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10.6: Derivadas direccionales y el gradiente

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    120229
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Preguntas Motivadoras
    • Las derivadas parciales de una función nos\(f\) indican la tasa de cambio de\(f\) en la dirección de los ejes de coordenadas. ¿Cómo podemos medir la tasa de cambio de\(f\) en otras direcciones?
    • ¿Cuál es el gradiente de una función y qué nos dice?

    Las derivadas parciales de una función nos indican la velocidad instantánea a la que cambia la función, ya que mantenemos todas las variables independientes menos una constante y permitimos que la variable independiente restante cambie. Es natural preguntarse cómo podemos medir la velocidad a la que una función cambia en direcciones distintas a las paralelas a los ejes de una coordenada. En lo que sigue, investigamos esta pregunta, y vemos cómo se conecta la tasa de cambio en cualquier dirección dada con las tasas de cambio dadas por las derivadas parciales estándar.

    Vista previa de Actividad 10.6.1

    Consideremos la función\(f\) definida por

    \[ f(x,y) = 30 - x^2 - \frac 12 y^2, \nonumber \]

    y supongamos que\(f\) mide la temperatura, en grados Celsius, en un punto dado del plano, donde\(x\) y\(y\) se miden en pies. Supongamos que el\(x\) eje positivo apunta hacia el este, mientras que el\(y\) eje positivo apunta hacia el norte. Una gráfica de contorno de\(f\) se muestra en la Figura 10.6.1

    fig_10_6_preview_1.svg

    Figura 10.6.1. Una gráfica de contorno de\(f(x,y) = 30-x^2-\frac12 y^2\text{.}\)
    1. Supongamos que una persona está caminando hacia el este, y así paralela al\(x\) eje -eje. ¿A qué velocidad instantánea está cambiando la temperatura con respecto al\(x\) momento en que el andador pasa el punto\((2,1)\text{?}\) ¿Cuáles son las unidades en esta tasa de cambio?
    2. A continuación, determinar la tasa instantánea de cambio de temperatura con respecto a la distancia en el punto\((2,1)\) si la persona en cambio está caminando hacia el norte. Nuevamente, incluye unidades en tu resultado.
    3. Ahora, en lugar de caminar hacia el este o hacia el norte, supongamos que la persona está caminando con la velocidad dada por el vector\(\mathbf{v} = \langle 3, 4 \rangle\text{,}\) donde el tiempo se mide en segundos. Tenga en cuenta que la velocidad de la persona es así\(| \mathbf{v} | = 5\) pies por segundo. Encuentra ecuaciones paramétricas para el camino de la persona; es decir, parametrizar la línea\((2,1)\) mediante el vector de dirección\(\mathbf{v} = \langle 3, 4 \rangle\text{.}\) Let\(x(t)\) denotar la\(x\) coordenada -de la línea, y\(y(t)\) su\(y\) -coordenada. Asegúrese de que su parametrización coloque el andador en el punto en\((2,1)\) que\(t=0\text{.}\)
    4. Con la parametrización en (c), ahora podemos ver la temperatura no solo\(f\) como una función de\(x\) y\(y\text{,}\) sino también del tiempo,\(t\text{.}\) De ahí, utilizar la regla de la cadena para determinar el valor de\(\frac{df}{dt}\bigm|_{t=0}\text{.}\) ¿Cuáles son las unidades en tu respuesta? ¿Cuál es el significado práctico de este resultado?

    10.6.1 Derivadas direccionales

    Dada una función,\(z = f(x,y)\text{,}\) la derivada parcial\(f_x(x_0,y_0)\) mide la tasa instantánea de cambio de\(f\) como solo cambia la\(x\) variable; asimismo,\(f_y(x_0,y_0)\) mide la tasa de cambio de\(f\) at\((x_0,y_0)\) como solo\(y\) cambia. Obsérvese particularmente que\(f_x(x_0,y_0)\) se mide en “unidades de\(f\) por unidad de cambio en\(x\text{,}\)” y que las unidades en\(f_y(x_0,y_0)\) son similares.

