9.5: Líneas y Planos en el Espacio

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Preguntas Motivadoras

¿Cómo son las líneas$\mathbb{R}^3$ similares y diferentes de las líneas en$\mathbb{R}^2\text{?}$
¿Cuál es el papel que juegan los vectores en la representación de ecuaciones de líneas, particularmente en$\mathbb{R}^3\text{?}$
¿Cómo podemos pensar en un plano como un conjunto de puntos determinados por un punto y un vector?
¿Cómo encontramos la ecuación de un plano a través de tres puntos no colineales dados?

En el cálculo de una sola variable, aprendemos que una función diferenciable es localmente lineal. En otras palabras, si ampliamos la gráfica de una función diferenciable en un punto, la gráfica se parece a la línea tangente a la función en ese punto. Las funciones lineales jugaron papeles importantes en el cálculo de una sola variable, útiles para aproximar funciones diferenciables, en aproximar raíces de funciones (ver Método de Newton) y aproximar soluciones a ecuaciones diferenciales de primer orden (ver Método de Euler). En el cálculo multivariable, pronto estudiaremos las curvas en el espacio; las curvas diferenciables también resultan ser localmente lineales. Además, a medida que estudiamos funciones de dos variables, veremos que dicha función es localmente lineal en un punto si la superficie definida por la función parece un plano (el plano tangente) a medida que ampliamos la gráfica.

En consecuencia, es importante para nosotros entender tanto líneas como planos en el espacio, ya que estos definen las funciones lineales en$\mathbb{R}^2$ y$\mathbb{R}^3\text{.}$ (Recordemos que una función es lineal si es una función polinómica cuyos términos todos tienen grado menor o igual a 1. Por ejemplo,$x$ define una sola función lineal variable y$x+y$ una función lineal de dos variables, pero no$xy$ es lineal ya que tiene grado dos, la suma de la degresión de sus factores.) Comenzamos nuestro trabajo considerando algunas ideas familiares en$\mathbb{R}^2$ pero desde una nueva perspectiva.

Vista previa de la actividad 9.5.1

Estamos familiarizados con ecuaciones de líneas en el plano en la forma$y = mx+b\text{,}$ donde$m$ está la pendiente de la línea y$(0,b)$ es la$y$ -intercepción. En esta actividad, exploramos una forma más flexible de representar líneas que podemos utilizar no sólo en el plano, sino también en dimensiones superiores.

Para comenzar, considere la línea a través del punto$(2,-1)$ con pendiente$\frac{2}{3}$ como se muestra en la Figura 9.5.1.

$fig_9_5_PA1.svg$

Figura 9.5.1. La línea a través$(2,-1)$ con pendiente$\frac{2}{3}\text{.}$

Supongamos que$x$ aumentamos en 1 desde el punto$(2,-1)\text{.}$ ¿Cómo cambia el$y$ -valor? ¿Cuál es el punto en la línea con$x$ -coordenada$3\text{?}$
Supongamos que$x$ disminuimos en 3.25 desde el punto$(2,-1)\text{.}$ ¿Cómo cambia el$y$ -valor? ¿Cuál es el punto en la línea con$x$ -coordenada$-1.25\text{?}$
Ahora, supongamos que$x$ aumentamos en algún valor arbitrario$3t$ desde el punto$(2,-1)\text{.}$ ¿Cómo cambia el$y$ -valor? ¿Cuál es el punto en la línea con$x$ -coordenada$2+3t\text{?}$
Observe que la pendiente de la línea está relacionada con cualquier vector cuyo$y$ -componente dividido por el$x$ -componente es la pendiente de la línea. Para la línea de este ejercicio, podríamos usar el vector$\langle 3,2 \rangle\text{,}$ que describe la dirección de la línea. Explicar por qué los puntos terminales de los vectores$\mathbf{r}(t)\text{,}$ donde
\[ \mathbf{r}(t) = \langle 2,-1 \rangle + \langle 3,2 \rangle t, \nonumber \]

trazar la gráfica de la línea a través del punto$(2,-1)$ con pendiente$\frac{2}{3}\text{.}$
Ahora extendemos este enfoque vectorial$\mathbb{R}^3$ y consideramos un segundo ejemplo. Deja$\mathcal{L}$ ser la línea de$\mathbb{R}^3$ entrada a través del punto$(1,0,2)$ en la dirección del vector$\langle 2, -1, 4 \rangle\text{.}$ Encuentra las coordenadas de tres puntos distintos en línea$\mathcal{L}\text{.}$ Explica tu pensamiento.
Encuentra un vector en el formulario
\[ \mathbf{r}(t) = \langle x_0, y_0, z_0 \rangle + \langle a,b,c \rangle t \nonumber \]

cuyos puntos terminales trazan la línea$\mathcal{L}$ que se describe en (e). Es decir, deberías poder ubicar cualquier punto en la línea determinando un valor correspondiente de$t\text{.}$

