9.3: Producto Dot
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- ¿Cómo se define el producto punto de dos vectores y qué información geométrica nos dice?
- ¿Cómo podemos saber si dos vectores en\(\mathbb{R}^n\) son perpendiculares?
- ¿Cómo encontramos la proyección de un vector sobre otro?
En la última sección, se consideró la adición vectorial y la multiplicación escalar y se encontró que cada operación tenía una interpretación geométrica natural. En esta sección, introduciremos un medio para multiplicar vectores.
Para vectores bidimensionales\(\mathbf{u} =\langle u_1,u_2\rangle\) y\(\mathbf{v}=\langle v_1, v_2\rangle\text{,}\) el producto punto es simplemente el escalar obtenido por
\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2. \nonumber \]
a. Si\(\mathbf{u} =\langle 3, 4\rangle\) y\(\mathbf{v}=\langle -2, 1\rangle\text{,}\) encuentra el producto punto\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\text{.}\)
b. Encontrar\(\mathbf{i} \cdot \mathbf{j}\) y\(\mathbf{i} \cdot \mathbf{j}\text{.}\)
c. Si\(\mathbf{u}=\langle 3, 4\rangle\text{,}\) encuentra\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} \text{.}\) ¿Cómo se relaciona esto con\(|\mathbf{u}|\text{?}\)
d. En los ejes de la Figura 9.3.1, trazar los vectores\(\mathbf{u}=\langle 1, 3\rangle\) y\(\mathbf{v}=\langle -3, 1\rangle\text{.}\) Entonces, encontrar\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\text{.}\) ¿Cuál es el ángulo entre estos vectores?
e. En los ejes de la Figura 9.3.2, graficar el vector\(\mathbf{u} =\langle 1, 3\rangle\text{.}\)
Para cada uno de los siguientes vectores\(\mathbf{v}\text{,}\) grafica el vector en la Figura 9.3.2 y luego calcule el producto de punto\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\text{.}\)
- \(\mathbf{v}=\langle 3, 2 \rangle\text{.}\)
- \(\mathbf{v}=\langle 3, 0 \rangle\text{.}\)
- \(\mathbf{v}=\langle 3,-1 \rangle\text{.}\)
- \(\mathbf{v}=\langle 3,-2 \rangle\text{.}\)
- \(\mathbf{v}=\langle 3,-4 \rangle\text{.}\)
f. con base en la parte anterior de esta actividad, ¿cuál opina que es el signo del producto punto en los siguientes tres casos mostrados en la Figura 9.3.3?
9.3.1 El producto Dot
La definición del producto punto para vectores en\(\mathbb{R}^2\) dada en la Actividad de vista previa 9.3.1 se puede extender a los vectores en\(\mathbb{R}^n\text{.}\)
El producto punto de los vectores\(\mathbf{u}=\langle u_1, u_2,\ldots,u_n\rangle\) y\(\mathbf{v}=\langle v_1, v_2,\ldots,v_n\rangle\) en\(\mathbb{R}^n\) es el escalar
\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1+u_2v_2 + \ldots + u_nv_n. \nonumber \]
(Como veremos en breve, el producto punto surge en la física para calcular el trabajo realizado por una fuerza vectorial en una dirección dada. Podría ser más natural definir el producto punto en este contexto, pero es más conveniente desde una perspectiva matemática definir el producto punto algebraicamente y luego ver el trabajo como una aplicación de esta definición.)
Por ejemplo, encontramos que
Observe que la cantidad resultante es un escalar. Nuestro trabajo en Preview Activity 9.3.1 examinó productos punteados de vectores bidimensionales.
Determinar cada una de las siguientes.
- \(\langle 1, 2, -3 \rangle \cdot \langle 4, -2, 0 \rangle\text{.}\)
- \(\displaystyle \langle 0, 3, -2, 1 \rangle \cdot \langle 5, -6, 0, 4 \rangle\)
El producto punto es una forma natural de definir un producto de dos vectores. Además, se comporta de formas similares al producto de, digamos, números reales.
Dejar\(\mathbf{u}\text{,}\)\(\mathbf{v}\text{,}\) y\(\mathbf{w}\) ser vectores en\(\mathbb{R}^n\text{.}\) Entonces
- \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}\)(el producto de punto es conmutativo), y
- \((\mathbf{u} + \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}) + (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})\text{.}\)
- si\(c\) es un escalar, entonces\((c\mathbf{u}) \cdot \mathbf{w} = c(\mathbf{u} \cdot \mathbf{w})\text{.}\)
Además, el producto punto nos da valiosa información geométrica sobre los vectores y su orientación relativa. Por ejemplo, consideremos qué sucede cuando punteamos un vector consigo mismo:
En otras palabras, el producto de punto de un vector consigo mismo da el cuadrado de la longitud del vector:\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}=|\mathbf{u}|^2\text{.}\)
9.3.2 El ángulo entre vectores
El producto punto puede ayudarnos a entender el ángulo entre dos vectores. Por ejemplo, si se nos dan dos vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\text{,}\) hay dos ángulos que estos vectores crean, como se representa a la izquierda en la Figura 9.3.5. Llamaremos\(\theta\text{,}\) al menor de estos ángulos, el ángulo entre estos vectores. Observe que\(\theta\) se encuentra entre 0 y\(\pi\text{.}\)
Para determinar este ángulo, podemos aplicar la Ley de Cosinos al triángulo que se muestra a la derecha en la Figura 9.3.5.
