9.4: El Producto Cruzado

Preguntas Motivadoras

• ¿Cómo y cuándo se define el producto cruzado de dos vectores?
• ¿Qué información geométrica proporciona el producto cruzado?

Las dos últimas secciones han introducido algunas operaciones algebraicas básicas sobre vectores (suma, multiplicación escalar y el producto de puntos) con útiles interpretaciones geométricas. En esta sección, conoceremos una operación algebraica final, el producto cruzado, que nuevamente transmite información geométrica importante.

Para comenzar, debemos enfatizar que el producto cruzado solo se define para vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) en\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Además, recuerde que utilizamos un sistema de coordenadas de la derecha, como se describe en la Sección 9.1. En particular, recordemos que los vectores\(\mathbf{i} \text{,}\)\(\mathbf{j} \text{,}\) y\(\mathbf{k}\) están orientados como se muestra a continuación en la Figura 9.4.1. Anteriormente, notamos que si apuntamos el dedo índice de nuestra mano derecha en la dirección de\(\mathbf{i}\) y nuestro dedo medio en la dirección de\(\mathbf{j} \text{,}\) entonces nuestro pulgar apunta en la dirección de\(\mathbf{k}\text{.}\)

Figura 9.4.1. Vectores de base\(\mathbf{i} \text{,}\)\(\mathbf{j} \text{,}\) y\(\mathbf{k}\text{.}\)

Vista previa de la actividad 9.4.1

El producto cruzado de dos vectores,\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\text{,}\) será en sí mismo un vector denotado\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\text{.}\) La dirección de\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) está determinada por la regla de la derecha: si apuntamos el dedo índice de nuestra mano derecha en la dirección de\(\mathbf{u}\) y nuestro dedo medio en la dirección de \(\mathbf{v}\text{,}\)entonces nuestro pulgar apunta en la dirección de\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\text{.}\)

1. Comenzamos definiendo los productos cruzados usando los vectores\(\mathbf{i}\text{,}\)\(\mathbf{j}\text{,}\) y\(\mathbf{k}\text{.}\) Refiriéndose a la Figura 9.4.1, explicar por qué\(\mathbf{i}\text{,}\)\(\mathbf{j}\text{,}\)\(\mathbf{k}\) en ese orden forman un sistema de mano derecha. Luego definimos\(\mathbf{i} \times \mathbf{j}\) ser\(\mathbf{k}\) — es decir\(\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}\text{.}\)
2. Ahora explique por qué\(\mathbf{i} \text{,}\)\(\mathbf{k} \text{,}\) y\(-\mathbf{j}\) en ese orden formar un sistema de mano derecha. Luego definimos\(\mathbf{i} \times \mathbf{k}\) ser\(-\mathbf{j}\) — es decir\(\mathbf{i} \times \mathbf{k}=-\mathbf{j} \text{.}\)
3. Continuando de esta manera, complete las entradas faltantes en la Tabla 9.4.2.

   Cuadro 9.4.2. Tabla de productos cruzados que involucran\(\mathbf{i} \text{,}\)\(\mathbf{j}\text{,}\) y\(\mathbf{k}\text{.}\)

   \(\mathbf{i}\times\mathbf{j} = \mathbf{k}\)			\(\mathbf{i}\times\mathbf{k} = -\mathbf{j}\)			\(\mathbf{j}\times\mathbf{k} =\)
   \(\mathbf{j}\times\mathbf{i} =\)			\(\mathbf{k}\times\mathbf{i} =\)			\(\mathbf{k}\times\mathbf{j} =\)

4. Hasta este punto, los productos que has visto, como el producto de números reales y el producto punto de vectores, han sido conmutativos, es decir, que el producto no depende del orden de los términos. Por ejemplo,\(2\cdot5 = 5\cdot 2\text{.}\) La tabla anterior sugiere, sin embargo, que el producto cruzado es anticonmutativo: para cualquier vector\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) en\(\mathbb{R}^3\text{,}\)\(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = -\mathbf{v} \times \mathbf{u} \text{.}\) Si consideramos el caso cuando\(\mathbf{u}=\mathbf{v}\text{,}\) esto demuestra que\(\mathbf{v}\times\mathbf{v} = -(\mathbf{v}\times\mathbf{v})\text{.}\) De qué nos dice esto\(\mathbf{v}\times\mathbf{v}\text{;}\) en particular, qué vector no cambia por multiplicación escalar por\(-1\text{?}\)
5. No es difícil demostrar que el producto cruzado interactúa con la multiplicación escalar y la adición de vectores como cabría esperar: es decir

