10.2: Derivadas parciales de primer orden

Preguntas Motivadoras

• ¿Cómo se\(y\) definen las derivadas parciales de primer orden\(f\) de una función de las variables independientes\(x\) y?
• Dada una función\(f\) de las variables independientes\(x\) y\(y\text{,}\) lo que hacen las derivadas parciales de primer orden\(\frac{\partial f}{\partial x}\) y nos\(\frac{\partial f}{\partial y}\) dicen sobre\(f\text{?}\)

La derivada juega un papel central en el cálculo del primer semestre porque proporciona información importante sobre una función. Pensando gráficamente, por ejemplo, la derivada en un punto nos dice la pendiente de la línea tangente a la gráfica en ese punto. Además, la derivada en un punto también proporciona la tasa instantánea de cambio de la función con respecto a los cambios en la variable independiente.

Ahora que estamos investigando funciones de dos o más variables, todavía podemos preguntarnos qué tan rápido está cambiando la función, aunque hay que tener cuidado con lo que queremos decir. Pensando de nuevo gráficamente, podemos intentar medir qué tan empinada es la gráfica de la función en una dirección particular. Alternativamente, es posible que queramos saber qué tan rápido cambia la salida de una función en respuesta a un cambio en una de las entradas. En las próximas secciones, desarrollaremos herramientas para abordar temas como estos. Vista previa Actividad 10.2.1 explora algunos temas con lo que llegaremos a llamar derivados parciales.

Vista previa de la actividad 10.2.1

Supongamos que sacamos un préstamo para automóvil de $18,000 a tasa de interés\(r\) y acordamos pagar el préstamo en\(t\) años. El pago mensual, en dólares, es

\[ M(r,t) = \frac{1500r}{1-\left(1+\frac{r}{12}\right)^{-12t}}. \nonumber \]

1. ¿Cuál es el pago mensual si la tasa de interés es\(3\%\) así\(r = 0.03\text{,}\) y pagamos el préstamo en\(t=4\) años?
2. Supongamos que la tasa de interés se fija en\(3\%\text{.}\) Express\(M\) en función\(f\) de\(t\) solo usando Es\(r=0.03\text{.}\) decir, vamos\(f(t) = M(0.03, t)\text{.}\) Esbozar la gráfica de\(f\) a la izquierda de la Figura 10.2.1. Explicar el significado de la función\(f\text{.}\)

Figura 10.2.1. Izquierda: Gráficas\(f(t)= M(0.03, t)\text{.}\) Derecha: Gráfica\(g(r) = M(r,4)\text{.}\)

3. Encuentra la tasa instantánea de cambio\(f'(4)\) e indica las unidades en esta cantidad. ¿Qué información nos\(f'(4)\) dice sobre nuestro préstamo para automóvil? ¿Qué información nos\(f'(4)\) dice sobre la gráfica que esbozó en (b)?
4. Expresar\(M\) como una función de\(r\) solo, usando un tiempo fijo de Es\(t=4\text{.}\) decir, vamos\(g(r) = M(r, 4)\text{.}\) Esbozar la gráfica de a\(g\) la derecha de la Figura 10.2.1. Explicar el significado de la función\(g\text{.}\)
5. Encuentra la tasa instantánea de cambio\(g'(0.03)\) e indica las unidades en esta cantidad. ¿Qué información nos\(g'(0.03)\) dice sobre nuestro préstamo para automóvil? ¿Qué información nos\(g'(0.03)\) dice sobre la gráfica que esbozó en (d)?

10.2.1 Derivadas parciales de primer orden

En la Sección 9.1, se estudió el comportamiento de una función de dos o más variables considerando las trazas de la función. Recordemos que en un ejemplo, consideramos la función\(f\) definida por

\[ f(x,y) = \frac{x^2 \sin(2 y)}{32}, \nonumber \]

que mide el alcance, o distancia horizontal, en pies, recorrida por un proyectil lanzado con una velocidad inicial de\(x\) pies por segundo en un ángulo\(y\) radianes con respecto a la horizontal. La gráfica de esta función se da nuevamente a la izquierda en la Figura 10.2.2. Además, si fijamos el ángulo\(y = 0.6\text{,}\) podemos ver la traza\(f(x,0.6)\) como una función de\(x\) solo, como se ve a la derecha en la Figura 10.2.2.

