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9.8: Longitud y curvatura del arco

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    120116
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    Preguntas Motivadoras
    • ¿Cómo se puede usar una integral definida para medir la longitud de una curva en 2 o 3 espacios?
    • ¿Por qué la longitud del arco es útil como parámetro?
    • ¿Cuál es la curvatura de una curva?

    Dada una curva espacial, hay dos preguntas geométricas naturales que uno podría hacerse: ¿cuánto dura la curva y cuánto se dobla? En esta sección, respondemos ambas preguntas desarrollando técnicas para medir la longitud de una curva espacial así como su curvatura.

    Vista previa de Actividad 9.8.1

    En investigaciones anteriores, hemos utilizado la integración para calcular cantidades como área, volumen, masa y trabajo. Ahora nos interesa determinar la longitud de una curva espacial.

    Considere la curva suave en el espacio 3 definida por la función de valor vectorial\(\mathbf{r}\text{,}\) donde

    \[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle = \langle \cos(t), \sin(t), t \rangle \nonumber \]

    para\(t\) en el intervalo\([0,2\pi]\text{.}\) Las imágenes de la gráfica de se\(\mathbf{r}\) muestran en la Figura 9.8.1. Utilizaremos el proceso de integración para calcular la longitud de esta curva. En esta situación partimos el intervalo\([0,2\pi]\) en\(n\) subintervalos de igual longitud y dejamos\(0 = t_0 \lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_n = b\) ser los puntos finales de los subintervalos. Luego aproximamos la longitud de la curva en cada subintervalo con alguna cantidad relacionada que podamos calcular. En este caso, aproximamos la longitud de la curva en cada subintervalo con la longitud del segmento que conecta los puntos finales. La Figura 9.8.1 ilustra el proceso en tres instancias diferentes usando valores crecientes de\(n\text{.}\)

    fig_9_8_length_animate_02.svgfig_9_8_length_animate_05.svgfig_9_8_length_animate_08.svg

    Figura 9.8.1. Aproximando la longitud de la curva con\(n=3\text{,}\)\(n=6\text{,}\) y\(n=9\text{.}\)
    1. Escribir una fórmula para la longitud del segmento de línea que conecta los puntos finales de la curva en el subintervalo\(i\) th\([t_{i-1},t_i]\text{.}\) (Esta longitud es nuestra aproximación de la longitud de la curva en este intervalo.)
    2. Usa tu fórmula en la parte (a) para escribir una suma que agregue todas las aproximaciones a las longitudes en cada subintervalo.
    3. ¿Qué tenemos que hacer con la suma en la parte (b) para obtener el valor exacto de la longitud de la gráfica de\(\mathbf{r}(t)\) en el intervalo\([0,2\pi]\text{?}\)

    9.8.1 Longitud del Arco

    Consideremos una curva suave en 3 espacios que se describe paramétricamente por la función vectorizada\(\mathbf{r}\) definida por\(\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle.\) Preview Activity 9.8.1 muestra que para aproximar la longitud de la curva definida por\(\mathbf{r}(t)\) como los valores de\(t\) ejecución sobre un intervalo\([a,b]\text{,}\) partimos el intervalo\([a,b]\) en\(n\) subintervalos de igual longitud\(\Delta t\text{,}\) con\(a = t_0 \lt t_1 \lt \cdots \lt t_n = b\) como los puntos finales de los subintervalos. En cada subintervalo, aproximamos la longitud de la curva por la longitud del segmento de línea que conecta los puntos finales. Los puntos en la curva correspondientes a\(t = t_{i-1}\) y\(t = t_i\) son\((x(t_{i-1}), y(t_{i-1}), z(t_{i-1}))\) y\((x(t_i), y(t_i), z(t_i))\text{,}\) respectivamente, por lo que la longitud del segmento de línea que conecta estos puntos es

    \[ \sqrt{(x(t_i) - x(t_{i-1}))^2 + (y(t_i) - y(t_{i-1}))^2 + (z(t_i) - z(t_{i-1}))^2}. \nonumber \]

