10.4: Linealización- Planos Tangentes y Diferenciales

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Preguntas Motivadoras

¿Qué significa que una función de dos variables sea localmente lineal en un punto?
¿Cómo encontramos la ecuación del plano tangente a una función localmente lineal en un punto?
¿Cuál es el diferencial de una función multivariable de dos variables y cuáles son sus usos?

Uno de los conceptos centrales en el cálculo de una sola variable es que la gráfica de una función diferenciable, cuando se ve a una escala muy pequeña, parece una línea. Llamamos a esta línea la línea tangente y medimos su pendiente con la derivada. En esta sección, extenderemos este concepto a funciones de varias variables.

Veamos qué sucede cuando miramos la gráfica de una función de dos variables a pequeña escala. Para comenzar, consideremos la función$f$ definida por

\[ f(x,y) = 6 - \frac{x^2}2 - y^2, \nonumber \]

cuya gráfica se muestra en la Figura 10.4.1.

$fig_10_4_tangent_1.svg$

Figura 10.4.1. La gráfica de$f(x,y)=6-x^2/2 - y^2\text{.}$

Elegimos estudiar el comportamiento de esta función cerca del punto$(x_0, y_0) = (1,1)\text{.}$ En particular, deseamos ver la gráfica en una escala cada vez más pequeña alrededor de este punto, como se muestra en las dos parcelas de la Figura 10.4.2

$fig_10_4_tangent_2.svg$ $fig_10_4_tangent_3.svg$

Figura 10.4.2. La gráfica de$f(x,y)=6-x^2/2 - y^2\text{.}$

Así como la gráfica de una función diferenciable de una sola variable parece una línea cuando se ve a pequeña escala, vemos que la gráfica de esta función particular de dos variables parece un plano, como se ve en la Figura 10.4.3. En la siguiente actividad de vista previa, exploramos cómo encontrar la ecuación de este plano.

$fig_10_4_tangent_4.svg$

Figura 10.4.3. La gráfica de$f(x,y)=6-x^2/2 - y^2\text{.}$

En lo que sigue, también utilizaremos el hecho importante ¹ de que el plano que atraviesa$(x_0, y_0, z_0)$ puede expresarse en la forma$z = z_0 + a(x-x_0) + b(y-y_0)\text{,}$ donde$a$ y$b$ son constantes.

Como vimos en la Sección 9.5, la ecuación de un plano que pasa por el punto$(x_0, y_0, z_0)$ puede escribirse en la forma$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0\text{.}$ Si el plano no es vertical, entonces$C\neq 0\text{,}$ y podemos reorganizar esto y de ahí escribir$C(z-z_0) = -A(x-x_0) - B(y-y_0)$ y así

\ begin {align*} z & = z_0-\ frac AC (x-x_0) -\ frac BC (y-y_0)\\ [4pt] & = z_0 + a (x-x_0) + b (y-y_0)\ end {align*}

donde$a=-A/C$ y$b=-B/C\text{,}$ respectivamente.

Vista previa de la actividad 10.4.1

Dejar$f(x,y) = 6 - \frac{x^2}2 - y^2\text{,}$ y dejar$(x_0,y_0) = (1,1)\text{.}$

a. Evaluar$f(x,y) = 6 - \frac{x^2}2 - y^2$ y sus derivadas parciales en$(x_0,y_0)\text{;}$ esto es, encontrar$f(1,1)\text{,}$$f_x(1,1)\text{,}$ y$f_y(1,1)\text{.}$

b. conocemos un punto en el plano tangente; es decir, el$z$ -valor del plano tangente concuerda con el$z$ -valor en la gráfica de$f(x,y) = 6 - \frac{x^2}2 - y^2$$(x_0, y_0)\text{.}$ en el punto Es decir, tanto el plano tangente como la gráfica de la función$f$ contienen el punto$(x_0, y_0, z_0)\text{.}$ Utilice esta observación determinar$z_0$ en la expresión$z = z_0 + a(x-x_0) + b(y-y_0)\text{.}$

c. Esbozar las trazas de$f(x,y) = 6 - \frac{x^2}2 - y^2$ para$y=y_0=1$ y$x=x_0=1$ abajo en la Figura 10.4.4.