Utilizando el hecho de que el producto punto de un vector consigo mismo nos da el cuadrado de su longitud, junto con las propiedades del producto punto, encontramos:
Para resumir, tenemos la importante relación
A veces es útil pensar que la Ecuación (9.3.1) nos da una expresión para el ángulo entre dos vectores:
La verdadera belleza de esta expresión es esta: el producto punto es una operación algebraica muy simple de realizar pero nos proporciona información geométrica importante —es decir, el ángulo entre los vectores— que sería difícil determinar de otra manera.
Determinar cada una de las siguientes.
- La longitud del vector\(\mathbf{u}=\langle 1,2,-3\rangle\) usando el producto punto.
- El ángulo entre los vectores\(\mathbf{u} =\langle 1, 2 \rangle\) y\(\mathbf{v} = \langle 4, -1 \rangle\) a la décima de grado más cercana.
- El ángulo entre los vectores\(\mathbf{y} =\langle 1, 2, -3 \rangle\) y\(\mathbf{z} = \langle -2, 1, 1 \rangle\) a la décima de grado más cercana.
- Si el ángulo entre los vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) es un ángulo recto, ¿qué\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos(\theta)\) dice la expresión sobre su producto punto?
- Si el ángulo entre los vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) es agudo, es decir, menor que,\(\pi/2\) ¿qué\(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v} =|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos(\theta)\) dice la expresión sobre su producto de punto?
- Si el ángulo entre los vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) es obtuso —es decir, mayor que\(\pi/2\) — ¿qué\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos(\theta)\) dice la expresión sobre su producto de punto?
9.3.3 El producto Dot y la ortogonalidad
Cuando el ángulo entre dos vectores es un ángulo recto, suele darse el caso de que algo importante está sucediendo. En este caso, decimos que los vectores son ortogonales. Por ejemplo, la ortogonalidad a menudo juega un papel en los problemas de optimización; para determinar el camino más corto desde un punto\(\mathbb{R}^3\) hasta un plano dado, nos movemos a lo largo de una línea ortogonal al plano.
Como indica la Actividad 9.3.3, el producto punto proporciona un medio sencillo para determinar si dos vectores son ortogonales entre sí. En este caso,\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} =|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos(\pi/2) = 0\text{,}\) por lo que hacemos la siguiente observación importante.
Dos vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) en\(\mathbb{R}^n\) son ortogonales entre sí si\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0\text{.}\)
De manera más general, el signo del producto punto nos da información útil sobre la orientación relativa de los vectores. Si recordamos que
vemos que para vectores distintos de cero\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v} \text{,}\)
Esto se ilustra en la Figura 9.3.6.
9.3.4 Trabajo, Fuerza y Desplazamiento
En física, el trabajo es una medida de la energía requerida para aplicar una fuerza a un objeto a través de un desplazamiento. Por ejemplo, la Figura 9.3.7 muestra una fuerza que\(\mathbf{F}\) desplaza un objeto de punto\(A\) a punto.\(B\text{.}\) El desplazamiento es entonces representado por el vector\(\overrightarrow{AB}\text{.}\)
Resulta que el trabajo requerido para desplazar el objeto es
Esto significa que el trabajo está determinado únicamente por la magnitud de la fuerza aplicada paralela al desplazamiento. En consecuencia, si nos dan dos vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\text{,}\) nos gustaría escribir\(\mathbf{u}\) como una suma de dos vectores, uno de los cuales es paralelo\(\mathbf{v}\) y uno de los cuales es ortogonal a\(\mathbf{v} \text{.}\) Tomamos esta tarea después de la siguiente actividad.
