9.2: Vectores

Preguntas Motivadoras

• ¿Qué es un vector?
• ¿Qué significa que dos vectores sean iguales?
• ¿Cómo sumamos dos vectores juntos y multiplicamos un vector por un escalar?
• ¿Cómo determinamos la magnitud de un vector? ¿Qué es un vector unitario y cómo encontramos un vector unitario en la dirección de un vector dado?

Cantidades como longitud, velocidad, área y masa se miden por números (llamados escalares). Otras cantidades, como velocidad, fuerza y desplazamiento, tienen dos atributos: magnitud y dirección. Estas cantidades están representadas por vectores y son el estudio de esta sección. Por ejemplo, utilizaremos vectores para calcular el trabajo realizado por una fuerza constante, calcular el par, determinar vectores de dirección para líneas y vectores normales para planos, definir la curvatura y determinar la dirección de mayor aumento en una superficie. Para la mayoría de estas aplicaciones, nos interesará usar vectores para medir dirección y/o velocidad. Los vectores serán una herramienta importante para nosotros en la determinación del comportamiento de funciones de varias variables.

Si estamos en un punto\(x\) en el dominio de una función de una variable, solo hay dos direcciones en las que podemos movernos: en la\(x\) dirección positiva o negativa. Si, sin embargo, estamos en un punto\((x,y)\) en el dominio de una función de dos variables, hay muchas direcciones en las que podemos movernos. Por lo tanto, es importante para nosotros tener un medio para indicar dirección, y lo haremos usando vectores. Esta noción de dirección en el espacio será crítica para encontrar vectores de dirección para líneas, líneas tangentes a curvas, vectores normales a planos, y para determinar la dirección del movimiento.

Vista previa de la actividad 9.2.1

Postscript es un lenguaje de programación cuyo propósito principal es describir la apariencia de texto o gráficos. Un simple conjunto de comandos Postscript que produce el triángulo en el plano con vértices\((0,0)\text{,}\)\((1,1)\text{,}\) y\((1,-1)\) es el siguiente:

 
          (0,0) moveto 
          (1,1) lineto stroke
          (1,-1) lineto stroke
          (0,0) lineto stroke
          

La idea clave en estos comandos es que partimos por el origen, luego le decimos a Postscript que queremos comenzar en el punto\((0,0)\text{,}\) trazar una línea desde el punto\((0,0)\) hasta el punto\((1,1)\) (esto es lo que hacen los comandos lineto y stroke), luego dibujar líneas de\((1,1)\) a\((1,-1)\) y\((1,-1)\) atrás al origen. Cada uno de estos comandos codifica dos datos importantes: una dirección en la que moverse y una distancia para moverse. Matemáticamente, podemos capturar esta información sucintamente en un vector. Para ello, registramos el movimiento en el mapa en un par\(\langle x, y \rangle\) (este par\(\langle x, y \rangle\) es un vector), donde\(x\) está el desplazamiento horizontal y\(y\) el desplazamiento vertical de un punto a otro. Entonces, por ejemplo, el vector desde el origen hasta el punto\((1,1)\) está representado por el vector\(\langle 1,1 \rangle\text{.}\)

1. ¿Cuál es el vector\(v_1 = \langle x , y \rangle\) que describe el desplazamiento del punto\((1,1)\) al punto\((1,-1)\text{?}\)? Cómo podemos usar este vector para determinar la distancia del punto\((1,1)\) al punto\((1,-1)\text{?}\)
2. Supongamos que queremos dibujar el triángulo con vértices\(A=(2,3)\text{,}\)\(B=(-3,1)\text{,}\) y\(C=(4,-2)\text{.}\) Como notación taquigráfica, denotaremos el vector del punto\(A\) al punto\(B\) como\(\overrightarrow{AB}\)
   1. Determinar los vectores\(\overrightarrow{AB}\text{,}\)\(\overrightarrow{BC}\text{,}\) y\(\overrightarrow{AC}\text{.}\)
   2. Qué relación ves entre los vectores\(\overrightarrow{AB}\text{,}\)\(\overrightarrow{BC}\text{,}\) y\(\overrightarrow{AC}\text{?}\) Explica por qué debería sostenerse esta relación.