$fig_10_4_tangent_trace_y.svg$ $fig_10_4_tangent_trace_x.svg$

Figura 10.4.4. Las huellas de$f(x,y)$ con$y=y_0=1$ y$x=x_0=1\text{.}$

d. Determinar la ecuación de la línea tangente de la traza que esbozó en la parte anterior con$y=1$ (en la$x$ dirección) en el punto$x_0=1\text{.}$

$fig_10_4_tangent_5.svg$ $fig_10_4_tangent_6.svg$

Figura 10.4.5. Las huellas de$f(x,y)$ y el plano tangente.

e. La Figura 10.4.5 muestra las trazas de la función y las trazas del plano tangente. Explica cómo la línea tangente de la traza de$f\text{,}$ cuya ecuación encontraste en la última parte de esta actividad, está relacionada con el plano tangente. ¿Cómo te ayuda esta observación a determinar la constante$a$ en la ecuación para el plano tangente?$z = z_0+a(x-x_0) + b(y-y_0)\text{?}$ (Pista: ¿Cómo crees que$f_x(x_0,y_0)$ debería relacionarse con$z_x(x_0,y_0)\text{?}$)

f. de manera similar a lo que hiciste en (d), determina la ecuación de la línea tangente de la traza con$x=1$ en el punto$y_0=1\text{.}$ Explica cómo esta línea tangente está relacionada con el plano tangente, y usa esta observación para determinar la constante$b$ en la ecuación para el plano tangente $z=z_0+a(x-x_0) + b(y-y_0)\text{.}$(Pista: ¿Cómo crees que$f_y(x_0,y_0)$ debería estar relacionado con$z_y(x_0,y_0)\text{?}$)

g. Finalmente, escribir la ecuación$z=z_0 + a(x-x_0) + b(y-y_0)$ del plano tangente a la gráfica de$f(x,y)=6-x^2/2 - y^2$ en el punto$(x_0,y_0)=(1,1)\text{.}$

10.4.1 El Plano Tangente

Antes de exponer la fórmula para la ecuación del plano tangente en un punto para una función general$f=f(x,y)\text{,}$ necesitamos discutir una condición técnica. Como hemos señalado, cuando miramos la gráfica de una función de una sola variable a pequeña escala cerca de un punto$x_0\text{,}$ esperamos ver una línea; en este caso, decimos que $f$es localmente lineal cerca$x_0$ ya que la gráfica parece una función lineal localmente alrededor Por$x_0\text{.}$ supuesto, hay funciones, como la función de valor absoluto dada por$f(x)=|x|\text{,}$ que no son localmente lineales en cada punto. En el cálculo de una sola variable, aprendemos que si la derivada de una función existe en un punto, entonces se garantiza que la función sea localmente lineal allí.

De manera similar, decimos que una función de dos variables $f$es localmente lineal cerca$(x_0,y_0)$ siempre que la gráfica de$f$ se vea como un plano (su plano tangente) cuando se ve a pequeña escala cerca de$(x_0,y_0)\text{.}$ ¿Cómo podemos saber cuándo una función de dos variables es localmente lineal en un punto?

No es irrazonable esperar que si$f_x(a,b)$ y$f_y(a,b)$ existir para alguna función$f$ en un punto$(a,b)\text{,}$ entonces$f$ es localmente lineal en$(a,b)\text{.}$ Esto no es suficiente, sin embargo. A modo de ejemplo, considere la función$f$ definida por$f(x,y) = x^{1/3} y^{1/3}\text{.}$ En el Ejercicio 10.4.5.11 se le pide que muestre eso$f_x(0,0)$ y$f_y(0,0)$ ambos existen, pero que no$f$ es localmente lineal en$(0,0)$ (ver Figura 10.4.12). Por lo que la existencia de las dos derivadas parciales de primer orden en un punto no garantiza la linealidad local en ese punto.

Nos llevaría demasiado lejos proporcionar una rigurosa división de diferenciabilidad de funciones de más de una variable (ver Ejercicio 10.4.5.15 para un poco más de detalle), por lo que nos contentaremos con definir condiciones más fuertes, pero más fácilmente verificadas, que aseguren la linealidad local.