    En Vista previa Actividad 10.6.1, vimos cómo podíamos medir la tasa de cambio de\(f\) en una situación donde ambos\(x\) y\(y\) estaban cambiando; en esa actividad, sin embargo, encontramos que esta tasa de cambio se midió en “unidades de\(f\) por unidad de tiempo”. En una unidad de tiempo determinada, podemos movernos más de una unidad de distancia. De hecho, en la Actividad Previa 10.6.1, en cada unidad aumento de tiempo nos movemos una distancia de\(| \mathbf{v} | = 5\) pies. Para generalizar la noción de derivadas parciales a cualquier dirección de nuestra elección, en cambio queremos tener una tasa de cambio cuyas unidades sean “unidades\(f\) por unidad de distancia en la dirección dada”.

    En esta luz, para definir formalmente la derivada en una dirección particular de movimiento, queremos representar el cambio en\(f\) para un cambio unitario dado en la dirección del movimiento. Podemos representar esta unidad de cambio de dirección con un vector unitario, digamos\(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\text{.}\) Si nos movemos una distancia\(h\) en la dirección de\(\mathbf{u}\) desde un punto fijo entonces\((x_0,y_0)\text{,}\) llegamos al nuevo punto Ahora\((x_0+u_1h, y_0+u_2h)\text{.}\) se deduce que la pendiente de la línea secante a la curva en la superficie a través \((x_0,y_0)\)en la dirección de\(\mathbf{u}\) a través de los puntos\((x_0,y_0)\) y\((x_0+u_1h, y_0+u_2h)\) es

    \[ m_{\mbox{sec} } = \frac{f(x_0+u_1h, y_0+u_2h) - f(x_0,y_0)}{h}.\label{eq_10_6_diff_quot}\tag{10.6.1} \]

    Para obtener la tasa instantánea de cambio de\(f\) en la dirección\(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\text{,}\) debemos tomar el límite de la cantidad en la Ecuación (10.6.1) ya que\(h \to 0\text{.}\) Hacerlo da como resultado la definición formal de la derivada direccional.

    Definición 10.6.2

    Dejemos\(f = f(x,y)\) que se den. La derivada de\(f\) en el punto\((x,y)\) en la dirección del vector unitario\(\ mathbf {u} =\ langle u_1, u_2\ rangle\) se denota\(D_{\mathbf{u}}f(x,y)\) y viene dada por

    \[ D_{\mathbf{u}}f(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+u_1h, y+u_2h) - f(x,y)}{h}\label{E_DirDerDef}\tag{10.6.2} \]

    para aquellos valores de\(x\) y\(y\) para los que existe el límite.

    La cantidad\(D_{\mathbf{u}} f(x,y)\) se denomina derivada direccional. Cuando evaluamos la derivada direccional\(D_{\mathbf{u}} f(x,y)\) en un punto\((x_0, y_0)\text{,}\) el resultado nos\(D_{\mathbf{u}} f(x_0,y_0)\) dice la velocidad instantánea a la que\(f\) los cambios a\((x_0, y_0)\) por unidad aumentan en la dirección del vector\(\mathbf{u}\text{.}\) Además, la cantidad nos\(D_{\mathbf{u}} f(x_0,y_0)\) indica la pendiente de la línea tangente a la superficie en la dirección de\(\mathbf{u}\) en el punto\((x_0,y_0,f(x_0,y_0))\text{.}\)

    10.6.2 Computar la Derivada Direccional

    De manera similar a cómo desarrollamos reglas de atajo para las derivadas estándar en el cálculo de una sola variable, y para las derivadas parciales en el cálculo multivariable, también podemos encontrar una manera de evaluar las derivadas direccionales sin recurrir a la definición límite que se encuentra en la Ecuación (10.6.2). Lo hacemos usando un enfoque muy similar a nuestro trabajo en Preview Activity 10.6.1.

    Supongamos que consideramos la situación en la que nos interesa la tasa instantánea de cambio de\(f\) en un punto\((x_0,y_0)\) en la dirección\(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\text{,}\) donde\(\mathbf{u}\) se encuentra un vector unitario. Las variables\(x\) y por lo tanto\(y\) están cambiando según la parametrización

    \[ x = x_0 + u_1t \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ y = y_0 + u_2t. \nonumber \]

