11.4: Aplicaciones de Integrales Dobles

Preguntas Motivadoras

• Si tenemos una función de densidad de masa para una lámina (placa delgada), ¿cómo determina una doble integral la masa de la lámina?
• ¿Cómo se puede utilizar una doble integral para encontrar el área entre dos curvas?
• Dada una función de densidad de masa en una lámina, ¿cómo podemos encontrar el centro de masa de la lámina?
• ¿Qué es una función conjunta de densidad de probabilidad? ¿Cómo determinamos la probabilidad de un evento si conocemos una función de densidad de probabilidad?

Hasta el momento, hemos interpretado la doble integral de una función\(f\) sobre un dominio\(D\) de dos maneras diferentes. Primero, nos\(\iint_D f(x,y) \, dA\) dice una diferencia de volúmenes — el volumen en el que la superficie define\(f\) los límites por encima del\(xy\) plano\(D\) -menos el volumen en el que la superficie limita por debajo del\(xy\) -plano\(D\text{.}\) en Además,\(\frac{1}{A(D)} \iint_D f(x,y) \, dA\) determina el valor promedio de\(f\) on\(D\text{.}\) En esta sección, investigamos varias otras aplicaciones de dobles integrales, utilizando el proceso de integración como se ve en Preview Activity 11.4.1: particionamos en pequeñas regiones, aproximamos la cantidad deseada en cada región pequeña, luego usamos la integral para sumar estos valores exactamente en el límite.

La siguiente actividad de vista previa explora cómo se puede usar una doble integral para determinar la densidad de una placa delgada con una distribución de densidad de masa. Recordemos que en el cálculo de una sola variable, consideramos un problema similar y calculamos la masa de una varilla unidimensional con una distribución masa-densidad. Ahí, como aquí, la idea clave es que si la densidad es constante, la masa es producto de la densidad y el volumen.

Vista previa de Actividad 11.4.1

Supongamos que tenemos un objeto plano y delgado (llamado lámina) cuya densidad varía a través del objeto. Podemos pensar en la densidad en una lámina como una medida de masa por unidad de área. A modo de ejemplo, consideremos una placa circular\(D\) de radio 1 cm centrada en el origen cuya densidad\(\delta\) varía dependiendo de la distancia desde su centro para que la densidad en gramos por centímetro cuadrado en el punto\((x, y)\) sea

\[ \delta(x,y) = 10-2(x^2+y^2). \nonumber \]

1. Supongamos que partimos la placa en subrectángulos\(R_{ij}\text{,}\) donde\(1 \leq i \leq m\) y\(1 \leq j \leq n\text{,}\) de igual área\(\Delta A\text{,}\) y seleccionamos un punto\((x_{ij}^*,y_{ij}^*)\) en\(R_{ij}\) para cada uno\(i\) y\(j\text{.}\) Cuál es el significado de la cantidad\(\delta(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A\text{?}\)
2. Anotar una suma doble de Riemann que proporcione una aproximación de la masa de la placa.
3. Explicar por qué la doble integral
   \[ \iint_D \delta(x,y) \, dA \nonumber \]

   nos dice la masa exacta de la placa.

4. Determinar una integral iterada que, si se evalúa, daría la masa exacta de la placa. En realidad no evalúes la integral. (Esta integral es considerablemente más fácil de evaluar en coordenadas polares, de las cuales conoceremos más en la Sección 11.5.)

11.4.1 Masa

La densidad es una medida de cierta cantidad por unidad de área o volumen. Por ejemplo, podemos medir la densidad de población humana de alguna región como el número de humanos en esa región dividido por el área de esa región. En física, la densidad de masa de un objeto es la masa del objeto por unidad de área o volumen. Según lo sugerido por la Actividad Previa 11.4.1, lo siguiente se sostiene en general.

La masa de una lámina

Si\(\delta(x, y)\) describe la densidad de una lámina definida por una región plana\(D\text{,}\) entonces la masa de\(D\) está dada por la doble integral\(\iint_D \delta(x,y) \, dA\text{.}\)

Actividad 11.4.2

Dejar\(D\) ser una lámina de medio disco de radio 3 en los cuadrantes IV e I, centrada en el origen como se muestra en la Figura 11.4.1. Supongamos que la densidad en el punto\((x,y)\) viene dada por\(\delta(x,y) = x\text{.}\) Encontrar la masa exacta de la lámina.