   \ begin {align*} (c\ mathbf {u})\ times\ mathbf {v} =\ mathstrut & c (\ mathbf {u}\ times\ mathbf {v})\\ [4pt] (\ mathbf {u} +\ mathbf {v})\ times\ mathbf {w} =\ mathstrut & (\ mathbf {u}\ times\ mathbf {w}) + (\ mathbf {v}\ veces\ mathbf {w})\ end {align*}

   Podemos combinar estas propiedades para facilitar un poco los cálculos cruzados de productos. Por ejemplo,

   \ begin {align*} (2\ mathbf {i} +\ mathbf {j})\ times\ mathbf {k} =\ mathstrut & (2\ mathbf {i}\ veces\ mathbf {k}) + (\ mathbf {j}\ veces\ mathbf {k})\\ [4pt] =\ mathstrut & 2 (\ mathbf {i}\ veces\ mathbf {k}) + (\ mathbf {j}\ times\ mathbf {k})\\ [4pt] =\ mathstrut & -2\ mathbf {j} +\ mathbf {i}. \ end {align*}

   Usando estas propiedades junto con la Tabla 9.4.2, encuentre el producto cruzado\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) si\(\mathbf{u} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j}\) y\(\mathbf{v} = -\mathbf{i} + \mathbf{k}\text{.}\)

6. Verifique que el producto cruzado\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) que acaba de encontrar en la parte (e) sea ortogonal a ambos\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\text{.}\)
7. Considere los vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) en el\(xy\) plano -como se muestra a continuación en la Figura 9.4.3.

1. 

   Figura 9.4.3. Dos vectores en el\(xy\) plano

   Explique por qué\(\mathbf{u} = |\mathbf{u}| \mathbf{i}\) y\(\mathbf{v} = |\mathbf{v}|\cos(\theta) \mathbf{i} + |\mathbf{v}|\sin(\theta) \mathbf{j} \text{.}\) luego calme la longitud de\(|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|\text{.}\)

9.4.1 Computación del producto cruzado

Como hemos visto en Preview Activity 9.4.1, el producto cruzado\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) se define para dos vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) en\(\mathbb{R}^3\) y produce otro vector en\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Usando la regla de la derecha, vimos que

• \(\mathbf{i}\times\mathbf{j} = \mathbf{k}\)
• \(\mathbf{j}\times\mathbf{i} = -\mathbf{k}\)
• \(\mathbf{i}\times\mathbf{k} = -\mathbf{j}\)
• \(\mathbf{k}\times\mathbf{i} = \mathbf{j}\)
• \(\mathbf{j}\times\mathbf{k} = \mathbf{i}\)
• \(\mathbf{k} \times \mathbf{j} = -\mathbf{i}\)

Si, además, asumimos que el producto cruzado se comporta como pensamos que debería (por ejemplo, el producto cruzado se distribuye sobre la adición de vectores), podemos calcular el producto cruzado en términos de los componentes de los vectores generales para encontrar una fórmula para el producto cruzado. Al hacerlo vemos que