    Observe que\(\frac{dx}{dt} = u_1\) y\(\frac{dy}{dt} = u_2\) para todos los valores de\(t\text{.}\) Since\(\mathbf{u}\) es un vector unitario, se deduce que un punto que se mueve a lo largo de esta línea mueve una unidad de distancia por una unidad de tiempo; es decir, cada unidad de tiempo corresponde al movimiento de una sola unidad de distancia en esa dirección. Esta observación nos permite utilizar la Regla de Cadena para calcular la derivada direccional, que mide la tasa instantánea de cambio de\(f\) con respecto al cambio en la dirección\(\mathbf{u}\text{.}\)

    En particular, por la Regla de las Cadenas, se deduce que

    \ begin {align*} D_ {\ mathbf {u}} f (x_0, y_0) & = f_x (x_0, y_0)\ frac {dx} {dt}\ biggm|_ {(x_0, y_0)} + f_y (x_0, y_0)\ frac {dy} {dt}\ biggm|_ {(x_0, y_0)}\\ [4pt] & = f_x (x_0, y_0) u_1 + f_y (x_0, y_0) u_2. \ end {alinear*}

    Esto ahora nos permite calcular la derivada direccional en un punto arbitrario de acuerdo con la siguiente fórmula.

    Cálculo de una derivada direccional

    Dada una función diferenciable\(f = f(x,y)\) y un vector unitario,\(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\text{,}\) podemos calcular\(D_{\mathbf{u}}f(x,y)\) por

    \[ D_{\mathbf{u}}f(x,y) = f_x(x,y)u_1 + f_y(x,y)u_2.\label{eq_10_6_DD}\tag{10.6.3} \]

    Nota bien: Para usar la Ecuación (10.6.3), debemos tener un vector unitario\(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\) en la dirección del movimiento. En el caso de que tengamos una dirección prescrita por un vector no unitario, primero debemos escalar el vector para tener longitud 1.

    Actividad 10.6.2

    Let\(f(x,y) = 3xy-x^2y^3\text{.}\)

    1. Determinar\(f_x(x,y)\) y\(f_y(x,y)\text{.}\)
    2. Utilice la Ecuación (10.6.3) para determinar\(D_{\mathbf{i}} f(x,y)\) y\(D_{\mathbf{j}} f(x,y)\text{.}\) Qué función familiar es\(D_{\mathbf{i}} f\text{?}\) Qué función familiar es\(D_{\mathbf{j}} f\text{?}\) (Recordemos que\(\mathbf{i}\) es el vector unitario en la\(x\) dirección positiva y\(\mathbf{j}\) es el vector unitario en la\(y\) dirección positiva.)
    3. Utilice la Ecuación (10.6.3) para encontrar la derivada de\(f\) en la dirección del vector\(\mathbf{v} = \langle 2, 3 \rangle\) en el punto\((1,-1)\text{.}\) Recuerde que se necesita un vector de dirección unitaria.

    10.6.3 El Gradiente

    A través de la Regla de Cadena, hemos visto que para una función dada\(f = f(x,y)\text{,}\) su tasa instantánea de cambio en la dirección de un vector unitario\(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\) viene dada por

    \[ D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0) = f_x(x_0,y_0)u_1 + f_y(x_0,y_0)u_2.\label{E_DDrevisited}\tag{10.6.4} \]

    Recordando que el punto producto de dos vectores\(\mathbf{v} = \langle v_1, v_2 \rangle\) y\(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\) es calculado por

    \[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = v_1 u_1 + v_2 u_2, \nonumber \]

    vemos que podemos refundir la Ecuación (10.6.4) de una manera que tenga significado geométrico. En particular, vemos que\(D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0)\) es el producto punto del vector\(\left\langle f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0) \right\rangle\) y el vector\(\mathbf{u}\text{.}\)

    Llamamos a este vector formado por las derivadas parciales\(f\) del gradiente de\(f\) y lo denotamos

    \[ \nabla f(x_0,y_0) = \left\langle f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0) \right\rangle. \nonumber \]

    Leemos\(\nabla f\) como “el gradiente de\(f\text{,}\)” “grad\(f\)” o “del\(f\)”. 1 Aviso que\(\nabla f\) varía de punto a punto, y además proporciona una formulación alternativa de la derivada direccional.