9.2.1 Representaciones de vectores

Vista previa Actividad 9.2.1 muestra cómo podemos registrar la magnitud y dirección de un cambio de posición usando un par ordenado de números\(\langle x,y\rangle\text{.}\) Hay muchas otras cantidades, como fuerza y velocidad, que poseen los atributos de magnitud y dirección, y llamaremos a cada una de esas cantidades a vector.

Definición 9.2.1

Un vector es una cantidad que posee los atributos de magnitud y dirección.

Podemos representar un vector geométricamente como un segmento lineal dirigido, con la magnitud como la longitud del segmento y una punta de flecha que indica la dirección, como se muestra a la izquierda en la Figura 9.2.2.

Figura 9.2.2. Izquierda: Un vector. Derecha: Representaciones del mismo vector.

Según la definición, un vector posee los atributos de longitud (magnitud) y dirección; sin embargo, no se menciona la posición del vector. En consecuencia, consideramos iguales dos vectores cualesquiera que tengan la misma magnitud y dirección, como se muestra a la derecha en la Figura 9.2.2. En otras palabras, dos vectores son iguales siempre que tengan la misma magnitud y dirección.

Esto significa que el mismo vector puede ser dibujado en el plano de muchas maneras diferentes. Por ejemplo, supongamos que nos gustaría dibujar el vector\(\langle 3, 4\rangle\text{,}\) que representa un cambio horizontal de tres unidades y un cambio vertical de cuatro unidades. Podemos colocar la cola del vector (el punto a partir del cual se origina el vector) en el origen y la punta (el punto terminal del vector)\((3,4)\text{,}\) como se ilustra a la izquierda en la Figura 9.2.3. Se dice que un vector con su cola en el origen está en posición estándar.

Figura 9.2.3. Izquierda: Posición estándar. Derecha: Un vector entre dos puntos.

Alternativamente, podemos colocar la cola del vector\(\langle 3,4\rangle\) en otro punto, tal como\(Q(1,1)\text{.}\) Después de un desplazamiento de tres unidades a la derecha y cuatro unidades hacia arriba, la punta del vector está en el punto\(R(4,5)\) (ver el vector a la derecha en la Figura 9.2.3).

En este ejemplo, el vector condujo al segmento de línea dirigida\(Q\) a partir del\(R\text{,}\) cual\(\overrightarrow{QR}\text{.}\) denotamos como También podemos darle la vuelta a la situación: dados los dos puntos\(Q\) y\(R\text{,}\) obtenemos el vector\(\langle 3,4\rangle\) porque movemos horizontalmente tres unidades y verticalmente cuatro unidades para get from\(Q\) to\(R\text{.}\) En otras palabras,\(\overrightarrow{QR} = \langle 3,4\rangle\text{.}\) en general, el vector\(\overrightarrow{QR}\) del punto\(Q = (q_1, q_2)\) a\(R = (r_1, r_2)\) se encuentra tomando la diferencia de coordenadas, de manera que

\[ \overrightarrow{QR} = \langle r_1-q_1, r_2-q_2 \rangle. \nonumber \]

Utilizaremos letras negritas para representar vectores, como\(v = \langle 3, 4 \rangle\text{,}\) para distinguirlos de los escalares. Las entradas de un vector se denominan sus componentes; en el vector\(\langle 3, 4 \rangle\text{,}\) el\(x\) componente es 3 y el\(y\) componente es 4. Utilizamos corchetes puntiagudos\(\langle \ , \rangle\) y el término componentes para distinguir un vector de un punto\(( \ , )\) y sus coordenadas. Sin embargo, existe una estrecha conexión entre vectores y puntos. Dado un punto frecuentemente\(P\text{,}\) consideraremos el vector\(\overrightarrow{OP}\) desde el origen\(O\) hasta Por\(P\text{.}\) ejemplo, si\(P=(3,4)\text{,}\) entonces\(\overrightarrow{OP}=\langle 3,4\rangle\) como en la Figura 9.2.4. De esta manera, pensamos en un punto\(P\) como definir un vector\(\overrightarrow{OP}\) cuyos componentes coinciden con las coordenadas de\(P\text{.}\) El vector\(\overrightarrow{OP}\) se denomina vector de posición de\(P\text{.}\)