Figura 10.2.2. Izquierda: El rastro de\(z=\frac{x^2 \sin(2 y)}{32}\) con\(y = 0.6\text{.}\)

Dado que la traza es una función de una variable, podemos considerar su derivada tal como lo hicimos en el primer semestre de cálculo. Con\(y=0.6\text{,}\) tenemos

\[ f(x,0.6) = \frac{\sin(1.2)}{32}x^2, \nonumber \]

y por lo tanto

\[ \frac{d}{dx}[f(x,0.6)] = \frac{\sin(1.2)}{16}x. \nonumber \]

Cuando\(x=150\text{,}\) esto da

\[ \frac{d}{dx}[f(x,0.6)]|_{x=150} = \frac{\sin(1.2)}{16}150 \approx 8.74~\mbox{feet per feet per second} , \nonumber \]

que da la pendiente de la línea tangente mostrada a la derecha de la Figura 10.2.2. Pensar en esta derivada como una tasa instantánea de cambio implica que si aumentamos la velocidad inicial del proyectil en un pie por segundo, esperamos que la distancia horizontal recorrida aumente aproximadamente 8.74 pies si mantenemos constante el ángulo de lanzamiento en\(0.6\) radianes.

Al mantener\(y\) fijo y diferenciar con respecto a\(x\text{,}\) obtenemos la derivada parcial de primer orden de\(f\) con respecto a\(x\). Denotando esta derivada parcial como\(f_x\text{,}\) hemos visto que

\[ f_x(150, 0.6) = \frac{d}{dx}f(x,0.6)|_{x=150} = \lim_{h\to 0}\frac{f(150+h, 0.6) - f(150, 0.6)}{h}. \nonumber \]

De manera más general, tenemos

\[ f_x(a,b) = \lim_{h\to0} \frac{f(a+h, b)-f(a,b)}{h}, \nonumber \]

siempre que exista este límite.

De la misma manera, podemos obtener una traza estableciendo, digamos,\(x=150\) como se muestra en la Figura 10.2.3.

Figura 10.2.3. El rastro de\(z=\frac{x^2 \sin(2 y)}{32}\) con\(x = 150\text{.}\)

Esto da

\[ f(150, y) = \frac{150^2}{32}\sin(2y), \nonumber \]

y por lo tanto

\[ \frac{d}{dy}[f(150,y)] = \frac{150^2}{16}\cos(2y). \nonumber \]

Si evaluamos esta cantidad en\(y=0.6\text{,}\) tenemos

\[ \frac{d}{dy}[f(150,y)]|_{y=0.6} = \frac{150^2}{16}\cos(1.2) \approx 509.5 ~\mbox{feet per radian} . \nonumber \]

Una vez más, la derivada da la pendiente de la línea tangente que se muestra a la derecha en la Figura 10.2.3. Pensando en la derivada como una velocidad instantánea de cambio, esperamos que el alcance del proyectil aumente en 509.5 pies por cada radián aumentamos el ángulo de lanzamiento\(y\) si mantenemos constante la velocidad inicial del proyectil a 150 pies por segundo.

Al mantener\(x\) fijo y diferenciar con respecto a\(y\text{,}\) obtenemos la derivada parcial de primer orden de\(f\) con respecto a\(y\). Como antes, denotamos esta derivada parcial como\(f_y\) y escribimos

\[ f_y(150, 0.6) = \frac{d}{dy}f(150,y)|_{y=0.6} = \lim_{h\to 0}\frac{f(150, 0.6+h) - f(150, 0.6)}{h}. \nonumber \]

Al igual que con la derivada parcial con respecto a\(x\text{,}\) podemos expresar esta cantidad de manera más general en un punto arbitrario\((a,b)\text{.}\) Para recapitular, ahora hemos llegado a la definición formal de las derivadas parciales de primer orden de una función de dos variables.

