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11.3: Integrales dobles sobre regiones generales

  • Page ID
    120044
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Preguntas Motivadoras
    • ¿Cómo definimos una doble integral sobre una región no rectangular?
    • ¿Qué forma general tiene una integral iterada sobre una región no rectangular?

    Recordemos que definimos la doble integral de una función continua\(f = f(x,y)\) sobre un rectángulo\(R = [a,b] \times [c,d]\) como

    \[ \iint_R f(x,y) \, dA = \lim_{m,n \to \infty} \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \cdot \Delta A, \nonumber \]

    donde la notación es como se describe en la Sección 11.1. Además, hemos visto que podemos evaluar una doble integral\(\iint_R f(x,y) \, dA\) sobre\(R\) como una integral iterada de cualquiera de las formas

    \[ \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx \ \ \ \ \ \text{ or } \ \ \ \ \ \int_c^d \int_a^b f(x,y) \, dx \, dy. \nonumber \]

    Es natural preguntarse cómo podríamos definir y evaluar una doble integral sobre una región no rectangular; exploramos uno de esos ejemplos en la siguiente actividad de vista previa.

    Vista previa de Actividad 11.3.1

    Un tetraedro es una figura tridimensional con cuatro caras, cada una de las cuales es un triángulo. Una imagen del tetraedro\(T\) con vértices\((0,0,0)\text{,}\)\((1,0,0)\text{,}\)\((0,1,0)\text{,}\) y\((0,0,1)\) se muestra a la izquierda en la Figura 11.3.1. Si colocamos un vértice en el origen y dejamos vectores\(\mathbf{a}\text{,}\)\(\mathbf{b}\text{,}\) y\(\mathbf{c}\) ser determinados por los bordes del tetraedro que tienen un extremo en el origen, entonces una fórmula que nos dice el volumen\(V\) del tetraedro es

    \[ V = \frac{1}{6} \lvert \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \rvert.\label{eq_11_3_tetrahedron_volume}\tag{11.3.1} \]

    Figura 11.3.1. Izquierda: El tetraedro\(T\text{.}\) Derecha: Proyectando\(T\) sobre el\(xy\) plano.
    1. Usa la fórmula (11.3.1) para encontrar el volumen del tetraedro\(T\text{.}\)
    2. En lugar de memorizar o buscar la fórmula para el volumen de un tetraedro, podemos usar una doble integral para calcular el volumen del tetraedro\(T\text{.}\) Para ver cómo, observe que la cara superior del tetraedro\(T\) es el plano cuya ecuación es
      \[ z = 1-(x+y). \nonumber \]

      Siempre que podamos usar una integral iterada en una región no rectangular, el volumen del tetraedro estará dado por una integral iterada de la forma

      \[ \int_{x=?}^{x=?} \int_{y=?}^{y=?} 1-(x+y) \, dy \, dx. \nonumber \]

      El tema que es nuevo aquí es cómo encontramos los límites en las integrales; tenga en cuenta que los límites de la integral externa están adentro\(x\text{,}\) mientras que los internos están adentro\(y\text{,}\) ya que hemos elegido\(dA = dy \, dx\text{.}\) Para ver el dominio sobre el que necesitamos integrarnos, piense en pararse muy por encima del tetraedro mirando recto abajo en él, lo que significa que estamos proyectando todo el tetraedro sobre el\(xy\) plano. El dominio resultante es la región triangular que se muestra a la derecha en la Figura 11.3.1. Explicar por qué podemos representar la región triangular con las desigualdades

      \[ 0 \leq y \leq 1-x \ \ \ \text{ and } \ \ \ 0 \leq x \leq 1. \nonumber \]

      (Pista: Considere el corte transversal que se muestra a la derecha en la Figura 11.3.1.)

    3. Explique por qué tiene sentido escribir ahora el volumen integral en la forma
      \[ \int_{x=?}^{x=?} \int_{y=?}^{y=?} 1-(x+y) \, dy \, dx = \int_{x=0}^{x=1} \int_{y=0}^{y=1-x} 1-(x+y) \, dy \, dx. \nonumber \]
    4. Utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral iterada
      \[ \int_{x=0}^{x=1} \int_{y=0}^{y=1-x} 1-(x+y) \, dy \, dx \nonumber \]

      y compare con su resultado de la parte (a). (Al igual que con las integrales iteradas sobre regiones rectangulares, comience con la integral interna).

