left\{\frac{\ln(n)}{n}\right\}\) si\(\lim_{x \to \infty} f(x) = L\text{?}\) Explique.

    3. Tenga en cuenta que\(f(x)\) tiene la forma indeterminada\(\frac{\infty}{\infty}\) como\(x\) va al infinito. Qué idea del cálculo diferencial podemos usar para calcular\(\lim_{x \to \infty} f(x)\text{?}\) Usa este método para encontrar\(\lim_{x \to \infty} f(x)\text{.}\) Qué, entonces, es\(\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n}\text{?}\)
    6

    Volvemos al ejemplo iniciado en Vista previa Actividad 8.1.1 para ver cómo derivar la fórmula para la cantidad de dinero en una cuenta en un momento dado. Esto lo hacemos en un entorno general. Supongamos que invierte\(P\) dólares (llamados el principal) en una cuenta pagando\(r\%\) intereses compuestos mensualmente. En el primer mes recibirás\(\frac{r}{12}\) (aquí\(r\) está en forma decimal; por ejemplo, si tenemos\(8\%\) interés, escribimos\(\frac{0.08}{12}\)) del principal\(P\) en interés, así ganas

    \[ P\left(\frac{r}{12}\right) \nonumber \]

    dólares en intereses. Supongamos que reinviertes todos los intereses. Luego, al final del primer mes tu cuenta contendrá el principal original\(P\) más los intereses, o un total de

    \[ P_1 = P + P\left(\frac{r}{12}\right) = P\left( 1 + \frac{r}{12}\right) \nonumber \]

    dólares.

    1. Dado que tu principal es ahora\(P_1\) dólares, ¿cuánto interés ganarás en el segundo mes? Si\(P_2\) es la cantidad total de dinero en tu cuenta al final del segundo mes, explica por qué
      \[ P_2 = P_1\left( 1 + \frac{r}{12}\right) = P\left( 1 + \frac{r}{12}\right)^2\text{.} \nonumber \]
    2. Encuentre una fórmula para\(P_3\text{,}\) la cantidad total de dinero en la cuenta al final del tercer mes en términos de la inversión original\(P\text{.}\)
    3. Hay un patrón en estos cálculos. Deje que\(P_n\) la cantidad total de dinero en la cuenta al final del tercer mes en términos de la inversión original\(P\text{.}\) Encuentre una fórmula para\(P_n\text{.}\)
    7

    Las secuencias tienen muchas aplicaciones en matemáticas y ciencias. En un artículo reciente 3 los autores escriben

    Hui H, Farilla L, Merkel P, Perfetti R. La corta vida media del péptido-1 similar al glucagón en plasma no refleja sus efectos beneficiosos de larga duración, Eur J Endocrinol 2002 Jun; 146 (6) :863-9.

    El péptido-1 similar al glucagón de la hormona incretina (GLP-1) es capaz de mejorar la secreción de insulina dependiente de glucosa en sujetos con diabetes. Sin embargo, su muy corta vida media (1.5-5 min) en plasma representa una limitación importante para su uso en el ámbito clínico.

    La vida media de GLP-1 es el tiempo que tarda la mitad de la hormona en decairse en su medio. Para este ejercicio, supongamos que la vida media de GLP-1 es de 5 minutos. Entonces, si\(A\) es la cantidad de GLP-1 en plasma en algún momento\(t\text{,}\) entonces solo\(\frac{A}{2}\) de la hormona estará presente después de\(t+5\) minutos. Supongamos que los\(A_0 = 100\) gramos de la hormona están inicialmente presentes en el plasma.

    1. Dejar\(A_1\) estar la cantidad de GLP-1 presente después de 5 minutos. Encuentra el valor de\(A_1\text{.}\)
    2. Dejar\(A_2\) estar la cantidad de GLP-1 presente después de 10 minutos. Encuentra el valor de\(A_2\text{.}\)
    3. Dejar\(A_3\) estar la cantidad de GLP-1 presente después de 15 minutos. Encuentra el valor de\(A_3\text{.}\)
    4. Dejar\(A_4\) estar la cantidad de GLP-1 presente después de 20 minutos. Encuentra el valor de\(A_4\text{.}\)
    5. Dejar\(A_n\) estar la cantidad de GLP-1 presente después de\(5n\) minutos. Encuentra una fórmula para\(A_n\text{.}\)
    6. ¿La secuencia\(\{A_n\}\) converge o diverge? Si la secuencia converge, encuentra su límite y explica por qué este valor tiene sentido en el contexto de este problema.
    7. Determinar el número de minutos que tarda hasta que la cantidad de GLP-1 en plasma sea de 1 gramo.
    8

    Los datos continuos son la base para la información analógica, como la música almacenada en cintas viejas o discos de vinilo. Una señal digital como en un archivo CD o MP3 se obtiene muestreando una señal analógica en algún intervalo de tiempo regular y almacenando esa información. Por ejemplo, la frecuencia de muestreo de un disco compacto es de 44,100 muestras por segundo. Por lo que una grabación digital es sólo una aproximación de la información analógica real. La información digital puede manipularse de muchas maneras útiles que permiten, entre otras cosas, limpiar señales ruidosas y comprimir y almacenar grandes colecciones de información en espacios mucho más pequeños. Si bien no vamos a investigar estas técnicas en este capítulo, este ejercicio pretende dar una idea de la importancia de las técnicas discretas (digitales).

    Dejar\(f\) ser la función continua definida por\(f(x) = \sin(4x)\) sobre el intervalo\([0,10]\text{.}\) Una gráfica de\(f\) se muestra en la Figura 8.1.5.

    Figura 8.1.5. La gráfica de\(f(x) = \sin(4x)\) en el intervalo\([0,10]\)

    Aproximamos\(f\) por muestreo, es decir, dividiendo el intervalo\([0,10]\) en subintervalos uniformes y registrando los valores de\(f\) en los puntos finales.