Definición 10.2.4

Las derivadas parciales de primer orden\(f\) con respecto a\(x\) y\(y\) en un punto\((a,b)\) son, respectivamente,

\[\begin{align*} f_x(a,b) & = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}, \ \mbox{and}\\[4pt] f_y(a,b) & = \lim_{h \to 0} \frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}, \end{align*}\]

siempre que existan los límites.

Actividad 10.2.2

Considere la función\(f\) definida por

\[ f(x,y) = \frac{xy^2}{x+1} \nonumber \]

en el punto\((1,2)\text{.}\)

1. Escribe la traza\(f(x,2)\) en el valor fijo En el\(y=2\text{.}\) lado izquierdo de la Figura 10.2.5, dibuja la gráfica de la traza con\(y=2\) alrededor del punto donde\(x=1\text{,}\) indica la escala y etiquetas en los ejes. Además, esboce la línea tangente en el punto\(x=1\text{.}\)

Figura 10.2.5. Rastros de\(f(x,y) = \frac{xy^2}{x+1}\text{.}\)

2. Encuentra la derivada parcial\(f_x(1,2)\) y relaciona su valor con el boceto que acabas de hacer.
3. Escribir la traza\(f(1,y)\) en el valor fijo En el\(x=1\text{.}\) lado derecho de la Figura 10.2.5, dibuje la gráfica de la traza con\(x=1\) indicación de la escala y etiquetas en los ejes. Además, esboce la línea tangente en el punto\(y=2\text{.}\)
4. Encuentra la derivada parcial\(f_y(1,2)\) y relaciona su valor con el boceto que acabas de hacer.

Como muestran estos ejemplos, cada derivada parcial en un punto surge como la derivada de una función de una variable definida fijando una de las coordenadas. Además, podemos considerar cada derivada parcial como definiendo una nueva función del punto así\((x,y)\text{,}\) como la derivada\(f'(x)\) define una nueva función de\(x\) en cálculo de una sola variable. Debido a la conexión entre las derivadas de una variable y las derivadas parciales, a menudo usaremos la notación de estilo Leibniz para denotar derivadas parciales escribiendo

\[ \frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = f_x(a,b), \ \mbox{and} \ \frac{\partial f}{\partial y}(a, b) = f_y(a,b). \nonumber \]

Para calcular la derivada parcial\(f_x\text{,}\) mantenemos\(y\) fijos y así tratamos\(y\) como una constante. En notación Leibniz, observe que

\[ \frac{\partial }{\partial x} (x) = 1 \ \mbox{and} \ \frac{\partial }{\partial x}(y) = 0. \nonumber \]

Para ver el contraste entre cómo calculamos las derivadas de una sola variable y las derivadas parciales, y la diferencia entre las notaciones\(\frac{d}{dx}[ \ ]\) y\(\frac{\partial}{\partial x}[ \ ]\text{,}\) observar que

\[\begin{align*} & \frac{d}{dx}[3x^2 - 2x + 3] = 3\frac{d}{dx}[x^2] - 2\frac{d}{dx}[x] + \frac{d}{dx}[3] = 3\cdot 2x - 2,\\[4pt] \mbox{and} \ & \frac{\partial}{\partial x}[x^2y - xy + 2y] = y\frac{\partial}{\partial x}[x^2] - y\frac{\partial}{\partial x}[x] + \frac{\partial}{\partial x}[2y] = y\cdot 2x - y \end{align*}\]

Así, calcular las derivadas parciales es sencillo: utilizamos las reglas estándar del cálculo de una sola variable, pero lo hacemos manteniendo constante una (o más) de las variables.