Diferenciablidad

Si$f$ es una función de las variables independientes$x$ y$y$ y ambos$f_x$ y$f_y$ existen y son continuos en un disco abierto que contiene el punto$(x_0,y_0)\text{,}$ entonces$f$ es continuamente diferenciable en$(x_0,y_0)\text{.}$

Como consecuencia, cada vez que una función$z = f(x,y)$ es continuamente diferenciable en un punto$(x_0,y_0)\text{,}$ se deduce que la función tiene un plano tangente en$(x_0,y_0)\text{.}$ Visto de cerca, el plano tangente y la función son entonces prácticamente indistinguibles. (Aquí no vamos a definir formalmente la diferenciabilidad de las funciones multivariables, y para nuestros propósitos, la diferenciabilidad continua es la única condición que necesitaremos usar. Es importante señalar que la diferenciabilidad continua es una condición más fuerte que la diferenciabilidad. Todos los resultados que encontremos se aplicarán a funciones diferenciables, y así también se aplicarán a funciones continuamente diferenciables). Además, como en Preview Activity 10.4.1, encontramos la siguiente fórmula general para el plano tangente.

El plano tangente

Si$f(x,y)$ tiene derivadas parciales continuas de primer orden, entonces la ecuación del plano tangente a la gráfica de$f$ en el punto$(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ es

\[ z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0).\label{eq_10_4_tan_plane}\tag{10.4.1} \]

Nota Importante: Como se puede ver en el Ejercicio 10.4.5.11, es posible que$f_x(x_0,y_0)$ y$f_y(x_0,y_0)$ pueda existir para una función$f\text{,}$ y así el plano$z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$$f$ existe aunque no sea localmente lineal en$(x_0,y_0)$ (porque la gráfica de$f$ no se ve lineal cuando acercar alrededor del punto$(x_0,y_0)$). En tal caso este plano no es tangente a la gráfica. La diferenciabilidad para una función de dos variables implica la existencia de un plano tangente, pero la existencia de las dos derivadas parciales de primer orden de una función en un punto no implica diferenciabilidad. Esto es bastante diferente a lo que sucede en el cálculo de una sola variable.

Por último, una nota importante sobre la forma de la ecuación para el plano tangente,$z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\text{.}$ Digamos, por ejemplo, que tenemos el plano tangente particular$z = 7 - 2(x-3) + 4(y+1)\text{.}$ Observe que podemos leer inmediatamente de esta forma que$f_x(3,-1) = -2$ y$f_y(3,-1) = 4\text{;}$ además,$f_x(3,-1)=-2$ es la pendiente de la traza a ambos $f$y el plano tangente en la$x$ -dirección$(3,-1)\text{.}$ en De la misma manera,$f_y(3,-1) = 4$ es la pendiente de la traza de ambos$f$ y el plano tangente en la$y$ dirección -en$(3,-1)\text{.}$

Actividad 10.4.2

Encuentra la ecuación del plano tangente a$f(x,y) = 2 + 4x - 3y$ en el punto$(1,2)\text{.}$ Simplificar tanto como sea posible. ¿Te sorprende el resultado? Explique.
Encuentra la ecuación del plano tangente a$f(x,y) = x^2y$ en el punto$(1,2)\text{.}$

10.4.2 Linealización

En el cálculo de una sola variable, un uso importante de la línea tangente es aproximar el valor de una función diferenciable. Cerca del punto$x_0\text{,}$ la línea tangente a la gráfica de$f$ at$x_0$ está cerca de la gráfica de$f$ cerca$x_0\text{,}$ como se muestra en la Figura 10.4.6.

$fig_10_4_2d_linear.svg$ $fig_10_4_2d_linear_gray.svg$

Figura 10.4.6. La linealización de la función de variable única$f(x)\text{.}$

En esta configuración de una sola variable, dejamos$L$ denotar la función cuya gráfica es la línea tangente, y así

\[ L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) \nonumber \]

Además, observar que$f(x) \approx L(x)$ cerca$x_0\text{.}$ Llamamos a$L$ la linealización de$f\text{.}$

De la misma manera, el plano tangente a la gráfica de una función diferenciable$z = f(x,y)$ en un punto$(x_0,y_0)$ proporciona una buena aproximación de$f(x,y)$ cerca$(x_0, y_0)\text{.}$ Aquí, definimos la linealización,$L\text{,}$ para ser la función de dos variables cuya gráfica es el plano tangente, y así

\[ L(x,y) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0). \nonumber \]

Por último, señalar que$f(x,y)\approx L(x,y)$ para los puntos cercanos$(x_0, y_0)\text{.}$ Esto se ilustra en la Figura 10.4.7.