    La derivada direccional y el gradiente

    Dada una función diferenciable\(f = f(x,y)\) y un vector unitario,\(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\text{,}\) podemos calcular\(D_{\mathbf{u}}f(x,y)\) por

    \[ D_{\mathbf{u}}f(x,y) = \nabla f(x,y) \cdot \mathbf{u}.\label{eq_10_6_DD_grad}\tag{10.6.5} \]

    En la siguiente actividad, investigamos algo de lo que nos dice el gradiente sobre el comportamiento de una función\(f\text{.}\)

    El símbolo\(\nabla\) se llama nabla, que proviene de una palabra griega para cierto tipo de arpa que tiene una forma similar.
    Actividad 10.6.3

    Consideremos la función\(f\) definida por\(f(x,y) = x^2 - y^2\text{.}\) Algunos contornos para esta función se muestran en la Figura 10.6.3.

    fig_10_6_contours_1.svg

    Figura 10.6.3. Contornos de\(f(x,y) = x^2 - y^2\text{.}\)
    1. Encuentra el gradiente\(\nabla f (x,y)\text{.}\)
    2. Para cada uno de los siguientes puntos\((x_0,y_0)\text{,}\) evaluar el gradiente\(\nabla f(x_0,y_0)\) y bosquejar el vector degradado con su cola en\((x_0,y_0)\text{.}\) Algunos de los vectores son demasiado largos para encajar en la gráfica, pero nos gustaría dibujarlos a escala; para hacerlo, escala cada vector por un factor de 1/4.
      • \(\displaystyle (x_0,y_0) = (2,0)\)
      • \(\displaystyle (x_0,y_0) = (0,2)\)
      • \(\displaystyle (x_0,y_0) = (2,2)\)
      • \(\displaystyle (x_0,y_0) = (2,1)\)
      • \(\displaystyle (x_0,y_0) = (-3,2)\)
      • \(\displaystyle (x_0,y_0) = (-2,-4)\)
      • \(\displaystyle (x_0,y_0) = (0,0)\)
    3. ¿Qué nota sobre la relación entre el gradiente at\((x_0,y_0)\) y el contorno que pasa por ese punto?
    4. \(f\)Aumenta o disminuye en la dirección de\(\nabla f(x_0,y_0)\text{?}\) Proporcionar una justificación para su respuesta.

    Como vector,\(\nabla f(x_0,y_0)\) define una dirección y una longitud. Como veremos pronto, ambos transmiten información importante sobre el comportamiento de\(f\) cerca\((x_0,y_0)\text{.}\)

    10.6.4 La Dirección del Gradiente

    Recuerde que el producto punto también transmite información sobre el ángulo entre los dos vectores. Si\(\theta\) es el ángulo entre\(\nabla f(x_0,y_0)\) y\(\mathbf{u}\) (donde\(\mathbf{u}\) es un vector unitario), entonces también tenemos eso

    \[ D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0) = \nabla f(x_0,y_0)\cdot\mathbf{u} = |\nabla f(x_0,y_0)||\mathbf{u}| \cos(\theta). \nonumber \]

    En particular, cuando\(\theta\) es un ángulo recto, como se muestra a la izquierda de la Figura 10.6.4, entonces\(D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0) = 0\text{,}\) porque\(\cos(\theta) = 0\text{.}\) Dado que el valor de la derivada direccional es 0, esto significa que\(f\) es invariable en esta dirección, y por lo tanto\(\mathbf{u}\) debe ser tangente al contorno de\(f\) esa pasa a través\((x_0,y_0)\text{.}\) En otras palabras,\(\nabla f(x_0,y_0)\) es ortogonal al contorno a través\((x_0,y_0)\text{.}\) Esto demuestra que el vector de gradiente en un punto dado siempre es perpendicular al contorno que pasa por el punto, confirmando que lo que vimos en la parte (c) de la Actividad 10.6.3 se mantiene en general.

    fig_10_6_gradient_angle_1.svgfig_10_6_gradient_angle_2.svgfig_10_6_gradient_angle_3.svg

    Figura 10.6.4. El signo de\(D_{\mathbf{u}} f(x_0,y_0)\) está determinado por\(\theta\text{.}\)

    Además, cuando\(\theta\) es un ángulo agudo, se deduce que\(\cos(\theta) > 0\) así desde

    \[ D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0) = |\nabla f(x_0,y_0)||\mathbf{u}| \cos(\theta), \nonumber \]

    y por lo tanto\(D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0) > 0\text{,}\) como se muestra en la imagen del medio en la Figura 10.6.4. Esto significa que\(f\) está aumentando en cualquier dirección donde\(\theta\) sea aguda. De manera similar, cuando\(\theta\) es un ángulo obtuso, entonces\(\cos(\theta) \lt 0\) así\(D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0) \lt 0\text{,}\) como se ve a la derecha en la Figura 10.6.4. Esto quiere decir que\(f\) está disminuyendo en cualquier dirección para la cual\(\theta\) sea obtusa.