9.5.1 Líneas en el espacio

En el espacio bidimensional, una línea no vertical se define como el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación

\[ y = mx + b, \nonumber \]

para algunas constantes$m$ y$b\text{.}$ El valor de$m$ (la pendiente) nos dice cómo cambia la variable dependiente por cada unidad de incremento en la variable independiente, mientras que el punto$(0,b)$ es la$y$ -intercepción y ancla la línea a una ubicación en el$y$ eje. Alternativamente, podemos pensar que la pendiente está relacionada con el vector$\langle 1, m \rangle\text{,}$ que nos indica la dirección de la línea, como se muestra a la izquierda en la Figura 9.5.2. Así, podemos identificar una línea en el espacio fijando un punto$P$ y una dirección$\mathbf{v}\text{,}$ como se muestra a la derecha. Como también tenemos vectores en el espacio para proporcionar dirección, esta misma idea de un punto y una dirección que determina una línea funciona$\mathbb{R}^n$ para cualquier$n\text{.}$

$fig_9_5_line_slope.svg$

Figura 9.5.2. Una descripción vectorial de una línea

Definición 9.5.3

Una línea en el espacio es el conjunto de puntos terminales de vectores que emanan de un punto dado$P$ que son paralelos a un vector fijo$\mathbf{v}\text{.}$

El vector fijo$\mathbf{v}$ en la definición se llama vector de dirección para la línea. Como vimos en Preview Activity 9.5.1, para encontrar una ecuación para una línea a través del punto$P$ en la dirección del vector$\mathbf{v}\text{,}$ observaremos que cualquier vector paralelo a$\mathbf{v}$ tendrá la forma$t \mathbf{v}$ para algún escalar$t\text{.}$ Así, cualquier vector que emana del punto$P$ en una dirección paralelo al vector$\mathbf{v}$ será de la forma

\[ \overrightarrow{OP} + \mathbf{v} t\label{eq_9_5_lines_1}\tag{9.5.1} \]

para algunos escalares$t$ (donde$O$ esta el origen).

$fig_9_5_line_2d_01.svg$ $fig_9_5_line_2d_10.svg$ $fig_9_5_line_2d_20.svg$

Figura 9.5.4. Una línea en 2 espacios.

La Figura 9.5.4 presenta tres imágenes de una línea en dos espacios en las que podemos identificar el vector$\overrightarrow{OP}$ y el vector$t \mathbf{v}$ como en la Ecuación (9.5.1). Aquí,$\overrightarrow{OP}$ se muestra el vector fijo en azul, mientras que el vector de dirección$\mathbf{v}$ es el vector paralelo al vector mostrado en verde (es decir, el vector verde representa$t\mathbf{v}\text{,}$ y la línea es trazada por los puntos terminales del vector magenta). En otras palabras, las puntas (puntos terminales) de los vectores magenta (los vectores de la forma$\overrightarrow{OP} + t\mathbf{v}$) trazan la línea como$t$ cambios.

En particular, los puntos terminales de los vectores de la forma en (9.5.1) definen una función lineal$\mathbf{r}$ en el espacio de la siguiente forma, la cual es válida en cualquier dimensión.

La forma vectorial de una línea

La forma vectorial de una línea a través del punto$P$ en la dirección del vector$\mathbf{v}$ es

\[ \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v},\label{eq_9_5_line_vect}\tag{9.5.2} \]

donde$\mathbf{r}_0$ está el vector$\overrightarrow{OP}$ de posición desde el origen hasta el punto$P\text{.}$

Por supuesto, es común representar líneas en el plano usando la ecuación pendiente-intercepción$y=mx + b\text{.}$ La forma vectorial de la línea, descrita anteriormente, es una forma alternativa de representar líneas que tiene las siguientes dos ventajas. Primero, en dos dimensiones, somos capaces de representar líneas verticales, cuya pendiente no$m$ está definida, utilizando un vector de dirección vertical, como$\mathbf{v}=\langle 0, 1\rangle\text{.}$ Second, esta descripción de líneas funciona en cualquier dimensión aunque no exista concepto de la pendiente de una línea en más de dos dimensiones.