$fig_10_4_tangent_9.svg$

Figura 10.4.7. La linealización de$f(x,y)\text{.}$

Actividad 10.4.3

En lo que sigue, encontramos la linealización de varias funciones diferentes que se dan en forma algebraica, tabular o gráfica.

a. Encuentra la linealización$L(x,y)$ de la función$g$ definida por

\[ g(x,y) = \frac{x}{x^2+y^2} \nonumber \]

en el punto$(1,2)\text{.}$ Luego use la linealización para estimar el valor de$g(0.8, 2.3)\text{.}$

b. La Tabla 10.4.8 proporciona una colección de valores del frío del viento$w(v,T)\text{,}$ en grados Fahrenheit, en función de la velocidad del viento, en millas por hora, y la temperatura, también en grados Fahrenheit.

Cuadro 10.4.8. Viento frío en función de la velocidad y la temperatura del viento.

$v \backslash T$	$-30$	$-25$	$-20$	$-15$	$-10$	$-5$	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$
$5$	$-46$	$-40$	$-34$	$-28$	$-22$	$-16$	$-11$	$-5$	$1$	$7$	$13$
$10$	$-53$	$-47$	$-41$	$-35$	$-28$	$-22$	$-16$	$-10$	$-4$	$3$	$9$
$15$	$-58$	$-51$	$-45$	$-39$	$-32$	$-26$	$-19$	$-13$	$-7$	$0$	$6$
$20$	$-61$	$-55$	$-48$	$-42$	$-35$	$-29$	$-22$	$-15$	$-9$	$-2$	$4$
$25$	$-64$	$-58$	$-51$	$-44$	$-37$	$-31$	$-24$	$-17$	$-11$	$-4$	$3$
$30$	$-67$	$-60$	$-53$	$-46$	$-39$	$-33$	$-26$	$-19$	$-12$	$-5$	$1$
$35$	$-69$	$-62$	$-55$	$-48$	$-41$	$-34$	$-27$	$-21$	$-14$	$-7$	$0$
$40$	$-71$	$-64$	$-57$	$-50$	$-43$	$-36$	$-29$	$-22$	$-15$	$-8$	$-1$

Usa los datos para estimar primero las derivadas parciales apropiadas, y luego encontrar la linealización$L(v,T)$ en el punto$(20,-10)\text{.}$ Finalmente, usa la linealización para estimar$w(10,-10)\text{,}$$w(20,-12)\text{,}$ y$w(18,-12)\text{.}$ Compara tus resultados con lo que obtuviste en la Actividad 10.2.5

c. La Figura 10.4.9 da una gráfica de contorno de una función continuamente diferenciable$f\text{.}$

$fig_10_3_activity_contour-1.svg$

Figura 10.4.9. Una gráfica de contorno de$f(x,y)\text{.}$

Después de estimar las derivadas parciales apropiadas, determinar la linealización$L(x,y)$ en el punto$(2,1)\text{,}$ y utilizarla para estimar$f(2.2, 1)\text{,}$$f(2, 0.8)\text{,}$ y$f(2.2, 0.8)\text{.}$

10.4.3 Diferenciales

Como hemos visto, la linealización nos$L(x,y)$ permite estimar el valor de$f(x,y)$ para puntos$(x,y)$ cercanos al punto base$(x_0, y_0)\text{.}$ A veces, sin embargo, estamos más interesados en el cambio en a$f$ medida que avanzamos del punto base$(x_0,y_0)$ a otro punto$(x,y)\text{.}$

$fig_10_4_tangent_10.svg$

Figura 10.4.10. El diferencial$df$ se aproxima al cambio en$f(x,y)\text{.}$

La figura 10.4.10 ilustra esta situación. Supongamos que estamos en el punto$(x_0,y_0)\text{,}$ y conocemos el valor$f(x_0,y_0)$ de$f$ at$(x_0,y_0)\text{.}$ Si consideramos el desplazamiento$\langle \Delta x, \Delta y\rangle$ a un nuevo punto$(x,y) = (x_0+\Delta x, y_0 + \Delta y)\text{,}$ nos gustaría saber cuánto ha cambiado la función. Denotamos este cambio por$\Delta f\text{,}$ donde

\[ \Delta f = f(x,y) - f(x_0, y_0). \nonumber \]