    11.3.1 Integrales dobles sobre regiones generales

    Hasta ahora, hemos aprendido que una doble integral sobre una región rectangular puede interpretarse de una de dos maneras:

    • \(\iint_R f(x,y) \, dA\)nos dice el volumen de los sólidos la gráfica de\(f\) límites por encima del\(xy\) plano -sobre el rectángulo\(R\) menos el volumen de los sólidos la gráfica de\(f\) límites por debajo del\(xy\) plano -bajo el rectángulo\(R\text{;}\)
    • \(\frac{1}{A(R)} \iint_R f(x,y) \, dA\text{,}\)donde\(A(R)\) esta el area de nos\(R\) dice el valor promedio de la función\(f\) on\(R\text{.}\) Si\(f(x, y) \geq 0\) on\(R\text{,}\) podemos interpretar este valor promedio de\(f\) on\(R\) como la altura de la caja con base\(R\) que tiene el mismo volumen que el volumen de la superficie definida\(f\) por\(R\text{.}\)

    Como vimos en Preview Activity 11.1.1, una función\(f = f(x,y)\) puede ser considerada sobre regiones distintas a las rectangulares, y así queremos entender cómo configurar y evaluar integrales dobles sobre regiones no rectangulares. Tenga en cuenta que si podemos, entonces las dos interpretaciones de la doble integral señaladas anteriormente se extenderán naturalmente a regiones sólidas con bases no rectangulares.

    Entonces, supongamos que\(f\) es una función continua en un dominio cerrado, acotado\(D\text{.}\) Por ejemplo, considere\(D\) como el dominio circular que se muestra a la izquierda en la Figura 11.3.2.

    Figura 11.3.2. Izquierda: Un dominio no rectangular. Derecha: Encerrando este dominio en un rectángulo.

    Podemos encerrar\(D\) en un dominio rectangular\(R\) como se muestra a la derecha en la Figura 11.3.2 y extender la función\(f\) a definir para poder usar la definición de la doble integral sobre un rectángulo.\(R\) \(f\)Extendemos de tal manera que sus valores en los puntos en\(R\) que no están en\(D\) contribuyen 0 al valor de la integral. En otras palabras, definir una función\(F = F(x, y)\) on\(R\) como

    \[ F(x,y) = \begin{cases}f(x,y), & \text{ if } (x,y) \in D, \\[4pt] 0, & \text{ if } (x,y) \not\in D \end{cases} . \nonumber \]

    Entonces decimos que la doble integral de\(f\) over\(D\) es la misma que la doble integral de\(F\) over\(R\text{,}\) y así

    \[ \iint_D f(x,y) \, dA = \iint_R F(x,y) \, dA. \nonumber \]

    En la práctica, simplemente ignoramos todo lo que está en\(R\) pero no en\(D\text{,}\) ya que estas regiones aportan 0 al valor de la integral.

    Al igual que con las integrales dobles sobre rectángulos, una doble integral sobre un dominio se\(D\) puede evaluar como una integral iterada. Si la región\(D\) puede ser descrita por las desigualdades\(g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\) y\(a \leq x \leq b\text{,}\) dónde\(g_1=g_1(x)\) y\(g_2=g_2(x)\) son funciones de sólo\(x\text{,}\) entonces

    \[ \iint_D f(x,y) \, dA = \int_{x=a}^{x=b} \int_{y=g_1(x)}^{y=g_2(x)} f(x,y) \, dy \, dx. \nonumber \]

    Alternativamente, si la región\(D\) es descrita por las desigualdades\(h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\) y\(c \leq y \leq d\text{,}\) donde\(h_1=h_1(y)\) y\(h_2=h_2(y)\) son funciones de solo\(y\text{,}\) tenemos

    \[ \iint_D f(x,y) \, dA = \int_{y=c}^{y=d} \int_{x=h_1(y)}^{x=h_2(y)} f(x,y) \, dx \, dy. \nonumber \]

    La estructura de una integral iterada es de particular interés:

    En una doble integral iterada:

    • los límites de la integral externa deben ser constantes;
    • los límites de la integral interna deben ser constantes o en términos únicamente de la variable restante —es decir, si la integral interna es con respecto a\(y\text{,}\) entonces sus límites sólo pueden involucrar\(x\) y constantes, y viceversa.