Figura 11.4.1. Una lámina de medio disco.

11.4.2 Área

Si consideramos la situación en la que la distribución masa-densidad es constante, también podemos ver cómo se puede utilizar una doble integral para determinar el área de una región. Suponiendo que\(\delta(x,y) = 1\) sobre una región delimitada cerrada\(D\text{,}\) donde las unidades de\(\delta\) son “masa por unidad de área”, se deduce que\(\iint_D 1 \, dA\) es la masa de la lámina. Pero como la densidad es constante, el valor numérico de la integral es simplemente el área.

Como demuestra la siguiente actividad, también podemos ver este hecho considerando un sólido tridimensional cuya altura es siempre 1.

Actividad 11.4.3

Supongamos que queremos encontrar el área de la región delimitada\(D\) entre las curvas

\[ y = 1-x^2 \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ y=x-1. \nonumber \]

Una imagen de esta región se muestra en la Figura 11.4.2.

a. El volumen de un sólido con altura constante viene dado por el área de la base multiplicada por la altura. De ahí que podamos interpretar el área de la región\(D\) como el volumen de un sólido con base\(D\) y de altura uniforme 1. Es decir, el área de\(D\) está dada por\(\iint_D 1 \, dA\text{.}\) Escribir una integral iterada cuyo valor es\(\iint_D 1 \, dA\text{.}\) (Pista: ¿Qué orden de integración podría ser más eficiente? ¿Por qué?)

Figura 11.4.2. Las gráficas de\(y = 1-x^2\) y\(y=x-1\text{.}\)

b. Evaluar la integral iterada de (a). ¿Qué te dice el resultado?

Ahora declaramos formalmente la conclusión de nuestra discusión anterior y Actividad 11.4.3.

El doble integral y área

Dada una región cerrada y delimitada\(D\) en el plano, el área de\(D\text{,}\) denotada\(A(D)\text{,}\) viene dada por la doble integral

\[ A(D) = \iint_D 1 \, dA. \nonumber \]

11.4.3 Centro de Masa

El centro de masa de un objeto es un punto en el que el objeto se equilibrará perfectamente. Por ejemplo, el centro de masa de un disco circular de densidad uniforme se ubica en su centro. Para cualquier objeto, si lo lanzamos por el aire, girará alrededor de su centro de masa y se comportará como si toda la masa estuviera ubicada en el centro de masa.

Para entender el papel que juegan las integrales en la determinación del centro de masa de un objeto con una distribución de masa no uniforme, comenzamos por encontrar el centro de masa de una colección de masas puntuales\(N\) distintas en el plano.

Dejar\(m_1\text{,}\)\(m_2\text{,}\)\(\ldots\text{,}\)\(m_N\) ser\(N\) masas localizadas en el plano. Piense en estas masas como conectadas por varillas rígidas de peso insignificante desde algún punto central\((x,y)\text{.}\) Una imagen con cuatro masas se muestra en la Figura 11.4.3. Ahora imagina equilibrar este sistema colocándolo sobre un polo delgado en el punto\((x,y)\) perpendicular al plano que contiene las masas. A menos que las masas estén perfectamente equilibradas, el sistema se caerá del poste. El punto\((\overline{x}, \overline{y})\) en el que el sistema se equilibrará perfectamente se llama el centro de masa del sistema. Nuestro objetivo es determinar el centro de masa de un sistema de masas discretas, luego extenderlo a una lámina continua.

Figura 11.4.3. Un centro de masa\((\overline{x}, \overline{y})\) de cuatro masas.

Cada masa ejerce una fuerza (llamada momento) alrededor de las líneas\(x=\overline{x}\) y\(y=\overline{y}\) eso provoca que el sistema se incline en la dirección de la masa. Estos momentos dependen de la masa y la distancia desde la línea dada. Dejar\((x_1,y_1)\) ser la ubicación de\(m_1\text{,}\)\((x_2,y_2)\) la masa la ubicación de la masa\(m_2\text{,}\) etc. para equilibrar perfectamente, los momentos en la\(x\) dirección y en la\(y\) dirección deben estar en equilibrio. Determinamos estos momentos y resolvemos el sistema resultante para encontrar el punto de equilibrio\((\overline{x}, \overline{y})\) en el centro de masa.