Una forma sencilla de estimar el cambio$\Delta f$ es aproximarlo mediante el$df\text{,}$ cual representa el cambio en la linealización a$L(x,y)$ medida que avanzamos de$(x_0,y_0)$ a$(x,y)\text{.}$ Esto da

\ begin {alinear*}\ Delta f\ approx df & = L (x, y) -f (x_0, y_0)\\ [4pt] & = [f (x_0, y_0) + f_x (x_0, y_0) (x-x_0) + f_y (x_0, y_0) (y-y_0)] - f (x_0, y_0)\\ [4pt] & = f_x (x_0, y_0)\ Delta x + f_y (x_0, y_0)\ Delta y.\ end {align*}

Por consistencia, denotaremos el cambio en las variables independientes como$dx = \Delta x$ y$dy = \Delta y\text{,}$ y por lo tanto

\[ \Delta f \approx df = f_x(x_0,y_0)~dx + f_y(x_0,y_0)~dy.\label{E_10_4_differential}\tag{10.4.2} \]

Expresado de manera equivalente en notación Leibniz, tenemos

\[ df = \frac{\partial f}{\partial x}~dx + \frac{\partial f}{\partial y}~dy.\label{E_10_4_differential_leib}\tag{10.4.3} \]

Llamamos a las cantidades$dx\text{,}$$dy\text{,}$ y$df$ diferenciales, y pensamos en ellas como la medición de pequeños cambios en las cantidades$x\text{,}$$y\text{,}$ y$f\text{.}$ las Ecuaciones (10.4.2) y (10.4.3) expresan la relación entre estos cambios. La ecuación (10.4.3) se asemeja a una idea importante del cálculo de una sola variable: cuando$y$ depende de$x\text{,}$ ello sigue en la notación de diferenciales que

\[ dy = y'~dx = \frac{dy}{dx}~dx. \nonumber \]

Ilustraremos el uso de diferenciales con un ejemplo.

Ejemplo 10.4.11

Supongamos que tenemos una máquina que fabrica rectángulos de ancho$x=20$ cm y alto$y=10$ cm. Sin embargo, la máquina no es perfecta, y por lo tanto el ancho podría estar apagado por$dx = \Delta x = 0.2$ cm y la altura podría estar fuera por$dy = \Delta y = 0.4$ cm.

El área del rectángulo es

\[ A(x,y) = xy, \nonumber \]

de manera que el área de un rectángulo perfectamente fabricado sea centímetros$A(20, 10) = 200$ cuadrados. Como la máquina no es perfecta, nos gustaría saber en qué medida podría diferir el área de un rectángulo fabricado dado del rectángulo perfecto. Estimaremos la incertidumbre en el área utilizando (10.4.2), y encontraremos que

\[ \Delta A \approx dA = A_x(20, 10)~dx + A_y(20,10)~dy. \nonumber \]

Desde$A_x = y$ y$A_y = x\text{,}$ tenemos

\[ \Delta A \approx dA = 10~dx + 20~dy = 10\cdot0.2 + 20\cdot0.4 = 10. \nonumber \]

Es decir, estimamos que el área en nuestros rectángulos podría estar apagada hasta en 10 centímetros cuadrados.

Actividad 10.4.4

Las preguntas de esta actividad exploran el diferencial en varios contextos diferentes.

Supongamos que la elevación de un paisaje viene dada por la función$h\text{,}$ donde además sabemos eso$h(3,1) = 4.35\text{,}$$h_x(3,1) = 0.27\text{,}$ y$h_y(3,1) = -0.19\text{.}$ Supongamos que$x$ y se$y$ miden en millas en las direcciones este y norte, respectivamente, desde algún punto base$(0,0)\text{.}$ Su GPS dispositivo dice que actualmente estás en el punto$(3,1)\text{.}$ Sin embargo, sabes que las coordenadas solo son precisas dentro de$0.2$ las unidades; es decir,$dx = \Delta x = 0.2$ y$dy= \Delta y = 0.2\text{.}$ Estima la incertidumbre en tu elevación usando diferenciales.
La presión, el volumen y la temperatura de un gas ideal están relacionados por la ecuación
\[ P= P(T,V) = 8.31 T/V, \nonumber \]