\[\begin{align*} \mathbf{u}\times\mathbf{v} =\mathstrut & (u_1\mathbf{i} + u_2\mathbf{j} + u_3\mathbf{k}) \times (v_1\mathbf{i} + v_2\mathbf{j} + v_3\mathbf{k})\\[4pt] =\mathstrut & u_1\mathbf{i} \times (v_1\mathbf{i} + v_2\mathbf{j} + v_3\mathbf{k})+u_2\mathbf{j} \times (v_1\mathbf{i} + v_2\mathbf{j} + v_3\mathbf{k}) \\[4pt] \mathstrut & +u_3\mathbf{k}\times (v_1\mathbf{i} + v_2\mathbf{j} + v_3\mathbf{k})\\[4pt] =\mathstrut & u_1v_1\mathbf{i}\times\mathbf{i} + u_1v_2\mathbf{i}\times\mathbf{j} + u_1v_3\mathbf{i}\times\mathbf{k} + u_2v_1\mathbf{j}\times\mathbf{i} + u_2v_2\mathbf{j}\times\mathbf{j} \\[4pt] \mathstrut & + u_2v_3\mathbf{j}\times\mathbf{k} +u_3v_1\mathbf{k}\times\mathbf{i} + u_3v_2\mathbf{k}\times\mathbf{j} + u_3v_3\mathbf{k}\times\mathbf{k}\\[4pt] =\mathstrut & u_1v_2\mathbf{k} - u_1v_3\mathbf{j} - u_2v_1\mathbf{k} + u_2v_3\mathbf{i} +u_3v_1\mathbf{j} - u_3v_2\mathbf{i}\\[4pt] =\mathstrut & (u_2v_3-u_3v_2)\mathbf{i} - (u_1v_3-u_3v_1)\mathbf{j} + (u_1v_2-u_2v_1)\mathbf{k}. \end{align*}\]

(Al igual que el producto punto, el producto cruzado surge en aplicaciones físicas, por ejemplo, torque, pero es más conveniente matemáticamente comenzar desde una perspectiva algebraica).

Los cálculos anteriores nos llevan a definir el producto cruzado de vectores de la\(\mathbb{R}^3\) siguiente manera.

Definición 9.4.4: Productos cruzados

El producto cruzado\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) de vectores\(\mathbf{u} = u_1\mathbf{i} + u_2\mathbf{j} + u_3\mathbf{k}\) y\(\mathbf{v} = v_1\mathbf{i} + v_2\mathbf{j} + v_3\mathbf{k}\) en\(\mathbb{R}^3\) es el vector

\[ (u_2v_3-u_3v_2)\mathbf{i} - (u_1v_3-u_3v_1)\mathbf{j} + (u_1v_2-u_2v_1)\mathbf{k}.\label{E_9_4_cross_def}\tag{9.4.1} \]

Al principio, esto puede parecer intimidante y difícil de recordar. Sin embargo, si reescribimos la expresión en la Ecuación (9.4.1) usando determinantes, surge una estructura importante. El determinante de una\(2\times2\) matriz es

\[ \left| \begin{array}{cc} a & b \\[4pt] c & d \end{array} \right| =ad - bc. \nonumber \]

De ello se deduce que así podemos reescribir la Ecuación (9.4.1) en la forma

\[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \left| \begin{array}{cc} u_2 & u_3 \\[4pt] v_2 & v_3 \end{array} \right| \mathbf{i} - \left| \begin{array}{cc} u_1 & u_3 \\[4pt] v_1 & v_3 \end{array} \right| \mathbf{j} + \left| \begin{array}{cc} u_1 & u_2 \\[4pt] v_1 & v_2 \end{array} \right| \mathbf{k}. \nonumber \]

Para aquellos familiarizados con el determinante de una\(3\times3\) matriz, escribimos el mnemotécnico como

\[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] u_1 & u_2 & u_3 \\[4pt] v_1 & v_2 & v_3 \end{array} \right|. \nonumber \]

Actividad 9.4.2

Supongamos\(\mathbf{u} = \langle 0, 1, 3\rangle\) y\(\mathbf{v} = \langle 2, -1, 0\rangle\text{.}\) Usa la fórmula (9.4.1) para lo siguiente.

1. Encuentra el producto cruzado\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\text{.}\)
2. Evalúa los productos de punto\(\mathbf{u} \cdot(\mathbf{u} \times \mathbf{v})\) y\(\mathbf{v} \cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\text{.}\) ¿Qué te dice esto sobre la relación geométrica entre\(\mathbf{u}\text{,}\)\(\mathbf{v}\text{,}\) y\(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\text{?}\)
3. Encuentra el producto cruzado\(\mathbf{v}\times \mathbf{i} \text{.}\)
4. La multiplicación de números reales es asociativa, lo que significa, por ejemplo, eso\((2\cdot 5)\cdot 3 = 2\cdot(5\cdot 3)\text{.}\) ¿Es cierto que el producto cruzado de vectores es asociativo? Por ejemplo, ¿es cierto que\((\mathbf{u}\times\mathbf{v})\times\mathbf{i} = \mathbf{u}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{i})\text{?}\)
5. Encuentra el producto cruzado\(\mathbf{u} \times \mathbf{u}\text{.}\)

El producto cruzado satisface las siguientes propiedades, algunas de las cuales fueron ilustradas en la Actividad previa 9.4.1 y pueden verificarse fácilmente a partir de la definición (9.4.1).