    1. El muestreo ineficaz puede ocasionar varios problemas en la reproducción de la señal original. Como ejemplo, particione el intervalo\([0,10]\) en 8 subintervalos de igual longitud y cree una lista de puntos (la muestra) usando los puntos finales de cada subintervalo. Trazar su muestra\(f\) en la gráfica de la Figura Figura 8.1.5. ¿Qué puedes decir sobre el periodo de tu muestra en comparación con el periodo de la función original?
    2. La frecuencia de muestreo es el número de muestras de una señal tomadas por segundo. Como ilustra la parte (a), el muestreo a una velocidad demasiado pequeña puede causar serios problemas con la reproducción de la señal original (este problema de muestreo ineficiente que conduce a una aproximación inexacta se llama aliasing). Existe un teorema elegante llamado Teorema de Muestreo Nyquist-Shannon que dice que la percepción humana es limitada, lo que permite esa sustitución de una señal continua por una digital sin ninguna pérdida percibida de información. Este teorema también proporciona la tasa más baja a la que se puede muestrear una señal (llamada tasa Nyquist) sin tal pérdida de información. El teorema establece que debemos muestrear al doble de la frecuencia máxima deseada para que cada ciclo de la señal original sea muestreado al menos en dos puntos. Recordemos que la frecuencia de una función sinusoidal es la recíproca del periodo. Identificar la frecuencia de la función\(f\) y determinar el número de particiones del intervalo\([0,10]\) que nos dan la tasa Nyquist.
    3. Los humanos normalmente no pueden captar señales por encima de 20 kHz. Explique por qué, entonces, esa información en un disco compacto es muestreada a 44,100 Hz.

    8.2: Serie Geométrica

    1. Séptimo término de una secuencia geométrica
    2. Una serie geométrica
    3. Una serie que no es geométrica
    4. Dos sumas de secuencias geométricas
    5

    Hay una vieja pregunta que a menudo se utiliza para introducir el poder del crecimiento geométrico. Aquí hay una versión. Supongamos que te contratan para un trabajo de un mes (30 días, trabajando todos los días) y se te dan dos opciones para que te paguen.

    Opción 1.

    Se le puede pagar $500 por día o

    Opción 2.

    Se le puede pagar 1 centavo el primer día, 2 centavos el segundo día, 4 centavos el tercer día, 8 centavos el cuarto día, y así sucesivamente, duplicando la cantidad que se le paga cada día.

    1. ¿Cuánto se te pagará por el trabajo en total bajo la Opción 1?
    2. Complete la Tabla 8.2.3 para determinar el pago que recibirá en la Opción 2 durante los primeros 10 días.
      Cuadro 8.2.3. Opción 2 pagos
      Día Pagar en este día Monto total pagado hasta la fecha
      \(1\) \(\dollar0.01\) \(\dollar0.01\)
      \(2\) \(\dollar0.02\) \(\dollar0.03\)
      \(3\)    
      \(4\)    
      \(5\)    
      \(6\)    
      \(7\)    
      \(8\)    
      \(9\)    
      \(10\)    
    3. Encuentra una fórmula para el monto pagado el día así\(n\text{,}\) como para el monto total pagado por día\(n\text{.}\) Usa esta fórmula para determinar qué opción (1 o 2) debes tomar.
    6

    Supongamos que dejas caer una pelota de golf sobre una superficie dura desde una altura\(h\text{.}\) La colisión con el suelo hace que la pelota pierda energía y así no rebotará a su altura original. Entonces el balón volverá a caer al suelo, rebotará de nuevo y continuará. Supongamos que en cada rebote la pelota vuelve a elevarse a una altura\(\frac{3}{4}\) de la altura desde la que cayó. Dejar\(h_n\) ser la altura de la pelota en el\(n\) th rebote, con\(h_0 = h\text{.}\) En este ejercicio determinaremos la distancia recorrida por la pelota y el tiempo que lleva recorrer esa distancia.

    1. Determinar una fórmula para\(h_1\) en términos de\(h\text{.}\)
    2. Determinar una fórmula para\(h_2\) en términos de\(h\text{.}\)
    3. Determinar una fórmula para\(h_3\) en términos de\(h\text{.}\)
    4. Determinar una fórmula para\(h_n\) en términos de\(h\text{.}\)
    5. Escribe una serie infinita que represente la distancia total recorrida por el balón. Después determinar la suma de esta serie.
    6. A continuación, determinemos la cantidad total de tiempo que la pelota está en el aire.
      1. Cuando la pelota se cae desde una altura\(H\text{,}\) si asumimos que la única fuerza que actúa sobre ella es la aceleración por gravedad, entonces la altura de la bola en el momento\(t\) viene dada por
        \[ H - \frac{1}{2}gt^2\text{.} \nonumber \]

        Usa esta fórmula para determinar el tiempo que tarda la pelota en golpear el suelo después de ser caída desde la altura\(H\text{.}\)

      2. Usa tu trabajo en el ítem anterior, junto con el de (a) - (e) anterior para determinar la cantidad total de tiempo que la pelota está en el aire.
    7

    Supongamos que juegas un juego con un amigo que implica rodar un dado estándar de seis caras. Antes de que un jugador pueda participar en el juego, deberá rodar un seis con el dado. Supongamos que primero ruedan y que usted y su amigo tomen rollos alternos. En este ejercicio determinaremos la probabilidad de que ruedes los seis primeros.

    1. Explica por qué la probabilidad de rodar un seis en cualquier tirada individual (incluyendo tu primer turno) es\(\frac{1}{6}\text{.}\)
    2. Si no lanzas un seis en tu primer turno, entonces para que puedas rodar el primer seis en tu segundo turno, tanto tú como tu amigo tuvieron que fallar al rodar un seis en tus primeros giros, y luego tuviste que tener éxito en rodar un seis en tu segundo turno. Explique por qué la probabilidad de este evento es
      \[ \left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{1}{6}\right) = \left(\frac{5}{6}\right)^2\left(\frac{1}{6}\right)\text{.} \nonumber \]
    3. Ahora suponga que no logras rodar los seis primeros en tu segundo turno. Explicar por qué la probabilidad es
      \[ \left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{1}{6}\right) = \left(\frac{5}{6}\right)^4\left(\frac{1}{6}\right) \nonumber \]

      que rodes los seis primeros en tu tercer turno.

    4. La probabilidad de que ruedes los seis primeros es la probabilidad de que rodes los primeros seis en tu primer turno más la probabilidad de que rodes los primeros seis en tu segundo turno más la probabilidad de que rodes los primeros seis en tu tercer turno, y así sucesivamente. Explique por qué esta probabilidad es
      \[ \frac{1}{6} + \left(\frac{5}{6}\right)^2\left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right)^4\left(\frac{1}{6}\right) + \cdots\text{.} \nonumber \]

      Encuentra la suma de esta serie y determina la probabilidad de que rodes los seis primeros.