Actividad 10.2.3

1. Si\(f(x,y) = 3x^3 - 2x^2y^5\text{,}\) encuentra las derivadas parciales\(f_x\) y\(f_y\text{.}\)
2. Si\(f(x,y) = \displaystyle\frac{xy^2}{x+1}\text{,}\) encuentra las derivadas parciales\(f_x\) y\(f_y\text{.}\)
3. Si\(g(r,s) = rs\cos(r)\text{,}\) encuentra las derivadas parciales\(g_r\) y\(g_s\text{.}\)
4. Suponiendo\(f(w,x,y) = (6w+1)\cos(3x^2+4xy^3+y)\text{,}\) encontrar las derivadas parciales\(f_w\text{,}\)\(f_x\text{,}\) y\(f_y\text{.}\)
5. Encuentre todas las derivadas parciales de primer orden posibles de\(q(x,t,z) = \displaystyle \frac{x2^tz^3}{1+x^2}.\)

10.2.2 Interpretaciones de Derivados Parciales de Primer Orden

Recordemos que la derivada de una sola función variable tiene una interpretación geométrica como la pendiente de la línea tangente a la gráfica en un punto dado. De igual manera, hemos visto que las derivadas parciales miden la pendiente de una línea tangente a una traza de una función de dos variables como se muestra en la Figura 10.2.6.

Figura 10.2.6. Líneas tangentes a dos trazas de la función distancia.

Ahora consideramos las derivadas parciales de primer orden en contexto. Recordemos que el cociente de diferencia\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) para una función\(f\) de una sola variable\(x\) en un punto donde nos\(x=a\) indica la tasa promedio de cambio de\(f\) sobre el intervalo\([a,a+h]\text{,}\) mientras que la derivada nos\(f'(a)\) dice la velocidad instantánea de cambio de\(f\) at \(x=a\text{.}\)Podemos usar estos mismos conceptos para explicar los significados de las derivadas parciales en contexto.

Actividad 10.2.4

La velocidad del sonido que\(C\) viaja a través del agua del océano es una función de la temperatura, la salinidad y la profundidad. Puede ser modelado por la función

\[ C=1449.2+4.6T-0.055T^2+0.00029T^3+(1.34-0.01T)(S-35)+0.016D. \nonumber \]

Aquí\(C\) está la velocidad del sonido en metros/segundo,\(T\) es la temperatura en grados Celsius,\(S\) es la salinidad en gramos/litro de agua, y\(D\) es la profundidad por debajo de la superficie del océano en metros.

1. Indicar las unidades en las que cada una de las derivadas parciales,\(C_T\text{,}\)\(C_S\) y\(C_D\text{,}\) se expresan y explicar el significado físico de cada una.
2. Encuentra las derivadas parciales\(C_T\text{,}\)\(C_S\) y\(C_D\text{.}\)
3. Evaluar cada una de las tres derivadas parciales en el punto donde\(T=10\text{,}\)\(S=35\) y\(D=100\text{.}\) Qué nos dice el signo de cada derivada parcial sobre el comportamiento de la función\(C\) en el punto\((10,35, 100)\text{?}\)

10.2.3 Uso de tablas y curvas de nivel para estimar derivadas parciales

Recuerde que las funciones de dos variables a menudo se representan como una tabla de datos o una gráfica de contorno. En el cálculo de una sola variable, vimos cómo podemos usar el cociente de diferencia para aproximar derivadas si, en lugar de una fórmula algebraica, solo conocemos el valor de la función en unos pocos puntos. La misma idea se aplica a las derivadas parciales.

Actividad 10.2.5

El frío del viento, como se informa frecuentemente, es una medida de lo frío que se siente afuera cuando sopla el viento. En el Cuadro 10.2.7, el frío del viento\(w\text{,}\) medido en grados Fahrenheit, es una función de la velocidad del viento\(v\text{,}\) medida en millas por hora, y la temperatura del aire ambiente\(T\text{,}\) también medida en grados Fahrenheit. Así vemos\(w\) como siendo de la forma\(w = w(v, T)\text{.}\)

Cuadro 10.2.7. Viento frío en función de la velocidad y la temperatura del viento.

