11.1: Suma doble de Riemann y dobles integrales sobre rectángulos

Preguntas Motivadoras

• ¿Qué es una suma doble de Riemann?
• ¿Cómo se\(f = f(x,y)\) define la doble integral de una función continua?
• ¿Cuáles son dos cosas que nos puede decir la doble integral de una función?

En el cálculo de una sola variable, recordemos que aproximamos el área bajo la gráfica de una función positiva\(f\) en un intervalo\([a,b]\) sumando áreas de rectángulos cuyas alturas están determinadas por la curva. El proceso general consistió en subdividir el intervalo\([a,b]\) en subintervalos más pequeños, construir rectángulos en cada uno de estos intervalos más pequeños para aproximar la región bajo la curva en ese subintervalo, luego sumar las áreas de estos rectángulos para aproximarse al área bajo la curva. Ampliaremos este proceso en esta sección a sus análogos tridimensionales, sumas dobles de Riemann y dobles integrales sobre rectángulos.

Vista previa de Actividad 11.1.1

En esta actividad introducimos el concepto de una suma doble de Riemann.

1. Revisar el concepto de la suma de Riemann a partir del cálculo de una sola variable. Luego, explique cómo definimos la integral definida\(\int_a^b f(x) \ dx\) de una función continua de una sola variable\(x\) en un intervalo\([a,b]\text{.}\) Incluya un boceto de una función continua en un intervalo\([a,b]\) con el etiquetado apropiado para ilustrar su definición.
2. En nuestro próximo estudio del cálculo integral para funciones multivariables, primero extenderemos la idea de la integral definida de variable única a funciones de dos variables sobre dominios rectangulares. Para ello, necesitaremos entender cómo dividir un rectángulo en subrectángulos. Let\(R\) be rectangular domain\(R = \{(x,y) : 0 \leq x \leq 6, 2 \leq y \leq 4\}\) (también podemos representar este dominio con la notación\([0,6] \times [2,4]\)), como se muestra en la Figura 11.1.1.

   

   

   Figura 11.1.1. Dominio rectangular\(R\) con subrectángulos.

   Para formar una partición de la región rectangular completa,\(R\text{,}\) particionaremos ambos intervalos\([0,6]\) y\([2,4]\text{;}\) en particular, elegimos dividir el intervalo\([0,6]\) en tres subintervalos de tamaño uniforme y el intervalo\([2,4]\) en dos subintervalos de tamaño uniforme como se muestra en la Figura 11.1.1. En las siguientes preguntas, discutimos cómo identificar los puntos finales de cada subintervalo y los subrectángulos resultantes.
   1. Dejar\(0=x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt x_3=6\) ser los puntos finales de los subintervalos de\([0,6]\) después de particionar. ¿Cuál es la duración\(\Delta x\) de cada subintervalo\([x_{i-1},x_i]\) para\(i\) de 1 a 3?
   2. Identifique explícitamente\(x_0\text{,}\)\(x_1\text{,}\)\(x_2\text{,}\) y\(x_3\text{.}\) en la Figura 11.1.1 o su propia versión del diagrama, etiquete estos puntos finales.
   3. Dejar\(2=y_0 \lt y_1 \lt y_2=4\) ser los puntos finales de los subintervalos de\([2,4]\) después de particionar. ¿Cuál es la duración\(\Delta y\) de cada subintervalo\([y_{j-1},y_j]\) para\(j\) de 1 a 2? Identificar\(y_0\text{,}\)\(y_1\text{,}\)\(y_2\) y etiquetar estos puntos finales en la Figura 11.1.1.
   4. Dejar\(R_{ij}\) denotar el subrectángulo Etiqueta\([x_{i-1},x_i] \times [y_{j-1},y_j]\text{.}\) apropiadamente cada subrectángulo en su dibujo de la Figura 11.1.1. ¿Cómo depende el número total de subrectángulos de las particiones de los intervalos\([0,6]\) y\([2,4]\text{?}\)
   5. ¿Cuál es el área\(\Delta A\) de cada subrectángulo?

11.1.1 Sumas dobles de Riemann sobre rectángulos

Para la integral definida en el cálculo de una sola variable, consideramos una función continua sobre un intervalo cerrado y delimitado\([a,b]\text{.}\) En el cálculo multivariable, eventualmente desarrollaremos la idea de una integral definida sobre una región cerrada y delimitada (como el interior de un círculo). Comenzamos con una situación más simple pensando únicamente en dominios rectangulares, y abordaremos dominios más complicados en la Sección 11.3.