donde$P$ se mide en kilopascales,$V$ en litros y$T$ en kelvin. Encuentra la presión cuando el volumen es de 12 litros y la temperatura es de 310 K. Usa diferenciales para estimar el cambio en la presión cuando el volumen aumenta a 12.3 litros y la temperatura disminuye a 305 K.
Consulte la Tabla 10.4.8, la tabla de valores del frío del viento$w(v,T)\text{,}$ en grados Fahrenheit, en función de la temperatura, también en grados Fahrenheit, y la velocidad del viento, en millas por hora. Supongamos que su anemómetro dice que el viento sopla a$25$ millas por hora y su termómetro muestra una lectura de$-15^\circ$ grados. Sin embargo, sabe que su termómetro solo es preciso dentro de$2^\circ$ grados y su anemómetro solo es preciso dentro de$3$ millas por hora. ¿Qué es el viento frío basado en tus mediciones? Estime la incertidumbre en su medición del frío del viento.

10.4.4 Resumen

Una función$f$ de dos variables independientes es localmente lineal en un punto$(x_0,y_0)$ si la gráfica de$f$ parece un plano a medida que acercamos la gráfica alrededor del punto$(x_0,y_0)\text{.}$ En este caso, la ecuación del plano tangente viene dada por
\[ z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0). \nonumber \]
El plano tangente$L(x,y) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0)\text{,}$ cuando se considera como una función, se denomina linealización de una función diferenciable$f$ at$(x_0,y_0)$ y se puede utilizar para estimar valores de es$f(x,y)\text{;}$ decir,$f(x,y) \approx L(x,y)$ para puntos$(x,y)$ cercanos$(x_0,y_0)\text{.}$
Una función$f$ de dos variables independientes es diferenciable$(x_0,y_0)$ siempre que ambas$f_x$ y$f_y$ existan y sean continuas en un disco abierto que contenga el punto$(x_0,y_0)\text{.}$
El diferencial$df$ de una función$f= f(x,y)$ está relacionado con los diferenciales$dx$ y$dy$ por
\[ df = f_x(x_0,y_0) dx + f_y(x_0,y_0)dy. \nonumber \]

Podemos usar esta relación para aproximar pequeños cambios en$f$ ese resultado de pequeños cambios en$x$ y$y\text{.}$

\(v \backslash T\)	\(-30\)	\(-25\)	\(-20\)	\(-15\)	\(-10\)	\(-5\)	\(0\)	\(5\)	\(10\)	\(15\)	\(20\)
\(5\)	\(-46\)	\(-40\)	\(-34\)	\(-28\)	\(-22\)	\(-16\)	\(-11\)	\(-5\)	\(1\)	\(7\)	\(13\)
\(10\)	\(-53\)	\(-47\)	\(-41\)	\(-35\)	\(-28\)	\(-22\)	\(-16\)	\(-10\)	\(-4\)	\(3\)	\(9\)
\(15\)	\(-58\)	\(-51\)	\(-45\)	\(-39\)	\(-32\)	\(-26\)	\(-19\)	\(-13\)	\(-7\)	\(0\)	\(6\)
\(20\)	\(-61\)	\(-55\)	\(-48\)	\(-42\)	\(-35\)	\(-29\)	\(-22\)	\(-15\)	\(-9\)	\(-2\)	\(4\)
\(25\)	\(-64\)	\(-58\)	\(-51\)	\(-44\)	\(-37\)	\(-31\)	\(-24\)	\(-17\)	\(-11\)	\(-4\)	\(3\)
\(30\)	\(-67\)	\(-60\)	\(-53\)	\(-46\)	\(-39\)	\(-33\)	\(-26\)	\(-19\)	\(-12\)	\(-5\)	\(1\)
\(35\)	\(-69\)	\(-62\)	\(-55\)	\(-48\)	\(-41\)	\(-34\)	\(-27\)	\(-21\)	\(-14\)	\(-7\)	\(0\)
\(40\)	\(-71\)	\(-64\)	\(-57\)	\(-50\)	\(-43\)	\(-36\)	\(-29\)	\(-22\)	\(-15\)	\(-8\)	\(-1\)