Propiedades del producto cruzado

Dejar\(\mathbf{u}\text{,}\)\(\mathbf{v}\text{,}\) y\(\mathbf{w}\) ser vectores en\(\mathbb{R}^3\text{,}\) y dejar\(c\) ser un escalar. Entonces

1. \(\displaystyle \mathbf{u} \times \mathbf{v} = -(\mathbf{v} \times \mathbf{u})\)
2. \(\displaystyle (\mathbf{u} +\mathbf{v})\times \mathbf{w} = (\mathbf{u} \times \mathbf{w}) + (\mathbf{v} \times \mathbf{w})\)
3. \(\displaystyle (c\mathbf{u})\times \mathbf{w} = c(\mathbf{u} \times \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times (c\mathbf{w})\)
4. \(\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \mathbf{0}\)si\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) son paralelos.
5. El producto cruzado no es asociativo; es decir, en general
   \[ (\mathbf{u} \times \mathbf{v})\times \mathbf{w} \neq \mathbf{u} \times(\mathbf{v} \times \mathbf{w}). \nonumber \]

Así como encontramos para el producto punto, el producto cruzado nos proporciona información geométrica útil. En particular, tanto la longitud como la dirección del producto cruzado\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) codifican información sobre la relación geométrica entre\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\text{.}\)

9.4.2 La Longitud de u x v

Podemos preguntar si la longitud\(|\mathbf{u}\times\mathbf{v}|\) tiene alguna relación con las longitudes de\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\text{.}\) Para investigar, calcularemos el cuadrado de la longitud\(|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|^2\) y denotaremos por\(\theta\) el ángulo entre\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\text{,}\) como en la Sección 9.3. Al hacerlo, encontramos a través de algún álgebra significativa que

\ begin {align*} |\ mathbf {u}\ times\ mathbf {v} |^2=\ mathstrut & (u_2v_3-u_3v_2) ^2 + (u_1v_3-u_3v_1) ^2 + (u_1v_2-u_2v_1) ^2\\ [4pt] =\ mathstrut & u_2^2 v_3^2- 2u_2u_3v_2v_3 +u_3^2v_2^2 + u_1^2 v_3^2 -2u_1u_3v_1v_3 +u_3^2v_1^2\\ [4pt]\ mathstrut & + u_1^2 v_2^2 -2u_1u_v2_1v_2 +u_2^2v_1^2\\ [4pt] =\ mathstrut & amp; u_1^2 (v_2^2+v_3^2) + u_2^2 (v_1^2+v_3^2) + u_3^2 (v_1^2+v_2^2)\\ [4pt]\ mathstrut & - 2 (u_1u_2v_1v_2 + u_1u_3v_1v_3 + _2u_3v_2v_3)\\ [4pt] =\ mathstrut & u_1^2 (v_1^2+v_2^2+v_3^2) + u_2^2 (v_1^2+v_2^2+v_3^2) + u_3^2 (v_1^2+v_2^2+v_3^2)\ [4pt]\ mathstrut y - (u_1^2v_1^2 + u_2^2v_2^2 + u_3^2v_3^2 + 2 (u_ 1u_2v_1v_2 + u_1u_3v_1v_3 + u_2u_3v_2v_3))\\ [4pt] =\ mathstrut & (u_1^2+u_2^2+u_3^2) (v_1^2+v_2^2+v_3^2) - (u_1v_1+u_v2^2 _2+u_3v_3) ^2\\ [4pt] =\ mathstrut & |\ mathbf {u} |^2|\ mathbf {v} |^2- (\ mathbf {u}\ cdot\ mathbf {v}) ^2\\ [4pt] =\ mathstrut & |\ mathbf {u} |^2|\ mathbf {v} |^2 (1-\ cos^2 (\ theta))\\ [4pt] =\ mathstrut & |\ mathbf {u} |^2|\ mathbf {v} |^2\ sin^2 (\ theta). \ end {align*}

