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10.5: La regla de la cadena

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    Preguntas Motivadoras
    • ¿Qué es la Regla de la Cadena y cómo la usamos para encontrar un derivado?
    • ¿Cómo podemos usar un diagrama de árbol para guiarnos en la aplicación de la Regla de Cadena?

    En el cálculo de una sola variable, nos encontramos con situaciones en las que alguna cantidad\(z\) depende\(y\) y, a su vez,\(y\) depende de\(x\text{.}\) Un cambio en\(x\) produce un cambio en el\(y\text{,}\) que consecuentemente produce un cambio en\(z\text{.}\) Usando el lenguaje de diferenciales que nos visto en la sección anterior, estos cambios están naturalmente relacionados por

    \[ dz = \frac{dz}{dy}~dy \ \mbox{and} \ dy = \frac{dy}{dx}~dx. \nonumber \]

    En términos de tasas de cambio instantáneas, entonces tenemos

    \[ dz = \frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}~dx = \frac{dz}{dx}~dx \nonumber \]

    y por lo tanto

    \[ \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}. \nonumber \]

    A esta ecuación más reciente la llamamos la Regla de la Cadena.

    En el caso de una función\(f\) de dos variables donde\(z = f(x,y)\text{,}\) podría ser que ambas\(x\) y\(y\) dependan de otra variable\(t\text{.}\) Un cambio en\(t\) entonces produce cambios en ambas\(x\) y\(y\text{,}\) que luego provocan\(z\) cambios. En esta sección veremos cómo encontrar el cambio en\(z\) que es causado por un cambio en\(t\text{,}\) llevarnos a versiones multivariables de la Regla de Cadena que involucran tanto derivadas regulares como parciales.

    Vista previa de la actividad 10.5.1

    Supongamos que está conduciendo en el\(xy\) avión de tal manera que su posición\(\mathbf{r}(t)\) en el momento\(t\) está dada por la función

    \[ \mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle = \langle 2-t^2, t^3 + 1\rangle. \nonumber \]

    El camino tomado se muestra a la izquierda de la Figura 10.5.1.

    fig_10_5_preview_r.svgfig_10_5_preview_h.svg

    Figura 10.5.1. Izquierda: Tu posición en el avión. Derecha: La temperatura correspondiente.

    Supongamos, además, que la temperatura en un punto del plano viene dada por

    \[ T(x,y) = 10 - \frac12x^2 -\frac15y^2, \nonumber \]

    y tenga en cuenta que la superficie generada por\(T\) se muestra a la derecha de la Figura 10.5.1. Por lo tanto, a medida que pasa el tiempo, tu posición\((x(t), y(t))\) cambia, y, a medida que cambia tu posición, la temperatura\(T(x,y)\) también cambia.

    1. La función de posición\(\vr\) proporciona una parametrización\(x = x(t)\) y\(y = y(t)\) de la posición en el tiempo Al sustituir\(t\text{.}\) por\(x\) y\(x(t)\)\(y(t)\) para\(y\) en la fórmula para\(T\text{,}\) podemos escribir\(T = T(x(t), y(t))\) como una función de\(t\text{.}\) Hacer estas sustituciones escribir\(T\) como una función de\(t\) y luego usar la Regla de Cadena del cálculo de una sola variable para encontrar\(\frac{dT}{dt}\text{.}\) (No haga ningún álgebra para simplificar la derivada, ya sea antes de tomar la derivada, ni después.)
    2. Ahora queremos entender cómo se puede obtener el resultado de la parte (a)\(T\) como una función multivariable. Recordemos de la sección anterior que pequeños cambios en\(x\) y\(y\) producen un cambio en\(T\) que se aproxima por
      \[ \Delta T \approx T_x\Delta x + T_y\Delta y. \nonumber \]

      La regla de la cadena nos habla sobre la tasa instantánea de cambio de\(T\text{,}\) y esto se puede encontrar como

      \[ \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta T}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{T_x \Delta x + T_y \Delta y}{\Delta t}.\label{eq_PA_10_5_1}\tag{10.5.1} \]

      Utilice la ecuación (10.5.1) para explicar por qué la tasa instantánea de cambio de\(T\) que resulta de un cambio en\(t\) es

      \[ \frac{dT}{dt} = \frac{\partial T}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial T}{\partial y} \frac{dy}{dt}.\label{eq_PA_10_5_2}\tag{10.5.2} \]
    3. Usando las fórmulas originales para\(T\text{,}\)\(x\text{,}\) y\(y\) en la declaración del problema, calcule todas las derivadas en la Ecuación (10.5.2) (con\(T_x\) y\(T_y\) en términos de\(x\) y y\(y\text{,}\)\(x'\) y\(y'\) en términos de\(t\)), y por lo tanto escriba el derecho- lado de la mano de la Ecuación (10.5.2) en términos de\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) y\(t\text{.}\)
    4. Comparar los resultados de las partes (a) y (c). Escribir un par de oraciones que identifiquen específicamente cómo cada término en (c) se relaciona con un término correspondiente en (a). Esta conexión entre las partes (a) y (c) proporciona una versión multivariable de la Regla de Cadena.