    Ahora sumamos todas estas aproximaciones juntas para obtener una aproximación a la longitud\(L\) de la curva:

    \[ L \approx \sum_{i=1}^n \sqrt{(x(t_i) - x(t_{i-1}))^2 + (y(t_i) - y(t_{i-1}))^2 + (z(t_i) - z(t_{i-1}))^2}. \nonumber \]

    Ahora queremos tomar el límite de esta suma como\(n\) va al infinito, pero en su forma actual puede ser difícil ver cómo. Primero introducimos\(\Delta t\) multiplicando por\(\frac{\Delta t}{\Delta t}\text{,}\) y vemos que

    \ begin {alinear*} L &\ approx\ suma_ {i=1} ^n\ sqrt {(x (t_i) - x (t_ {i-1})) ^2 + (y (t_i) - y (t_ {i-1})) ^2 + (z (t_i) - z (t_ {i-1})) ^2}\\ [4pt] & =\ sum_ {i=1} ^n\ sqrt {(x (t_i) - x (t_ {i-1})) ^2 + (y (t_i) - y (t_ {i-1})) ^2 + (z (t_i) - z (t_ {i-1})) ^2}\ frac {\ Delta t} {\ Delta t}\\ [4pt] & =\ sum_ {i=1} ^n\ sqrt {(x (t_i) - x (t_ {i -1})) ^2 + (y (t_i) - y (t_ {i-1})) ^2 + (z (t_i) - z (t_ {i-1})) ^2}\ frac {\ Delta t} {\ sqrt {(\ Delta t) ^2}}\ end {align*}

    Para obtener los cocientes de diferencia bajo el radical, usamos propiedades de la función de raíz cuadrada para ver más allá que

    \ begin {align*} L &\ approx\ suma_ {i=1} ^n\ sqrt {\ left [(x (t_i) - x (t_ {i-1})) ^2 + (y (t_i) - y (t_ {i-1})) ^2 + (z (t_i) - z (t_ {i-1}) ^2\ derecha]\ frac {1} (\ Delta t) ^2}}\ Delta t\\ [4pt] & =\ suma_ {i=1} ^n\ sqrt {\ izquierda (\ frac {x (t_i) - x (t_ {i-1})} {\ Delta t}\ derecha) ^2 +\ izquierda (\ frac {y (t_i) - y (t_ {i-1})} {Delta\ t}\ derecha) ^2 +\ izquierda (\ frac {z (t_i) - z (t_ {i-1})} {\ Delta t}\ derecha) ^2}\ Delta t.\ final {alinear*}

    Recordemos que como\(n \to \infty\) también tenemos\(\Delta t \to 0\text{.}\) Desde

    \ begin {alinear*} x' (t) & =\ lim_ {\ Delta t\ a 0}\ frac {x (t_i) - x (t_ {i-1})} {\ Delta t},\\ [4pt] y' (t) & =\ lim_ {\ Delta t\ a 0}\ frac {y (t_i) - y (t_ {i-1})}\ Delta t},\\ texto {y}\\ [4pt] z' (t) &\ lim_ {\ Delta t\ a 0}\ frac {z (t_i) - z (t_ {i-1})} {\ Delta t},\ end {align*}

    vemos que

    \[ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sqrt{\left(\frac{x(t_i) - x(t_{i-1})}{\Delta t}\right)^2 + \left(\frac{y(t_i) - y(t_{i-1})}{\Delta t}\right)^2 + \left(\frac{z(t_i) - z(t_{i-1})}{\Delta t}\right)^2} \Delta t \nonumber \]

    es igual a

    \[ \int_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} \, dt. \nonumber \]

    Observando además que

    \[ |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}, \nonumber \]

    podemos reescribir nuestra fórmula de arclength de una forma más sucinta de la siguiente manera.