Por lo tanto, hemos encontrado\(|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2|\mathbf{v}|^2\sin^2(\theta)\text{,}\) lo que significa que

\[ |\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin(\theta).\label{E_9_4_cross_length}\tag{9.4.2} \]

Tenga en cuenta que la tercera propiedad señalada anteriormente dice que\(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{0}\) si\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) son paralelos. Esto se refleja en la Ecuación (9.4.2) ya que\(\sin(\theta)=0\) si\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) son paralelos, lo que implica que\(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{0}\text{.}\)

La ecuación (9.4.2) también tiene una implicación geométrica. Considere el paralelogramo formado por dos vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\text{,}\) como se muestra en la Figura 9.4.5.

Figura 9.4.5. El paralelogramo formado por\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\)

Recuerda que el área de un paralelogramo es producto de su base y altura. Como se muestra en la figura, podemos considerar que la base del paralelogramo es\(|\mathbf{u}|\) y la altura para ser\(|\mathbf{v}|\sin(\theta)\text{.}\) Esto significa que el área del paralelogramo formada por\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) es

\[ |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin(\theta) = |\mathbf{u} \times \mathbf{v}|. \nonumber \]

Esto lleva al siguiente dato interesante.

La longitud del producto cruzado

La longitud,\(|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|\text{,}\) del producto cruzado de vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) es el área del paralelogramo determinada por\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\text{.}\)

Obsérvese también que si\(\mathbf{u} = u_1\mathbf{i} + u_2\mathbf{j} + 0\mathbf{k}\) y\(\mathbf{v} = v_1\mathbf{i} + v_2\mathbf{j} + 0\mathbf{k}\) son vectores en el\(xy\) plano -, entonces la Ecuación (9.4.1) muestra que el área del paralelogramo determinada por\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\)\(|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |u_1v_2-u_2v_1|\) es el valor absoluto del\(2 \times 2\) determinante\(\left| \begin{array}{cc} u_1 & u_2 \\[4pt] v_1 & v_2 \end{array} \right|.\) Entonces el valor absoluto de un determinante de un \(2 \times 2 \)matriz es también el área de un paralelogramo.

Actividad 9.4.3

1. Encuentra el área del paralelogramo formado por los vectores\(\mathbf{u} = \langle 1,3, -2\rangle\) y\(\mathbf{v}=\langle 3,0,1\rangle\text{.}\)
2. Encuentra el área del paralelogramo en\(\mathbb{R}^3\) cuyos vértices se encuentran\((1,0,1)\text{,}\)\((0,0,1)\text{,}\)\((2,1,0)\text{,}\) y\((1,1,0)\text{.}\) (Pista: Podría ser útil dibujar una imagen para ver cómo están dispuestos los vértices para que puedas determinar qué vectores podrías usar).

9.4.3 La Dirección de\(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\)

Ahora que entendemos la longitud de\(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\text{,}\) investigaremos su dirección. Recuerda de la Actividad de Vista Previa 9.4.1 que cruzan productos que involucran a los vectores\(\mathbf{i} \text{,}\)\(\mathbf{j} \text{,}\) y\(\mathbf{k}\) dieron como resultado vectores que son ortogonales a los dos términos. Veremos que esto se sostiene de manera más general.

Empezamos por la computación\(\mathbf{u} \cdot(\mathbf{u} \times \mathbf{v})\text{,}\) y vemos que

\ begin {align*}\ mathbf {u}\ cdot (\ mathbf {u}\ times\ mathbf {v}) =\ mathstrut & u_1 (u_2v_3-u_3v_2) - u_2 (u_1v_3-u_3v_1) + u_3 (u_1v_2-u_2v_1)\\ [4pt] =\ mathstrut & u_1u_2v_3 - u_1u_3v_2 - u_2u_1v_3+u_2u_3v_1 + u_3u_1v_2 - u_3u_2v_1\\ [4pt] =\ mathstrut & 0\ end {align*}