    10.5.1 La regla de la cadena

    Como sugiere la Actividad Preview 10.3.1, la siguiente versión de la Regla de Cadena sostiene en general.

    Regla de la Cadena

    Let\(z = f(x,y)\text{,}\) donde\(f\) es una función diferenciable de las variables independientes\(x\) y\(y\text{,}\) y let\(x\) y\(y\) cada uno ser funciones diferenciables de una variable independiente\(t\text{.}\) Entonces

    \[ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}.\label{E_10_5_chain_rule}\tag{10.5.3} \]

    Es importante señalar las diferencias entre los derivados en (10.5.3). Dado que\(z\) es una función de las dos variables\(x\) y\(y\text{,}\) las derivadas en la Regla de Cadena para\(z\) con respecto a\(x\) y\(y\) son derivadas parciales. Sin embargo, dado que\(x = x(t)\) y\(y = y(t)\) son funciones de la variable única,\(t\text{,}\) sus derivadas son las derivadas estándar de funciones de una variable. Cuando componemos\(z\) con\(x(t)\) y luego\(y(t)\text{,}\) tenemos\(z\) como una función de la variable única\(t\text{,}\) que hace la derivada de\(z\) con respecto a\(t\) una derivada estándar a partir de cálculo de variable única también.

    Para entender por qué esta Regla de Cadena funciona en general, supongamos que\(z\) depende de alguna cantidad\(x\) y\(y\) para que

    \[ dz = \frac{\partial z}{\partial x}~dx + \frac{\partial z}{\partial y}~dy.\label{E_10_5_1}\tag{10.5.4} \]

    A continuación, supongamos que\(x\) y\(y\) cada uno depende de otra cantidad\(t\text{,}\) para que

    \[ dx = \frac{dx}{dt}~dt \ \mbox{and} \ dy = \frac{dy}{dt}~dt.\label{E_10_5_2}\tag{10.5.5} \]

    Combinando las Ecuaciones (10.5.4) y (10.5.5), encontramos que

    \[ dz = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}~dt + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}~dt = \frac{dz}{dt}~dt, \nonumber \]

    que es la Regla de Cadena en este contexto particular, tal como se expresa en la Ecuación (10.5.3).

    Actividad 10.5.2

    En las siguientes preguntas, aplicamos la Regla de Cadena en varios contextos diferentes.

    1. Supongamos que tenemos una función\(z\) definida por\(z(x,y) = x^2+xy^3\text{.}\) Además, supongamos que\(x\) y\(y\) están restringidos a puntos que se mueven alrededor del plano siguiendo un círculo de radio\(2\) centrado en el origen que es parametrizado por
      \[ x(t) = 2\cos(t), \ \mbox{and } \ y(t) = 2\sin(t). \nonumber \]
      1. Utilice la regla de cadena para encontrar la tasa de cambio instantánea resultante\(\frac{dz}{dt}\text{.}\)
      2. Sustituir\(x\) y\(x(t)\)\(y(t)\) para\(y\) en la regla\(z\) para escribir\(z\) en términos de\(t\) y calcular\(\frac{dz}{dt}\) directamente. Comparar con el resultado de la parte (i.).
    2. Supongamos que la temperatura en una placa metálica viene dada por la función\(T\) con
      \[ T(x,y) = 100-(x^2 + 4y^2), \nonumber \]

      donde la temperatura se mide en grados Fahrenheit y\(x\) y cada uno\(y\) se mide en pies.

      1. Encuentra\(T_x\) y\(T_y\text{.}\) ¿Cuáles son las unidades en estas derivadas parciales?
      2. Supongamos que una hormiga camina por el\(x\) eje a razón de 2 pies por minuto hacia el origen. Cuando la hormiga está en el punto\((2,0)\text{,}\) cuál es la velocidad instantánea de cambio en la temperatura\(dT/dt\) que experimenta la hormiga. Incluya unidades en su respuesta.
      3. Supongamos en cambio que la hormiga camina a lo largo de una elipse con\(x = 6\cos(t)\) y\(y = 3\sin(t)\text{,}\) donde\(t\) se mide en minutos. Find\(\frac{dT}{dt}\) at\(t = \pi/6\text{,}\)\(t=\pi/4\text{,}\) y\(t = \pi/3\text{.}\) ¿Qué te parece decir esto sobre el camino por el que camina la hormiga?
    3. Supongamos que estás caminando por una superficie cuya elevación viene dada por una función\(f\text{.}\) Además, supongamos que si consideras como tu ubicación corresponde a puntos en el\(xy\) plano -sabes que cuando pasas el punto\((2,1)\text{,}\) tu vector de velocidad es\(\vv=\langle -1,2\rangle\text{.}\) Si algunos contornos de \(f\)son como se muestra en la Figura 10.5.2, estime la tasa de cambio\(df/dt\) al pasar\((2,1)\text{.}\)