La fuerza que\(m_1\) ejerce la masa para inclinar el sistema desde la línea\(y=\overline{y}\) es

\[ m_1g(\overline{y} - y_1), \nonumber \]

donde\(g\) está la constante gravitacional. Del mismo modo, la fuerza que\(m_2\) ejerce la masa para inclinar el sistema desde la línea\(y= \overline{y}\) es

\[ m_2g(\overline{y}-y_2). \nonumber \]

En general, la fuerza que\(m_k\) ejerce la masa para inclinar el sistema desde la línea\(y= \overline{y}\) es

\[ m_kg(\overline{y}-y_k). \nonumber \]

Para que el sistema se equilibre, necesitamos que las fuerzas sumen a 0, para que

\[ \sum_{k=1}^N m_kg(\overline{y}-y_k) = 0. \nonumber \]

Resolviendo para\(\overline{y}\text{,}\) encontramos que

\[ \overline{y} = \frac{\sum_{k=1}^N m_ky_k}{\sum_{k=1}^N m_k}. \nonumber \]

Un argumento similar muestra que

\[ \overline{x} = \frac{\sum_{k=1}^N m_kx_k}{\sum_{k=1}^N m_k}. \nonumber \]

El valor\(M_x~=~\sum_{k=1}^N m_ky_k\) se denomina momento total con respecto al\(x\) eje -eje;\(M_y~=~\sum_{k=1}^N m_kx_k\) es el momento total con respecto al\(y\) eje -eje. De ahí que los cocientes respectivos de los momentos a la masa total,\(M\text{,}\) determinan el centro de masa de un sistema de punto-masa:

\[ (\overline{x}, \overline{y}) = \left(\frac{M_y}{M}, \frac{M_x}{M}\right). \nonumber \]

Ahora, supongamos que más que un sistema de punto-masa, tenemos una lámina continua con una densidad de masa variable\(\delta(x, y)\text{.}\) Podemos estimar su centro de masa dividiendo la lámina en\(mn\) subrectángulos de igual área\(\Delta A\text{,}\) y tratando la lámina particionada resultante como un sistema de punto-masa. En particular, seleccionamos un punto\((x_{ij}^*,y_{ij}^*)\) en el subrectángulo\(ij\) th, y observamos que la cantidad

\[ \delta(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A \nonumber \]

es densidad veces área, así\(\delta(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A\) se aproxima a la masa de la porción pequeña de la lámina determinada por el subrectángulo\(R_{ij}\text{.}\)

Ahora tratamos\(\delta(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A\) como una masa puntual en el punto\((x_{ij}^*,y_{ij}^*)\text{.}\) Las coordenadas\((\overline{x}, \overline{y})\) del centro de masa de estas masas\(mn\) puntuales están así dadas por

\[ \overline{x} = \frac{\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m x_{ij}^*\delta(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A}{\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m \delta(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A} \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ \overline{y} = \frac{\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m y_{ij}^*\delta(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A}{\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m \delta(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A}. \nonumber \]

Si tomamos el límite como\(m\) y\(n\) vamos al infinito, obtenemos el centro exacto de masa\((\overline{x}, \overline{y})\) de la lámina continua.

El centro de masa de una lámina

Las coordenadas\((\overline{x}, \overline{y})\) del centro de masa de una lámina\(D\) con densidad\(\delta = \delta(x,y)\) están dadas por

\[ \overline{x} = \frac{\iint_D x\delta(x,y) \, dA}{\iint_D \delta(x,y) \, dA} \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ \overline{y} = \frac{\iint_D y\delta(x,y) \, dA}{\iint_D \delta(x,y) \, dA}. \nonumber \]

El centro de masa de una lámina puede entonces ser considerado como un promedio ponderado de todos los puntos en la lámina con los pesos dados por la densidad en cada punto. El centroide de una lámina es el justo el promedio de todos los puntos en la lámina, o el centro de masa si la densidad en cada punto es 1.

