10.8: Optimización Constreñida - Multiplicadores Lagrange

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Preguntas Motivadoras

¿Qué condición geométrica nos permite optimizar una función$f=f(x,y)$ sujeta a una restricción dada por$g(x,y) = k\text{,}$ donde$k$ es una constante?
¿Cómo podemos explotar esta condición geométrica para encontrar los valores extremos de una función sujeta a una restricción?

Anteriormente se consideró cómo encontrar los valores extremos de las funciones tanto en dominios no restringidos como en dominios cerrados y delimitados. Otros tipos de problemas de optimización implican maximizar o minimizar una cantidad sujeta a una restricción externa. En estos casos los valores extremos frecuentemente no ocurrirán en los puntos donde el gradiente es cero, sino en otros puntos que satisfacen una condición geométrica importante. Estos problemas suelen denominarse problemas de optimización restringida y pueden resolverse con el método de Multiplicadores Lagrange, que estudiamos en esta sección.

Vista previa de Actividad 10.8.1

De acuerdo con las regulaciones postales de Estados Unidos, la circunferencia más la longitud de un paquete enviado por correo no puede exceder las 108 pulgadas, donde por “circunferencia” nos referimos al perímetro del extremo más pequeño. Nuestro objetivo es encontrar el mayor volumen posible de una parcela rectangular con un extremo cuadrado que pueda ser enviada por correo. (Resolvimos este problema de optimización aplicada en Cálculo Activo de una sola variable, por lo que puede parecer familiar. Tomamos un enfoque diferente en esta sección, y este enfoque nos permite ver la mayoría de los problemas de optimización aplicados a partir del cálculo de una sola variable como problemas de optimización restringida, así como proporcionarnos herramientas para resolver una mayor variedad de problemas de optimización.) Si dejamos que$x$ sea la longitud del lado de un extremo cuadrado del paquete y$y$ la longitud del paquete, entonces queremos maximizar el volumen$f(x,y) = x^2y$ de la caja sujeto a la restricción de que la circunferencia ($4x$) más la longitud ($y$) es lo más grande posible, o$4x+y = 108\text{.}$ La $4x + y = 108$es así una restricción externa sobre las variables.

La ecuación de restricción implica la función$g$ que viene dada por
\[ g(x,y) = 4x+y. \nonumber \]

Explicar por qué la restricción es un contorno de$g\text{,}$ y por lo tanto es una curva bidimensional.

$fig_10_8_postal.svg$

Figura 10.8.1. Contornos de$f$ y la ecuación de restricción$g(x,y) = 108\text{.}$
La Figura 10.8.1 muestra la gráfica de la ecuación de restricción$g(x,y) = 108$ junto con algunos contornos de la función de volumen$f\text{.}$ Dado que nuestro objetivo es encontrar el valor máximo de$f$ sujeto a la restricción$g(x,y) = 108\text{,}$ queremos encontrar el punto en nuestra curva de restricción que intersecta los contornos de $f$en la que$f$ tiene su mayor valor.
1. Los puntos$A$ y$B$ en la Figura 10.8.1 se encuentran en un contorno de$f$ y sobre la ecuación de restricción$g(x,y) = 108\text{.}$ Explique por qué$A$ ni ni$B$ proporciona un valor máximo de$f$ que satisfaga la restricción.
2. Los puntos$C$ y$D$ en la Figura 10.8.1 se encuentran en un contorno de$f$ y sobre la ecuación de restricción$g(x,y) = 108\text{.}$ Explique por qué$C$ ni ni$D$ proporciona un valor máximo de$f$ que satisfaga la restricción.
3. Con base en tus respuestas a las partes i. y ii., dibuja el contorno$f$ en el que crees que$f$ logrará un valor máximo sujeto a la restricción$g(x,y) = 108\text{.}$ Explica por qué dibujaste el contorno que hiciste.
Recordemos que$g(x,y) = 108$ es un contorno de la función$g\text{,}$ y que el gradiente de una función siempre es ortogonal a sus contornos. Con esto en mente, ¿cómo debe$\nabla f$ y$\nabla g$ estar relacionado en el punto óptimo? Explique.