Figura 9.2.4. Un punto define un vector

Si bien a menudo ilustramos vectores en el plano ya que es más fácil dibujar imágenes, diferentes situaciones requieren el uso de vectores en tres o más dimensiones. Por ejemplo, un vector\(v\) en el espacio\(n\) dimensional,\(\mathbb{R}^n\text{,}\) tiene\(n\) componentes y puede representarse como

\[ v = \langle v_1, v_2, v_3, \ldots, v_n \rangle. \nonumber \]

La siguiente actividad nos ayudará a acostumbrarnos a vectores y operaciones sobre vectores en tres dimensiones.

Actividad 9.2.2

Un artículo de C.Kenneth Tanner de la Universidad de Georgia argumenta que, debido al concepto de distancia social, un aula de secundaria para 20 estudiantes debe tener 1344 pies cuadrados de superficie. Supongamos que un aula mide 32 pies por 42 pies por 8 pies. Establecer el origen\(O\) del aula para que sea su centro. En este aula, un alumno se encuentra sentado en una silla cuyo asiento está en el lugar se ubica\(A = (9, -6, -1.5)\text{,}\) un retroproyector en posición\(B = (0,1,3)\text{,}\) y el maestro está parado en punto\(C = (-2, 20, -4)\text{,}\) todas las distancias medidas en pies. Determinar los componentes de los vectores indicados y explicar en contexto lo que representa cada uno.

a.\(\overrightarrow{OA}\)

b.\(\overrightarrow{OB}\)

c.\(\overrightarrow{OC}\)

d.\(\overrightarrow{AB}\)

e.\(\overrightarrow{AC}\)

f.\(\overrightarrow{BC}\)

9.2.2 Igualdad de Vectores

Debido a que la ubicación no se menciona en la definición de un vector, dos vectores cualesquiera que tengan la misma magnitud y dirección son iguales. Es útil tener una forma algebraica de determinar cuándo ocurre esto. Es decir, si conocemos los componentes de dos vectores\(u\) y\(v \text{,}\) vamos a querer poder determinar algebraicamente cuándo\(u\) y\(v\) son iguales. Hay un conjunto obvio de condiciones que utilizamos.

Igualdad de Vectores

Dos vectores\(u = \langle u_1, u_2 \rangle\) e\(v = \langle v_1, v_2 \rangle\) in\(\mathbb{R}^2\) son iguales si y solo si sus componentes correspondientes son iguales:\(u_1 = v_1\) y\(u_2 = v_2\text{.}\) Más generalmente, dos vectores\(u = \langle u_1, u_2, \ldots, u_n\rangle\) e\(v = \langle v_1, v_2, \ldots, v_n \rangle\) in\(\mathbb{R}^n\) son iguales si y solo si\(u_i = v_i\) por cada posible valor de\(i\text{.}\)

9.2.3 Operaciones en vectores

Los vectores no son números, pero ahora podemos representarlos con componentes que son números reales. Como tal, naturalmente nos preguntamos si es posible sumar dos vectores juntos, multiplicar dos vectores o combinar vectores de cualquier otra manera. En esta sección, estudiaremos dos operaciones sobre vectores: adición de vectores y multiplicación escalar. Para comenzar, investigamos una forma natural de sumar dos vectores juntos, así como de multiplicar un vector por un escalar.