Dejar\(f = f(x,y)\) ser una función continua definida sobre un dominio rectangular\(R = \{(x,y) : a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\}\text{.}\) Como vimos en Preview Activity 11.1.1, el dominio es un rectángulo\(R\) y queremos particionar\(R\) en subrectángulos. Esto lo hacemos particionando cada uno de los intervalos\([a,b]\) y\([c,d]\) en subintervalos y usando esos subintervalos para crear una partición de\(R\) en subrectángulos. En la primera actividad, abordamos las cantidades y notaciones que usaremos para definir sumas dobles de Riemann y dobles integrales.

Actividad 11.1.2

\(f(x,y) = 100 - x^2-y^2\)Sea definido en el dominio rectangular\(R = [a,b] \times [c,d]\text{.}\) Particionar el intervalo\([a,b]\) en cuatro subintervalos de tamaño uniforme y el intervalo\([c,d]\) en tres subintervalos de tamaño uniforme como se muestra en la Figura 11.1.2. Como hicimos en Preview Activity 11.1.1, necesitaremos un método para identificar los puntos finales de cada subintervalo y los subrectángulos resultantes.

Figura 11.1.2. Dominio rectangular con subrectángulos.

1. Dejar\(a=x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt x_3 \lt x_4 =b\) ser los puntos finales de los subintervalos de\([a,b]\) después de particionar. Etiquete estos puntos finales en la Figura 11.1.2.
2. Cuál es la duración\(\Delta x\) de cada subintervalo\([x_{i-1},x_i]\text{?}\) Tu respuesta debe ser en términos de\(a\) y\(b\text{.}\)
3. Dejar\(c=y_0 \lt y_1 \lt y_2 \lt y_3 =d\) ser los puntos finales de los subintervalos de\([c,d]\) después de particionar. Etiquete estos puntos finales en la Figura 11.1.2.
4. Cuál es la duración\(\Delta y\) de cada subintervalo\([y_{j-1},y_j]\text{?}\) Tu respuesta debe ser en términos de\(c\) y\(d\text{.}\)
5. Las particiones de los intervalos\([a,b]\) y la\([c,d]\) partición del rectángulo\(R\) en subrectángulos. ¿Cuántos subrectángulos hay?
6. Dejar\(R_{ij}\) denotar el subrectángulo\([x_{i-1},x_i] \times [y_{j-1},y_j]\text{.}\) Etiqueta cada subrectángulo en la Figura 11.1.2.
7. ¿Cuál es el área\(\Delta A\) de cada subrectángulo?
8. Ahora\([c,d] = [2,6]\text{.}\) vamos\([a,b] = [0,8]\) y Let\((x_{11}^*,y_{11}^*)\) ser el punto en la esquina superior derecha del subrectángulo\(R_{11}\text{.}\) Identificar y etiquetar correctamente este punto en la Figura 11.1.2. Calcular el producto

   \[ f(x_{11}^*,y_{11}^*) \Delta A. \nonumber \]

   Explique, geométricamente, lo que representa este producto.

9. Para cada uno\(i\) y\(j\text{,}\) elija un punto\((x_{ij}^*,y_{ij}^*)\) en el subrectángulo\(R_{i,j}\text{.}\) Identificar y etiquetar correctamente estos puntos en la Figura 11.1.2. Explicar cuál es el producto
   \[ f(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A \nonumber \]

   representa.

10. Si fuéramos a sumar todos los valores\(f(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A\) para cada uno\(i\) y a\(j\text{,}\) qué se aproxima el número resultante sobre la superficie definida por\(f\) en el dominio\(R\text{?}\) (en realidad no es necesario agregar estos valores).
11. Escribe una suma doble usando notación de suma que exprese la suma arbitraria de part (\(j\)).

11.1.2 Sumas dobles de Riemann y dobles integrales

Ahora utilizamos el proceso de la actividad más reciente para definir formalmente sumas dobles de Riemann y dobles integrales.

Definición 11.1.3

Dejar\(f\) ser una función continua sobre un rectángulo Se crea\(R = \{(x,y) : a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\}\text{.}\) una suma doble de Riemann para\(f\) más\(R\) de la siguiente manera.

