9.6: Funciones con valores vectoriales

Preguntas Motivadoras

• ¿Qué es una función de valor vectorial? ¿Qué entendemos por la gráfica de una función vectorizada?
• ¿Qué es una parametrización de una curva en\(\mathbb{R}^2\text{?}\) En\(\mathbb{R}^3\text{?}\) Qué nos puede decir la parametrización de una curva?

Hasta el momento, hemos visto varios ejemplos diferentes de curvas en el espacio, incluyendo trazas y contornos de funciones de dos variables, así como líneas en 3-espacio. Recordemos que para una línea a través de un punto fijo\(\mathbf{r}_0\) en la dirección del vector\(\mathbf{v}\text{,}\) podemos expresar la línea paramétricamente a través de la ecuación de un solo vector

\[ \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v}. \nonumber \]

Desde esta perspectiva, el vector\(\mathbf{r}(t)\) es una función que depende del parámetro\(t\text{,}\) y los puntos terminales de este vector trazan la línea en el espacio.

Al igual que las líneas, otras curvas en el espacio son objetos unidimensionales, y así aspiramos a expresar de manera similar las coordenadas de puntos en una curva dada en términos de una sola variable. Los vectores son un vehículo perfecto para hacerlo: podemos usar vectores basados en el origen para identificar puntos en el espacio y conectar los puntos terminales de estos vectores para dibujar una curva en el espacio. Este enfoque nos permitirá dibujar una increíble variedad de gráficas en 2- y 3 espacios, así como identificar y describir curvas en\(n\) -espacio para cualquier\(n\text{.}\) También nos permitirá representar trazas y secciones transversales de superficies en el espacio.

Vista previa de Actividad 9.6.1

En esta actividad consideramos cómo podríamos usar vectores para definir una curva en el espacio.

1. En un solo conjunto de ejes en\(\mathbb{R}^2\text{,}\) dibujar los vectores
   • \(\left\langle \cos(0), \sin(0) \right\rangle\text{,}\)
   • \(\left\langle \cos\left(\frac{\pi}{2}\right), \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right\rangle\text{,}\)
   • \(\left\langle \cos\left(\pi\right), \sin\left(\pi\right) \right\rangle \text{,}\)y
   • \(\displaystyle \left\langle \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right), \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \right\rangle\)

   con sus puntos iniciales en el origen.

2. En el mismo conjunto de ejes, dibuja los vectores
   • \(\left\langle \cos\left(\frac{\pi}{4}\right), \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right\rangle\text{,}\)
   • \(\left\langle \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right), \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right\rangle\text{,}\)
   • \(\left\langle \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right), \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) \right\rangle\text{,}\)y
   • \(\displaystyle \left\langle \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right), \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) \right\rangle\)

   con sus puntos iniciales en el origen.

3. A partir de las imágenes de las partes (a) y (b), esbozar el conjunto de puntos terminales de todos los vectores de la forma\(\langle \cos(t), \sin(t) \rangle\text{,}\) donde\(t\) asume valores de 0 a\(2 \pi\text{.}\) ¿Cuál es la cifra resultante? ¿Por qué?
4. Supongamos que esbozamos los puntos terminales de todos los vectores de la forma\(\langle \cos(t), \sin(t) \rangle\text{,}\) donde\(t\) asume valores desde 0 hasta\(\pi\text{.}\) ¿Cómo difiere la imagen resultante de la de la parte (c)? ¿Qué pasa para\(t\) de 0 a\(4 \pi\text{?}\)

9.6.1 Funciones con valores vectoriales

Considera la curva que se muestra en la Figura 9.6.1. Al igual que en Preview Activity 9.6.1, podemos pensar en un punto en esta curva como resultado de un vector desde el origen hasta el punto. A medida que el punto viaja a lo largo de la curva, el vector cambia para terminar en el punto deseado. Algunas imágenes fijas de este movimiento se muestran en la Figura 9.6.1.

Figura 9.6.1. La gráfica de una curva en el espacio.

Así, podemos pensar en la curva como una colección de puntos terminales de vectores que emanan del origen. Por lo tanto, vemos un punto que viaja a lo largo de esta curva en función del tiempo\(t\text{,}\) y definimos una función\(\mathbf{r}\) cuya entrada es la variable\(t\) y cuya salida es el vector desde el origen hasta el punto de la curva\(t\text{.}\) en el momento Al hacerlo, hemos introducido un nuevo tipo de función, una cuya entrada es un escalar y cuya salida es un vector.