    Finalmente, como podemos ver en la siguiente actividad, también podemos usar el gradiente para determinar las direcciones en las que la función está aumentando y disminuyendo más rápidamente.

    Actividad 10.6.4

    En esta actividad investigamos cómo se relaciona el gradiente con las direcciones de mayor incremento y disminución de una función. Dejar\(f\) ser una función diferenciable y\(\mathbf{u}\) un vector unitario.

    1. Let\(\theta\) be the angle between\(\nabla f(x_0,y_0)\) and\(\mathbf{u}\text{.}\) Use la relación entre el producto de punto y el ángulo entre dos vectores para explicar por qué
      \[ D_{\mathbf{u}} f(x_0,y_0) = |\langle f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0) \rangle | \cos(\theta).\label{eq_10_6_DD_grad2}\tag{10.6.6} \]
    2. En el punto\((x_0,y_0)\text{,}\) la única cantidad en la Ecuación (10.6.6) que puede cambiar es\(\theta\) (que determina la dirección\(\mathbf{u}\) de desplazamiento). Explicar por qué\(\theta = 0\) hace la cantidad
      \[ |\langle f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0) \rangle| \cos(\theta) \nonumber \]

      lo más grande posible.

    3. ¿Cuándo\(\theta = 0\text{,}\) en qué dirección apunta el vector\(\mathbf{u}\) unitario relativo a\(\nabla f(x_0,y_0)\text{?}\) ¿Por qué? Qué nos dice esto sobre la dirección de mayor incremento de\(f\) en el punto\((x_0,y_0)\text{?}\)
    4. En qué dirección, relativo a\(\nabla f(x_0,y_0)\text{,}\) hace\(f\) disminuir más rápidamente en el punto\((x_0,y_0)\text{?}\)
    5. Anotar los vectores unitarios\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) (en términos de\(\nabla f(x_0,y_0)\)) que proporcionan las direcciones de mayor incremento y disminución para la función\(f\) en el punto\((x_0,y_0)\text{.}\) ¿Qué suposición importante debemos hacer respecto\(\nabla f(x_0,y_0)\) para que estos vectores existan?

    10.6.5 La Longitud del Gradiente

    Habiendo establecido en la Actividad 10.6.4 que la dirección en la que una función aumenta más rápidamente en un punto\((x_0,y_0)\) es el vector unitario\(\mathbf{u}\) en la dirección del gradiente, (es decir,\(\mathbf{u} = \frac{1}{|\nabla f(x_0,y_0)|} \nabla f(x_0,y_0)\text{,}\) siempre que\(\nabla f(x_0,y_0) \ne \mathbf{0}\)), también es natural preguntar, “en la dirección de mayor incremento para \(f\)\((x_0,y_0)\text{,}\)¿a cuál es el valor de la tasa de incremento?” Ante esta situación, estamos pidiendo el valor de\(D_{\mathbf{u}} f(x_0,y_0)\) dónde\(\mathbf{u} = \frac{1}{|\nabla f(x_0,y_0)|} \nabla f(x_0,y_0)\text{.}\)

    Usando la forma ahora familiar de calcular la derivada direccional, vemos que

    \[ D_{\mathbf{u}} f(x_0,y_0) = \nabla f(x_0,y_0) \cdot \left(\frac{1}{|\nabla f(x_0,y_0)|} \nabla f(x_0,y_0) \right). \nonumber \]

    A continuación, recordamos dos hechos importantes sobre el producto punto: (i)\(\mathbf{w}\cdot (c \mathbf{v}) = c (\mathbf{w} \cdot \mathbf{v})\) para cualquier escalar\(c\text{,}\) y (ii)\(\mathbf{w} \cdot \mathbf{w} = |\mathbf{w}|^2\text{.}\) Aplicando estas propiedades a la ecuación más reciente que involucra a la derivada direccional, encontramos que

    \[ D_{\mathbf{u}} f(x_0,y_0) = \frac{1}{|\nabla f(x_0,y_0)|} (\nabla f(x_0,y_0) \cdot \nabla f(x_0,y_0)) = \frac{1}{|\nabla f(x_0,y_0)|} |\nabla f(x_0,y_0)|^2. \nonumber \]