    La longitud de una curva

    Si\(\mathbf{r}(t)\) define una curva suave\(C\) en un intervalo\([a,b]\text{,}\), entonces la longitud\(L\) de\(C\) viene dada por

    \[ L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)| \, dt.\label{eq_9_8_arclength_2}\tag{9.8.1} \]

    Tenga en cuenta que la fórmula (9.8.1) se aplica a las curvas en cualquier espacio dimensional. Además, esta fórmula tiene una interpretación natural: si\(\mathbf{r}(t)\) registra la posición de un objeto en movimiento, entonces\(\mathbf{r}'(t)\) es la velocidad del objeto y\(|\mathbf{r}'(t)|\) su velocidad. La fórmula (9.8.1) dice que simplemente integramos la velocidad de un objeto que viaja sobre la curva para encontrar la distancia recorrida por el objeto, que es la misma que la longitud de la curva, al igual que en el cálculo de una variable.

    Actividad 9.8.2

    Aquí calculamos la longitud del arco de dos curvas familiares.

    1. Usa la Ecuación (9.8.1) para calcular la circunferencia de un círculo de radio\(r\text{.}\)
    2. Encuentra la longitud exacta de la espiral definida por\(\mathbf{r}(t) = \langle \cos(t), \sin(t), t \rangle\) en el intervalo\([0,2\pi]\text{.}\)

    Podemos adaptar la fórmula de longitud de arco a curvas en 2 espacios que definen\(y\) como una función de\(x\) como muestra la siguiente actividad.

    Actividad 9.8.3

    Vamos a\(y = f(x)\) definir una curva suave en 2 espacios. Parametrizar esta curva y usar la Ecuación (9.8.1) para mostrar que la longitud de la curva definida por\(f\) en un intervalo\([a,b]\) es

    \[ \int_a^b \sqrt{1+[f'(t)]^2} \, dt. \nonumber \]

    9.8.2 Parametrización con respecto a la longitud del arco

    Además de ayudarnos a encontrar la longitud de las curvas espaciales, la expresión para la longitud de una curva nos permite encontrar una parametrización natural de las curvas espaciales en términos de longitud de arco, como ahora explicamos.

    A continuación se muestra en la Figura 9.8.2 una porción\(y = x^2/2\text{.}\) de la parábola Por supuesto, esta curva espacial puede ser parametrizada por la función vectorizada\(\mathbf{r}\) definida por\(\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2/2\rangle\) como se muestra a la izquierda, donde vemos la ubicación en unos momentos diferentes\(t\text{.}\) Observe que los puntos no están igualmente espaciados en la curva.

    Un parámetro más natural que describe los puntos a lo largo de la curva espacial es la distancia recorrida a\(s\) medida que nos movemos a lo largo de la parábola comenzando en el origen. Por ejemplo, el lado derecho de la Figura 9.8.2 muestra los puntos correspondientes a diversos valores de\(s\text{.}\) Nosotros llamamos a esto una parametrización de longitud de arco.

    fig_9_8_param.svg

    Figura 9.8.2. La parametrización\(\mathbf{r}(t)\) (izquierda) y una reparametrización por longitud de arco.

    Para ver que se trata de una parametrización más natural, considera una carretera interestatal que atraviesa un estado. Una forma de parametrizar la curva definida por la autopista es conducir por la carretera y registrar nuestra posición en cada momento, creando así una función\(\mathbf{r}\text{.}\) Si nos encontramos con un accidente o construcción vial, sin embargo, esta parametrización podría no ser en absoluto relevante para otra persona que conduce la misma autopista. Una parametrización de longitud de arco, sin embargo, es como usar los marcadores de millas en el costado de la carretera para especificar nuestra posición en la carretera. Si sabemos lo lejos que hemos recorrido por la carretera, sabemos exactamente dónde estamos.

    Si comenzamos con una parametrización de una curva espacial, podemos modificarla para encontrar una parametrización de longitud de arco, como ahora describimos. Supongamos que la curva es parametrizada por la función vector-valuada\(\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)\) donde\(t\) está en el intervalo\([a,b]\text{.}\) Definimos el parámetro\(s\) a través de la función

    \[ s=L(t) = \int_a^t \sqrt{(x'(w))^2 + (y'(w))^2 + (z'(w))^2} \,dw, \nonumber \]

    que mide la longitud a lo largo de la curva desde\(\mathbf{r}(a)\) hasta\(\mathbf{r}(t)\text{.}\)