    A continuación consideramos un ejemplo detallado.

    Ejemplo 11.3.3

    Dejar\(f(x,y) = x^2y\) definirse en el triángulo\(D\) con vértices\((0,0)\text{,}\)\((2,0)\text{,}\) y\((2,3)\) como se muestra a la izquierda en la Figura 11.3.4.

    Figura 11.3.4. Un dominio triangular y cortes en las\(x\) direcciones\(y\) y.

    Para evaluar primero\(\iint_D f(x,y) \, dA\text{,}\) debemos describir la región\(D\) en términos de las variables\(x\) y\(y\text{.}\) tomar dos enfoques.

    Enfoque 1: Integrar primero con respecto a\(y\text{.}\)

    En este caso optamos por evaluar la doble integral como una integral iterada en la forma

    \[ \iint_D x^2y \, dA = \int_{x=a}^{x=b} \int_{y=g_1(x)}^{y=g_2(x)} x^2y \, dy \, dx, \nonumber \]

    y por lo tanto necesitamos describir\(D\) en términos de desigualdades

    \[ g_1(x) \leq y \leq g_2(x) \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ a \leq x \leq b. \nonumber \]

    Ya que estamos integrando con respecto a\(y\) primero, la integral iterada tiene la forma

    \[ \iint_D x^2y \, dA =\int_{x=a}^{x=b} A(x) \, dx, \nonumber \]

    donde\(A(x)\) es un área de sección transversal en la\(y\) dirección. Entonces estamos cortando el dominio perpendicular al\(x\) eje -y queremos entender cómo se verá un área de sección transversal del sólido general. Varios cortes del dominio se muestran en la imagen media en la Figura 11.3.4. En una porción con\(x\) valor fijo, los\(y\) valores están delimitados por debajo por 0 y arriba por la\(y\) coordenada en la hipotenusa del triángulo rectángulo. Así,\(g_1(x) = 0\text{;}\) para encontrar\(y = g_2(x)\text{,}\) necesitamos escribir la hipotenusa como una función de\(x\text{.}\) La hipotenusa conecta los puntos (0,0) y (2,3) y por lo tanto tiene ecuación\(y = \frac{3}{2}x\text{.}\) Esto da el límite superior en\(y\) como\(g_2(x) = \frac{3}{2}x\text{.}\) La sección transversal vertical más a la izquierda está en\(x=0\) y la el más a la derecha está en\(x=2\text{,}\) lo que tenemos\(a=0\) y\(b=2\text{.}\) por lo tanto,

    \[ \iint_D x^2y \, dA = \int_{x=0}^{x=2} \int_{y=0}^{y = \frac32 x} x^2y \, dy \, dx. \nonumber \]

    Evaluamos la integral iterada aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo primero a la integral interna, y luego a la externa, y encontramos que

    \ begin {alinear*}\ int_ {x=0} ^ {x=2}\ int_ {y=0} ^ {y=\ frac32 x} x^2y\, dy\, dx & =\ int_ {x=0} ^ {x=2}\ izquierda [x^2\ cdot\ frac {y^2} {2}\ derecha]\ biggm|_ {y=0} ^ {y=\ frac32 x}\, dx\\ [4pt] & =\ int_ {x=0} ^ {x=2}\ frac {9} {8} x^4\, dx\\ [4pt] & =\ frac {9} {8}\ frac {x^5} {5}\ biggm|_ {x=0} ^ {x=2}\\ [4pt] & =\ izquierda (\ frac {9} {8}\ derecha)\ izquierda (\ frac {32} {5}\ derecha)\\ [4pt] & =\ frac {36} {5}. \ end {alinear*}
    Enfoque 2: Integrar primero con respecto a\(x\text{.}\)

    En este caso, elegimos evaluar la doble integral como una integral iterada en la forma

    \[ \iint_D x^2y \, dA = \int_{y=c}^{y=d} \int_{x=h_1(y)}^{x=h_2(y)} x^2y \, dx \, dy \nonumber \]

    y por lo tanto hay que describir\(D\) en términos de desigualdades

    \[ h_1(y) \leq x \leq h_2(y) \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ c \leq y \leq d. \nonumber \]