    Finalmente, dado que\(\nabla f(x_0,y_0)\) es un vector distinto de cero, su longitud\(|\nabla f(x_0,y_0)|\) es un escalar distinto de cero, y así podemos simplificar la ecuación anterior para establecer que

    \[ D_{\mathbf{u}} f(x_0,y_0) = |\nabla f(x_0,y_0)|. \nonumber \]

    Resumimos nuestro trabajo más reciente al exponer dos hechos importantes sobre el gradiente.

    Datos importantes sobre el gradiente

    Dejar\(f\) ser una función diferenciable y\((x_0,y_0)\) un punto para el cual\(\nabla f(x_0,y_0) \ne \mathbf{0}\text{.}\) Entonces\(\nabla f(x_0,y_0)\) apunta en la dirección de mayor incremento de\(f\) at\((x_0,y_0)\text{,}\) y la velocidad instantánea de cambio de\(f\) en esa dirección es la longitud del vector de gradiente. Es decir, si\(\mathbf{u} = \frac{1}{|\nabla f(x_0,y_0)|} \nabla f(x_0,y_0)\text{,}\) entonces\(\mathbf{u}\) es un vector unitario en la dirección del mayor aumento de\(f\) at\((x_0,y_0)\text{,}\) y\(D_{\mathbf{u}} f(x_0,y_0) = |\nabla f(x_0,y_0)|\text{.}\)

    Actividad 10.6.5

    Considere la función\(f\) definida por\(f(x,y) = -x + 2xy - y\text{.}\)

    a. Encuentre el degradado\(\nabla f(1,2)\) y bosquéelo en la Figura 10.6.5.

    fig_10_6_activity_empty.svg

    Figura 10.6.5. Una gráfica para el gradiente\(\nabla f(1,2)\text{.}\)

    b. bosquejar el vector unitario\(\mathbf{z} = \left\langle-\frac1{\sqrt{2}}, -\frac1{\sqrt{2}}\right\rangle\) en la Figura 10.6.5 con su cola en\((1,2)\text{.}\) Ahora encuentra la derivada direccional\(D_{\mathbf{z}}f(1,2)\text{.}\)

    c. ¿Cuál es la pendiente de la gráfica\(f\) en la dirección\(\mathbf{z}\text{?}\) ¿Qué te dice el signo de la derivada direccional?

    d. Considera el vector\(\mathbf{v} = \langle 2,-1\rangle\) y el boceto\(\mathbf{v}\) en la Figura 10.6.5 con su cola en\((1,2)\text{.}\) Encuentra un vector unitario\(\mathbf{w}\) apuntando en la misma dirección de\(\mathbf{v}\text{.}\) Sin computar\(D_{\mathbf{w}}f(1,2)\text{,}\) ¿qué sabes del signo de esta derivada direccional? Ahora verifica tu observación por computación\(D_{\mathbf{w}}f(1,2)\text{.}\)

    e. ¿En qué dirección (es decir, para qué vector unitario\(\mathbf{u}\)) es\(D_{\mathbf{u}}f(1,2)\) el mayor? ¿Cuál es la pendiente de la gráfica en esta dirección?

    f. Correspondiente, ¿en qué dirección es\(D_{\mathbf{u}}f(1,2)\) menor? ¿Cuál es la pendiente de la gráfica en esta dirección?

    g. Esbozar dos vectores unitarios\(\mathbf{u}\) para los cuales\(D_{\mathbf{u}}f(1,2) = 0\) y luego encontrar representaciones de componentes de estos vectores.

    h. Supongamos que estás parado en el punto ¿\((3,3)\text{.}\)En qué dirección debes moverte para\(f\) hacer que aumente lo más rápido posible? ¿A qué ritmo\(f\) aumenta en esta dirección?

    10.6.6 Aplicaciones

    El gradiente encuentra muchas aplicaciones naturales. Por ejemplo, a menudo surgen situaciones —por ejemplo, construir una carretera a través de las montañas o planificar el flujo de agua a través de un paisaje— en las que nos interesa conocer la dirección en la que una función está aumentando o disminuyendo más rápidamente.