    8

    El objetivo de un paquete de estímulo del gobierno federal es afectar positivamente a la economía. Economistas y políticos citan cifras como “\(k\)millones de empleos y un estímulo neto a la economía de\(n\) mil millones de dólares”. ¿De dónde sacan estos números? Consideremos un aspecto de un paquete de estímulo: los recortes de impuestos. Los economistas entienden que los recortes o rebajas de impuestos pueden resultar en un gasto a largo plazo que es muchas veces el monto del reembolso. Por ejemplo, supongamos que para una persona típica, el 75% de su ingreso total se gasta (es decir, se vuelve a poner en la economía). Además, supongamos que el gobierno proporciona un recorte o rebaja de impuestos que totaliza\(P\) dólares por cada persona.

    1. El recorte fiscal de\(P\) dólares es ingreso para su destinatario. ¿Cuánto de este recorte de impuestos se gastará?
    2. En este modelo sencillo, diremos que la porción gastada del recorte de impuestos de la parte (a) se convierte entonces en ingresos para otra persona que, a su vez, gasta el 75% de estos ingresos. Después de esta ``segunda vuelta” de ingresos gastados, ¿cuántos dólares totales se han sumado a la economía como resultado del recorto/reembolso original del impuesto?
    3. Esta segunda ronda de gasto se convierte en ingresos para otro grupo que gasta el 75% de estos ingresos, y así sucesivamente. En economía a esto se le llama el efecto multiplicador. Explique por qué un recorte impuesto/reembolso original de\(P\) dólares resultará en un gasto multiplicado de
      \[ 0.75P(1+0.75+0.75^2+ \cdots )\text{.} \nonumber \]

      dólares.

    4. Con base en estos supuestos, cuánto estímulo añadirá a la economía un recorte impositivo de 200 mil millones de dólares a los consumidores, asumiendo que el gasto de los consumidores sigue siendo consistente para siempre.
    9

    Al igual que los paquetes de estímulo, las hipotecas y las ejecuciones hipotecarias también impactan en la economía. Un problema para muchos prestatarios es la hipoteca de tasa ajustable, en la que la tasa de interés puede cambiar (y generalmente aumenta) a lo largo de la duración del préstamo, provocando que los pagos mensuales aumenten más allá de la capacidad de pago del prestatario. La mayoría de los analistas financieros recomiendan préstamos a tasa fija, aquellos para los cuales los pagos mensuales permanecen constantes durante todo el plazo del préstamo. En este ejercicio analizaremos los préstamos a tasa fija.

    Cuando la mayoría de las personas compran un artículo de boleto grande como un automóvil o una casa, tienen que sacar un préstamo para realizar la compra. El préstamo se devuelve en cuotas mensuales hasta que se pague la totalidad del monto del préstamo, más intereses. Con un préstamo, tomamos prestado dinero, decimos\(P\) dólares (llamados el principal), y pagamos el préstamo a una tasa de interés del\(r\)%. Para devolver el préstamo realizamos pagos mensuales regulares, algunos de los cuales van para pagar el principal y algunos de los cuales se cobran como intereses. En la mayoría de los casos, el interés se computa con base en la cantidad de principal que queda al inicio del mes. Asumimos un préstamo a tasa fija, es decir, uno en el que hacemos un pago\(M\) mensual constante de nuestro préstamo, a partir del mes original del préstamo.

    Supongamos que quiere comprar una casa. Tienes una cierta cantidad de dinero ahorrado para hacer un pago inicial, y tomarás prestado el resto para pagar la casa. Por supuesto, por el privilegio de prestarte el dinero, el banco te cobrará intereses sobre este préstamo, por lo que el monto que devuelvas al banco es mayor que el monto que pides prestado. De hecho, el monto que finalmente pagas depende de tres cosas: el monto que pides prestado (llamado el principal), la tasa de interés y el tiempo que tienes para pagar el préstamo más intereses (llamado la duración del préstamo). Para este ejemplo, suponemos que la tasa de interés se fija en\(r\)%.

    Para pagar el préstamo, cada mes haces un pago de la misma cantidad (llamadas cuotas). Supongamos que tomamos prestados\(P\) dólares (nuestro principal) y pagamos el préstamo a una tasa de interés del\(r\)% con pagos mensuales regulares a plazos de\(M\) dólares. Entonces en el mes 1 del préstamo, antes de realizar cualquier pago, nuestro principal es\(P\) dólares. Nuestro objetivo en este ejercicio es encontrar una fórmula que relacione estos tres parámetros con la duración del préstamo.

    Nos cobran intereses todos los meses a una tasa anual de\(r\)%, por lo que cada mes pagamos\(\frac{r}{12}\)% de interés sobre el principal que queda. Dado que el principal original son\(P\) dólares, pagaremos\(\left(\frac{0.0r}{12}\right)P\) dólares en intereses en nuestro primer pago. Dado que pagamos\(M\) dólares en total por nuestro primer pago, el resto del pago (\(M-\left(\frac{r}{12}\right)P\)) va a pagar el principal. Entonces el principal restante después del primer pago (llamémoslo\(P_1\)) es el principal original menos lo que pagamos en el principal, o

    \[ P_1 = P - \left( M - \left(\frac{r}{12}\right)P\right) = \left(1 + \frac{r}{12}\right)P - M\text{.} \nonumber \]

    Mientras\(P_1\) sea positivo, todavía tenemos que seguir haciendo pagos para pagar el préstamo.