\(v \backslash T\)	\(-30\)	\(-25\)	\(-20\)	\(-15\)	\(-10\)	\(-5\)	\(0\)	\(5\)	\(10\)	\(15\)	\(20\)
\ (v\ backslash T\)” alcance="fila">\(5\)	\ (-30\) ">\(-46\)	\ (-25\) ">\(-40\)	\ (-20\) ">\(-34\)	\ (-15\) ">\(-28\)	\ (-10\) ">\(-22\)	\ (-5\) ">\(-16\)	\ (0\) ">\(-11\)	\ (5\) ">\(-5\)	\ (10\) ">\(1\)	\ (15\) ">\(7\)	\ (20\) ">\(13\)
\ (v\ backslash T\)” alcance="fila">\(10\)	\ (-30\) ">\(-53\)	\ (-25\) ">\(-47\)	\ (-20\) ">\(-41\)	\ (-15\) ">\(-35\)	\ (-10\) ">\(-28\)	\ (-5\) ">\(-22\)	\ (0\) ">\(-16\)	\ (5\) ">\(-10\)	\ (10\) ">\(-4\)	\ (15\) ">\(3\)	\ (20\) ">\(9\)
\ (v\ backslash T\)” alcance="fila">\(15\)	\ (-30\) ">\(-58\)	\ (-25\) ">\(-51\)	\ (-20\) ">\(-45\)	\ (-15\) ">\(-39\)	\ (-10\) ">\(-32\)	\ (-5\) ">\(-26\)	\ (0\) ">\(-19\)	\ (5\) ">\(-13\)	\ (10\) ">\(-7\)	\ (15\) ">\(0\)	\ (20\) ">\(6\)
\ (v\ backslash T\)” alcance="fila">\(20\)	\ (-30\) ">\(-61\)	\ (-25\) ">\(-55\)	\ (-20\) ">\(-48\)	\ (-15\) ">\(-42\)	\ (-10\) ">\(-35\)	\ (-5\) ">\(-29\)	\ (0\) ">\(-22\)	\ (5\) ">\(-15\)	\ (10\) ">\(-9\)	\ (15\) ">\(-2\)	\ (20\) ">\(4\)
\ (v\ backslash T\)” alcance="fila">\(25\)	\ (-30\) ">\(-64\)	\ (-25\) ">\(-58\)	\ (-20\) ">\(-51\)	\ (-15\) ">\(-44\)	\ (-10\) ">\(-37\)	\ (-5\) ">\(-31\)	\ (0\) ">\(-24\)	\ (5\) ">\(-17\)	\ (10\) ">\(-11\)	\ (15\) ">\(-4\)	\ (20\) ">\(3\)
\ (v\ backslash T\)” alcance="fila">\(30\)	\ (-30\) ">\(-67\)	\ (-25\) ">\(-60\)	\ (-20\) ">\(-53\)	\ (-15\) ">\(-46\)	\ (-10\) ">\(-39\)	\ (-5\) ">\(-33\)	\ (0\) ">\(-26\)	\ (5\) ">\(-19\)	\ (10\) ">\(-12\)	\ (15\) ">\(-5\)	\ (20\) ">\(1\)
\ (v\ backslash T\)” alcance="fila">\(35\)	\ (-30\) ">\(-69\)	\ (-25\) ">\(-62\)	\ (-20\) ">\(-55\)	\ (-15\) ">\(-48\)	\ (-10\) ">\(-41\)	\ (-5\) ">\(-34\)	\ (0\) ">\(-27\)	\ (5\) ">\(-21\)	\ (10\) ">\(-14\)	\ (15\) ">\(-7\)	\ (20\) ">\(0\)
\ (v\ backslash T\)” alcance="fila">\(40\)	\ (-30\) ">\(-71\)	\ (-25\) ">\(-64\)	\ (-20\) ">\(-57\)	\ (-15\) ">\(-50\)	\ (-10\) ">\(-43\)	\ (-5\) ">\(-36\)	\ (0\) ">\(-29\)	\ (5\) ">\(-22\)	\ (10\) ">\(-15\)	\ (15\) ">\(-8\)	\ (20\) ">\(-1\)

1. Estimar la derivada parcial\(w_v(20,-10)\text{.}\) ¿Cuáles son las unidades en esta cantidad y qué significa? (Recordemos que podemos estimar una derivada parcial de una sola función variable\(f\) usando el cociente de diferencia simétrica\(\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\) para valores pequeños de\(h\text{.}\) Una derivada parcial es una derivada de una traza apropiada).
2. Estimar la derivada parcial\(w_T(20,-10)\text{.}\) ¿Cuáles son las unidades en esta cantidad y qué significa?
3. Utilice sus resultados para estimar el frío del viento\(w(18, -10)\text{.}\) (Recuérdese de cálculo de una sola variable que para una función\(f\) de\(x\text{,}\)\(f(x+h) \approx f(x) + hf'(x)\text{.}\))
4. Usa tus resultados para estimar el frío del viento\(w(20, -12)\text{.}\)
5. Considera cómo podrías combinar tus resultados anteriores para estimar el frío del viento\(w(18, -12)\text{.}\) Explica tu proceso.