Actividad 9.2.3

Let\(u = \langle 2, 3 \rangle\text{,}\)\(v = \langle -1, 4 \rangle\text{.}\)

1. Usando los dos vectores específicos anteriores, cuál es la forma natural de definir la suma vectorial\(u + v \text{?}\)
2. En general, ¿cómo crees que\(\mathbb{R}^2\) debería definirse\(a + b\) la suma vectorial de vectores\(a = \langle a_1, a_2 \rangle\) y\(b = \langle b_1, b_2 \rangle\) en? Escribe una definición formal de una suma vectorial basada en tu intuición.
3. En general, ¿cómo crees que\(\mathbb{R}^3\) debería definirse\(a + b\) la suma vectorial de vectores\(a = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle\) y\(b = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle\) en? Escribe una definición formal de una suma vectorial basada en tu intuición.
4. Volviendo al vector específico\(v = \langle -1, 4 \rangle\) dado anteriormente, cuál es la forma natural de definir el múltiplo escalar\(\frac{1}{2} v\text{?}\)
5. En general, ¿cómo crees que\(c\) debería definirse un múltiplo escalar de un vector\(a = \langle a_1, a_2 \rangle\) in\(\mathbb{R}^2\) por un escalar? qué tal para un múltiplo escalar de un vector\(a = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle\) en\(\mathbb{R}^3\) por un escalar\(c\text{?}\) Escribe una definición formal de un múltiplo escalar de un vector basado en tu intuición.

Ahora podemos agregar vectores y multiplicar vectores por escalares, y así podemos sumar múltiplos escalares de vectores. Esto nos permite definir la resta vectorial,\(v - u\text{,}\) como la suma de\(v\) y los\(-1\) tiempos\(u\text{,}\) para que

\[ v - u = v + (-1)u. \nonumber \]

Usando la adición de vectores y la multiplicación escalar, a menudo representaremos vectores en términos de los vectores especiales\(i = \langle 1, 0 \rangle\) y\(j = \langle 0,1 \rangle\text{.}\) Por ejemplo, podemos escribir el vector\(\langle a, b \rangle\) en\(\mathbb{R}^2\) como

\[ \langle a, b \rangle = a\langle 1, 0 \rangle + b\langle 0, 1 \rangle = a \mathbf{i} + b \mathbf{j}, \nonumber \]

lo que significa que

\[ \langle 2, -3 \rangle = 2\mathbf{i} - 3\mathbf{j}. \nonumber \]

En el contexto de\(\mathbb{R}^3\text{,}\) dejar\(\mathbf{i} = \langle 1, 0, 0 \rangle\text{,}\)\(\mathbf{j} = \langle 0,1,0 \rangle\text{,}\) y\(\mathbf{k} = \langle 0,0,1 \rangle\text{,}\) y podemos escribir el vector\(\langle a, b, c \rangle\) en\(\mathbb{R}^3\) como

\[ \langle a, b,c \rangle = a\langle 1, 0,0 \rangle + b\langle 0, 1,0 \rangle + c\langle 0,0,1 \rangle = a\mathbf{i} + b \mathbf{j} + c\mathbf{k}. \nonumber \]

Los vectores\(\mathbf{i} \text{,}\)\(\mathbf{j} \text{,}\) y\(\mathbf{k}\) se denominan vectores unitarios estándar (como aprenderemos momentáneamente, los vectores unitarios tienen longitud 1), y son importantes en las ciencias físicas.

9.2.4 Propiedades de las operaciones vectoriales

Sabemos que la suma escalar\(1+2\) es igual a la suma escalar\(2+1\text{.}\) Esto se llama la propiedad conmutativa de la suma escalar. Cada vez que definimos operaciones sobre objetos (como adición de vectores) solemos querer saber qué tipo de propiedades tienen las operaciones. Por ejemplo, ¿la adición de vectores es una operación conmutativa? Para responder a esta pregunta tomamos dos vectores arbitrarios\(\mathbf{v}\) y\(\mathbf{u}\) y los sumamos y vemos qué pasa. Vamos\(\mathbf{v} = \langle v_1, v_2 \rangle\) y\(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\text{.}\) Ahora usamos el hecho de que\(v_1\text{,}\)\(v_2\text{,}\)\(u_1\text{,}\) y\(u_2\) son escalares, y que la adición de escalares es conmutativa para ver que