• Particionar el intervalo\([a, b]\) en\(m\) subintervalos de igual longitud\(\Delta x = \frac{b-a}{m}\text{.}\) Let\(x_0\text{,}\)\(x_1\text{,}\)\(\ldots\text{,}\)\(x_m\) be los puntos finales de estos subintervalos, donde\(a = x_0\lt x_1\lt x_2 \lt \cdots \lt x_m = b\text{.}\)
• Particionar el intervalo\([c, d]\) en\(n\) subintervalos de igual longitud\(\Delta y = \frac{d-c}{n}\text{.}\) Let\(y_0\text{,}\)\(y_1\text{,}\)\(\ldots\text{,}\)\(y_n\) be los puntos finales de estos subintervalos, donde\(c = y_0\lt y_1\lt y_2 \lt \cdots \lt y_n = d\text{.}\)
• Estas dos particiones crean una partición del rectángulo\(R\) en\(mn\) subrectángulos\(R_{ij}\) con vértices opuestos\((x_{i-1},y_{j-1})\) y\((x_i, y_j)\) para\(i\) entre\(1\) y\(m\) y\(j\) entre\(1\) y Todos\(n\text{.}\) estos rectángulos tienen igual área \(\Delta A = \Delta x \cdot \Delta y\text{.}\)
• Elija un punto\((x_{ij}^*, y_{ij}^*)\) en cada rectángulo\(R_{ij}\text{.}\) Luego, una suma doble de Riemann para\(f\) más\(R\) viene dada por
  \[ \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \cdot \Delta A. \nonumber \]

Si\(f(x,y) \geq 0\) en el rectángulo\(R\text{,}\) podemos pedir encontrar el volumen del sólido delimitado arriba por\(f\) sobre\(R\text{,}\) como se ilustra a la izquierda de la Figura 11.1.4. Este volumen es aproximado por una suma de Riemann, que suma los volúmenes de las cajas rectangulares mostradas a la derecha de la Figura 11.1.4.

Figura 11.1.4. El volumen bajo una gráfica aproximada por una suma de Riemann.

Al dejar que el número de subrectángulos aumente sin límite (es decir, como ambos\(m\) y\(n\) en una doble suma de Riemann van al infinito), como se ilustra en la Figura 11.1.5, la suma de los volúmenes de las cajas rectangulares se acerca al volumen del sólido delimitado arriba por\(f\) más \(R\text{.}\)El valor de este límite, siempre que exista, es la doble integral.

Figura 11.1.5. Encontrar mejores aproximaciones mediante el uso de subrectángulos más pequeños.

Definición 11.1.6

Dejar\(R\) ser una región rectangular en el\(xy\) -plano y\(f\) una función continua sobre\(R\text{.}\) Con términos definidos como en una suma doble de Riemann, la doble integral de\(f\) over\(R\) es

\[ \iint_R f(x,y) \, dA = \lim_{m,n \to \infty} \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \cdot \Delta A. \nonumber \]

Algunos libros de texto utilizan la notación\(\int_R f(x,y) \, dA\) para una doble integral. Verás esto en algunos de los problemas de WebWork.

11.1.3 Interpretación de las sumas dobles de Riemann y las dobles integrales.

Por el momento, hay dos formas en las que podemos interpretar el valor de la doble integral.

• Supongamos que\(f(x,y)\) asume valores tanto positivos como negativos en el rectángulo\(R\text{,}\) como se muestra a la izquierda de la Figura 11.1.7. Al construir una suma de Riemann, para cada uno\(i\) y\(j\text{,}\) el producto se\(f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \cdot \Delta A\) puede interpretar como un volumen “firmado” de una caja con área base\(\Delta A\) y altura “firmada”\(f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\text{.}\) Dado que\(f\) puede tener valores negativos, esta “altura” podría ser negativa. La suma
  \[ \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \cdot \Delta A \nonumber \]

  puede entonces interpretarse como una suma de volúmenes “firmados” de cajas, con un signo negativo unido a aquellas cajas cuyas alturas están por debajo del\(xy\) plano.

• 

  

  Figura 11.1.7. Las medidas integrales firmaron volumen.

  Entonces podemos realizar la doble integral\(\iint_R f(x,y) \, dA\) como una diferencia en volúmenes: nos\(\iint_R f(x,y) \, dA\) dice el volumen de los sólidos la gráfica de\(f\) límites por encima del\(xy\) -plano sobre el rectángulo\(R\) menos el volumen de los sólidos la gráfica de\(f\) límites por debajo del\(xy\) - plano debajo del rectángulo\(R\text{.}\) Esto se muestra a la derecha de la Figura 11.1.7.
• El promedio de los\(mn\) valores finitamente muchos\(f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\) que tomamos en una suma doble de Riemann viene dado por
  \[ \mbox{Avg} _{mn} = \frac{1}{mn} \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m f(x_{ij}^*, y_{ij}^*). \nonumber \]