Actividad 10.2.6

A continuación se muestra en la Figura 10.2.8 una gráfica de contorno de una función\(f\text{.}\) Los valores de la función en algunos de los contornos se indican a la izquierda de la figura.

Figura 10.2.8. Una gráfica de contorno de\(f\text{.}\)

1. Estimar la derivada parcial\(f_x(-2,-1)\text{.}\) (Pista: ¿Cómo puedes encontrar valores de\(f\) que son de la forma\(f(-2+h)\) y\(f(-2-h)\) para que puedas usar un cociente de diferencia simétrica?)
2. Estimar la derivada parcial\(f_y(-2,-1)\text{.}\)
3. Estimar las derivadas parciales\(f_x(-1,2)\) y\(f_y(-1,2)\text{.}\)
4. Localizar, si es posible, un punto\((x,y)\) donde\(f_x(x,y)= 0\text{.}\)
5. Localizar, si es posible, un punto\((x,y)\) donde\(f_x(x,y)\lt 0\text{.}\)
6. Localizar, si es posible, un punto\((x,y)\) donde\(f_y(x,y)>0\text{.}\)
7. Supongamos que tienes una función diferente\(g\text{,}\) y lo sabes\(g(2,2) = 4\text{,}\)\(g_x(2,2) > 0\text{,}\) y\(g_y(2,2) > 0\text{.}\) Usando esta información, dibuja una posibilidad para que el contorno\(g(x,y)=4\) pase por el\((2,2)\) lado izquierdo de la Figura 10.2.9. Luego incluya posibles contornos\(g(x,y) = 3\) y\(g(x,y) = 5\text{.}\)

Figura 10.2.9. Parcelas para contornos de\(g\) y\(h\text{.}\)

8. Supongamos que tiene otra función más\(h\text{,}\) y lo sabe\(h(2,2) = 4\text{,}\)\(h_x(2,2) \lt 0\text{,}\) y\(h_y(2,2) > 0\text{.}\) Usando esta información, dibuje un posible contorno\(h(x,y)=4\) que pasa por el\((2,2)\) lado derecho de la Figura 10.2.9. Luego incluya posibles contornos\(h(x,y) = 3\) y\(h(x,y) = 5\text{.}\)

10.2.4 Resumen

• Si\(f=f(x,y)\) es una función de dos variables, hay dos derivadas parciales de primer orden de\(f\text{:}\) la derivada parcial de\(f\) con respecto a\(x\text{,}\)
  \[ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = f_x(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}, \nonumber \]

  y la derivada parcial de\(f\) respecto a\(y\text{,}\)

  \[ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = f_y(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x,y+h) - f(x,y)}{h}, \nonumber \]

  donde cada derivada parcial existe sólo en aquellos puntos\((x,y)\) para los que existe el límite.

• La derivada parcial nos\(f_x(a,b)\) dice la velocidad instantánea de cambio de\(f\) con respecto a\(x\) a\((x,y) = (a,b)\) cuando\(y\) se fija en\(b\text{.}\) Geométricamente, la derivada parcial nos\(f_x(a,b)\) dice la pendiente de la línea tangente a la\(y=b\) traza de la función \(f\)en el punto\((a,b,f(a,b))\text{.}\)
• La derivada parcial nos\(f_y(a,b)\) dice la velocidad instantánea de cambio de\(f\) con respecto a\(y\) a\((x,y) = (a,b)\) cuando\(x\) se fija en\(a\text{.}\) Geométricamente, la derivada parcial nos\(f_y(a,b)\) dice la pendiente de la línea tangente a la\(x=a\) traza de la función \(f\)en el punto\((a,b,f(a,b))\text{.}\)