Los puntos terminales de las salidas vectoriales de\(\mathbf{r}\) entonces trazan la curva en el espacio. Desde esta perspectiva, las\(z\) coordenadas\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y del punto son funciones del tiempo,\(t\text{,}\) digamos

\[ x = x(t), \ \ \ y = y(t), \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ z = z(t), \nonumber \]

y así tenemos tres funciones de coordenadas que nos permiten representar la curva. La variable\(t\) se denomina parámetro y las ecuaciones\(x = x(t)\text{,}\)\(y = y(t)\text{,}\) y\(z = z(t)\) se denominan ecuaciones paramétricas (o una parametrización de la curva). La función\(\mathbf{r}\) cuya salida es el vector desde el origen hasta un punto en la curva se define por

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle. \nonumber \]

Tenga en cuenta que la entrada de\(\mathbf{r}\) es el parámetro de valor real\(t\) y la salida correspondiente es vector\(\langle x(t), y(t), z(t) \rangle\text{.}\) Tal función se denomina función de valor vectorial porque cada entrada de número real genera una salida vectorial. De manera más formal, señalamos la siguiente definición.

Definición 9.6.2

Una función de valor vectorial es una función cuya entrada es un parámetro real\(t\) y cuya salida es un vector que depende de\(t\text{.}\) La gráfica de una función de valor vectorial es el conjunto de todos los puntos terminales de los vectores de salida con su inicial apunta al origen.

Las ecuaciones paramétricas para una curva son ecuaciones de la forma

\[ x = x(t), \ \ \ y = y(t), \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ z = z(t) \nonumber \]

que describen las\((x,y,z)\) coordenadas de un punto en una curva en\(\mathbb{R}^3\text{.}\)

Obsérvese particularmente que cada conjunto de ecuaciones paramétricas determina una función de valor vectorial de la forma

\[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle, \nonumber \]

y cada función con valor vectorial define un conjunto de ecuaciones paramétricas para una curva. Además, podemos considerar funciones y parametrizaciones con valores vectoriales en\(\mathbb{R}^2\text{,}\)\(\mathbb{R}^4\text{,}\) o, de hecho, un espacio real de cualquier dimensión. Como recordatorio, en la Sección 9.5, determinamos las ecuaciones paramétricas de una línea en el espacio usando un punto y un vector de dirección. Para un ejemplo no lineal, la curva de la Figura 9.6.1 tiene las ecuaciones paramétricas

\[ x(t) = \cos(t), \ \ \ y(t) = \sin(t), \ \ \ \text{ and } \ \ \ z(t) = \cos(t) \sin(t). \nonumber \]

Representada como una función vectorizada,\(\mathbf{r}\text{,}\) la curva en la Figura 9.6.1 es la gráfica de

\[ \mathbf{r}(t) = \langle \cos(t), \sin(t), \cos(t) \sin(t) \rangle. \nonumber \]

Actividad 9.6.2

La misma curva se puede representar con diferentes parametrizaciones. Utilice la tecnología apropiada para trazar las curvas generadas por las siguientes funciones vectoriales para valores\(t\) de\(0\) a\(2 \pi \text{.}\) Comparar y contrastar las gráficas — explicar cómo son iguales y en qué se diferencian.

1. \(\displaystyle \mathbf{r}(t) = \langle \sin(t), \cos(t) \rangle\)
2. \(\displaystyle \mathbf{r}(t) = \langle \sin(2t), \cos(2t) \rangle\)
3. \(\displaystyle \mathbf{r}(t) = \langle \cos(t+\pi), \sin(t+\pi) \rangle\)
4. \(\displaystyle \mathbf{r}(t) = \langle \cos(t^2), \sin(t^2) \rangle\)

Los ejemplos de la Actividad 9.6.2 ilustran que una parametrización nos permite mirar no sólo a la gráfica, sino a la dirección y velocidad a la que se recorre la gráfica a medida que\(t\) cambia. En las diferentes parametrizaciones del círculo, vemos que podemos comenzar en diferentes puntos y movernos alrededor del círculo en cualquier dirección. El cálculo de las funciones vectoriales —que comenzaremos a investigar en la Sección 9.7— nos permitirá cuantificar con precisión la dirección, velocidad y aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una curva en el espacio. Como tal, describir las curvas paramétricamente nos permitirá no sólo indicar la propia curva, sino también describir cómo se produce el movimiento a lo largo de la curva.