    Por ejemplo, considere una versión bidimensional de cómo podría funcionar un misil que busca calor. (Esta solicitud es prestada del Departamento de Ciencias Matemáticas de la Academia de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos.) Supongamos que la temperatura que rodea a un avión de combate puede ser modelada por la función\(T\) definida por

    \[ T(x,y) = \frac{100}{1+(x-5)^2 + 4(y-2.5)^2}, \nonumber \]

    donde\((x,y)\) es un punto en el avión del avión de combate y\(T(x,y)\) se mide en grados Celsius. Algunos contornos y gradientes se\(\nabla T\) muestran a la izquierda en la Figura 10.6.6.

    fig_10_6_missile_grad.svgfig_10_6_missile_path.svg

    Figura 10.6.6. Contornos y gradiente para\(T(x,y)\) y la trayectoria del misil.

    Un misil de búsqueda de calor siempre viajará en la dirección en la que la temperatura aumente más rápidamente; es decir, siempre viajará en la dirección del gradiente\(\nabla T\text{.}\) Si un misil es disparado desde el punto\((2,4)\text{,}\) entonces su trayectoria será la que se muestra a la derecha en la Figura 10.6.6.

    En la actividad final de esta sección, consideramos varias preguntas relacionadas con este contexto de un misil de búsqueda de calor, y presagiamos algunos trabajos próximos en la Sección 10.7.

    Actividad 10.6.6
    1. La temperatura\(T(x,y)\) tiene su valor máximo en la ubicación del avión de combate. Indica la ubicación del avión de combate y explica cómo te dice esto la Figura 10.6.6.
    2. \(\nabla T\)Determina en la ubicación del avión de combate y da una justificación para tu respuesta.
    3. Supongamos que una función diferente\(f\) tiene un valor máximo local en\((x_0,y_0)\text{.}\) Sketch el comportamiento de algunos contornos posibles cerca de este punto. Qué es\(\nabla f(x_0,y_0)\text{?}\) (Pista: ¿Cuál es la dirección del mayor incremento\(f\) en el máximo local?)
    4. Supongamos que una función\(g\) tiene un valor mínimo local en\((x_0,y_0)\text{.}\) Sketch el comportamiento de algunos contornos posibles cerca de este punto. ¿Qué es\(\nabla g(x_0,y_0)\text{?}\)
    5. Si una función\(g\) tiene un mínimo local en\((x_0,y_0)\text{,}\) cuál es la dirección de mayor incremento de\(g\) al\((x_0,y_0)\text{?}\)

    10.6.7 Resumen

    • La derivada direccional de\(f\) en el punto\((x,y)\) en la dirección del vector unitario\(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle\) es
      \[ D_{\mathbf{u}}f(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+u_1h, y+u_2h) - f(x,y)}{h} \nonumber \]

      para aquellos valores de\(x\) y\(y\) para los que existe el límite. Además,\(D_{\mathbf{u}}f(x,y)\) mide la pendiente de la gráfica de\(f\) cuando nos movemos en la dirección\(\mathbf{u}\text{.}\) Alternativamente,\(D_{\mathbf{u}} f(x_0,y_0)\) mide la tasa instantánea de cambio de\(f\) en la dirección\(\mathbf{u}\) a\((x_0,y_0)\text{.}\)

    • El gradiente de una función\(f=f(x,y)\) en un punto\((x_0,y_0)\) es el vector
      \[ \nabla f(x_0,y_0) = \left\langle f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0)\right\rangle. \nonumber \]
    • La derivada direccional en la dirección\(\mathbf{u}\) puede calcularse mediante
      \[ D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0) = \nabla f(x_0,y_0)\cdot \mathbf{u}. \nonumber \]
    • En cualquier punto donde el gradiente sea distinto de cero, el gradiente es ortogonal al contorno a través de ese punto y apunta en la dirección en la que\(f\) aumenta más rápidamente; además, la pendiente de\(f\) en esta dirección es igual a la longitud del gradiente\(|\nabla f(x_0,y_0)|\text{.}\) De manera similar, lo opuesto al gradiente apunta en la dirección de mayor disminución, y esa tasa de disminución es la opuesta a la longitud del gradiente.

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