    Ya que estamos integrando con respecto a\(x\) primero, la integral iterada tiene la forma

    \[ \iint_D x^2y \, dA = \int_c^d A(y) \, dy, \nonumber \]

    donde\(A(y)\) es un área de sección transversal del sólido en la\(x\) dirección. Varios cortes del dominio —perpendiculares al\(y\) eje- se muestran a la derecha en la Figura 11.3.4. En un corte con\(y\) valor fijo, los\(x\) valores están delimitados por debajo por la\(x\) coordenada en la hipotenusa del triángulo rectángulo y arriba por 2. Entonces\(h_2(y) = 2\text{;}\) para encontrar\(h_1(y)\text{,}\) necesitamos escribir la hipotenusa como una función de\(y\text{.}\) Resolver la ecuación anterior que tenemos para la hipotenusa (\(y = \frac32 x\)) para nos\(x\) da\(x = \frac{2}{3}y\text{.}\) Esto hace\(h_1(y) = \frac{2}{3}y\text{.}\) La sección transversal horizontal más baja está en\(y=0\) y la más alta está en \(y=3\text{,}\)así que tenemos\(c=0\) y\(d=3\text{.}\) Por lo tanto,

    \[ \iint_D x^2y \, dA = \int_{y=0}^{y=3} \int_{x=(2/3)y}^{x=2} x^2y \, dx \, dy. \nonumber \]

    Evaluamos la integral iterada resultante como antes aplicando dos veces el Teorema Fundamental del Cálculo, y encontramos que

    \ begin {align*}\ int_ {y=0} ^ {y=3}\ int_ {x=\ frac {2} {3} y} ^ {2} x^2y\, dx\, dy & =\ int_ {y=0} ^ {y=3}\ left [\ frac {x^3} {3}\ derecho]\ biggm|_ {x=\ fr{ 2} {3} y} ^ {x=2} y\, dx\\ [4pt] & =\ int_ {y=0} ^ {y=3}\ left [\ frac {8} {3} y -\ frac {8} {81} y^4\ derecha]\, dy\ [4pt] & =\ izquierda [\ frac {8} {3} frac {y^2} {2} -\ frac {8} {81}\ frac {y ^5} {5}\ derecha]\ biggm|_ {y=0} ^ {y=3}\\ [4pt] & =\ izquierda (\ frac {8} {3}\ derecha)\ izquierda (\ frac {9} {2}\ derecha) -\ izquierda (\ frac {8} {81}\ derecha)\ izquierda (\ frac {243} {5}\ derecha)\\ [4pt] & = 12 -\ frac {24} {5}\\ [4pt] & =\ frac {36} {5}. \ end {alinear*}

    Vemos, por supuesto, que en la situación en la que se\(D\) puede describir de dos maneras distintas, el orden en que elegimos configurar y evaluar la doble integral no importa, y el mismo valor resulta en cualquier caso.

    El significado de una doble integral sobre una región no rectangular, es\(D\text{,}\) paralelo al significado sobre una región rectangular. En particular,

    • \(\iint_D f(x,y) \, dA\)nos dice el volumen de los sólidos la gráfica de\(f\) límites por encima del\(xy\) plano -sobre la región cerrada, delimitada\(D\) menos el volumen de los sólidos la gráfica de\(f\) límites por debajo del\(xy\) -plano debajo de la región\(D\text{;}\)
    • \(\frac{1}{A(D)} \iint_R f(x,y) \, dA\text{,}\)donde\(A(D)\) esta el area de nos\(D\) dice el valor promedio de la función\(f\) on\(D\text{.}\) Si\(f(x, y) \geq 0\) on\(D\text{,}\) podemos interpretar este valor promedio de\(f\) on\(D\) como la altura del solido con base\(D\) y área transversal constante \(D\)que tiene el mismo volumen que el volumen de la superficie definido\(f\) por\(D\text{.}\)
    Actividad 11.3.2

    Considera la doble integral\(\iint_D (4-x-2y) \, dA\text{,}\) donde\(D\) está la región triangular con vértices (0,0), (4,0) y (0,2).