$fig_9_5_line_3d_01.svg$ $fig_9_5_line_3d_10.svg$ $fig_9_5_line_3d_20.svg$

Figura 9.5.5. Una línea en 3 espacios.

Actividad 9.5.2

$P_2 = (-2,1,-2)\text{.}$Let$P_1 = (1,2,-1)$ y Let$\mathcal{L}$ be la$\mathbb{R}^3$ línea de$P_2\text{,}$ entrada$P_1$ y note que tres instantáneas de esta línea se muestran en la Figura 9.5.5.

Encontrar un vector de dirección para la línea$\mathcal{L}\text{.}$
Encuentra una ecuación vectorial de$\mathcal{L}$ en la forma$\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v}\text{.}$
Considere la ecuación vectorial$\mathbf{s}(t) = \langle -5, 0, -3 \rangle + t \langle 6, 2, 2 \rangle.$ ¿Cuál es la dirección de la línea dada por$\mathbf{s}(t)\text{?}$ Es esta nueva línea paralela a la línea?$\mathcal{L}\text{?}$
Hacer$\mathbf{r}(t)$ y$\mathbf{s}(t)$ representar la misma línea,$\mathcal{L}\text{?}$ Explique.

9.5.2 Las ecuaciones paramétricas de una línea

La forma vectorial de una línea,$\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v}$ en la Ecuación (9.5.2), describe una línea como el conjunto de puntos terminales de los vectores$\mathbf{r}(t)\text{.}$ Si escribimos esto en términos de componentes dejando

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle, \ \ \ \mathbf{r}_0 = \langle x_0, y_0, z_0 \rangle, \ \ \ \text{ and } \ \ \ \mathbf{v} = \langle a, b, c \rangle, \nonumber \]

entonces podemos equiparar los componentes en ambos lados de$\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v}$ para obtener las ecuaciones

\[ x(t) = x_0 + at, \ \ \ \ \ y(t) = y_0 + bt, \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ z(t) = z_0 + ct, \nonumber \]

que describen las coordenadas de los puntos de la línea. La variable$t$ representa un escalar arbitrario y se denomina parámetro. En particular, utilizamos el siguiente lenguaje.

Las ecuaciones paramétricas de una línea

Las ecuaciones paramétricas para una línea a través del punto$P = (x_0, y_0, z_0)$ en la dirección del vector$\mathbf{v} = \langle a,b,c \rangle$ son

\[ x(t) = x_0 + at, \ \ \ \ \ y(t) = y_0 + bt, \ \ \ \ \ z(t) = z_0 + ct. \nonumber \]

Observe que hay muchas ecuaciones paramétricas diferentes para la misma línea. Por ejemplo, elegir otro punto$P$ en la línea u otro vector de dirección$\mathbf{v}$ produce otro conjunto de ecuaciones paramétricas. A veces es útil pensar que es un parámetro de$t$ tiempo y las ecuaciones paramétricas nos dicen dónde estamos en la línea en cada momento. De esta manera, las ecuaciones paramétricas describen un paseo particular realizado a lo largo de la línea; hay, por supuesto, muchas formas posibles de caminar a lo largo de una línea.

Actividad 9.5.3

Dejar$P_1 = (1,2,-1)$$P_2 = (-2,1,-2)\text{,}$ y dejar$\mathcal{L}$ ser la línea de entrada$\mathbb{R}^3$ a través$P_1$ y$P_2\text{,}$ que es la misma línea que en la Actividad 9.5.2.

Encuentra ecuaciones paramétricas de la línea$\mathcal{L}\text{.}$
¿El punto$(1, 2, 1)$ radica en$\mathcal{L}\text{?}$ Si es así, qué valor de$t$ los resultados en este punto?
Consideremos otra línea,$\mathcal{K}\text{,}$ cuyas ecuaciones paramétricas son
\[ x(s) = 11 + 4s, \ \ y(s) = 1-3s, \ \ z(s) = 3 + 2s. \nonumber \]

Cuál es la dirección de la línea$\mathcal{K}\text{?}$
¿Las líneas$\mathcal{L}$ y se$\mathcal{K}$ cruzan? Si es así, proporcione el punto de intersección y los$s$ valores$t$ y, respectivamente, que resulten en el punto. Si no, explica por qué.