    El Teorema Fundamental del Cálculo nos muestra que

    \[ \frac{ds}{dt} = L'(t)= \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} = \lvert \mathbf{r}'(t) \rvert\label{eq_9_8_arc_length_prime}\tag{9.8.2} \]

    y así

    \[ L(t) = \int_a^t \left| \frac{d}{dw}\mathbf{r}(w)\right| \,dw. \nonumber \]

    Si asumimos que nunca\(\mathbf{r}'(t)\) es 0, entonces\(L'(t) > 0\) para todos\(t\) y siempre\(s=L(t)\) va en aumento. Esto debería parecer razonable: a menos que nos detengamos, la distancia recorrida a lo largo de la curva aumenta a medida que avanzamos por la curva.

    Ya que\(s=L(t)\) es una función creciente, es invertible, lo que significa que podemos ver el tiempo\(t\) como una función de la distancia recorrida; es decir, tenemos la relación Luego\(t=L^{-1}(s)\text{.}\) obtenemos la parametrización de longitud de arco componiendo\(\mathbf{r}(t)\) con\(t=L^{-1}(s)\) para obtener\(\mathbf{r}(s)\text{.}\) Let's ilustrar esto con un ejemplo.

    Ejemplo 9.8.3

    Considera un círculo de radio\(5\) en 2 espacios centrado en el origen. Sabemos que podemos parametrizar este círculo como

    \[ \mathbf{r}(t) = \langle 5\cos(t), 5\sin(t) \rangle, \nonumber \]

    donde\(t\) va de 0 a\(2\pi\text{.}\) Vemos eso\(\mathbf{r}'(t) = \langle -5\sin(t), 5\cos(t) \rangle\text{,}\) y de ahí\(|\mathbf{r}'(t)| = 5\text{.}\) se deduce entonces que

    \[ s=L(t) = \int_0^t |\mathbf{r}'(w)|~dw = \int_0^t 5~dw = 5t. \nonumber \]

    Ya que\(s=L(t) = 5t\text{,}\) podemos resolver para\(t\) en términos de\(s\) obtener luego\(t(s)=L^{-1}(s) = s/5\text{.}\) encontramos la parametrización de longitud de arco componiendo

    \[ \mathbf{r}(t(s))=\mathbf{r}(L^{-1}(s)) = \left\langle 5\cos\left(\frac s5\right), 5\sin\left(\frac s5\right)\right\rangle. \nonumber \]

    De manera más general, para un círculo de radio\(a\) centrado en el origen, un cálculo similar muestra que

    \[ \left\langle a\cos\left(\frac sa\right), a\sin\left(\frac sa\right)\right\rangle\label{eq_9_8_circle_arc_length_parameterization}\tag{9.8.3} \]

    es una parametrización de longitud de arco.

    Observe que la ecuación (9.8.2) muestra que

    \[ \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{d\mathbf{r}}{ds}\frac{ds}{dt} = \frac{d\mathbf{r}}{ds}\lvert \mathbf{r}'(t) \rvert, \nonumber \]

    entonces

    \[ \left| \frac{d\mathbf{r}}{ds} \right| = \left|\frac{1}{\lvert \mathbf{r}'(t) \rvert}\frac{d\mathbf{r}}{dt} \right| = 1, \nonumber \]

    lo que significa que nos movemos a lo largo de la curva con velocidad unitaria cuando parametrizamos por longitud de arco. Esto se ve claramente en el Ejemplo 9.8.3 donde De\(|\mathbf{r}'(s)| = 1\text{.}\) ello se deduce que el parámetro\(s\) es la distancia recorrida a lo largo de la curva, tal y como lo muestra:

    \[ L(s) = \int_0^s\left|\frac{d}{ds}\mathbf{r}(w)\right|~dw = \int_0^s1~dw = s. \nonumber \]
    Actividad 9.8.4

    En esta actividad parametrizamos una línea en 2 espacios en términos de longitud de arco. Considere la línea con ecuaciones paramétricas

    \[ x(t) = x_0+at \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ y(t) = y_0+bt. \nonumber \]
    1. Escribir\(t\) en términos de\(s\text{,}\) evaluar la integral
      \[ s=L(t) = \int_{0}^t \sqrt{(x'(w))^2 + (y'(w))^2} \, dw \nonumber \]

      para determinar la longitud de la línea desde el tiempo 0 hasta el tiempo\(t\text{.}\)