Los numeradores de\(\overline{x}\) y\(\overline{y}\) se denominan los momentos respectivos de la lámina alrededor de los ejes de coordenadas. Así, el momento de una lámina\(D\) con densidad\(\delta = \delta(x,y)\) alrededor del\(y\) eje es

\[ M_y = \iint_D x\delta(x,y) \, dA \nonumber \]

y el momento de\(D\) alrededor del\(x\) eje es

\[ M_x = \iint_D y\delta(x,y) \, dA. \nonumber \]

Si\(M\) es la masa de la lámina, se deduce que el centro de masa es

\[ (\overline{x}, \overline{y}) = \left(\frac{M_y}{M}, \frac{M_x}{M}\right)\text{.} \nonumber \]

Actividad 11.4.4

En esta actividad determinamos integrales que representan el centro de masa de una lámina\(D\) descrita por la región triangular delimitada por el\(x\) -eje y las líneas\(x = 1\) y\(y = 2x\) en el primer cuadrante si la densidad en el punto\((x, y)\) es Se muestra\(\delta(x, y) = 6x + 6y + 6\text{.}\) una imagen de la lámina en la Figura 11.4.4.

Figura 11.4.4. La lámina delimitada por el\(x\) eje y las líneas\(x = 1\) y\(y = 2x\) en el primer cuadrante.

1. Configure una integral iterada que represente la masa de la lámina.
2. Supongamos que la masa de la lámina es 14. Configure dos integrales iteradas que representen las coordenadas del centro de masa de la lámina.

11.4.4 Probabilidad

El cálculo de probabilidades es una aplicación muy importante de la integración en las ciencias físicas, sociales y de la vida. Para entender lo básico, considera el juego de dardos en el que un jugador lanza un dardo a una tabla e intenta golpear un objetivo en particular. Supongamos que un tablero de dardos tiene la forma de un disco\(D\) con radio de 10 pulgadas. Si asumimos que un jugador lanza un dardo al azar, y no está apuntando a ningún punto en particular, entonces es igualmente probable que el dardo golpee cualquier punto en el tablero. Por ejemplo, la probabilidad de que el dardo golpee una región particular de 1 pulgada cuadrada es\(\frac{1}{100 \pi}\text{,}\) o la relación entre el área del objetivo deseado y el área total de\(D\) (asumiendo que el lanzador de dardos siempre golpea el tablero mismo en algún momento). De igual manera, la probabilidad de que el dardo golpee un punto en el disco\(D_3\) de radio 3 pulgadas viene dada por el área de\(D_3\) dividido por el área de\(D\text{.}\) En otras palabras, la probabilidad de que el dardo golpee el disco\(D_3\) es

\[ \frac{9 \pi}{100\pi} = \iint_{D_3} \frac{1}{100 \pi} \, dA. \nonumber \]

El integrando,\(\frac{1}{100\pi}\text{,}\) puede pensarse como una función de distribución, describiendo cómo se distribuyen los golpes de dardos en todos los ámbitos. En este caso la función de distribución es constante ya que estamos asumiendo una distribución uniforme, pero podemos imaginar fácilmente situaciones donde la función de distribución varía. Por ejemplo, si el jugador es bastante bueno y está apuntando al ojo de toro (el centro de\(D\)), entonces la función de distribución\(f\) podría estar sesgada hacia el centro, digamos

\[ f(x,y) = K e^{-(x^2+y^2)} \nonumber \]

para algunos constantes positivos\(K\text{.}\) Si asumimos que el jugador es lo suficientemente consistente como para que el dardo siempre golpee el tablero, entonces la probabilidad de que el dardo golpee el tablero en alguna parte es 1, y la función de distribución\(f\) tendrá que satisfacer ¹

\[ \iint_D f(x,y) \, dA = 1. \nonumber \]

Esto hace\(K = \frac{1}{\pi\left(1-e^{-100}\right)}\text{,}\) que se pueda verificar.

Para tal función\(f\text{,}\) la probabilidad de que el dardo golpee en el disco\(D_1\) de radio 1 sería

\[ \iint_{D_1} f(x,y) \, dA. \nonumber \]

De hecho, la probabilidad de que el dardo golpee en cualquier región\(R\) que se encuentre dentro\(D\) viene dada por

\[ \iint_R f(x,y) \, dA. \nonumber \]

En la discusión anterior se destaca la idea general detrás del cálculo de probabilidades. Suponemos que tenemos una función conjunta de densidad de probabilidad\(f\text{,}\) una función de dos variables independientes\(x\) y\(y\) definida en un dominio\(D\) que satisface las condiciones