9.5.3 Aviones en el Espacio

Ahora que tenemos una forma de describir líneas, nos gustaría desarrollar un medio para describir planos en tres dimensiones. Se estudiaron los planos coordinados y los planos paralelos a ellos en la Sección 9.1. Cada uno de esos planos tenía una de las variables$x\text{,}$$y\text{,}$ o$z$ igual a una constante. Podemos señalar que cualquier vector en un plano con$x$ constante es ortogonal al vector$\langle 1,0,0 \rangle\text{,}$ cualquier vector en un plano con$y$ constante es ortogonal al vector$\langle 0,1,0 \rangle\text{,}$ y cualquier vector en un plano con$z$ constante es ortogonal al vector$\langle 0,0,1 \rangle\text{.}$ Esta idea funciona en general para definir un plano.

Definición 9.5.6

Un plano$p$ en el espacio es el conjunto de todos los puntos terminales de vectores que emanan de un punto dado$P_0$ perpendicular a un vector fijo$\mathbf{n}\text{,}$ como se muestra en la Figura 9.5.7.

Figura 9.5.7. Un punto$P_0$ en un plano$p$ con un vector normal$\mathbf{n}$

La definición nos permite encontrar la ecuación de un plano. Supongamos que$\mathbf{n}=\langle a,b,c\rangle\text{,}$$P_0 = (x_0, y_0, z_0)\text{,}$ y ese$P=(x,y,z)$ es un punto arbitrario en el avión. Dado que el vector$\overrightarrow{P_0P}$ se encuentra en el plano, debe ser perpendicular a$\mathbf{n}\text{.}$ Esto significa que

\ begin {align*} 0 =\ mathstrut &\ mathbf {n}\ cdot\ overrightarrow {P_0P}\\ [4pt] =\ mathstrut &\ mathbf {n}\ cdot\ big (\ langle x, y, z\ rangle -\ langle x_0, y_0, z_0\ rangle\ big)\\ [4pt] = mathstrut &\ mathbf {n}\ cdot\ langle x-x_0, y-y_0, z-z_0\ rangle\\ [4pt] =\ mathstrut & a (x-x_0) + b (y-y_0) + c (z-z_0). \ end {alinear*}

El vector fijo$\mathbf{n}$ perpendicular al plano se denomina frecuentemente vector normal al plano. Ahora podemos resumir de la siguiente manera.

Ecuaciones de un plano

La ecuación escalar del plano con vector normal$\mathbf{n} =\langle a,b,c \rangle$ que contiene el punto$P_0 = (x_0, y_0,z_0)$ es
\[ a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0.\label{eq_9_5_plane_norm}\tag{9.5.3} \]
La ecuación vectorial del plano con vector normal$\mathbf{n} =\langle a,b,c \rangle$ que contiene los puntos$P_0 = (x_0, y_0,z_0)$ y$P = (x,y,z)$ es
\[ \mathbf{n} \cdot \overrightarrow{P_0P} = 0.\label{eq_9_5_plane_norm_vector}\tag{9.5.4} \]

Podemos llevar la ecuación escalar de un plano un poco más lejos y señalar que desde

\[ a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0, \nonumber \]

se deduce equivalentemente que

\[ ax + by + cz = ax_0+by_0+cz_0. \nonumber \]

Es decir, podemos escribir una ecuación de un plano como$ax+by+cz = d$ donde$d = \mathbf{n}\cdot\langle x_0,y_0,z_0\rangle\text{.}$

Por ejemplo, si quisiéramos describir el plano que pasa por el punto$P_0=(4, -2,1)$ y perpendicular al vector$\mathbf{n} = \langle 1, 2, 1 \rangle\text{,}$ tenemos

\[ \langle 1,2,1 \rangle\cdot \langle x,y,z\rangle = \langle 1,2,1 \rangle\cdot \langle 4,-2,1\rangle \nonumber \]

\[ x + 2y + z = 1. \nonumber \]

Observe que los coeficientes de$x\text{,}$$y\text{,}$ y$z$ en esta descripción dan un vector perpendicular al plano. Por ejemplo, si se nos presenta el plano

\[ -2x + y - 3z = 4, \nonumber \]

sabemos que$\mathbf{n} = \langle -2, 1, -3\rangle$ es un vector perpendicular al plano.