    2. Usa la fórmula de (a) para\(s\) en términos de\(t\) escribir\(t\) en términos de\(s\text{.}\) Entonces explica por qué una parametrización de la línea en términos de longitud de arco es
      \[ x(s) = x_0+\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}s \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ y(s) = y_0+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}s.\label{eq_9_8_line_arc_length_parameterization}\tag{9.8.4} \]

    Un ejemplo un poco más complicado es el siguiente.

    Ejemplo 9.8.4

    Vamos a parametrizar la curva definida por

    \[ \mathbf{r}(t) = \left\langle t^2, \frac{8}{3}t^{3/2}, 4t \right\rangle \nonumber \]

    para\(t \geq 0\) en términos de longitud de arco. Para escribir\(t\) en términos de\(s\) nos encontramos\(s\) en términos de\(t\text{:}\)

    \ begin {align*} s (t) & =\ int_ {0} ^t\ sqrt {(x' (w)) ^2 + (y' (w)) ^2 + (z' (w)) ^2}\, dw\\ [4pt] & =\ int_0^t\ sqrt {(2w) ^2 + (4w^ {1/2}) ^2 + (4) ^2}\, dw\\ [4pt] & =\ int_0^t\ sqrt {4w^2 + 16w + 16}\, dw\\ [4pt] & = 2\ int_0^t\ sqrt {(w+2) ^2}\, dw\ [4pt] & = 2\ int_0^t w+2\, dw\ [4pt] & =\ izquierda (w^2+4w\ derecha)\ biggm|_ {0} ^ {t}\\ [4pt] & = t^2+4t. \ end {align*}

    Ya que\(t \geq 0\text{,}\) podemos resolver la ecuación\(s = t^2+4t\) (o\(t^2+4t-s=0\))\(t\) para obtener\(t = \frac{-4 +\sqrt{16+4s}}{2} = -2 + \sqrt{4+s}\text{.}\) Así podemos parametrizar nuestra curva en términos de longitud de arco por

    \[ \mathbf{r}(s) = \left\langle \left(-2 + \sqrt{4+s}\right)^2, \frac{8}{3}\left(-2 + \sqrt{4+s}\right)^{3/2}, 4\left(-2 + \sqrt{4+s}\right) \right\rangle. \nonumber \]

    Estos ejemplos ilustran un método general. Por supuesto, evaluar una integral de longitud de arco y encontrar una fórmula para la inversa de una función puede ser difícil, por lo que si bien este proceso es teóricamente posible, no siempre es práctico parametrizar una curva en términos de longitud de arco. Sin embargo, podemos garantizar que tal parametrización existe, y esta observación juega un papel importante en la siguiente sección.

    9.8.3 Curvatura

    Para una curva de espacio suave, la curvatura mide la rapidez con la que la curva se dobla o cambia de dirección en un punto dado. Por ejemplo, esperamos que una línea tenga curvatura cero en todas partes, mientras que un círculo (que se dobla igual en cada punto) debe tener una curvatura constante. Los círculos con radios más grandes deben tener curvaturas más pequeñas.

    Para medir la curvatura, primero necesitamos describir la dirección de la curva en un punto. Podemos hacer esto usando un vector tangente continuamente variable a la curva, como se muestra a la izquierda en la Figura 9.8.5. La dirección de la curva se determina entonces por el ángulo que hace\(\phi\) cada vector tangente con un vector horizontal, como se muestra a la derecha en la Figura 9.8.5.

    fig_9_8_tangents.svgfig_9_8_tangents_angles.svg

    Figura 9.8.5. Izquierda: Vectores tangentes a una elipse. Derecha: Ángulos de vectores tangentes.