Determinar el trabajo realizado por una fuerza de 25 libras que actúa en\(30^{\circ}\) ángulo con la dirección del movimiento del objeto, si se tira del objeto 10 pies. Además, es más trabajo o menos trabajo realizado si el ángulo a la dirección del movimiento del objeto es\(60^\circ\text{?}\)
9.3.5 Proyecciones
Supongamos que se nos dan dos vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) como se muestra a la izquierda en la Figura 9.3.8. Motivados por nuestra discusión sobre el trabajo, nos gustaría escribir\(\mathbf{u}\) como una suma de dos vectores, uno de los cuales es paralelo\(\mathbf{v}\) y uno de los cuales es ortogonal. Es decir, nos gustaría escribir
donde\(proj_{\mathbf{v}}\mathbf{u}\) es paralelo a\(\mathbf{v}\) y\(proj_{\perp \mathbf{v}}\mathbf{u} \) es ortogonal a\(\mathbf{v} \text{.}\) Llamamos al vector\(proj_{\mathbf{v}}\mathbf{u}\) la proyección de\(\mathbf{u}\) sobre\(\mathbf{v}\). Obsérvese que, como lo ilustra el diagrama de la derecha en la Figura 9.3.8, también es posible crear una proyección aunque el ángulo entre los vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) exceda\(\frac\pi2\text{.}\)
Para encontrar el vector\(proj_{\mathbf{v}} \mathbf{u}\text{,}\) vamos a puntear ambos lados de la Ecuación (9.3.2) con el vector\(\mathbf{v}\text{,}\) para encontrar que
Observe que\((proj_{\perp\mathbf{v}}\mathbf{u})\cdot \mathbf{v} = 0\) ya que\(proj_{\perp\mathbf{v}}\mathbf{u}\) es ortogonal a\(\mathbf{v}\text{.}\) También,\(proj_{\mathbf{v}}\mathbf{u}\) debe ser un múltiplo escalar de\(\mathbf{v}\) ya que es paralelo a\(\mathbf{v}\text{,}\) así vamos a escribir De\(proj_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = s \mathbf{v} \text{.}\) ello se deduce que
lo que significa que
y por lo tanto
A veces es útil escribir\(proj_{\mathbf{v}}\mathbf{u}\) como escalar veces un vector unitario en la dirección de\(\mathbf{v}\text{.}\) Llamamos a este escalar el componente de\(\ mathbf {u}\) a lo largo de\(\ mathbf {v}\) y lo\(comp_{\mathbf{v}}\mathbf{u} \text{.}\) denotamos como Por lo tanto tenemos
para que
Dejar\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) ser vectores en\(\mathbb{R}^n\text{.}\) El componente de\(\mathbf{u}\) en la dirección de\(\mathbf{v}\) es el escalar
y la proyección de\(\mathbf{u}\) sobre\(\mathbf{v}\) es el vector
\[ proj_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}} \mathbf{v}. \nonumber \]
Por otra parte, desde
se deduce que
Esto demuestra que una vez que\(proj_{\mathbf{v}} \mathbf{u} \text{,}\) hemos calculado podemos encontrar\(proj_{\perp \mathbf{v}} \mathbf{u}\) simplemente calculando la diferencia de dos vectores conocidos.
Let\(\mathbf{u} = \langle 2, 6 \rangle\text{.}\)
- Deja\(\mathbf{v} = \langle 4, -8 \rangle\text{.}\) Encuentra\(comp_{\mathbf{v}} \mathbf{u} \text{,}\)\(proj_{\mathbf{v}} \mathbf{u}\)\(proj_{\perp \mathbf{v}} \mathbf{u} \text{,}\) y dibuja una imagen para ilustrar. Finalmente,\(\mathbf{u}\) se expresa como la suma de dos vectores donde uno es paralelo\(\mathbf{v}\) y el otro es perpendicular a\(\mathbf{v}\text{.}\)
- Ahora vamos\(\mathbf{v} = \langle -2,4 \rangle \text{.}\) Sin hacer ningún cálculo, encuentra\(proj_{\mathbf{v}} \mathbf{u} \text{.}\) Explica tu razonamiento. (Pista: Refiérase a la imagen que dibujó en la parte (a).)
- Encuentra un vector\(\mathbf{w}\) no paralelo a\(\mathbf{z} = \langle 3,4 \rangle \) tal que\(proj_{\mathbf{z}} \mathbf{w}\) tenga longitud\(10\text{.}\) Tenga en cuenta que hay infinitamente muchas respuestas diferentes.
9.3.6 Resumen
- El producto de punto de dos vectores en\(\mathbb{R}^n\text{,}\)\(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, \ldots, u_n \rangle\) y\(\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, \ldots, v_n \rangle\text{,}\) es el escalar
\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots + u_nv_n. \nonumber \]
- El producto punto está relacionado con la longitud de un vector ya que\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} = |\mathbf{u}|^2\text{.}\)
- El producto punto nos proporciona información sobre el ángulo entre los vectores desde
\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| \ |\mathbf{v}|\cos(\theta), \nonumber \]
donde\(\theta\) esta el angulo entre\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v} \text{.}\)
- Dos vectores son ortogonales si el ángulo entre ellos es\(\pi/2\text{.}\) En términos del producto de punto, los vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) son ortogonales si y solo si\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0\text{.}\)
- La proyección de un vector\(\mathbf{u}\) en\(\mathbb{R}^n\) un vector\(\mathbf{v}\) adentro\(\mathbb{R}^n\) es el vector
\[ proj_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}} \mathbf{v}. \nonumber \]