    1. Recordemos que la cantidad de intereses que pagamos cada vez depende del principal que quede. ¿Cuánto interés, en términos de\(P_1\) y\(r\text{,}\) pagamos en la segunda cuota?
    2. ¿Cuánto de nuestra segunda cuota mensual va para pagar el principal? ¿Cuál es el principal\(P_2\text{,}\) o el saldo del préstamo, que aún tenemos que pagar después de hacer la segunda cuota del préstamo? Escribe tu respuesta en el formulario\(P_2 = ( \ )P_1 - ( \ )M\text{,}\) donde rellenas los paréntesis.
    3. Demostrar que\(P_2 = \left(1 + \frac{r}{12}\right)^2P - \left[1 + \left(1+\frac{r}{12}\right)\right] M\text{.}\)
    4. Dejar\(P_3\) ser la cantidad de principal que queda después de la tercera entrega. Demostrar que
      \[ P_3 = \left(1 + \frac{r}{12}\right)^3P - \left[1 + \left(1+\frac{r}{12}\right) + \left(1+\frac{r}{12}\right)^2 \right] M\text{.} \nonumber \]
    5. Si continuamos de la manera descrita en los problemas anteriores, entonces el capital restante de nuestro préstamo después de\(n\) las cuotas es
      \[ P_n = \left(1 + \frac{r}{12}\right)^nP - \left[\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \left(1+\frac{r}{12}\right)^k \right] M\text{.}\label{ZTL}\tag{8.2.7} \]

      Esta es una fórmula bastante complicada y difícil de usar. Sin embargo, podemos simplificar la suma si reconocemos parte de ella como una suma parcial de una serie geométrica. Encuentra una fórmula para la suma

      \[ \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \left(1+\frac{r}{12}\right)^k\text{.}\label{GaU}\tag{8.2.8} \]

      y luego una fórmula general para\(P_n\) eso no implica una suma.

    6. Por lo general, es más conveniente escribir nuestra fórmula para\(P_n\) en términos de años en lugar de meses. Demostrar que\(P(t)\text{,}\) el principal restante después de\(t\) años, puede escribirse como
      \[ P(t) = \left(P - \frac{12M}{r}\right)\left(1+\frac{r}{12}\right)^{12t} + \frac{12M}{r}\text{.}\label{mid}\tag{8.2.9} \]
    7. Ahora que hemos analizado la situación general del préstamo, aplicamos la fórmula (8.2.9) a un préstamo real. Supongamos que cobramos $1,000 en una tarjeta de crédito para gastos de vacaciones. Si nuestra tarjeta de crédito cobra 20% de interés y pagamos solo el pago mínimo de $25 cada mes, ¿cuánto tiempo nos llevará pagar el cargo de $1,000? ¿Cuánto en total habremos pagado por este cargo de mil dólares? ¿Cuánto interés total pagaremos por este préstamo?
    8. Ahora consideramos préstamos mayores, por ejemplo, préstamos para automóviles o hipotecas, en los que tomamos prestada una cantidad específica de dinero durante un periodo de tiempo determinado. En esta situación, necesitamos determinar el monto del pago mensual que necesitamos hacer para pagar el préstamo en la cantidad de tiempo especificada. Ante esta situación, necesitamos encontrar el pago mensual\(M\) que llevará nuestro principal pendiente\(0\) en la cantidad de tiempo especificada. Para ello, queremos conocer el valor de\(M\) que hace\(P(t) = 0\) en la fórmula (8.2.9). Si establecemos\(P(t) = 0\) y resolvemos para\(M\text{,}\) ello sigue que
      \[ M = \frac{rP \left(1+\frac{r}{12}\right)^{12t}}{12\left(\left(1+\frac{r}{12}\right)^{12t} - 1 \right)}\text{.} \nonumber \]
      1. Supongamos que queremos pedir prestados $15,000 para comprar un auto. Tomamos un préstamo a 5 años al 6.25%. ¿Cuáles serán nuestros pagos mensuales? ¿Cuánto en total habremos pagado por este auto de $15,000? ¿Cuánto interés total pagaremos por este préstamo?
      2. Supongamos que carga sus libros del semestre de invierno en su tarjeta de crédito. El cargo total llega a 525 dólares. Si tu tarjeta de crédito tiene una tasa de interés del 18% y pagas $20 mensuales en la tarjeta, ¿cuánto tiempo tardará en pagar esta deuda? ¿Cuánto interés total pagarás?
      3. Digamos que necesitas pedir prestado 100.000 dólares para comprar una casa. Tienes varias opciones en el préstamo:
        • 30 años al 6.5%
        • 25 años al 7.5%
        • 15 años al 8.25%.
        1. ¿Cuáles son los pagos mensuales de cada préstamo?
        2. ¿Cuál hipoteca es en última instancia la mejor oferta (suponiendo que puedas pagar los pagos mensuales)? Es decir, ¿por qué préstamo paga la menor cantidad de interés total?

    8.3: Serie de números reales

    1. Convergencia de una secuencia y su serie
    2. Dos sumas parciales
    3. Convergencia de una serie y su secuencia
    4. Convergencia de una serie integral y una relacionada
    5

    En este ejercicio investigamos la secuencia\(\left\{\frac{b^n}{n!}\right\}\) para cualquier constante\(b\text{.}\)

    1. Utilice la Prueba de Relación para determinar si la serie\(\sum \frac{10^k}{k!}\) converge o diverge.
    2. Ahora aplique la Prueba de Relación para determinar si la serie\(\sum \frac{b^k}{k!}\) converge para cualquier constante\(b\text{.}\)
    3. Usa tu resultado de (b) para decidir si la secuencia\(\left\{\frac{b^n}{n!}\right\}\) converge o diverge. Si la secuencia\(\left\{\frac{b^n}{n!}\right\}\) converge, ¿a qué converge? Explica tu razonamiento.
    6

    Existe una prueba de convergencia similar a la Prueba de Relación llamada Prueba Raíz. Supongamos que tenemos una serie\(\sum a_k\) de términos positivos para que\(a_n \to 0\) como\(n \to \infty\text{.}\)

    1. Supongamos
      \[ \sqrt[n]{a_n} \to r \nonumber \]

      como\(n\) va al infinito. Explique por qué esto nos dice que\(a_n \approx r^n\) para grandes valores de\(n\text{.}\)

    2. Usando el resultado de la parte (a), explica por qué\(\sum a_k\) parece una serie geométrica cuando\(n\) es grande. ¿Cuál es la relación de la serie geométrica a la que\(\sum a_k\) es comparable?
    3. Usa lo que sabemos de las series geométricas para determinar que los valores de\(r\) para que\(\sum a_k\) converja si\(\sqrt[n]{a_n} \to r\) como\(n \to \infty\text{.}\)
    7

    Las leyes asociativas y distributivas de adición nos permiten sumar sumas finitas en el orden que queramos. Es decir, si\(\sum_{k=0}^n a_k\) y\(\sum_{k=0}^n b_k\) son sumas finitas de números reales, entonces

    \[ \sum_{k=0}^{n} a_k + \sum_{k=0}^n b_k = \sum_{k=0}^n (a_k+b_k)\text{.} \nonumber \]

    No obstante, sí hay que tener cuidado extendiendo reglas como esta a series infinitas.