    Informalmente hablando, la curvatura será la velocidad a la que el ángulo\(\phi\) va cambiando a medida que nos movemos a lo largo de la curva. Por supuesto, esta tasa de cambio dependerá de cómo nos movemos a lo largo de la curva; si nos movemos con una mayor velocidad a lo largo de la curva, entonces\(\phi\) cambiará más rápidamente. Es por ello que el límite de velocidad a veces se baja cuando entramos en una curva en una carretera. En otras palabras, la tasa de cambio de\(\phi\) dependerá de la parametrización que utilicemos para describir la curva espacial. Para eliminar esta dependencia de la parametrización, elegimos trabajar con una parametrización de longitud de arco lo\(\mathbf{r}(s)\text{,}\) que significa que nos movemos a lo largo de la curva con velocidad unitaria.

    Usando una parametrización de longitud de arco\(\mathbf{r}(s)\text{,}\) definimos el vector tangente\(\mathbf{T}(s) = \mathbf{r}'(s)\text{,}\) y notamos\(|\mathbf{T}(s)| = 1\text{;}\) que es decir,\(\mathbf{T}(s)\) es un vector tangente unitario. Entonces tenemos\(\mathbf{T}(s) = \langle \cos (\phi(s)), \sin(\phi(s)) \rangle\text{,}\) lo que significa que

    \[ \frac{d\mathbf{T}}{ds} = \left\langle -\sin(\phi(s)) \frac{d\phi}{ds}, ~ \cos(\phi(s)) \frac{d\phi}{ds} \right\rangle = \langle -\sin(\phi(s)),~ \cos(\phi(s)) \rangle \frac{d\phi}{ds}. \nonumber \]

    Por lo tanto

    \[ \left|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right| = \left|\langle -\sin(\phi(s)),~ \cos(\phi(s)) \rangle\right| ~\left|\frac{d\phi}{ds}\right| = \left|\frac{d\phi}{ds}\right| \nonumber \]

    Esta observación nos lleva a adoptar la siguiente definición.

    Definición 9.8.6

    Si\(C\) es una curva de espacio suave y\(s\) es un parámetro de longitud de arco para\(C\text{,}\) entonces la curvatura,\(\kappa\text{,}\) de\(C\) es

    \[ \kappa = \kappa(s) = \left\lvert \frac{d \mathbf{T}}{ds} \right\rvert. \nonumber \]

    Tenga en cuenta que\(\kappa\) es la letra minúscula griega “kappa”.

    Actividad 9.8.5
    1. Debemos esperar que la curvatura de una línea sea 0 en todas partes. Para demostrar que nuestra definición de curvatura mide esto correctamente en 2 espacios, recordemos que (9.8.4) nos da la parametrización de la longitud del arco
      \[ x(s) = x_0+\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}s \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ y(s) = y_0+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}s \nonumber \]

      de una línea. Usa esta información para explicar por qué la curvatura de una línea es 0 en todas partes.

    2. Recordemos que una parametrización de longitud de arco de un círculo en 2-espacio de radio\(a\) centrado en el origen es, de (9.8.3),
      \[ \mathbf{r}(s) = \left\langle a \cos\left(\frac{s}{a}\right),~ a \sin\left(\frac{s}{a}\right)\right\rangle. \nonumber \]

      Mostrar que la curvatura de este círculo es la constante\(\frac{1}{a}\text{.}\) ¿Qué se puede decir de la relación entre el tamaño del radio de un círculo y el valor de su curvatura? ¿Por qué tiene sentido esto?

    La definición de curvatura se basa en nuestra capacidad de parametrizar curvas en términos de longitud de arco. Como hemos visto que encontrar una parametrización de longitud de arco puede ser difícil, nos gustaría poder expresar la curvatura en términos de una parametrización más general\(\mathbf{r}(t)\text{.}\)

    Para comenzar, necesitamos describir el vector\(\mathbf{T}\text{,}\) que es un vector tangente a la curva que tiene longitud unitaria. Por supuesto, el vector de velocidad\(\mathbf{r}'(t)\) es tangente a la curva; simplemente necesitamos normalizar su longitud para que sea uno. Esto significa que podemos tomar

    \[ \mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}.\label{eq_9_8_unit_tangent}\tag{9.8.5} \]