    fig_10_3_activity_contour-2.svg

    Figura 10.5.2. Algunos contornos de\(f\text{.}\)

    10.5.2 Diagramas de árbol

    Hasta este punto, hemos aplicado la Regla de Cadena a situaciones en las que tenemos una función\(z\) de variables\(x\) y\(y\text{,}\) con ambas\(x\) y\(y\) dependiendo de otra sola cantidad\(t\text{.}\) Podemos aplicar la Regla de Cadena, sin embargo, cuando\(x\) y\(y\) cada una depende de más de una cantidad, o cuando\(z\) es una función de más de dos variables. Puede ser un reto hacer un seguimiento de todas las dependencias entre las variables, y así un diagrama de árbol puede ser una herramienta útil para organizar nuestro trabajo. Por ejemplo, supongamos que\(z\) depende de\(x\) y\(y\text{,}\) y\(x\) y\(y\) ambos dependen de\(t\text{.}\) Podemos representar estas relaciones usando el diagrama de árbol que se muestra a la izquierda Figura 10.5.3. Colocamos la variable dependiente en la parte superior del árbol y la conectamos a las variables de las que depende un nivel por debajo. Luego conectamos cada una de esas variables a la variable de la que depende cada una.

    fig_10_5_tree_3.svgfig_10_5_tree_1.svg

    Figura 10.5.3. Un diagrama de árbol que ilustra las dependencias.

    Para representar la Regla de Cadena, etiquetamos cada borde del diagrama con la derivada o derivada parcial apropiada, como se ve a la derecha en la Figura 10.5.3. Para calcular una derivada global de acuerdo con la Regla de Cadena, construimos el producto de las derivadas a lo largo de todos los caminos que conectan las variables y luego agregamos todos estos productos. Por ejemplo, el diagrama de la derecha en la Figura 10.5.3 ilustra la regla de cadena

    \[ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}. \nonumber \]
    Actividad 10.5.3
    1. La Figura 10.5.4 muestra el diagrama de árbol que construimos cuando (a)\(z\) depende de\(w\text{,}\)\(x\text{,}\) y\(y\text{,}\) (b)\(w\text{,}\)\(x\text{,}\) y\(y\) cada uno depende de\(u\)\(v\text{,}\) y y (c)\(u\) y\(v\) depende de\(t\text{.}\)
      fig_10_5_tree_2.svg

      Figura 10.5.4. Tres niveles de dependencias

      1. Etiquete los bordes con las derivadas apropiadas.
      2. Usa la regla de la cadena para escribir\(\frac{dz}{dt}\text{.}\)
    2. Supongamos que\(z=x^2 - 2xy^2\) y eso
      \ begin {align*} x& =r\ cos (\ theta)\\ [4pt] y& =r\ sin (\ theta). \ end {alinear*}
      1. Construir un diagrama de árbol que represente las dependencias de\(z\) on\(x\) y\(y\) y\(x\) y\(y\) on\(r\) y\(\theta\text{.}\)
      2. Usa el diagrama de árbol para encontrar\(\frac{\partial z}{\partial r}\text{.}\)
      3. Ahora supongamos que\(r = 3\) y\(\theta=\pi/6\text{.}\) Encuentra los valores de\(x\) y\(y\) que corresponden a estos valores dados de\(r\)\(\theta\text{,}\) y luego usa la Regla de Cadena para encontrar el valor de la derivada parcial\(\frac{\partial z}{\partial \theta}|_{(3,\frac{\pi}{6})}\text{.}\)

    10.5.3 Resumen

    • La Regla de Cadena es una herramienta para diferenciar un compuesto para funciones. En su forma más simple, dice que si\(f(x,y)\) es una función de dos variables y\(x(t)\) y\(y(t)\) dependen de\(t\text{,}\) entonces
      \[ \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}. \nonumber \]
    • Se puede utilizar un diagrama de árbol para representar la dependencia de las variables de otras variables. Siguiendo los enlaces en el diagrama de árbol, podemos formar cadenas de derivados parciales o derivados que se pueden combinar para dar una derivada parcial deseada.

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