    1. Let\(a_n = 1 + \frac{1}{2^n}\) y\(b_n = -1\) para cada entero no negativo\(n\text{.}\)
      1. Explique por qué las series\(\sum_{k=0}^{\infty} a_k\) y\(\sum_{k=0}^{\infty} b_k\) ambas divergen.
      2. Explique por qué\(\sum_{k=0}^{\infty} (a_k+b_k)\) converge la serie.
      3. Explicar por qué
        \[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k + \sum_{k=0}^{\infty} b_k \neq \sum_{k=0}^{\infty} (a_k+b_k)\text{.} \nonumber \]

        Esto demuestra que es posible tener a dos series divergentes\(\sum_{k=0}^{\infty} a_k\) y\(\sum_{k=0}^{\infty} b_k\) pero aún así tener las series\(\sum_{k=0}^{\infty} (a_k+b_k)\) convergen.

    2. Si bien la parte (a) muestra que no podemos agregar series término por término en general, podemos hacerlo bajo condiciones razonables. El problema en la parte (a) es que intentamos agregar series divergentes. En este ejercicio vamos a mostrar que si\(\sum a_k\) y\(\sum b_k\) son series convergentes, entonces\(\sum (a_k+b_k)\) es una serie convergente y
      \[ \sum (a_k+b_k) = \sum a_k + \sum b_k\text{.} \nonumber \]
      1. Let\(A_n\) y\(B_n\) ser las sumas parciales\(n\) th de la serie\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) y\(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\text{,}\) respectivamente. Explicar por qué
        \[ A_n + B_n = \sum_{k=1}^n (a_k+b_k)\text{.} \nonumber \]
      2. Usa el resultado anterior y las propiedades de los límites para mostrar que
        \[ \sum_{k=1}^{\infty} (a_k+b_k) = \sum_{k=1}^{\infty} a_k + \sum_{k=1}^{\infty} b_k\text{.} \nonumber \]

        (Tenga en cuenta que el punto de partida de la suma es irrelevante en este problema, por lo que no importa donde comencemos la suma).

    3. Usa el resultado anterior para encontrar la suma de la serie\(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k+3^k}{5^k}\text{.}\)
    8

    En la Prueba de Comparación de Límites comparamos el comportamiento de una serie con aquella cuyo comportamiento conocemos. En esa prueba utilizamos el límite de la relación de términos correspondientes de la serie para determinar si la comparación es válida. En este ejercicio vemos cómo podemos comparar dos series directamente, término por término, sin utilizar un límite de secuencia. Primero consideramos un ejemplo.

    1. Considera la serie
      \[ \sum \frac{1}{k^2} \text{ and } \sum \frac{1}{k^2+k}\text{.} \nonumber \]

      Sabemos que la serie\(\sum \frac{1}{k^2}\) es una\(p\) -serie con\(p = 2 \gt 1\) y así\(\sum \frac{1}{k^2}\) converge. En esta parte del ejercicio veremos cómo usar la información acerca de\(\sum \frac{1}{k^2}\) para determinar información sobre\(\sum \frac{1}{k^2+k}\text{.}\) Let\(a_k = \frac{1}{k^2}\) y\(b_k = \frac{1}{k^2+k}\text{.}\)

      1. \(S_n\)Sea la\(n\) ésima suma parcial de\(\sum \frac{1}{k^2}\) y\(T_n\) la\(n\) ésima suma parcial de\(\sum \frac{1}{k^2+k}\text{.}\) Cuál es mayor,\(S_1\) o\(T_1\text{?}\) ¿por qué?
      2. Recordemos que
        \[ S_2 = S_1 + a_2 \text{ and } T_2 = T_1 + b_2\text{.} \nonumber \]

        Que es más grande,\(a_2\) o\(b_2\text{?}\) Basado en esa respuesta, que es más grande,\(S_2\) o\(T_2\text{?}\)

      3. Recordemos que
        \[ S_3 = S_2 + a_3 \text{ and } T_3 = T_2 + b_3\text{.} \nonumber \]

        Que es más grande,\(a_3\) o\(b_3\text{?}\) Basado en esa respuesta, que es más grande,\(S_3\) o\(T_3\text{?}\)

      4. Que es más grande,\(a_n\) o\(b_n\text{?}\) Explique. Basado en esa respuesta, que es mayor,\(S_n\) o\(T_n\text{?}\)
      5. Con base en tu respuesta a la parte anterior de este ejercicio, ¿qué relación esperas que haya entre\(\sum \frac{1}{k^2}\) y\(\sum \frac{1}{k^2+k}\text{?}\) ¿\(\sum \frac{1}{k^2+k}\)Esperas converger o divergir? ¿Por qué?
    2. El ejemplo de la parte anterior de este ejercicio ilustra un resultado más general. Explique por qué funciona la Prueba de Comparación Directa, aquí expuesta.
      La prueba de comparación directa

      Si

      \[ 0 \leq b_k \leq a_k \nonumber \]

      para cada\(k\text{,}\) entonces debemos tener

      \[ 0 \leq \sum b_k \leq \sum a_k \nonumber \]
      1. Si\(\sum a_k\) converge, entonces\(\sum b_k\) converge.
      2. Si\(\sum b_k\) diverge, entonces\(\sum a_k\) diverge.
      Nota 8.3.7

      Esta prueba de comparación se aplica únicamente a series con términos no negativos.

      1. Utilice la Prueba de Comparación Directa para determinar la convergencia o divergencia de la serie\(\sum \frac{1}{k-1}\text{.}\) Sugerencia: Comparar con la serie armónica.
      2. Utilice la Prueba de Comparación Directa para determinar la convergencia o divergencia de la serie\(\sum \frac{k}{k^3+1}\text{.}\)

    8.4: Serie alterna

    1. Prueba de convergencia para una serie alterna
    2. Estimación de la suma de una serie alternada
    3. Estimación de la suma de una serie alterna diferente
    4. Estimación de la suma de una serie alternante más
    5

    Las series convergentes condicionalmente convergen muy lentamente. Como ejemplo, considera la famosa fórmula 1

    \[ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{1}{2k+1}\text{.}\label{Gbh}\tag{8.4.3} \]
    Derivaremos esta fórmula en los próximos trabajos.