10.8.1 Optimización restringida y multiplicadores de Lagrange

En Preview Activity 10.8.1, consideramos un problema de optimización donde hay una restricción externa en las variables, es decir, que la circunferencia más la longitud del paquete no puede superar las 108 pulgadas. Vimos que podemos crear una función$g$ a partir de la restricción, específicamente$g(x,y) = 4x+y\text{.}$ La ecuación de restricción es entonces solo un contorno de$g\text{,}$$g(x, y) = c\text{,}$ donde$c$ es una constante (en nuestro caso 108). La Figura 10.8.2 ilustra que la función de volumen$f$ se maximiza, sujeta a la restricción$g(x, y) = c\text{,}$ cuando la gráfica de$g(x, y) = c$ es tangente a un contorno de$f\text{.}$ Además, el valor de$f$ en este contorno es el valor máximo buscado.

Figura 10.8.2. Contornos$f$ y contorno de restricción.

Para encontrar este punto donde la gráfica de la restricción es tangente a un contorno de$f\text{,}$ recuerdo que$\nabla f$ es perpendicular a los contornos de$f$ y$\nabla g$ es perpendicular al contorno de$g\text{.}$ En tal punto, los vectores$\nabla g$ y$\nabla f$ son paralelos, y así necesitamos para determinar los puntos donde esto ocurre. Recordemos que dos vectores son paralelos si uno es un múltiplo escalar distinto de cero del otro, por lo que buscamos valores de un parámetro$\lambda$ que hagan

\[ \nabla f = \lambda \nabla g.\label{eq_10_8_Lagrange_ex1}\tag{10.8.1} \]

La constante$\lambda$ se llama multiplicador de Lagrange.

Para encontrar los valores de$\lambda$ esa satisfacción (10.8.1) para la función de volumen en Vista previa de la Actividad 10.8.1, calculamos ambos$\nabla f$ y$\nabla g\text{.}$ Observamos que

\[ \nabla f = 2xy \mathbf{i} + x^2 \mathbf{j} \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \nabla g = 4\mathbf{i} + \mathbf{j}, \nonumber \]

y así necesitamos un valor de$\lambda$ para que

\[ 2xy \mathbf{i} + x^2 \mathbf{j} = \lambda(4\mathbf{i} + \mathbf{j}). \nonumber \]

Equiparando componentes en la ecuación más reciente e incorporando la restricción original, tenemos tres ecuaciones

\ begin {align} 2xy & =\ lambda (4)\ label {eq_10_8_lag_ex1}\ tag {10.8.2}\\ [4pt] x^2 & =\ lambda (1)\ etiqueta {eq_10_8_lag_ex2}\ tag {10.8.3}\\ [4pt] 4x+y & = 108\ etiqueta {eq_10_8_lag_ex3}\ tag {10.8.4}\ end {align}

en las tres incógnitas$x\text{,}$$y\text{,}$ y$\lambda\text{.}$ Primero, señalar que si$\lambda = 0\text{,}$ entonces la ecuación (10.8.3) muestra que A$x=0\text{.}$ partir de esto, la Ecuación (10.8.4) nos dice que$y = 108\text{.}$ Entonces el punto$(0,108)$ es un punto que debemos considerar. A continuación, siempre que$\lambda \neq 0$ (de lo cual se deduce que$x \neq 0$ por la Ecuación (10.8.3)), podemos dividir ambos lados de la Ecuación (10.8.2) por los lados correspondientes de (10.8.3) para eliminar$\lambda\text{,}$ y así encontrar que

\ begin {alinear*}\ frac {2y} {x} & = 4,\\ mbox {so}\\ [4pt] y & = 2x. \ end {alinear*}

Sustituir en la ecuación (10.8.4) nos da

\[ 4x+2x = 108 \nonumber \]

\[ x = 18. \nonumber \]

Así tenemos$y = 2x = 36$ y$\lambda = x^2 = 324$ como otro punto a considerar. Entonces los puntos en los que los gradientes de$f$ y$g$ son paralelos, y así en los que$f$ pueden tener un máximo o mínimo sujeto a la restricción, son$(0,108)$ y$(18,36)\text{.}$$f$ Al evaluar la función en estos puntos, vemos que maximizamos el volumen cuando la longitud de la el extremo cuadrado de la caja es de 18 pulgadas y la longitud es de 36 pulgadas, para un volumen máximo de pulgadas$f(18,36) = 11664$ cúbicas. Ya$f(0,108) = 0\text{,}$ que obtenemos un valor mínimo en este punto.