\ begin {align*}\ mathbf {v} +\ mathbf {u} =\ mathstrut &\ langle v_1, v_2\ rangle +\ langle u_1, u_2\ rangle\\ [4pt] =\ mathstrut &\ langle v_1+u_1, v_2 + u_2\ rangle\\ [4pt] =\ mathstrut &\ langle u_1 1+v_1, u_2+v_2\ rangle\\ [4pt] =\ mathstrut &\ langle u_1, u_2\ rangle +\ langle v_1, v_2\ rangle\\ [4pt] =\ mathstrut &\ mathbf {u} +\ mathbf {v}. \ end {alinear*}

Entonces la suma vectorial es una operación conmutativa. Se pueden usar argumentos similares para mostrar las siguientes propiedades de adición de vectores y multiplicación escalar.

Propiedades de las operaciones vectoriales

Dejar\(\mathbf{v} \text{,}\)\(\mathbf{u}\text{,}\) y\(\mathbf{w}\) ser vectores adentro\(\mathbb{R}^n\) y dejar\(a\) y\(b\) ser escalares. Entonces

1. \(\displaystyle \mathbf{v} + \mathbf{u} = \mathbf{u} + \mathbf{v}\)
2. \(\displaystyle (\mathbf{v} + \mathbf{u}) + \mathbf{w} = \mathbf{v} + (\mathbf{u} + \mathbf{w})\)
3. El vector\(\mathbf{0} = \langle 0, 0, \ldots, 0 \rangle\) tiene la propiedad de que\(\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v} \text{.}\) El vector\(\mathbf{0}\) se llama el vector cero.
4. \((-1)\mathbf{v} + \mathbf{v} = \mathbf{0} \text{.}\)El vector\((-1) \mathbf{v} = -\mathbf{v} \) se llama el inverso aditivo del vector\(\mathbf{v} \text{.}\)
5. \(\displaystyle (a+b) \mathbf{v} = a \mathbf{v} + b \mathbf{v}\)
6. \(\displaystyle a(\mathbf{v} + \mathbf{u}) = a \mathbf{v} + a \mathbf{u}\)
7. \(\displaystyle (ab) \mathbf{v} = a(b \mathbf{v})\)
8. \(1 \mathbf{v} = \mathbf{v} \text{.}\)

Verificamos que la primera propiedad para vectores en\(\mathbb{R}^2\text{;}\) ella es sencillo verificar que el resto de las ocho propiedades que acabamos de señalar se mantienen para todos los vectores en\(\mathbb{R}^n\text{.}\)

9.2.5 Interpretación Geométrica de Operaciones Vectoriales

A continuación, exploramos una interpretación geométrica de la adición vectorial y la multiplicación escalar que nos permite visualizar estas operaciones. Dejar\(\mathbf{u} = \langle 4, 6 \rangle\) y\(\mathbf{v} = \langle 3, -2 \rangle\text{.}\) Luego\(\mathbf{w} = \mathbf{u} + \mathbf{v} = \langle 7, 4 \rangle\text{,}\) como se muestra a la izquierda en la Figura 9.2.5.

Figura 9.2.5. Una suma vectorial (izquierda), sumando desplazamientos (centro), la ley de paralelogramo (derecha).

Si pensamos en estos vectores como desplazamientos en el plano, encontramos una forma geométrica de visualizar la adición de vectores. Por ejemplo, el vector\(\mathbf{u} + \mathbf{v}\) representará el desplazamiento obtenido siguiendo el desplazamiento\(\mathbf{u}\) con el desplazamiento\(\mathbf{v} \text{.}\) Podemos imaginarlo colocando la cola de\(\mathbf{v}\) en la punta de\(\mathbf{u} \text{,}\) como se ve en el centro de la Figura 9.2.5.

Por supuesto, la adición vectorial es conmutativa por lo que obtenemos la misma suma si colocamos la cola de\(\mathbf{u}\) en la punta de Por lo tanto\(\mathbf{v} \text{.}\) vemos que\(\mathbf{u}+\mathbf{v}\) aparece como la diagonal del paralelogramo determinada por\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\text{,}\) como se muestra a la derecha en la Figura 9.2.5.