    En teoría, las sumas parciales de esta serie podrían utilizarse para aproximar\(\pi\text{.}\)

    1. Mostrar que la serie en (8.4.3) converge condicionalmente.
    2. \(S_n\)Sea la\(n\) ésima suma parcial de la serie en (8.4.3). Calcular el error al aproximar\(\frac{\pi}{4}\) con\(S_{100}\) y explicar por qué esta no es una muy buena aproximación.
    3. Determinar el número de términos que tomaría en la serie (8.4.3) para aproximarse\(\frac{\pi}{4}\) a 10 decimales. (El hecho de que se necesite una cantidad tan grande de términos para obtener incluso un modesto grado de precisión es por lo que decimos que las series convergentes condicionalmente convergentes convergen muy lentamente).
    6

    Hemos demostrado que si\(\sum (-1)^{k+1} a_k\) es una serie alternante convergente, entonces la suma\(S\) de la serie se encuentra entre dos sumas parciales consecutivas cualesquiera\(S_n\text{.}\) Esto sugiere que el promedio\(\frac{S_n+S_{n+1}}{2}\) es una mejor aproximación a\(S\) que es\(S_n\text{.}\)

    1. Demostrar que\(\frac{S_n+S_{n+1}}{2} = S_n + \frac{1}{2}(-1)^{n+2} a_{n+1}\text{.}\)
    2. Utilice esta aproximación revisada en (a) con\(n = 20\) para aproximar\(\ln(2)\) dado que
      \[ \ln(2) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{1}{k}\text{.} \nonumber \]

      Compare esto con la aproximación usando solo\(S_{20}\text{.}\) Para su conveniencia,\(S_{20} = \frac{155685007}{232792560}\text{.}\)

    7

    En este ejercicio, examinamos una de las condiciones de la Prueba de Serie Alternante. Considere la serie alterna

    \[ 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{4} - \frac{1}{16} + \cdots\text{,} \nonumber \]

    donde los términos se seleccionan alternativamente de las secuencias\(\left\{\frac{1}{n}\right\}\) y\(\left\{-\frac{1}{n^2}\right\}\text{.}\)

    1. Explique por qué el término\(n\) th de la serie dada converge a 0 como\(n\) va al infinito.
    2. Reescriba la serie dada agrupando términos de la siguiente manera:
      \[ (1 - 1) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{16}\right) + \cdots\text{.} \nonumber \]

      Utilice este reagrupamiento para determinar si la serie converge o diverge.

    3. Explique por qué la condición de que la secuencia\(\{a_n\}\) disminuya hasta un límite de 0 se incluye en la Prueba de Serie Alternante.
    8

    Las series condicionalmente convergentes exhiben un comportamiento interesante e inesperado. En este ejercicio examinamos las series armónicas alternantes condicionalmente convergentes\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\) y descubrimos que la adición no es conmutativa para series condicionalmente convergentes. También nos encontraremos con el Teorema de Riemann sobre reordenamientos de series condicionalmente convergentes. Antes de comenzar, nos recordamos que

    \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \ln(2)\text{,} \nonumber \]

    hecho que se verificará en una sección posterior.

    1. Primero hacemos un análisis rápido de los términos positivos y negativos de las series armónicas alternas.
      1. Demostrar que la serie\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k}\) diverge.
      2. Demostrar que la serie\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k+1}\) diverge.
      3. Con base en los resultados de las partes anteriores de este ejercicio, qué podemos decir sobre las sumas\(\sum_{k=C}^{\infty} \frac{1}{2k}\) y\(\sum_{k=C}^{\infty} \frac{1}{2k+1}\) para cualquier entero positivo\(C\text{?}\) Sea específico en su explicación.
    2. Recordar la adición de números reales es conmutativa; es decir
      \[ a + b = b + a \nonumber \]

      para cualquier número real\(a\) y\(b\text{.}\) Esta propiedad es válida para cualquier suma de términos finitamente muchos, pero ¿esta propiedad se extiende cuando sumamos infinitamente muchos términos juntos?

      La respuesta es no, y sucede algo aún más extraño. El teorema de Riemann (después del matemático del siglo XIX Georg Friedrich Bernhard Riemann) afirma que una serie condicionalmente convergente puede ser reordenada para converger a cualquier suma prescrita. Más específicamente, esto significa que si elegimos cualquier número real\(S\text{,}\) podemos reorganizar los términos de la serie armónica alterna para\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\) que la suma sea\(S\text{.}\) Para entender cómo funciona el Teorema de Riemann, supongamos por el momento que el número que\(S\) queremos que nuestro reordenamiento converger a es positivo. Nuestro trabajo es encontrar una manera de ordenar que la suma de términos de la serie armónica alterna converja para\(S\text{.}\)

      1. Explicar cómo sabemos que, independientemente del valor de\(S\text{,}\) podemos encontrar una suma parcial\(P_1\)
        \[ P_1 = \sum_{k=1}^{n_1} \frac{1}{2k+1} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n_1+1} \nonumber \]

        de los términos positivos de la serie armónica alterna que es igual o superior a\(S\text{.}\) Let

        \[ S_1 = P_1\text{.} \nonumber \]
      2. Explicar cómo sabemos que, independientemente del valor de\(S_1\text{,}\) podemos encontrar una suma parcial\(N_1\)
        \[ N_1 = -\sum_{k=1}^{m_1} \frac{1}{2k} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} - \cdots - \frac{1}{2m_1} \nonumber \]

        para que

        \[ S_2 = S_1 + N_1 \leq S\text{.} \nonumber \]
      3. Explicar cómo sabemos que, independientemente del valor de\(S_2\text{,}\) podemos encontrar una suma parcial\(P_2\)
        \[ P_2 = \sum_{k=n_1+1}^{n_2} \frac{1}{2k+1} = \frac{1}{2(n_1+1)+1} + \frac{1}{2(n_1+2)+1} + \cdots + \frac{1}{2n_2+1} \nonumber \]

        de los términos positivos restantes de la serie armónica alterna de manera que

        \[ S_3 = S_2 + P_2 \geq S\text{.} \nonumber \]
      4. Explicar cómo sabemos que, independientemente del valor de\(S_3\text{,}\) podemos encontrar una suma parcial
        \[ N_2 = -\sum_{k=m_1+1}^{m_2} \frac{1}{2k} = -\frac{1}{2(m_1+1)} - \frac{1}{2(m_1+2)} - \cdots - \frac{1}{2m_2} \nonumber \]

        de los términos negativos restantes de la serie armónica alterna de manera que

        \[ S_4 = S_3 + N_2 \leq S\text{.} \nonumber \]
      5. Explique por qué podemos continuar este proceso indefinidamente y encontrar una secuencia\(\{S_n\}\) cuyos términos sean sumas parciales de un reordenamiento de los términos en la serie armónica alterna para que\(\lim_{n \to \infty} S_n = S\text{.}\)