  Si tomamos el límite como\(m\) y\(n\) vamos al infinito, obtenemos lo que definimos como el valor promedio de\(f\) sobre la región\(R\text{,}\) que está conectada con el valor de la doble integral. Primero, para ver\(\text{ Avg } _{mn}\) como una suma doble de Riemann, tenga en cuenta que

  \[ \Delta x = \frac{b-a}{m} \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ \Delta y = \frac{d-c}{n}. \nonumber \]

  Por lo tanto,

  \[ \frac{1}{mn} = \frac{\Delta x \cdot \Delta y}{(b-a)(d-c)} = \frac{\Delta A}{A(R)}, \nonumber \]

  donde\(A(R)\) denota el área del rectángulo\(R\text{.}\) Entonces, el valor promedio de la función\(f\) over\(R\text{,}\)\(f_{\operatorname{AVG}(R)}\text{,}\) viene dado por

  \ begin {alinear*} f_ {\ nombreoperador {AVG} (R)} & =\ lim_ {m, n\ a\ infty}\ frac {1} {mn}\ suma_ {j=1} ^n\ suma_ {i=1} ^m f (x_ {ij} ^*, y_ {ij} ^*)\\ [4pt] & =\ lim_ m, n\ a\ infty}\ frac {1} {A (R)}\ suma_ {j=1} ^n\ suma_ {i=1} ^m f (x_ {ij} ^*, y_ {ij} ^*)\ cdot\ Delta A\\ [4pt] & =\ frac {1} {A (R)}\ iint_r (x, y)\, dA. \ end {alinear*}

  Por lo tanto, la doble integral de\(f\) sobre\(R\) dividida por el área de nos\(R\) da el valor promedio de la función\(f\) on\(R\text{.}\) Finalmente, si\(f(x, y) \geq 0\) en\(R\text{,}\) podemos interpretar este valor promedio de\(f\) on\(R\) como la altura de la caja con base \(R\)que tiene el mismo volumen que el volumen de la superficie definido\(f\) por\(R\text{.}\)

Actividad 11.1.3

Dejar\(f(x,y) = x+2y\) y dejar\(R = [0,2] \times [1,3]\text{.}\)

1. Dibuja una imagen de\(R\text{.}\) Partición\([0,2]\) en 2 subintervalos de igual longitud y el intervalo\([1,3]\) en dos subintervalos de igual longitud. Dibuja estas particiones en tu imagen\(R\) y etiqueta los subrectángulos resultantes usando el esquema de etiquetado que establecimos en la definición de una suma doble de Riemann.
2. Para cada uno\(i\) y\(j\text{,}\) deja\((x_{ij}^*, y_{ij}^*)\) ser el punto medio del rectángulo\(R_{ij}\text{.}\) Identifica las coordenadas de cada\((x_{ij}^*, y_{ij}^*)\text{.}\) Dibuja estos puntos en tu foto de\(R\text{.}\)
3. Calcular la suma de Riemann
   \[ \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \cdot \Delta A \nonumber \]

   usando las particiones que hemos descrito. Si dejamos\((x_{ij}^*, y_{ij}^*)\) ser el punto medio del rectángulo\(R_{ij}\) para cada uno\(i\) y\(j\text{,}\) entonces la suma resultante de Riemann se llama suma de punto medio.

4. Da dos interpretaciones para el significado de la suma que acabas de calcular.

Actividad 11.1.4

Dejar\(f(x,y) = \sqrt{4-y^2}\) en el dominio rectangular\(R = [1,7] \times [-2,2]\text{.}\) Particionar\([1,7]\) en 3 subintervalos de igual longitud y\([-2,2]\) en 2 subintervalos de igual longitud. \(f\)En el Cuadro 11.1.8\(R\) se da una tabla de valores de en algunos puntos, y en la Figura 11.1.9 se muestra una gráfica de\(f\) con las particiones indicadas.

Cuadro 11.1.8. Tabla de valores de\(f(x,y) = \sqrt{4-y^2}\text{.}\)

	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(1\)	\(0\)	\(\sqrt{3}\)	\(2\)	\(\sqrt{3}\)	\(0\)
\(2\)	\(0\)	\(\sqrt{3}\)	\(2\)	\(\sqrt{3}\)	\(0\)
\(3\)	\(0\)	\(\sqrt{3}\)	\(2\)	\(\sqrt{3}\)	\(0\)
\(4\)	\(0\)	\(\sqrt{3}\)	\(2\)	\(\sqrt{3}\)	\(0\)
\(5\)	\(0\)	\(\sqrt{3}\)	\(2\)	\(\sqrt{3}\)	\(0\)
\(6\)	\(0\)	\(\sqrt{3}\)	\(2\)	\(\sqrt{3}\)	\(0\)
\(7\)	\(0\)	\(\sqrt{3}\)	\(2\)	\(\sqrt{3}\)	\(0\)