La resta vectorial tiene una interpretación similar. A la izquierda en la Figura 9.2.6 vemos vectores\(\mathbf{u}\text{,}\)\(\mathbf{v}\text{,}\) y\(\mathbf{w} =\mathbf{u} + \mathbf{v} \text{.}\) si\(\mathbf{v} = \mathbf{w} - \mathbf{u} \text{,}\) reescribimos tenemos la disposición que se muestra a la derecha en la Figura 9.2.6. En otras palabras, para formar la diferencia\(\mathbf{w} -\mathbf{u} \text{,}\) dibujamos un vector desde la punta de\(\mathbf{u}\) hasta la punta de\(\mathbf{w} \text{.}\)

Figura 9.2.6. Izquierda: Adición de vectores. Derecha: Resta vectorial.

De manera similar, podemos representar geométricamente un múltiplo escalar de un vector. Por ejemplo, si\(\mathbf{v}=\langle 2,3\rangle\text{,}\) entonces\(2\mathbf{v} = \langle 4,6\rangle\text{.}\) Como se muestra en la Figura 9.2.7, multiplicar\(\mathbf{v}\) por 2 deja la dirección sin cambios, pero se estira\(\mathbf{v}\) por 2. Además,\(-2\mathbf{v} = \langle -4, -6\rangle\text{,}\) lo que demuestra que multiplicar por un escalar negativo da un vector apuntando en la dirección opuesta a\(\mathbf{v} \text{.}\)

Figura 9.2.7. Multiplicación escalar

Actividad 9.2.4

Figura 9.2.8. Izquierda: Sketch sumas. Derecha: Croquis múltiplos.

Supongamos que\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) son los vectores mostrados en la Figura 9.2.8.

1. En los ejes de la izquierda en la Figura 9.2.8, bosquejar los vectores\(\mathbf{u} + \mathbf{v} \text{,}\)\(\mathbf{v} - \mathbf{u} \text{,}\)\(2\mathbf{u} \text{,}\)\(-2\mathbf{u}\text{,}\) y\(-3\mathbf{v}\text{.}\)
2. Qué es\(0\mathbf{v} \text{?}\)
3. En los ejes de la derecha en la Figura 9.2.8, bosquejar los vectores\(-3\mathbf{v} \text{,}\)\(-2\mathbf{v} \text{,}\)\(-1\mathbf{v} \text{,}\)\(2\mathbf{v} \text{,}\) y\(3\mathbf{v} \text{.}\)
4. Dar una descripción geométrica del conjunto de puntos terminales de los vectores\(t\mathbf{v} \) donde\(t\) está cualquier escalar.
5. En el conjunto de ejes a la derecha en la Figura 9.2.8, bosquejar los vectores\(\mathbf{u} - 3\mathbf{v} \text{,}\)\(\mathbf{u} - 2\mathbf{v}\text{,}\)\(\mathbf{u} -\mathbf{v} \text{,}\)\(\mathbf{u} + \mathbf{v} \text{,}\) y\(\mathbf{u} + 2\mathbf{v} \text{.}\)
6. Dar una descripción geométrica del conjunto de puntos terminales de los vectores\(\mathbf{u} + t\mathbf{v}\) donde\(t\) está cualquier escalar.

9.2.6 La magnitud de un vector

Por definición, los vectores tienen tanto dirección como magnitud (o longitud). Ahora investigamos cómo calcular la magnitud de un vector. Dado que un vector\(\mathbf{v}\) puede ser representado por un segmento de línea dirigida, podemos usar la fórmula de distancia para calcular la longitud del segmento. Esta longitud es la magnitud del vector\(\mathbf{v}\) y se denota\(|\mathbf{v}|\text{.}\)

Actividad 9.2.5

Figura 9.2.9. Izquierda:\(\overrightarrow{AB}\text{.}\) Derecha: Un vector arbitrario,\(\mathbf{v}\text{.}\)