    Entonces la curvatura de la curva definida por\(\mathbf{r}\) es

    \ begin {alinear*}\ kappa & =\ izquierda\ lvert\ frac {d\ mathbf {T}} {ds}\ derecha\ rvert\ [4pt] & =\ izquierda\ lvert\ frac {d\ mathbf {T}} {dt}\ frac {dt} {ds}\ derecha\ rvert\ [4pt] & =\ frac {\ izquierda\ lvert\ frac {d\ mathbf {T}} {dt}\ derecha\ rvert} {\ izquierda\ lvert\ frac {ds} {dt}\ derecha\ rvert}\\ [4pt] & =\ frac {\ izquierda\ lvert\ mathbf {T} ' (t)\ derecha\ rvert} {\ izquierda\ lvert\ mathbf {r} '(t)\ derecha\ rvert}. \ end {align*}

    Esta última fórmula nos permite utilizar cualquier parametrización de una curva para calcular su curvatura. Existe otra fórmula útil, que se da a continuación, cuya derivación se deja para los ejercicios.

    Fórmulas para curvatura

    Si\(\mathbf{r}\) es una función de valor vectorial que define una curva de espacio suave\(C\text{,}\) y si no\(\mathbf{r}'(t)\) es cero y si\(\mathbf{r}''(t)\) existe, entonces la curvatura\(\kappa\) de\(C\) satisface

    • \(\displaystyle \kappa = \kappa(t) = \frac{\left\lvert \mathbf{T}'(t) \right\rvert}{ \left\lvert \mathbf{r}'(t) \right\rvert}\)
    • \(\kappa = \frac{\lvert \mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t) \rvert}{\lvert \mathbf{r}'(t) \rvert^3}\text{.}\)
    Actividad 9.8.6

    Usa una de las dos fórmulas para\(\kappa\) en términos de\(t\) para ayudarte a responder las siguientes preguntas.

    1. La elipse\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) tiene parametrización
      \[ \mathbf{r}(t) = \langle a\cos(t), b\sin(t) \rangle. \nonumber \]

      Encuentra la curvatura de la elipse. ¿Asumiendo\(0 \lt b \lt a\text{,}\) en qué puntos es la curvatura mayor y en qué puntos es la curvatura la más pequeña? ¿Esto concuerda con tu intuición?

    2. La hélice estándar tiene parametrización\(\mathbf{r}(t) = \cos(t) \mathbf{i} + \sin(t) \mathbf{j} + t \mathbf{k}\text{.}\) Encuentra la curvatura de la hélice. ¿El resultado concuerda con tu intuición?

    La curvatura tiene otra interpretación. Recordemos que la línea tangente a una curva en un punto es la línea que mejor se aproxima a la curva en ese punto. La curvatura en un punto de una curva describe el círculo que mejor se aproxima a la curva en ese punto. Recordando que un círculo de radio\(a\) tiene curvatura\(1/a\text{,}\) entonces el círculo que mejor se aproxima a la curva cerca de un punto en una curva cuya curvatura es\(\kappa\) tiene radio\(1/\kappa\) y será tangente a la línea tangente en ese punto y tiene su centro en el lado cóncavo de la curva. Este círculo, denominado círculo osculante de la curva en el punto, se muestra en la Figura 9.8.7 para una porción de una parábola.

    fig_9_8_curvature.svg

    Figura 9.8.7. El círculo osculante

    9.8.4 Resumen

    • El proceso de integración muestra que la longitud\(L\) de una curva suave definida por\(\mathbf{r}(t)\) en un intervalo\([a,b]\) es
      \[ L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)| \, dt. \nonumber \]
    • La longitud del arco es útil como parámetro porque cuando parametrizamos con respecto a la longitud del arco, eliminamos el papel de la velocidad en nuestro cálculo de curvatura y el resultado es una medida que depende únicamente de la geometría de la curva y no de la parametrización de la curva.
    • Definimos la curvatura\(\kappa\) de una curva en 2 o 3 espacios como la velocidad de cambio de la magnitud del vector tangente unitario con respecto a la longitud del arco, o
      \[ \kappa = \left\lvert \frac{d\mathbf{T}}{ds} \right\rvert. \nonumber \]

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