Para resumir, tenemos lo\(\mathbf{u} \cdot(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = 0\text{,}\) que implica que\(\mathbf{u}\) es ortogonal a\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\text{.}\) De la misma manera, podemos mostrar que\(\mathbf{v}\) es ortogonal a\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\text{.}\) El efecto neto es que\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) es un vector que es perpendicular a ambos\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\text{,}\) y por lo tanto\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) es perpendicular al plano determinado por\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\text{.}\) Además, la dirección de\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) se determina aplicando la regla de la derecha a\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\text{,}\) como vimos en Vista previa Actividad 9.4.1. A la luz de nuestro trabajo anterior que demostró ahora\(|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin(\theta) = |\mathbf{u} \times \mathbf{v}|.\text{,}\) podemos expresarnos\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) de la siguiente manera diferente.

El producto cruzado como vector normal

Supongamos que\(\mathbf{u}\) y no\(\mathbf{v}\) son paralelos y que\(\mathbf{n}\) es el vector unitario perpendicular al plano que contiene\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) determinado por la regla de la derecha. Entonces

\[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin(\theta) ~\mathbf{n}. \nonumber \]

Todavía hay una implicación geométrica más que podemos extraer de este resultado. Supongamos\(\mathbf{u}\text{,}\)\(\mathbf{v}\text{,}\) y\(\mathbf{w}\) son vectores en\(\mathbb{R}^3\) que no son coplanarios y que forman un paralelepípedo de tres dimensiones como se muestra en la Figura 9.4.6.

Figura 9.4.6. El paralelepípedo determinado por\(\mathbf{u}\text{,}\)\(\mathbf{v}\text{,}\) y\(\mathbf{w}\)

El volumen del paralelepípedo se determina multiplicando\(A\text{,}\) el área de la base, por la altura\(h\text{.}\) Como acabamos de ver, el área de la base es\(|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|\text{.}\) Además, la altura\(h=|\mathbf{w}|\cos(\alpha)\) donde\(\alpha\) está el ángulo entre\(\mathbf{w}\) y el vector\(\mathbf{n}\text{,}\) que es ortogonal a el plano formado por\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\text{.}\) Desde\(\mathbf{n}\) es paralelo\(\mathbf{u} \times \mathbf{v} \text{,}\) al ángulo entre\(\mathbf{w}\) y\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) es también\(\alpha\text{.}\) Esto demuestra que

\[ |(\mathbf{u} \times \mathbf{v})\cdot \mathbf{w}| = |\mathbf{u}\times\mathbf{v}||\mathbf{w}|\cos(\alpha) = Ah, \nonumber \]

y por lo tanto

El producto cruzado y el volumen de un paralelepípedo

El volumen del paralelepípedo determinado por\(\mathbf{u} \text{,}\)\(\mathbf{v} \text{,}\) y\(\mathbf{w}\) es\(|(\mathbf{u} \times \mathbf{v})\cdot\mathbf{w}|\text{.}\)

Como producto punto de dos vectores, la cantidad\((\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}\) es un escalar y se llama el producto escalar triple.

Actividad 9.4.4

Supongamos\(\mathbf{u} = \langle 3, 5, -1\rangle\) y\(\mathbf{v} = \langle 2, -2, 1\rangle\text{.}\)

1. Encuentra dos vectores unitarios ortogonales a ambos\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v} \text{.}\)
2. Encuentra el volumen del paralelepípedo formado por los vectores\(\mathbf{u}\text{,}\)\(\mathbf{v}\text{,}\) y\(\mathbf{w} = \langle 3,3,1\rangle\text{.}\)
3. Encuentra un vector ortogonal al plano que contiene los puntos\((0,1,2)\text{,}\)\((4,1,0)\text{,}\) y\((-2,2,2)\text{.}\)
4. Dados los vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) mostrados a continuación en la Figura 9.4.7, esbozar los productos cruzados\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) y\(\mathbf{v} \times \mathbf{u}\text{.}\)

   

   Figura 9.4.7. Vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\)

5. ¿Los vectores\(\mathbf{a} = \langle 1,3,-2\rangle\text{,}\)\(\mathbf{b}=\langle2,1,-4\rangle\text{,}\) y\(\mathbf{c}=\langle 0, 1, 0\rangle\) en posición estándar se encuentran en el mismo plano? Utilice los conceptos de esta sección para explicar.