Figura 11.1.9. Gráfica de\(f(x,y) = \sqrt{4-y^2}\) on\(R\text{.}\)

1. Esboce la región\(R\) en el plano usando los valores de la Tabla 11.1.8 como particiones.
2. Calcular la suma doble de Riemann usando la partición dada de\(R\) y los valores de\(f\) en la esquina superior derecha de cada subrectángulo.
3. Usa la geometría para calcular el valor exacto de\(\iint_R f(x,y) \, dA\) y compararlo con tu aproximación. Describir una forma en la que podríamos obtener una mejor aproximación usando los datos dados.

Concluimos esta sección con una lista de propiedades de dobles integrales. Dado que las propiedades similares son satisfechas por integrales de una sola variable y los argumentos para integrales dobles son esencialmente los mismos, omitimos su justificación.

Propiedades de Integrales Dobles

Dejar\(f\) y\(g\) ser funciones continuas sobre un rectángulo\(R = \{(x,y) : a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\}\text{,}\) y dejar\(k\) ser una constante. Entonces

1. \(\iint_R (f(x,y) + g(x,y)) \, dA = \iint_R f(x,y) \, dA + \iint_R g(x,y) \, dA\text{.}\)
2. \(\iint_R kf(x,y) \, dA = k \iint_R f(x,y) \, dA\text{.}\)
3. Si está\(f(x,y) \geq g(x,y)\) encendido\(R\text{,}\) entonces\(\iint_R f(x,y) \, dA \geq \iint_R g(x,y) \, dA\text{.}\)

11.1.4 Resumen

• Dejar\(f\) ser una función continua sobre un rectángulo\(R = \{(x,y) : a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\}\text{.}\) La suma doble de Riemann para\(f\) más\(R\) se crea de la siguiente manera.
  • Particionar el intervalo\([a, b]\) en\(m\) subintervalos de igual longitud\(\Delta x = \frac{b-a}{m}\text{.}\) Let\(x_0\text{,}\)\(x_1\text{,}\)\(\ldots\text{,}\)\(x_m\) be los puntos finales de estos subintervalos, donde\(a = x_0\lt x_1\lt x_2 \lt \cdots \lt x_m = b\text{.}\)
  • Particionar el intervalo\([c, d]\) en\(n\) subintervalos de igual longitud\(\Delta y = \frac{d-c}{n}\text{.}\) Let\(y_0\text{,}\)\(y_1\text{,}\)\(\ldots\text{,}\)\(y_n\) be los puntos finales de estos subintervalos, donde\(c = y_0\lt y_1\lt y_2 \lt \cdots \lt y_n = d\text{.}\)
  • Estas dos particiones crean una partición del rectángulo\(R\) en\(mn\) subrectángulos\(R_{ij}\) con vértices opuestos\((x_{i-1},y_{j-1})\) y\((x_i, y_j)\) para\(i\) entre\(1\) y\(m\) y\(j\) entre\(1\) y Todos\(n\text{.}\) estos rectángulos tienen igual área \(\Delta A = \Delta x \cdot \Delta y\text{.}\)
  • Elija un punto\((x_{ij}^*, y_{ij}^*)\) en cada rectángulo\(R_{ij}\text{.}\) Luego una suma doble de Riemann para\(f\) más\(R\) viene dada por
    \[ \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \cdot \Delta A. \nonumber \]
• Con términos definidos como en la Doble Suma de Riemann, la doble integral de\(f\) over\(R\) es
  \[ \iint_R f(x,y) \, dA = \lim_{m,n \to \infty} \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \cdot \Delta A. \nonumber \]
• Dos interpretaciones de la doble integral\(\iint_R f(x,y) \, dA\) son:
  • El volumen de los sólidos la gráfica de\(f\) límites por encima del\(xy\) plano -sobre el rectángulo\(R\) menos el volumen de los sólidos la gráfica de\(f\) límites por debajo del\(xy\) plano -bajo el rectángulo\(R\text{;}\)
  • Dividir la doble integral de\(f\) over\(R\) por el área de nos\(R\) da el valor promedio de la función\(f\)\(f(x, y) \geq 0\) on\(R\text{.}\) Si on\(R\text{,}\) podemos interpretar este valor promedio de\(f\) on\(R\) como la altura de la caja con base\(R\) que tiene la mismo volumen que el volumen de la superficie definido\(f\) por\(R\text{.}\)