• \(f(x,y) \geq 0\)para todos\(x\) y\(y\) en\(D\text{,}\)
• la probabilidad que\(x\) está entre algunos valores\(a\) y\(b\) while\(y\) está entre algunos valores\(c\) y\(d\) viene dada por
  \[ \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx, \nonumber \]
• La probabilidad de que el punto\((x,y)\) esté en\(D\) es 1, es decir
  \[ \iint_D f(x,y) \, dA = 1.\label{eq_11_4_pdf}\tag{11.4.1} \]

Obsérvese que es posible que\(D\) pueda ser una región infinita y los límites sobre la integral en la Ecuación (11.4.1) podrían ser infinitos. Cuando tenemos tal función de densidad de probabilidad,\(f=f(x,y)\text{,}\) la probabilidad de que el punto\((x,y)\) esté en alguna región\(R\) contenida en el dominio\(D\) (la notación que usamos aquí es “\(P((x,y)\in R)\)”) está determinada por

\[ P((x,y)\in R) = \iint_R f(x,y) \, dA. \nonumber \]

Actividad 11.4.5

Una firma fabrica detectores de humo. Dos componentes para los detectores provienen de diferentes proveedores, uno en Michigan y otro en Ohio. La compañía estudia estos componentes por su confiabilidad y sus datos sugieren que si\(x\) es la vida útil (en años) de un componente elegido aleatoriamente del proveedor de Michigan y\(y\) la vida útil (en años) de un componente elegido aleatoriamente del proveedor de Ohio, entonces la probabilidad conjunta la función de densidad\(f\) podría ser dada por

\[ f(x,y) = e^{-x} e^{-y}. \nonumber \]

1. Teóricamente, los componentes podrían durar para siempre, por lo que el dominio\(D\) de la función\(f\) es el conjunto\(D\) de todos\((x,y)\) tales que\(x \ge 0\) y\(y \ge 0\text{.}\) Para mostrar que\(f\) es una función de densidad de probabilidad en\(D\) necesitamos demostrar que
   \[ \int \int_D f(x,y) \, dA = 1, \nonumber \]

   o que

   \[ \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} f(x,y) \, dy \, dx = 1. \nonumber \]

   Usa tu conocimiento de integrales inadecuadas para verificar que efectivamente\(f\) es una función de densidad de probabilidad.

2. Supongamos que el detector de humo falla solo si fallan ambos componentes suministrados. Para determinar la probabilidad de que un detector seleccionado aleatoriamente falle dentro de un año, necesitaremos determinar la probabilidad de que la vida útil de cada componente esté entre 0 y 1 años. Configure una integral iterada apropiada y evalúe la integral para determinar la probabilidad.
3. ¿Cuál es la probabilidad de que un detector de humo elegido aleatoriamente falle entre los años 3 y 7?
4. Supongamos que el fabricante determina que uno de los componentes tiene más probabilidades de fallar que el otro, y por lo tanto conjetura que la función de densidad de probabilidad es en su lugar\(f(x,y) = K e^{-x} e^{-2y}.\) ¿Cuál es el valor de\(K\text{?}\)

11.4.5 Resumen

• La masa de una lámina\(D\) con una función de densidad de masa\(\delta = \delta(x,y)\) es\(\iint_D \delta(x,y) \, dA.\)
• El área de una región\(D\) en el plano tiene el mismo valor numérico que el volumen de un sólido de altura uniforme 1 y base por\(D\text{,}\) lo que el área de\(D\) está dada por\(\iint_D 1 \, dA.\)
• El centro de masa,\((\overline{x},\overline{y})\text{,}\) de una lámina continua con una densidad variable\(\delta(x,y)\) viene dado por
  \[ \overline{x} = \frac{\iint_D x\delta(x,y) \, dA}{\iint_D \delta(x,y) \, dA} \ \ \ \ \ \text{ and } \ \ \ \ \ \overline{y} = \frac{\iint_D y\delta(x,y) \, dA}{\iint_D \delta(x,y) \, dA}. \nonumber \]
• Dada una función conjunta de densidad de probabilidad\(f\) es una función de dos variables independientes\(x\) y\(y\) definida en un dominio\(D\text{,}\) si\(R\) es alguna subregión de\(D\text{,}\) entonces la probabilidad que\((x,y)\)\(R\) está en viene dada por
  \[ \iint_R f(x,y) \, dA. \nonumber \]