    8.5: Polinomios de Taylor y Serie Taylor

    1. Determinación de polinomios de Taylor a partir de una fórmula de función
    2. Determinación de polinomios de Taylor a partir de valores derivados dados
    3. Encontrar la serie Taylor para una función racional dada
    4. Búsqueda de la serie Taylor para una función trigonométrica dada
    5. Encontrar la serie Taylor para una función logarítmica dada
    6

    En este ejercicio investigamos la serie Taylor de funciones polinómicas.

    1. Encuentra el polinomio Taylor de 3er orden centrado en\(a = 0\) for\(f(x) = x^3-2x^2+3x-1\text{.}\) ¿Te sorprende tu respuesta? Explique.
    2. Sin hacer ningún cálculo adicional, encuentra los polinomios Taylor de 4º, 12º y 100º orden (centrados en\(a = 0\)) para\(f(x) = x^3-2x^2+3x-1\text{.}\) ¿Por qué deberías esperar esto?
    3. Ahora supongamos que\(f(x)\) es un\(m\) polinomio de grado. Describir completamente el polinomio Taylor de orden\(n\) th (centrado en\(a = 0\)) para cada\(n\text{.}\)
    7

    Los ejemplos que hemos considerado en esta sección han sido todos para polinomios de Taylor y series centradas en 0, pero los polinomios y series de Taylor pueden estar centrados en cualquier valor de\(a\text{.}\) Observamos ejemplos de tales polinomios de Taylor en este ejercicio.

    1. Deja\(f(x) = \sin(x)\text{.}\) Find the Taylor polinomios up through order four of\(f\) centered at\(x = \frac{\pi}{2}\text{.}\) Then find the Taylor series for\(f(x)\) centered at\(x = \frac{\pi}{2}\text{.}\) Why should you have expected the result?
    2. Deje que\(f(x) = \ln(x)\text{.}\) Find the Taylor polinomios se suba a través del orden cuatro de\(f\) centrado en\(x = 1\text{.}\) Luego encuentre la serie Taylor para\(f(x)\) centrado en\(x = 1\text{.}\)
    3. Usa tu resultado de (b) para determinar qué polinomio de Taylor se aproximará\(\ln(2)\) a dos decimales. Explica en detalle cómo sabes que tienes la precisión deseada.
    8

    Podemos usar series conocidas de Taylor para obtener otras series de Taylor, y exploramos esa idea en este ejercicio, como una vista previa del trabajo en la siguiente sección.

    1. Calcular las primeras cuatro derivadas de\(\sin(x^2)\) y por lo tanto encontrar el polinomio Taylor de cuarto orden para\(\sin(x^2)\) centrado en\(a=0\text{.}\)
    2. La parte (a) demuestra el enfoque de fuerza bruta para computar polinomios y series de Taylor. Ahora nos encontramos con un método más fácil que utiliza una conocida serie de Taylor. Recordemos que la serie Taylor centrada en 0 para\(f(x) = \sin(x)\) es
      \[ \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\text{.}\label{IOJ}\tag{8.5.7} \]
      1. Sustituto\(x^2\)\(x\) en la serie Taylor (8.5.7). Escribe los primeros varios términos y compara con tu trabajo en la parte (a). Explique por qué la sustitución en este problema debería dar a la serie Taylor por\(\sin(x^2)\) centrada en 0.
      2. ¿Cuál debemos esperar que sea el intervalo de convergencia de la serie?\(\sin(x^2)\) Explique en detalle.
    9

    A partir de los ejemplos que hemos visto, podríamos esperar que la serie Taylor para una función\(f\) siempre converja a los valores\(f(x)\) en su intervalo de convergencia. Exploramos esa idea con más detalle en este ejercicio. Let\(f(x) = \begin{cases}e^{-1/x^2} & \text{ if } x \neq 0, \\[4pt] 0 & \text{ if } x = 0. \end{cases}\)

    1. Mostrar, usando la definición de la derivada, que\(f'(0) = 0\text{.}\)
    2. Se puede demostrar que\(f^{(n)}(0) = 0\) para todos\(n \geq 2\text{.}\) Suponiendo que esto es cierto, encuentra la serie Taylor para\(f\) centrada en 0.
    3. Cuál es el intervalo de convergencia de la serie Taylor centrado en 0 para\(f\text{?}\) Explique. Para qué valores\(x\) del intervalo de convergencia de la serie Taylor converge la serie Taylor a\(f(x)\text{?}\)

    8.6: Serie Power

    1. Hallar coeficientes en una expansión de una serie de potencias de una función racional
    2. Encontrar coeficientes en una expansión de serie de potencias de una función que implica\(\arctan(x)\)
    3.

    Podemos utilizar series de potencia para aproximar integrales definidas a las que no se aplican técnicas conocidas de integración. Ilustraremos esto en este ejercicio con la integral definitiva\(\int_0^1 \sin(x^2) \,ds\text{.}\)

    1. Utilice la serie Taylor para\(\sin(x)\) para encontrar la serie Taylor para\(\sin(x^2)\text{.}\) Cuál es el intervalo de convergencia para la serie Taylor para\(\sin(x^2)\text{?}\) Explicar.
    2. Integre la serie Taylor\(\sin(x^2)\) término por término para obtener una expansión de la serie de potencia para\(\int \sin(x^2)\,dx\text{.}\)
    3. Usa el resultado de la parte (b) para explicar cómo evaluar\(\int_0^1 \sin(x^2) \ dx\text{.}\) Determina el número de términos que necesitarás aproximar\(\int_0^1 \sin(x^2) \,dx\) a 3 decimales.
    4

    Existe una conexión importante entre la serie power y la serie Taylor. Supongamos que\(f\) está definido por una serie de potencia centrada en 0 de modo que

    \[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k\text{.} \nonumber \]
    1. Determinar las primeras 4 derivadas de\(f\) evaluadas a 0 en términos de los coeficientes\(a_k\text{.}\)
    2. Mostrar eso\(f^{(n)}(0) = n!a_n\) para cada entero positivo\(n\text{.}\)
    3. Explique cómo el resultado de (b) nos dice lo siguiente:

      En su intervalo de convergencia, una serie de potencias es la serie Taylor de su suma.