Actividad 9.5.4

Escribir una ecuación escalar del plano$p_1$ que pasa por el punto$(0, 2, 4)$ y perpendicular al vector$\mathbf{n}=\langle 2, -1, 1\rangle\text{.}$
Es el punto$(2, 0, 2)$ en el avión$p_1\text{?}$
Escribe una ecuación escalar del plano$p_2$ que sea paralela$p_1$ y que pase por el punto$(3, 0, 4)\text{.}$ (Sugerencia: Compara vectores normales de los planos).
Escribir una descripción paramétrica de la línea$l$ que pasa por el punto$(2,0,2)$ y perpendicular al plano$p_3$ descrito por la ecuación$x+2y-2z = 7\text{.}$
Encuentra el punto en el que se$l$ cruza con el avión$p_3\text{.}$

Así como dos puntos distintos en el espacio determinan una línea, tres puntos no colineales en el espacio determinan un plano. Considere tres puntos$P_0\text{,}$$P_1\text{,}$ y$P_2$ en el espacio, no todos tendidos en la misma línea como se muestra en la Figura 9.5.8.

$fig_9_5_plane_3pts.svg$

Figura 9.5.8. Un plano determinado por tres puntos$P_0\text{,}$$P_1\text{,}$ y$P_2$

Observe que los vectores$\overrightarrow{P_0P_1}$ y$\overrightarrow{P_0P_2}$ ambos se encuentran en el plano$p\text{.}$ Si formamos su producto cruzado

\[ \mathbf{n} = \overrightarrow{P_0P_1} \times \overrightarrow{P_0P_2}, \nonumber \]

obtenemos un vector normal al plano$p\text{.}$ Por lo tanto, si$P$ hay algún otro punto en$p\text{,}$ él entonces sigue que$\overrightarrow{P_0P}$ será perpendicular a$\mathbf{n}\text{,}$ y tenemos, como antes, la ecuación

\[ \mathbf{n} \cdot \overrightarrow{P_0P} = 0.\label{eq_9_5_plane_vect}\tag{9.5.5} \]

Actividad 9.5.5

Dejar$P_0 = (1,2,-1)\text{,}$$P_1 = (1, 0 ,-1)\text{,}$$P_2 = (0,1,3)$ y dejar$p$ ser el avión que contiene$P_0\text{,}$$P_1\text{,}$ y$P_2\text{.}$

Determinar los componentes de los vectores$\overrightarrow{P_0P_1}$ y$\overrightarrow{P_0P_2}\text{.}$
Encontrar un vector normal$\mathbf{n}$ al plano$p\text{.}$
Encontrar una ecuación escalar del plano$p\text{.}$
Considera un segundo plano,$q\text{,}$ con ecuación escalar$-3(x-1) + 4(y+3) + 2(z-5)=0\text{.}$ Encuentra dos puntos diferentes en el plano así$q\text{,}$ como un vector$\mathbf{m}$ que sea normal a$q\text{.}$
El ángulo entre dos planos es el ángulo agudo entre sus respectivos vectores normales. ¿Cuál es el ángulo entre los planos$p$ y$q\text{?}$

9.5.4 Resumen

Si bien las líneas en$\mathbb{R}^3$ no tienen pendiente, al igual que las líneas en$\mathbb{R}^2$ ellas se pueden caracterizar por un punto y un vector de dirección. En efecto, definimos una línea en el espacio para ser el conjunto de puntos terminales de vectores que emanan de un punto dado que son paralelos a un vector fijo.
Los vectores juegan un papel crítico en la representación de la ecuación de una línea. En particular, los puntos terminales del vector$\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v}$ definen una función lineal$\mathbf{r}$ en el espacio a través del punto terminal del vector$\mathbf{r}_0$ en la dirección del vector$\mathbf{v}\text{,}$ trazando una línea en el espacio.
Un plano en el espacio es el conjunto de todos los puntos terminales de vectores que emanan de un punto dado perpendicular a un vector fijo.
Si$P_1\text{,}$$P_2\text{,}$ y$P_3$ son puntos no colineales en el espacio, los vectores$\overrightarrow{P_1P_2}$ y y$\overrightarrow{P_1P_3}$ son vectores en el plano y el vector$\mathbf{n} = \overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3}$ es un vector normal al plano. Entonces cualquier punto$P$ en el plano satisface la ecuación$\overrightarrow{PP_1} \cdot \mathbf{n} = 0\text{.}$ Si dejamos$P = (x,y,z)\text{,}$$\mathbf{n} = \langle a,b,c \rangle$ ser el vector normal, y también$P_1 = (x_0,y_0,z_0)\text{,}$ podemos representar el plano con la ecuación
\[ a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0. \nonumber \]