1. Dejar\(A = (2,3)\) y\(B = (4,7)\text{,}\) como se muestra a la izquierda en la Figura 9.2.9. Compute\(|\overrightarrow{AB}|\text{.}\)
2. Dejar\(\mathbf{v} = \langle v_1, v_2 \rangle\) ser el vector\(\mathbb{R}^2\) con componentes\(v_1\) y\(v_2\) como se muestra a la derecha en la Figura 9.2.9. Utilice la fórmula de distancia para encontrar una fórmula general para\(|\mathbf{v}|\text{.}\)
3. Dejar\(\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle\) ser un vector en\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Usa la fórmula de distancia para encontrar una fórmula general para\(|\mathbf{v}|\text{.}\)
4. Supongamos que\(\mathbf{u} = \langle 2,3\rangle\) y\(\mathbf{v} = \langle -1,2\rangle\text{.}\) Encuentra\(|\mathbf{u}|\text{,}\)\(|\mathbf{v}|\text{,}\) y\(|\mathbf{u}+\mathbf{v}|\text{.}\) ¿Es cierto que\(|\mathbf{u} + \mathbf{v}| = |\mathbf{u}|+|\mathbf{v}|\text{?}\)
5. Bajo qué condiciones lo hará\(|\mathbf{u}+\mathbf{v}| = |\mathbf{u}|+|\mathbf{v}|\text{?}\) (Sugerencia: Piensa en cómo\(\mathbf{u} \text{,}\)\(\mathbf{v} \text{,}\) y\(\mathbf{u}+\mathbf{v}\) forma los lados de un triángulo.)
6. Con el vector\(\mathbf{u} = \langle 2,3\rangle\text{,}\) encuentra las longitudes de\(2\mathbf{u}\text{,}\)\(3\mathbf{u}\text{,}\) y\(-2\mathbf{u}\text{,}\) respectivamente, y usa la notación adecuada para etiquetar tus resultados.
7. Si\(t\) hay algún escalar, cómo se\(|t\mathbf{u}|\) relaciona con\(|\mathbf{u}|\text{?}\)
8. Un vector unitario es un vector cuya magnitud es 1. De los vectores\(\textbf{i}\text{,}\)\(\textbf{j}\text{,}\) y\(\textbf{i} + \textbf{ j}\text{,}\) cuales son vectores unitarios?
9. Encuentre un vector unitario\(\mathbf{v}\) cuya dirección sea la misma que\(\mathbf{u} = \langle 2, 3\rangle\text{.}\) (Sugerencia: Considere el resultado de la parte (g).)

9.2.7 Resumen

• Un vector es un objeto que posee los atributos de magnitud y dirección. Ejemplos de cantidades vectoriales son la posición, la velocidad, la aceleración y la fuerza.
• Dos vectores son iguales si tienen la misma dirección y magnitud. Observe que la posición no es considerada, por lo que un vector es independiente de su ubicación.
• Si\(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, \ldots, u_n \rangle\) y\(\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, \ldots, v_n \rangle\) son dos vectores en\(\mathbb{R}^n\text{,}\) entonces su suma vectorial es el vector\[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \langle u_1+v_1, u_2+v_2, \ldots, u_n+v_n \rangle. \nonumber \]
• Si\(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, \ldots, u_n \rangle\) es un vector en\(\mathbb{R}^n\) y\(c\) es un escalar, entonces el múltiplo escalar\(c\mathbf{u}\) es el vector\[ c\mathbf{u} = \langle cu_1, cu_2, \ldots, cu_n \rangle. \nonumber \]
• La magnitud del vector\(\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, \ldots, v_n \rangle\) en\(\mathbb{R}^n\) es el escalar\[ |\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2+v_2^2+ \cdots + v_n^2}. \nonumber \]
• Un vector\(\mathbf{u}\) es un vector unitario siempre que\(|\mathbf{u}| = 1\text{.}\) If\(\mathbf{v}\) sea un vector distinto de cero, entonces el vector\(\frac{v}{|v|}\) es un vector unitario con la misma dirección que\(\mathbf{v} \text{.}\)