    1. Escribe la integral dada como una integral iterada de la forma\(\iint_D (4-x-2y) \, dy \, dx\text{.}\) Dibuja una imagen etiquetada\(D\) con secciones transversales relevantes.
    2. Escribe la integral dada como una integral iterada de la forma\(\iint_D (4-x-2y) \, dx \, dy\text{.}\) Dibuja una imagen etiquetada\(D\) con secciones transversales relevantes.
    3. Evaluar las dos integrales iteradas de (a) y (b), y verificar que producen el mismo valor. Da al menos una interpretación del significado de tu resultado.
    Actividad 11.3.3

    Considere la integral iterada\(\int_{x=0}^{x=1} \int_{y=x}^{y=\sqrt{x}} (4x+10y) \, dy \, dx\text{.}\)

    1. Esbozar la región de integración,\(D\text{,}\) para lo cual
      \[ \iint_D (4x + 10y) \, dA = \int_{x=0}^{x=1} \int_{y=x}^{y=\sqrt{x}} (4x+10y) \, dy \, dx. \nonumber \]
    2. Determinar la integral iterada equivalente que resulta de la integración en el orden opuesto (\(dx \, dy\text{,}\)en lugar de\(dy \, dx\)). Es decir, determinar los límites de integración para los cuales
      \[ \iint_D (4x + 10y) \, dA = \int_{y=?}^{y=?} \int_{x=?}^{x=?} (4x+10y) \, dx \, dy. \nonumber \]
    3. Evaluar una de las dos integrales iteradas anteriores. Explica lo que te dice el valor que obtuviste.
    4. Configurar y evaluar una sola integral definida para determinar el área exacta de\(D\text{,}\)\(A(D)\text{.}\)
    5. Determinar el valor promedio exacto de\(f(x,y) = 4x + 10y\) más\(D\text{.}\)
    Actividad 11.3.4

    Considere la integral iterada\(\int_{x=0}^{x=4} \int_{y=x/2}^{y=2} e^{y^2} \, dy \, dx\text{.}\)

    1. Explicar por qué no podemos encontrar una simple antiderivada para\(e^{y^2}\) respecto\(y\text{,}\) y por lo tanto no podemos evaluar\(\int_{x=0}^{x=4} \int_{y=x/2}^{y=2} e^{y^2} \, dy \, dx\) en el orden indicado utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.
    2. Dado que\(\iint_D e^{y^2} \, dA = \int_{x=0}^{x=4} \int_{y=x/2}^{y=2} e^{y^2} \, dy \, dx\text{,}\) esbozar la región de integración,\(D\text{.}\)
    3. Reescribe la integral iterada dada en el orden opuesto, usando\(dA = dx \, dy\text{.}\) (Pista: Es posible que necesite más de una integral.)
    4. Utilice el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral iterada que desarrolló en (c). Escribe una frase para explicar el significado del valor que encontraste.
    5. ¿Cuál es la lección importante que ofrece esta actividad respecto al orden en que configuramos una integral iterada?

    11.3.2 Resumen

    • Para una doble integral\(\iint_D f(x,y) \, dA\) sobre una región no rectangular\(D\text{,}\) encerramos\(D\) en un rectángulo\(R\) y luego extendemos integrando\(f\) a una función de\(F\) manera que\(F(x,y) = 0\) en todos los puntos\(R\) fuera de\(D\) y\(F(x,y) = f(x,y)\) para todos los puntos en\(D\text{.}\) We luego definir\(\iint_D f(x,y) \, dA\) para ser igual a\(\iint_R F(x,y) \, dA\text{.}\)
    • En una doble integral iterada, los límites en la integral externa deben ser constantes mientras que los límites en la integral interna deben ser constantes o en términos de solo la variable restante. En otras palabras, una doble integral iterada tiene una de las siguientes formas (que dan como resultado el mismo valor):
      \[ \int_{x=a}^{x=b} \int_{y=g_1(x)}^{y=g_2(x)} f(x,y) \, dy \, dx, \nonumber \]

      donde\(g_1=g_1(x)\) y\(g_2=g_2(x)\) son funciones de\(x\) solo y la región\(D\) se describe por\(g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\) las desigualdades\(a \leq x \leq b\) y/o

      \[ \int_{y=c}^{y=d} \int_{x=h_1(y)}^{x=h_2(y)} f(x,y) \, dx \, dy, \nonumber \]

      donde\(h_1=h_1(y)\) y\(h_2=h_2(y)\) son funciones de\(y\) solo y la región\(D\) se describe por las desigualdades\(h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\) y\(c \leq y \leq d\text{.}\)


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