9.4.4 El par es medido por un producto cruzado

Hemos visto que el producto cruzado nos permite producir un vector perpendicular a dos vectores dados, medir el área de un paralelogramo y medir el volumen de un paralelepípedo. Además de estas aplicaciones geométricas, el producto cruzado también nos permite describir una cantidad física llamada torque.

Supongamos que nos gustaría girar un perno usando una llave como se muestra en la Figura 9.4.8. Si\(\mathbf{F}\) se aplica una fuerza a la llave y\(\mathbf{r}\) es el vector desde la posición en la llave en la que se aplica la fuerza al centro del perno, definimos el par,\(\tau\text{,}\) para ser

\[ \tau=\mathbf{F} \times \mathbf{r}. \nonumber \]

Figura 9.4.8. Una fuerza aplicada a una llave

Cuando se aplica una fuerza a un objeto, la Segunda Ley de Newton nos dice que la fuerza es igual a la velocidad de cambio del momento lineal del objeto. De manera similar, el par aplicado a un objeto es igual a la tasa de cambio del momento angular del objeto. En otras palabras, el par hará que el perno gire.

En muchas aplicaciones industriales, se requiere que los pernos se aprieten usando un par especificado. Por supuesto, la magnitud del par es\(|\tau| =|\mathbf{F} \times \mathbf{r}|=|\mathbf{F}| |\mathbf{r}||\sin(\theta)\text{.}\) Así, para producir un par mayor, podemos aumentar cualquiera\(|\mathbf{F}|\) o\(|\mathbf{r}|\text{,}\) que tal vez sepa si alguna vez ha quitado las tuercas al cambiar una llanta desplana. El antiguo matemático griego Arquímedes dijo: “Dame una palanca lo suficientemente larga y un punto de apoyo sobre el que colocarla, y voy a mover el mundo”. Un giro moderno de esta afirmación es: “Permítame hacer lo suficientemente\(|\mathbf{r}|\) grande, y produciré un par lo suficientemente grande como para mover al mundo”.

9.4.5 Comparación de los productos de punto y cruz

Por último, vale la pena comparar y contrastar los productos de punto y cruz.

• \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\)es un escalar, mientras que\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) es un vector.
• \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v}\cdot\mathbf{u}\text{,}\)mientras\(\mathbf{u}\times\mathbf{v} = -\mathbf{v}\times\mathbf{u}\)
• \(\mathbf{u} \cdot\mathbf{v} = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos(\theta)\text{,}\)mientras\(|\mathbf{u}\times\mathbf{v}| = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin(\theta)\text{.}\)
• \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0\)si\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) son perpendiculares, mientras que\(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{0}\) si\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) son paralelos.

9.4.6 Resumen

• El producto cruzado se define solo para vectores en\(\mathbb{R}^3\text{.}\) El producto cruzado de vectores\(\mathbf{u} = u_1 \mathbf{i} + u_2 \mathbf{j} + u_3 \mathbf{k}\) y\(\mathbf{v} = v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k}\) en\(\mathbb{R}^3\) es el vector
  \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2v_3-u_3v_2) \mathbf{i} - (u_1v_3 - u_3v_1) \mathbf{j} + (u_1v_2 - u_2v_1) \mathbf{k}. \nonumber \]
• Geométricamente, el producto cruzado es
  \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = |\mathbf{u}| \ |\mathbf{v}| \ \sin(\theta) \ \mathbf{n}, \nonumber \]

  donde\(\theta\) es el ángulo entre\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) y\(\mathbf{n}\) es un vector unitario perpendicular a ambos\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) según lo determinado por la regla de la derecha.

• El producto cruzado de vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) es un vector perpendicular a ambos\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\text{.}\)
• La magnitud\(|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|\) del producto cruzado de los vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) da el área del paralelogramo determinada por\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\text{.}\) Además, el producto triple escalar\(|(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}|\) da el volumen del paralelepípedo determinado por\(\mathbf{u} \text{,}\)\(\mathbf{v}\text{,}\) y\(\mathbf{w}\text{.}\)