El uso de ecuaciones paramétricas para definir funciones vectoriales en dos dimensiones es mucho más versátil que solo definir\(y\) como una función de\(x\text{.}\) De hecho, si\(y = f(x)\) es una función de\(x\text{,}\) entonces podemos parametrizar la gráfica de\(f\) por

\[ \mathbf{r}(t) = \langle t, f(t) \rangle, \nonumber \]

y así cada función de una sola variable puede describirse paramétricamente. Además, como vimos en Preview Activity 9.6.1 y Activity 9.6.2, podemos usar funciones de valor vectorial para representar curvas en el plano que no definen\(y\) como una función de\(x\) (o\(x\) como una función de\(y\)). (Como nota al margen: las funciones con valores vectoriales facilitan trazar la inversa de una función uno a uno en dos dimensiones. Para ver cómo, si\(y = f(x)\) define una función uno a uno, entonces podemos parametrizar esta función por\(\mathbf{r}(t) = \langle t, f(t) \rangle\text{.}\) Dado que la función inversa solo invierte el papel de entrada y salida, una parametrización para\(f^{-1}\) es\(\langle f(t), t \rangle\text{.}\))

Actividad 9.6.3

Las funciones con valores vectoriales se pueden utilizar para generar muchas curvas interesantes. Grafique cada uno de los siguientes usando una herramienta tecnológica apropiada, y luego escriba una oración para cada función para describir el comportamiento de la curva resultante.

1. \(\displaystyle \mathbf{r}(t) = \langle t\cos(t), t\sin(t) \rangle\)
2. \(\displaystyle \mathbf{r}(t) = \langle \sin(t)\cos(t), t\sin(t) \rangle\)
3. \(\displaystyle \mathbf{r}(t) = \langle \sin(5t), \sin(4t) \rangle\)
4. \(\mathbf{r}(t) = \langle t^2\sin(t)\cos(t), 0.9t\cos(t^2), \sin(t) \rangle\)(Tenga en cuenta que esto define una curva en 3 espacios).
5. Experimenta con diferentes fórmulas para\(x(t)\)\(y(t)\) y y rangos\(t\) para ver qué otras curvas interesantes puedes generar. Comparte tus mejores resultados con tus compañeros.

Recordemos de nuestro trabajo anterior que las trazas y curvas de nivel de una función son en sí mismas curvas en el espacio. Así, podemos determinar parametrizaciones para ellos. Por ejemplo, si\(z = f(x,y) = \cos(x^2 + y^2)\text{,}\) la\(y = 1\) traza de la función viene dada configurando\(y = 1\) y dejando\(x\) ser parametrizada por la variable\(t\text{;}\) entonces, la traza es la curva cuya parametrización es\(\langle t, 1, \cos(t^2 + 1) \rangle.\)

Actividad 9.6.4

Considere el paraboloide definido por\(f(x,y) = x^2+y^2\text{.}\)

1. Encuentra una parametrización para la\(x=2\) traza de\(f\text{.}\) ¿Qué tipo de curva describe esta traza?
2. Encuentra una parametrización para la\(y=-1\) traza de\(f\text{.}\) ¿Qué tipo de curva describe esta traza?
3. Encuentra una parametrización para la curva de nivel\(f(x,y) = 25\text{.}\) ¿Qué tipo de curva describe esta traza?
4. ¿Cómo cambian sus respuestas a las tres preguntas anteriores si en su lugar considera la función\(g\) definida por\(g(x,y) = x^2 - y^2\text{?}\) (Pista para generar una de las parametrizaciones:\(\sec^2(t)-\tan^2(t) = 1\text{.}\))

9.6.2 Resumen

• Una función con valor vectorial es una función cuya entrada es un parámetro real\(t\) y cuya salida es un vector que depende de\(t\text{.}\) La gráfica de una función valorada por vector es el conjunto de todos los puntos terminales de los vectores de salida con sus puntos iniciales en el origen.
• Cada función con valor vectorial proporciona una parametrización de una curva. En\(\mathbb{R}^2\text{,}\) una parametrización de una curva hay un par de ecuaciones\(x = x(t)\) y\(y = y(t)\) que describe las coordenadas de un punto\((x,y)\) en la curva en términos de un parámetro\(t\text{.}\) En\(\mathbb{R}^3\text{,}\) una parametrización de una curva hay un conjunto de tres ecuaciones\(x = x(t)\text{,}\)\(y=y(t)\text{,}\) y\(z = z(t)\) que describe las coordenadas de un punto\((x,y,z)\) en la curva en términos de un parámetro\(t\text{.}\)