    5

    En este ejercicio comenzaremos con una extraña serie de poder y luego encontraremos su suma. La secuencia de Fibonacci\(\{f_n\}\) es una secuencia famosa cuyos primeros términos son

    \[ f_0 = 0, f_1 = 1, f_2 = 1, f_3 = 2, f_4 = 3, f_5 = 5, f_6 = 8, f_7 = 13, \cdots\text{,} \nonumber \]

    donde cada término en la secuencia posterior a los dos primeros es la suma de los dos términos anteriores. Es decir,\(f_0 = 0\text{,}\)\(f_1 = 1\) y para\(n \geq 2\) nosotros tenemos

    \[ f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\text{.} \nonumber \]

    Ahora considere la serie power

    \[ F(x) = \sum_{k=0}^{\infty} f_kx^k\text{.} \nonumber \]

    Determinaremos la suma de esta serie de poder en este ejercicio.

    1. Explique por qué cada uno de los siguientes es cierto.
      1. \(\displaystyle xF(x) = \sum_{k=1}^{\infty} f_{k-1}x^k\)
      2. \(\displaystyle x^2F(x) = \sum_{k=2}^{\infty} f_{k-2}x^k\)
    2. Demostrar que
      \[ F(x) - xF(x) - x^2F(x) = x\text{.} \nonumber \]
    3. Ahora usa la ecuación
      \[ F(x) - xF(x) - x^2F(x) = x \nonumber \]

      para encontrar una forma simple para\(F(x)\) eso no implica una suma.

    4. Utilizar un sistema de álgebra computacional o algún otro método para calcular las primeras 8 derivadas de\(\frac{x}{1-x-x^2}\) evaluadas a 0. ¿Por qué no deberían sorprenderte los resultados?
    6

    Ecuación 2 de Airy

    \[ y'' - xy = 0\text{,}\label{PgL}\tag{8.6.4} \]

    se puede utilizar para modelar un resorte vibratorio sin amortiguar con constante de resorte\(x\) (tenga en cuenta que\(y\) es una función desconocida de\(x\)). Por lo que la solución a esta ecuación diferencial nos dirá el comportamiento de un sistema de resorte-masa a medida que la primavera envejece (como un amortiguador de automóvil). Supongamos que una solución\(y=f(x)\) tiene una serie Taylor que se puede escribir en la forma

    \[ y = \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k\text{,} \nonumber \]

    donde los coeficientes son indeterminados. Nuestro trabajo es encontrar los coeficientes.

    Las ecuaciones diferenciales generales de la forma\(y'' \pm k^2xy = 0\) se llama ecuación de Airy. Estas ecuaciones surgen en muchos problemas, como el estudio de la difracción de luz, la difracción de ondas de radio alrededor de un objeto, la aerodinámica y el pandeo de una columna uniforme bajo su propio peso.
    1. Diferenciar la serie por\(y\) término a término para encontrar la serie para\(y'\text{.}\) Luego repita para encontrar la serie para\(y''\text{.}\)
    2. Sustituye tus resultados de la parte (a) por la ecuación Airy y demuestra que podemos escribir la Ecuación (8.6.4) en la forma
      \[ \sum_{k=2}^{\infty} (k-1)ka_kx^{k-2} - \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^{k+1} = 0\text{.}\label{vnU}\tag{8.6.5} \]
    3. En este punto, sería conveniente que pudiéramos combinar la serie de la izquierda en (8.6.5), pero una escrita con términos de la forma\(x^{k-2}\) y la otra con términos en la forma\(x^{k+1}\text{.}\) Explicar por qué
      \[ \sum_{k=2}^{\infty} (k-1)ka_kx^{k-2} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)(k+2)a_{k+2}x^{k}\text{.}\label{bvd}\tag{8.6.6} \]
    4. Ahora demuéstralo
      \[ \sum_{k=0}^{\infty} a_kx^{k+1} = \sum_{k=1}^{\infty} a_{k-1}x^k\text{.}\label{HCm}\tag{8.6.7} \]
    5. Ahora podemos sustituir (8.6.6) y (8.6.7) por (8.6.5) para obtener
      \[ \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)a_{n+2}x^{n} - \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1}x^{n} = 0\text{.}\label{nJv}\tag{8.6.8} \]

      Combina los poderes similares\(x\) de las dos series para demostrar que nuestra solución debe satisfacer

      \[ 2a_2 + \sum_{k=1}^{\infty} \left[(k+1)(k+2)a_{k+2}-a_{k-1} \right] x^{k} = 0\text{.}\label{TQE}\tag{8.6.9} \]
    6. Utilice la ecuación (8.6.9) para mostrar lo siguiente:
      1. \(a_{3k+2} = 0\)por cada entero positivo\(k\text{,}\)
      2. \(a_{3k} = \frac{1}{(2)(3)(5)(6) \cdots (3k-1)(3k)} a_0 \text{ for } k \geq 1\text{,}\)
      3. \(a_{3k+1} = \frac{1}{(3)(4)(6)(7) \cdots (3k)(3k+1)} a_1 \text{ for } k \geq 1\text{.}\)
    7. Utilice la parte anterior para concluir que la solución general a la ecuación Airy (8.6.4) es
      \ begin {align*} y &= a_0\ left (1+\ sum_ {k=1} ^ {\ infty}\ frac {x^ {3k}} {(2) (3) (5) (6)\ cdots (3k-1) (3k)}\ derecha)\\ [4pt] &\ phantom {= {}} + a_1\ izquierda (x +\ sum_ {k=1} ^ {\ infty}\ frac {x^ {3k+1}} {(3) (4) (6) (7)\ cdots (3k) (3k+1)}\ derecha)\ texto {.} \ end {alinear*}

      Cualquier valor para\(a_0\) y\(a_1\) luego determinar una solución específica que podamos aproximar lo más cerca que nos guste usando esta solución de serie.


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