Resumimos el proceso de los multiplicadores Lagrange de la siguiente manera.

El método de los multiplicadores Lagrange

La técnica general para optimizar una función$f = f(x,y)$ sujeta a una restricción$g(x,y)=c$ es resolver el sistema$\nabla f = \lambda \nabla g$ y$g(x,y)=c$ para$x\text{,}$$y\text{,}$ y luego$\lambda\text{.}$ evaluamos la función$f$ en cada punto$(x,y)$ que resulta de una solución al sistema con el fin de encontrar los valores óptimos de$f$ sujeto a la restricción.

Actividad 10.8.2

Una lata de soda cilíndrica contiene aproximadamente 355 cc de líquido. En esta actividad, queremos encontrar las dimensiones de tal lata que minimicen la superficie. En aras de la simplicidad, supongamos que la lata es un cilindro perfecto.

¿Cuáles son las variables en este problema? Con base en el contexto, ¿qué restricción (es), en su caso, existen sobre estas variables?
¿Qué cantidad queremos optimizar en este problema? ¿Qué ecuación describe la restricción? (Es necesario decidir cuál de estas funciones juega el papel$f$ y cuál juega el papel de$g$ en nuestra discusión sobre los multiplicadores Lagrange.)
Encuentra$\lambda$ y los valores de tus variables que satisfacen la Ecuación (10.8.1) en el contexto de este problema.
Determinar las dimensiones de la lata pop que dan la solución deseada a este problema de optimización restringida.

El método de los multiplicadores Lagrange también funciona para funciones de más de dos variables.

Actividad 10.8.3

Utiliza el método de los multiplicadores Lagrange para encontrar las dimensiones de la caja de empaque menos costosa con un volumen de 240 pies cúbicos cuando el material para la parte superior cuesta $2 por pie cuadrado, el fondo es de $3 por pie cuadrado y los lados son $1.50 por pie cuadrado.

El método de los multiplicadores Lagrange también funciona para funciones de tres variables. Es decir, si tenemos una función$f = f(x,y,z)$ que queremos optimizar sujeto a una restricción$g(x,y,z) = k\text{,}$ el punto óptimo$(x,y,z)$ se encuentra en la superficie nivelada$S$ definida por la restricción$g(x,y,z) = k\text{.}$ Como hicimos en Preview Activity 10.8.1, podemos argumentar que el valor óptimo ocurre en la superficie nivelada $f(x,y,z) = c$eso es tangente a$S\text{.}$ Así, los gradientes de$f$ y$g$ son paralelos en este punto óptimo. Entonces, al igual que en el caso de dos variables, podemos optimizar$f = f(x,y,z)$ sujeto a la restricción$g(x,y,z) = k$ encontrando todos los puntos$(x,y,z)$ que satisfagan$\nabla f = \lambda \nabla g$ y$g(x,y,z) = k\text{.}$

10.8.2 Resumen

Los extremos de una función$f=f(x,y)$ sujeta a una restricción$g(x,y) = c$ ocurren en puntos para los cuales el contorno de$f$ es tangente a la curva que representa la ecuación de restricción. Esto ocurre cuando
\[ \nabla f = \lambda \nabla g. \nonumber \]
Utilizamos la condición$\nabla f = \lambda \nabla g$ para generar un sistema de ecuaciones, junto con la restricción$g(x,y) = c\text{,}$ que pueda resolverse para$x\text{,}$$y\text{,}$ y$\lambda\text{.}$ Una vez que tenemos todas las soluciones, evaluamos$f$ en cada uno de los$(x,y)$ puntos para determinar los extremos.